1. На чём основано действие реактивных двигателей?
Действие реактивных двигателей основано на законе сохранения импульса. Когда продукты горения топлива с высокой скоростью выбрасываются из двигателя в одном направлении, ракета или другой объект приобретает импульс в противоположном направлении. Это происходит из-за того, что система (ракета + выбрасываемые газы) сохраняет общий импульс, который был равен нулю, если ракета изначально находилась в покое.
2. В каких системах отсчёта решают задачи на закон сохранения импульса?
Задачи на закон сохранения импульса решают в инерциальных системах отсчёта. Это такие системы, в которых выполняются законы механики Ньютона, то есть на тело не действуют внешние силы или их действие можно учесть. Например, система отсчёта, связанная с Землёй, часто используется как приближение для решения таких задач.
3. Куда должен быть направлен вектор скорости выбрасываемых из ракеты продуктов горения топлива (см. рис. 91), чтобы затормозить ракету?
Чтобы затормозить ракету, которая летит вверх, вектор скорости выбрасываемых продуктов горения топлива должен быть направлен вверх. Это создаст реактивную силу, направленную вниз, противоположно направлению движения ракеты, что замедлит её подъём.
Упражнения
1. Мальчик массой М = 60 кг, стоящий на гладком горизонтальном льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой m = 5 кг. Модуль скорости камня относительно поверхности льда равен 6 м/с. Определите скорость движения мальчика относительно льда сразу после броска.
Применим закон сохранения импульса. До броска суммарный импульс системы равен нулю, поскольку мальчик и камень находятся в покое. После броска импульс остаётся неизменным. Импульс камня рассчитывается как произведение массы на скорость: pₖ = m × v = 5 × 6 = 30 кг·м/с.
Скорость мальчика vₘ определяем из равенства импульсов: M × vₘ = pₖ. Подставляя значения, получаем: 60 × vₘ = 30, отсюда vₘ = 30 / 60 = 0.5 м/с.
Таким образом, скорость мальчика относительно льда после броска составляет 0.5 м/с в сторону, противоположную движению камня.
2. В стоящие на гладком горизонтальном льду санки массой m = 30 кг прыгает с разбегу человек массой М = 70 кг (рис. 96). Определите, с какой скоростью поедут санки с человеком, если скорость человека в момент касания санок была направлена горизонтально и равна V= 5 м/с.
Используем закон сохранения импульса. До прыжка единственный импульс системы — это импульс человека, так как санки неподвижны. Импульс человека: pₕ = M × V = 70 × 5 = 350 кг·м/с.
После прыжка импульс распределяется между санками и человеком, сидящим на них: (M + m) × v = pₕ. Здесь v — общая скорость санок с человеком после прыжка.
Подставляя значения, получаем: (70 + 30) × v = 350, что даёт 100 × v = 350, отсюда v = 350 / 100 = 3.5 м/с.
Следовательно, скорость санок с человеком после прыжка равна 3.5 м/с.
3. Солдат, удерживая неподвижным автомат, стреляет в горизонтальном направлении, делая 300 выстрелов в минуту. Пули из автомата вылетают со скоростью, модуль которой v = 300 м/с. Масса пули m = 10 г. С какой горизонтально направленной силой действует солдат на автомат?
Сила, с которой солдат действует на автомат: Сначала найдём импульс одной пули: p = m * v = 0.01 * 300 = 3 кг·м/с.
Число выстрелов в секунду: 300 / 60 = 5.
Сила равна изменению импульса в секунду: F = Δp = 5 * 3 = 15 Н.
Сила, с которой солдат действует на автомат, равна 15 Н.
*4. К космической станции массой М, летящей с выключенными двигателями со скоростью V относительно некоторой инерциальной системы отсчёта вдали от небесных тел, причаливает грузовой корабль массой m. Скорость корабля в той же системе отсчёта равна v и направлена навстречу движению станции. Найдите скорость станции с пристыковавшимся к ней кораблём.
Используем закон сохранения импульса: M * V - m * v = (M + m) * Vс, где Vс — скорость станции после стыковки.
Решаем уравнение для Vс: Vс = (M * V - m * v) / (M + m).
Скорость станции с пристыкованным кораблём равна (M * V - m * v) / (M + m).
*5. На поверхности озера на некотором расстоянии друг от друга лежат два одинаковых надувных матраса. На этих матрасах сидят два брата, взявшись за концы слегка натянутой тонкой верёвки (рис. 97). В некоторый момент старший брат начинает тянуть верёвку, перебирая её руками. С какой скоростью будет двигаться матрас с младшим братом в тот момент, когда скорость матраса со старшим братом станет равной v= 2 км/ч? Массы старшего и младшего братьев равны M1= 48 кг и M2 = 23 кг, а масса каждого из матрасов равна m = 2 кг. Сопротивлением воды движению матрасов можно пренебречь.
Найдём скорость матраса с младшим братом. Используем закон сохранения импульса. Скорость матраса со старшим братом равна 2 км/ч. Общая масса старшего брата с матрасом равна 50 кг, а младшего брата с матрасом — 25 кг. По закону сохранения импульса: 50 × 2 + 25 × v = 0, 100 + 25 × v = 0, v = -100 / 25 = -4 км/ч.
Скорость матраса с младшим братом равна 4 км/ч, и он движется в противоположную сторону.
6. Ядро массой 10 кг летит вниз под углом 30° к вертикали. Оно попадает в стоящую на гладкой горизонтальной площадке платформу с песком и застревает в песке. Модуль скорости ядра в момент падения равен 400 м/с. Масса платформы равна 1 т. Определите модуль скорости платформы с застрявшим в песке ядром.
Найдём скорость платформы с застрявшим ядром. Используем закон сохранения импульса. Платформа сначала покоится, её начальный импульс равен 0. Скорость ядра разложим на вертикальную и горизонтальную составляющие. Горизонтальная скорость ядра равна 400 × 0.5 = 200 м/с. Горизонтальный импульс ядра равен 10 × 200 = 2000 кг·м/с. Сохраняем общий импульс после удара: 2000 = (1000 + 10) × V, 2000 = 1010 × V, V = 2000 / 1010 ≈ 1.98 м/с.
Скорость платформы с застрявшим ядром примерно равна 1.98 м/с.