1. Может ли измениться закон движения тела при переходе из одной системы отсчёта в другую?
Закон движения тела при переходе из одной системы отсчёта в другую остаётся тем же только при переходе между инерциальными системами отсчёта. При переходе в ускоренную (неинерциальную) систему к уравнениям движения добавляются фиктивные (инерциальные) силы, поэтому вид закона меняется.
2. Может ли измениться скорость тела при переходе из одной системы отсчёта в другую?
Скорость тела изменяется при переходе из одной системы отсчёта в другую: скорость есть вектор, зависящий от выбора системы отсчёта, и при переходе на систему, движущуюся относительно первой, к вектору скорости прибавляется скорость перехода.
3. Покажите, что закон сложения скоростей следует из закона сложения перемещений.
Пусть в системе XY координата материальной точки равна r(t), в системе X'Y' — r'(t), а положение начала X' относительно XY описано вектором R(t). Тогда выполняется векторное тождество r(t) = R(t) + r'(t). Дифференцируя по времени, получается v(t) = V(t) + v'(t), где v = dr/dt, v' = dr'/dt, V = dR/dt. Это и есть закон сложения скоростей, вытекающий из закона сложения перемещений.
4. Как должно двигаться тело в движущейся поступательно относительно поверхности Земли системе отсчёта X'Y', чтобы покоиться в системе отсчёта XY, связанной с Землёй?
Чтобы тело покоилось в системе XY, связанной с Землёй, в системе X'Y', которая поступательно движется относительно Земли со скоростью V, тело должно иметь скорость v' = -V (в системе X'Y' движение прямолинейное и равномерное со скоростью, равной по модулю и противоположной по направлению скорости системы X'Y').
5. Как движется тело в системе отсчёта XY, связанной с Землёй, если оно покоится в движущейся поступательно относительно поверхности Земли системе отсчёта X'Y'?
Если тело покоится в движущейся поступательно системе X'Y', то в системе XY, связанной с Землёй, оно будет двигаться с той же скоростью, с которой движется система X'Y' относительно Земли, то есть v = V.
1. Как должен двигаться заяц относительно льдины, которая плывёт по реке на юг со скоростью, модуль которой равен 2 м/с, чтобы оставаться неподвижным относительно берега?
Пусть направление «юг» принять за отрицательное направление оси y. Ледяная глыба плывёт на юг со скоростью 2 м/с, значит её скорость относительно берега V = (0; −2) м/с. Чтобы заяц оставался неподвижным относительно берега, его скорость относительно льдины v_rel должна удовлетворять 0 = V + v_rel, откуда v_rel = −V = (0; +2) м/с, то есть заяц должен бежать по льдине на север со скоростью 2 м/с.
2. Как должен двигаться заяц относительно льдины, которая плывёт по реке на юг со скоростью, модуль которой равен 2 м/с, чтобы двигаться относительно берега на север со скоростью, модуль которой равен 1 м/с?
Требуется, чтобы скорость зайца относительно берега была на север 1 м/с, то есть v_bank = (0; +1). Из v_bank = V + v_rel следует v_rel = v_bank − V = (0; +1) − (0; −2) = (0; +3) м/с. Значит заяц должен бежать по льдине на север со скоростью 3 м/с.
3. Как должен двигаться заяц относительно льдины, которая плывёт по реке на юг со скоростью, модуль которой равен 3 м/с, чтобы двигаться относительно берега на восток со скоростью, модуль которой равен 4 м/с?
Пусть восток — положительное направление оси x, север — положительное направление оси y. Дано V = (0; −3) м/с, требуемая скорость относительно берега v_bank = (4; 0) м/с. Тогда v_rel = v_bank − V = (4; 0) − (0; −3) = (4; 3) м/с. Модуль v_rel = sqrt(4^2 + 3^2) = 5 м/с. Направление: в сторону, отклонённую на arctan(4/3) ≈ 53,13° к востоку от севера (или 36,87° к северу от востока).
4. В произвольном случае формула расчёта модуля скорости, полученная при сложении двух скоростей, согласно теореме косинусов, имеет вид: v^2 = v1^2 + v2^2 - 2v1 • v2 • cos а , где а — угол между векторами скоростей ^ и т^. Проведите анализ этого выражения. Рассмотрите частные случаи: а) скорости параллельны; б) скорости перпендикулярны. Проанализируйте изменение модуля суммарной скорости при изменении угла а.
Корректная формула для модуля суммы двух векторов v1 и v2 при угле между ними a имеет вид v^2 = v1^2 + v2^2 + 2 v1 v2 cos a, где a — угол между векторами v1 и v2. Частные случаи: а) при параллельных векторах и одинаковом направлении a = 0, cos a = 1, значит v = v1 + v2, суммарная скорость максимальна; если параллельны, но в противоположных направлениях a = 180°, cos a = −1 и v = |v1 − v2|, суммарная скорость минимальна; б) при перпендикулярных векторах a = 90°, cos a = 0 и v = sqrt(v1^2 + v2^2). При изменении угла a от 0 до 180° величина cos a монотонно убывает от 1 до −1, поэтому v^2 и, соответственно, v убывают от максимального значения (a = 0) до минимального (a = 180°). Таким образом при приближении направлений скоростей к противоположным суммарная скорость уменьшается, при их выравнивании в одну сторону суммарная скорость увеличивается.