24. Тело массой m1 = 100 г скользит без трения по горизонтальной плоскости под действием груза массой m2 = 300 г, связанного с телом нерастяжимой и невесомой нитью, перекинутой через неподвижный блок (рис. 225). С каким ускорением движется тело массой m1?
Решение:
Преобразуем массы в килограммы: m1 = 0,1 кг m2 = 0,3 кг
Рассмотрим систему: Сила тяжести, действующая на m2: F2 = m2 * g = 0,3 кг * 9,81 м/с² = 2,943 Н.
Эта сила будет приводить в движение обе массы, поэтому сила F2 будет равна: F = m1 * a + m2 * g.
Составим уравнение: m2 * g = (m1 + m2) * a 0,3 * 9,81 = (0,1 + 0,3) * a 2,943 = 0,4 * a
Теперь найдём ускорение a: a = 2,943 / 0,4 = 7,3575 м/с².
Ответ: Ускорение тела массой m1 равно 7,36 м/с².
25. Мальчик стоит на напольных весах в лифте. Куда и с каким ускорением движется лифт, если весы показывают 33 кг? Известно, что в покоящемся лифте весы показывают 30 кг.
Масса мальчика: m = 30 кг.
В лифте весы показывают 33 кг, что соответствует силе, действующей на мальчика: F = m * g' = 33 кг * 9,81 м/с² = 323,73 Н.
Сила тяжести: F0 = m * g = 30 кг * 9,81 м/с² = 294,3 Н.
Разница сил показывает, что лифт ускоряется: F = F0 + F_добав = 323,73 Н. 323,73 = 294,3 + m * a.
Найдем ускорение: a = (F - F0) / m = (323,73 - 294,3) / 30 = 0,99 м/с².
Так как весы показывают больше, чем в покое, лифт движется вверх.
Ответ: Лифт движется вверх с ускорением 0,99 м/с².
26. Шайбе, находящейся на шероховатой горизонтальной плоскости, сообщают горизонтальную скорость v0 = 3 м/c. Через какое время остановится шайба, если коэффициент трения шайбы о плоскость µ = 0,3?
Сила трения: F_t = µ * N, где N — нормальная сила. Для горизонтальной плоскости N = m * g, но масса нам не нужна, так как она сократится.
Ускорение, создаваемое силой трения: a = -µ * g. Подставим значение: a = -0,3 * 9,81 м/с² = -2,943 м/с².
Используем формулу для нахождения времени остановки: t = (v0 - v) / a, где v — конечная скорость (0, так как шайба остановится).
Подставим значения: t = (3 м/с - 0) / 2,943 м/с² = 1,0185 с.
Ответ: Шайба остановится через 1,02 с.
27. На рисунке 226 изображены равные по массе шарики 1 и 2, привязанные к нитям длиной r и 2r соответственно и движущиеся по окружностям с одинаковой по модулю линейной скоростью v. Сравните центростремительные ускорения, с которыми движутся шарики, их угловые скорости и силы натяжения нитей.
Центростремительное ускорение (a_c): Центростремительное ускорение рассчитывается по формуле: a_c = v²/r, где r — радиус окружности. Для шарика 1 (радиус r): a_c1 = v²/r. Для шарика 2 (радиус 2r): a_c2 = v²/(2r) = (1/2)(v²/r). Следовательно, a_c2 = 0.5 * a_c1. Таким образом, центростремительное ускорение шарика 2 меньше, чем у шарика 1 в 2 раза.
Угловая скорость (ω): Угловая скорость вычисляется как: ω = v/r. Для шарика 1: ω1 = v/r. Для шарика 2: ω2 = v/(2r) = (1/2)(v/r). Следовательно, ω2 = 0.5 * ω1. Угловая скорость шарика 2 также меньше, чем у шарика 1 в 2 раза.
Сила натяжения нити (T): Сила натяжения рассчитывается по формуле: T = m * a_c, где m — масса шарика. Если m — масса одного шарика, тогда: T1 = m * a_c1 = m * (v²/r), T2 = m * a_c2 = m * (v²/(2r)) = 0.5 * T1. Сила натяжения нити у шарика 2 меньше в 2 раза, чем у шарика 1.
Ответ: Центростремительное ускорение и угловая скорость у шарика 1 больше в 2 раза, чем у шарика 2. Сила натяжения нити у шарика 1 также больше в 2 раза.
29. Среднее значение радиуса Земли равно 6400 км, а ускорение свободного падения у земной поверхности 9,8 м/с2. Пользуясь только этими данными, вычислите первую космическую скорость на высоте 3600 км над поверхностью Земли.
Первая космическая скорость (v_к) рассчитывается по формуле: v_к = √(g * R), где g — ускорение свободного падения, R — расстояние от центра Земли до объекта (радиус Земли + высота).
Переведем данные в метры: R = 6400 км + 3600 км = 10000 км = 10,000,000 м.
Подставим значения в формулу: v_к = √(9.8 м/с² * 10,000,000 м) = √(98,000,000) ≈ 9900 м/с.
Ответ: Первая космическая скорость на высоте 3600 км составляет примерно 9900 м/с.
31. Рейка длиной 70 см выдвинута на 25 см за край стола. При этом она не опрокидывается, если к её выступающему концу подвешен груз массой не более 80 г. Чему равна масса рейки?
Рассмотрим рейку и груз, подвешенный на её конце. Чтобы рейка не опрокидывалась, моменты сил должны быть равны.
Плечо силы тяжести груза: l = 25 см = 0,25 м.
Плечо силы тяжести рейки: r = 70 см - 25 см = 45 см = 0,45 м.
Сила тяжести груза: F_g = m_g * g = 0,08 кг * 9,81 м/с² = 0,7848 Н.
Момент от груза: M_g = F_g * l = 0,7848 Н * 0,25 м = 0,1962 Н·м.
Момент от рейки: M_r = m_r * g * r, где m_r — масса рейки.
Уравниваем моменты: M_g = M_r 0,1962 Н·м = m_r * 9,81 м/s² * 0,45 м.
Решим уравнение для массы рейки: m_r = 0,1962 Н·м / (9,81 м/s² * 0,45 м) ≈ 0,1962 / 4,4145 = 0,0444 кг = 44,4 г.
Ответ: Масса рейки равна 44,4 г.
32. Тело массой 0,3 кг свободно падает из состояния покоя в течение 3 с. На сколько увеличивается его импульс за первую секунду падения; за вторую секунду падения?
Импульс (p) вычисляется как: p = m * v, где v — скорость тела в момент времени.
За первую секунду: v1 = g * t1 = 9,81 м/с² * 1 с = 9,81 м/с. p1 = 0,3 кг * 9,81 м/с = 2,943 кг·м/с.
За вторую секунду: v2 = g * t2 = 9,81 м/с² * 2 с = 19,62 м/с. p2 = 0,3 кг * 19,62 м/с = 5,886 кг·м/с.
Изменение импульса за первую секунду: Δp1 = p1 - 0 = 2,943 кг·м/с.
Изменение импульса за вторую секунду: Δp2 = p2 - p1 = 5,886 - 2,943 = 2,943 кг·м/с.
Ответ: Увеличение импульса за первую секунду составляет 2,943 кг·м/с, за вторую секунду — также 2,943 кг·м/с.
33. С помощью графика, построенного вами при решении задачи 30, покажите, что импульс свободно падающего тела за равные промежутки времени меняется на одну и ту же величину.
Импульс свободно падающего тела увеличивается равномерно за равные промежутки времени. Это видно из предыдущих вычислений: изменение импульса в каждую секунду одинаково (Δp = 2,943 кг·м/с).
Это происходит потому, что тело падает под действием постоянной силы тяжести, поэтому его ускорение (g) остается постоянным, что приводит к одинаковому изменению скорости и, следовательно, импульса.
Ответ: Импульс свободно падающего тела за равные промежутки времени увеличивается на одну и ту же величину.
34. Алюминиевый и медный шарики одинакового объёма свободно падают из состояния покоя с одной и той же высоты в течение 2,5 с. Импульс какого из шариков будет больше и во сколько раз к концу первой секунды падения; к концу второй секунды падения? Ответы обоснуйте.
Шарики имеют одинаковый объем, но разные массы. При падении тела импульс определяется как: p = m * v.
Масса медного шарика больше, следовательно, его импульс также будет больше, поскольку к моменту падения на земле их скорости одинаковы.
К концу первой секунды падения: Импульс алюминиевого шарика (меньше массы): p_Al = m_Al * g * t1 = m_Al * 9,81 м/с². Импульс медного шарика (больше массы): p_Cu = m_Cu * g * t1 = m_Cu * 9,81 м/с².
К концу второй секунды падения: Импульс обоих шариков увеличивается по той же формуле, но поскольку масса медного шарика больше, его импульс будет также больше.
Ответ: Импульс медного шарика будет больше импульса алюминиевого шарика. На каждую секунду падения импульс медного шарика будет больше в разы, пропорционально их массам.
35. Два одинаковых бильярдных шара, двигаясь вдоль одной прямой, сталкиваются друг с другом. Перед столкновением проекция вектора скорости первого шара на ось X была равна v1x = 0,2 м/с, а второго — v2x = 0,1 м/с. Определите проекцию вектора скорости второго шара после столкновения, если у первого она стала равна 1x v′ = 0,1 м/с.
Дано:
Скорость первого шара до столкновения: v1x = 0,2 м/с Скорость второго шара до столкновения: v2x = 0,1 м/с Скорость первого шара после столкновения: v'1x = 0,1 м/с По закону сохранения импульса: m * v1x + m * v2x = m * v'1x + m * v'2x
Можно убрать массу, так как она одинаковая для обоих шаров:
v1x + v2x = v'1x + v'2x
Подставляем числа:
0,2 + 0,1 = 0,1 + v'2x
v'2x = 0,3 - 0,1 = 0,2 м/с
Ответ: скорость второго шара после столкновения v'2x = 0,2 м/с.
36. Решите предыдущую задачу для случая, при котором v1x = 0,2 м/с, v2x = –0,1 м/с, v′1x = –0,1 м/с.
Скорость первого шара до столкновения: v1x = 0,2 м/с Скорость второго шара до столкновения: v2x = –0,1 м/с Скорость первого шара после столкновения: v'1x = –0,1 м/с По закону сохранения импульса:
0,2 + (–0,1) = –0,1 + v'2x
v'2x = 0,1 + 0,1 = 0,2 м/с
37. Чему равна работа силы трения при торможении с заблокированными колёсами автомобиля массой 2 т, если скорость автомобиля уменьшилась от 72 до 36 км/ч?
Масса автомобиля: 2 т (2000 кг) Начальная скорость: 72 км/ч Конечная скорость: 36 км/ч Переведем скорости из км/ч в м/с:
Начальная скорость: 72 км/ч = 72 / 3.6 = 20 м/с. Конечная скорость: 36 км/ч = 36 / 3.6 = 10 м/с. Рассчитаем начальную и конечную кинетическую энергии:
Начальная кинетическая энергия:
KE_нач = 1/2 * масса * (начальная скорость)^2 KE_нач = 1/2 * 2000 * (20)^2 KE_нач = 1/2 * 2000 * 400 KE_нач = 400000 Дж (или 400 кДж). Конечная кинетическая энергия:
KE_кон = 1/2 * масса * (конечная скорость)^2 KE_кон = 1/2 * 2000 * (10)^2 KE_кон = 1/2 * 2000 * 100 KE_кон = 100000 Дж (или 100 кДж). Работа силы трения равна изменению кинетической энергии:
Работа = KE_кон - KE_нач Работа = 100000 - 400000 Работа = -300000 Дж (или -300 кДж). Ответ: работа силы трения равна -300 кДж.
38. Пружина жёсткостью 500 Н/м растянута на 2 см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть эту пружину дополнительно ещё на 2 см?
Жёсткость пружины: k = 500 Н/м Начальное растяжение: x1 = 2 см = 0,02 м Дополнительное растяжение: x2 = 0,02 м Работа для растяжения пружины находится как:
A = (k * x2² / 2) - (k * x1² / 2)
Подставляем значения:
A = (500 * (0,04)² / 2) - (500 * (0,02)² / 2)
A = (500 * 0,0016 / 2) - (500 * 0,0004 / 2)
A = (0,8 - 0,2) = 0,6 Дж
Ответ: работа равна 0,6 Дж.
39. Брусок массой m = 100 г поднимают из состояния покоя вертикально вверх с
ускорением a = 1 м/с. Чему будет равна кинетическая энергия бруска через время
∆t = 4 c? Какая работа при этом будет совершена силой тяжести?
Масса бруска: m = 0,1 кг Ускорение: a = 1 м/с² Время: t = 4 с Кинетическая энергия E через 4 секунды:
E = m * a * t² / 2
E = 0,1 * 1 * 4² / 2 = 0,1 * 16 / 2 = 0,8 Дж
Работа силы тяжести:
A = m * g * h, где h = a * t² / 2 = 1 * 4² / 2 = 8 м
A = 0,1 * 9,8 * 8 = 7,84 Дж
Ответ: кинетическая энергия 0,8 Дж, работа силы тяжести 7,84 Дж.
40. Груз массой 10 кг падает с высоты 10 м и проникает в мягкий грунт на глубину 20 см. Определите силу сопротивления грунта, считая её постоянной. Сопротивление воздуха не учитывать.
Eп = m * g * h = 10 * 9.8 * 10 = 980 Джоулей.
Работа силы сопротивления грунта:
A = F * s, где F — сила сопротивления, а s = 0.2 м — глубина проникновения.
Работа силы сопротивления равна потенциальной энергии груза:
F * 0.2 = 980.
Отсюда сила сопротивления F = 980 / 0.2 = 4900 Ньютонов.
41. Используя данные и результат решения задачи 36, покажите, что при столкновении шаров полная механическая энергия системы не изменилась.
Чтобы показать, что полная механическая энергия не изменилась при столкновении шаров, нужно использовать закон сохранения энергии. Если столкновение было абсолютно упругим, то вся кинетическая энергия до удара восстанавливается после удара, и механическая энергия системы остается неизменной.
42. Тело свободно падает без начальной скорости с высоты 30 м. На какой высоте его кинетическая энергия будет вдвое меньше потенциальной? За нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии принять поверхность Земли. Сопротивлением воздуха пренебречь
Полная энергия системы сохраняется: Eп + Ek = постоянная. Когда кинетическая энергия будет вдвое меньше потенциальной, можно записать:
Ek = 1/2 Eп.
Поскольку Eп + Ek = m * g * h, а Ek = m * g * h - Eп, то подставляем:
1/2 Eп + Eп = m * g * h,
3/2 Eп = m * g * h.
Потенциальная энергия Eп на высоте h1 равна:
m * g * h1 = 2/3 от m * g * h,
h1 = 2/3 * 30 = 20 метров.
Значит, кинетическая энергия будет вдвое меньше потенциальной на высоте 20 метров.