1. Ознакомьтесь с материалами презентации к параграфу, содержащейся в электронном приложении к учебнику. Дополняет ли презентация информацию, содержащуюся в тексте параграфа?
2. Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями.
1) Какого цвета этот дом?
2) Число X не превосходит единицы.
3) 4Х + 3.
4) Посмотрите в окно.
5) Пейте томатный сок!
6) Эта тема скучна.
7) Рикки Мартин — самый популярный певец.
8) Вы были в театре?
Какого цвета этот дом? — это вопрос, который не утверждает ничего, а требует ответа. Число X не превосходит единицы. — без конкретного значения X утверждение нельзя проверить. 4X + 3. — это математическое выражение, а не утверждение. Посмотрите в окно. — это побуждение, а не утверждение. Пейте томатный сок! — это призыв, а не констатация факта. Эта тема скучна. — субъективное мнение, зависящее от восприятия. Рикки Мартин — самый популярный певец. — субъективное суждение, которое невозможно объективно подтвердить. Вы были в театре? — это вопрос, который не является утверждением.
3. Приведите по одному примеру истинных и ложных высказываний из биологии, географии, информатики, истории, математики, литературы.
Биология: Истинное: "Клетка — основная структурная единица организма." Ложное: "Рыбы дышат лёгкими."
География: Истинное: "Самая длинная река мира — Амазонка." Ложное: "Сахара — самая маленькая пустыня на Земле."
Информатика: Истинное: "Бинарная система счисления основана на двух цифрах — 0 и 1." Ложное: "В HTML код пишется на языке Python."
История: Истинное: "В 1812 году началась Отечественная война." Ложное: "Древний Египет существовал в Средневековье."
Математика: Истинное: "Сумма углов треугольника равна 180 градусам." Ложное: "Чётное число делится на три без остатка."
Литература: Истинное: "Автор романа 'Преступление и наказание' — Ф.М. Достоевский." Ложное: "Пушкин написал 'Войну и мир'."
4. В следующих высказываниях выделите простые высказывания, обозначив каждое из них буквой; запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание.
1) Число 376 чётное и трёхзначное.
2) Зимой дети катаются на коньках или на лыжах.
3) Новый год мы встретим на даче или на Красной площади.
4) Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.
5) Земля имеет форму шара, который из космоса кажется голубым.
6) На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя, а также писали самостоятельную работу.
Число 376 чётное и трёхзначное. Простой: A — "376 чётное", B — "376 трёхзначное". Логическая запись: A ∧ B.
Зимой дети катаются на коньках или на лыжах. Простой: A — "Дети катаются на коньках", B — "Дети катаются на лыжах". Логическая запись: A ∨ B.
Новый год мы встретим на даче или на Красной площади. Простой: A — "Мы встретим Новый год на даче", B — "Мы встретим Новый год на Красной площади". Логическая запись: A ∨ B.
Неверно, что Солнце движется вокруг Земли. Простой: A — "Солнце движется вокруг Земли". Логическая запись: ¬A.
Земля имеет форму шара, который из космоса кажется голубым. Простой: A — "Земля имеет форму шара", B — "Земля из космоса кажется голубой". Логическая запись: A ∧ B.
5. Постройте отрицания следующих высказываний.
1) Сегодня в театре идёт опера «Евгений Онегин».
2) Каждый охотник желает знать, где сидит фазан.
3) Число 1 есть простое число.
4) Натуральные числа, оканчивающиеся цифрой 0, не являются простыми числами.
5) Неверно, что число 3 не является делителем числа 198.
6) Коля решил все задания контрольной работы.
7) Во всякой школе некоторые ученики интересуются спортом.
8) Некоторые млекопитающие не живут на суше.
Сегодня в театре идёт опера «Евгений Онегин». Отрицание: Сегодня в театре не идёт опера «Евгений Онегин».
Каждый охотник желает знать, где сидит фазан. Отрицание: Не каждый охотник желает знать, где сидит фазан.
Число 1 есть простое число. Отрицание: Число 1 не является простым числом.
Натуральные числа, оканчивающиеся цифрой 0, не являются простыми числами. Отрицание: Существуют натуральные числа, оканчивающиеся цифрой 0, которые являются простыми числами.
Неверно, что число 3 не является делителем числа 198. Отрицание: Число 3 не является делителем числа 198.
Коля решил все задания контрольной работы. Отрицание: Коля не решил все задания контрольной работы.
Во всякой школе некоторые ученики интересуются спортом. Отрицание: Есть школы, в которых ни один ученик не интересуется спортом.
Некоторые млекопитающие не живут на суше. Отрицание: Все млекопитающие живут на суше.
6. Пусть А = «Ане нравятся уроки математики», а В = «Ане нравятся уроки химии». Выразите следующие формулы на обычном языке:
1) А & В;
2) ¬А & В;
3) А & ¬В;
4) А v В;
5) А v ¬В;
6) ¬А V ¬В;
7) ¬(А & В);
8) ¬(А v В);
9) ¬(А & ¬В).
Ане нравятся уроки математики и химии. Ане не нравятся уроки математики, но нравятся уроки химии. Ане нравятся уроки математики, но не нравятся уроки химии. Ане нравятся уроки математики или химии. Ане нравятся уроки математики или не нравятся уроки химии. Ане не нравятся уроки математики или химии. Ане не нравятся уроки математики и не нравятся уроки химии. Ане не нравятся ни уроки математики, ни химии. Ане не нравятся уроки математики, а нравятся уроки химии.
7. Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов. Поисковый сервер в автоматическом режиме составил таблицу ключевых слов для сайтов этого сегмента. Вот её фрагмент:
Для того чтобы найти количество сайтов по запросу "сомики | меченосцы | гуппи", нужно воспользоваться формулой для объединения множеств:
N(сомики ∪ меченосцы ∪ гуппи) = N(сомики) + N(меченосцы) + N(гуппи) - N(сомики ∩ меченосцы) - N(сомики ∩ гуппи) - N(меченосцы ∩ гуппи) + N(сомики ∩ меченосцы ∩ гуппи)
Подставляем данные:
N(сомики) = 250 N(меченосцы) = 200 N(гуппи) = 500 N(сомики ∩ меченосцы) = 20 N(сомики ∩ гуппи) = 0 N(меченосцы ∩ гуппи) = 10 N(сомики ∩ меченосцы ∩ гуппи) = 0
И получаем:
N(сомики ∪ меченосцы ∪ гуппи) = 250 + 200 + 500 - 20 - 0 - 10 + 0 = 920
Ответ: по запросу "сомики | меченосцы | гуппи" будет найдено 920 сайтов.
8. Постройте таблицы истинности для следующих логических выражений:
1) B & (А v В);
2) А & (B v ¬В);
3) А & (А v В v С);
4) ¬(A v B v ¬C).
Для каждого выражения логики необходимо построить таблицу истинности, которая включает все возможные комбинации значений переменных (A, B, C). В данном случае для выражений с тремя переменными (A, B, C) будет 8 строк, так как у каждой переменной есть два возможных значения: истинно (1) или ложно (0).
1) B & (A v B) A B A v B B & (A v B) 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 2) A & (B v ¬B) A B ¬B B v ¬B A & (B v ¬B) 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 3) A & (A v B v C) A B C A v B A v B v C A & (A v B v C) 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4) ¬(A v B v ¬C) A B C ¬C A v B A v B v ¬C ¬(A v B v ¬C) 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 Таблицы истинности для всех выражений представлены выше.
9. Проведите доказательство рассмотренных в параграфе логических законов с помощью таблиц истинности.
1. Закон идемпотентности (A ∧ A = A): A A ∧ A 0 0 1 1 Мы видим, что результаты для A и A ∧ A одинаковы, что подтверждает закон.
2. Закон двойного отрицания (¬(¬A) = A): A ¬A ¬(¬A) 0 1 0 1 0 1 Результаты ¬(¬A) совпадают с A, что подтверждает этот закон.
10. Даны три числа в десятичной системе счисления: А = 23, В = 19, С = 26. Переведите А, В и С в двоичную систему счисления и выполните поразрядно логические операции (A ∨ В) & С. Ответ дайте в десятичной системе счисления.
Для выполнения задачи сначала переведем числа A, B и C в двоичную систему счисления:
A = 23 (десятичное) = 10111 (двоичное) B = 19 (десятичное) = 10011 (двоичное) C = 26 (десятичное) = 11010 (двоичное) Теперь выполним поразрядно логическую операцию (A ∨ B) & C:
A ∨ B: 10111 10011 10111 (результат операции ИЛИ)
(A ∨ B) & C: 10111 11010 10010 (результат операции И)
Теперь переведем 10010 из двоичной системы в десятичную:
10010 (двоичное) = 18 (десятичное).
Ответ: 18.
11. Найдите значения выражений: 1) (1 v 1) v (1 v 0);
2) (((1 v 0) v 1) v 1);
3) (0 & 1) & 1;
4) 1 & (1 & 1) & 1;
5) ((1 v 0) & (1 & 1)) & (0 v 1);
6) ((1 & 1) v 0) & (0 v 1);
7) ((0 & 0) v 0) & (1 V 1);
8) (А v 1) v (В v 0);
9) ((1 & А) v (В & 0)) v 1;
10) 1 v A & 0.
(1 v 1) v (1 v 0) = 1 (по законам логики: 1 v 1 = 1, 1 v 0 = 1, 1 v 1 = 1) (((1 v 0) v 1) v 1) = 1 (1 v 0 = 1, 1 v 1 = 1, 1 v 1 = 1) (0 & 1) & 1 = 0 (0 & 1 = 0, 0 & 1 = 0) 1 & (1 & 1) & 1 = 1 (1 & 1 = 1, 1 & 1 = 1) ((1 v 0) & (1 & 1)) & (0 v 1) = 1 (1 v 0 = 1, 1 & 1 = 1, 1 & 1 = 1) ((1 & 1) v 0) & (0 v 1) = 1 (1 & 1 = 1, 1 v 0 = 1, 0 v 1 = 1) ((0 & 0) v 0) & (1 v 1) = 0 (0 & 0 = 0, 0 v 0 = 0, 1 v 1 = 1, 0 & 1 = 0) (A v 1) v (B v 0) = 1 (A v 1 = 1, B v 0 = B, 1 v B = 1) ((1 & A) v (B & 0)) v 1 = 1 (B & 0 = 0, 1 & A = A, A v 0 = A, A v 1 = 1) 1 v A & 0 = 1 (A & 0 = 0, 1 v 0 = 1)
12. Найдите значение логического выражения ¬(Х < 3) & ¬(Х < 2) для указанных значений числа Х:
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Для логического выражения ¬(Х < 3) & ¬(Х < 2) вычислим значение для различных значений Х:
Х = 1: ¬(1 < 3) & ¬(1 < 2) = ¬(истинно) & ¬(истинно) = ложь & ложь = ложь.
Х = 2: ¬(2 < 3) & ¬(2 < 2) = ¬(истинно) & ¬(ложь) = ложь & истина = ложь.
Х = 3: ¬(3 < 3) & ¬(3 < 2) = ¬(ложь) & ¬(ложь) = истина & истина = истина.
Х = 4: ¬(4 < 3) & ¬(4 < 2) = ¬(ложь) & ¬(ложь) = истина & истина = истина.
Ответ:
ложь ложь истина истина
13. Пусть А = «Первая буква имени — гласная», В = «Четвёртая буква имени согласная». Найдите значение логического выражения для следующих имён:
1) ЕЛЕНА 2) ВАДИМ 3) АНТОН 4) ФЁДОР
Для выражения ¬А v В, где А — первая буква имени гласная, а В — четвёртая буква имени согласная, находим значения для каждого имени:
ЕЛЕНА:
Первая буква гласная (А = истина). Четвёртая буква согласная (В = истина). ¬А v В = истина v истина = истина.
ВАДИМ:
Первая буква гласная (А = ложь). Четвёртая буква согласная (В = ложь). ¬А v В = ложь v ложь = истина.
АНТОН:
Первая буква гласная (А = истина). Четвёртая буква согласная (В = ложь). ¬А v В = истина v ложь = ложь.
ФЁДОР:
Первая буква согласная (А = ложь). Четвёртая буква согласная (В = ложь). ¬А v В = ложь v ложь = истина.
14. Разбирается дело Джона, Брауна и Смита. Известно, что один из них нашёл и утаил клад. На следствии каждый из подозреваемых сделал два заявления:
Смит: «Я не делал этого. Браун сделал это».
Джон: «Браун не виновен. Смит сделал это».
Браун: «Я не делал этого. Джон не делал этого».
Суд установил, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, третий один раз солгал, один раз сказал правду. Кто из подозреваемых должен быть оправдан?
Чтобы решить эту задачу, разберем утверждения каждого подозреваемого с учетом, что один из них всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий один раз лжет, один раз говорит правду. Это условие помогает найти виновного и оправданного.
Утверждения: Смит:
"Я не делал этого." (Утверждение А) "Браун сделал это." (Утверждение B) Джон:
"Браун не виновен." (Утверждение C) "Смит сделал это." (Утверждение D) Браун:
"Я не делал этого." (Утверждение E) "Джон не делал этого." (Утверждение F) Анализ: Если один дважды солгал, другой дважды сказал правду, а третий солгал один раз, то сочетания истинности/ложности их утверждений должны согласовываться с этим условием. 1. Предположим, что Смит говорит правду дважды: Утверждение А ("Я не делал этого.") — правда → Смит не виновен. Утверждение B ("Браун сделал это.") — правда → Браун виновен. В этом случае:
Джон: Утверждение C ("Браун не виновен.") — ложь → Браун виновен. Утверждение D ("Смит сделал это.") — ложь → Смит не виновен. Браун: Утверждение E ("Я не делал этого.") — ложь → Браун виновен. Утверждение F ("Джон не делал этого.") — правда → Джон не виновен. Это распределение соответствует условию:
Смит дважды сказал правду. Джон дважды солгал. Браун один раз солгал, один раз сказал правду. Вывод: Смит и Джон должны быть оправданы, виновен Браун.
15. Алёша, Боря и Гриша нашли в земле старинный сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения:
1) Алёша: «Это сосуд греческий и изготовлен в V веке».
2) Боря: «Это сосуд финикийский и изготовлен в III веке».
3) Гриша: «Это сосуд не греческий и изготовлен в IV веке».
Учитель истории сказал ребятам, что каждый из них прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?
Рассмотрим решение более подробно:
Алёша (А): утверждает, что сосуд греческий и изготовлен в V веке. Боря (Б): утверждает, что сосуд финикийский и изготовлен в III веке. Гриша (В): утверждает, что сосуд не греческий и изготовлен в IV веке. Анализ утверждений: Каждый из мальчиков прав в одном утверждении, а второе его утверждение — ложное. Рассмотрим оба возможных типа сосуда: греческий или финикийский.
Случай 1: Сосуд греческий. Тогда утверждение Гриши, что сосуд не греческий, будет ложным. Это значит, что его утверждение о IV веке должно быть истинным. Алёша утверждает, что сосуд греческий и изготовлен в V веке. Если первое утверждение верно (греческий), то второе (V век) ложно. Тогда сосуд не V века. Боря утверждает, что сосуд финикийский и изготовлен в III веке. Оба его утверждения должны быть ложными, поскольку мы уже установили, что сосуд греческий. Это приводит к противоречию, так как у Бори не остаётся истинного утверждения. Сосуд не греческий.
Случай 2: Сосуд финикийский. Если сосуд финикийский, утверждение Алёши, что он греческий, будет ложным. Значит, его второе утверждение (о V веке) истинное. Боря утверждает, что сосуд финикийский и изготовлен в III веке. Если первое утверждение (финикийский) истинное, то второе (III век) ложное. Гриша утверждает, что сосуд не греческий и изготовлен в IV веке. Если первое утверждение (не греческий) истинное, то второе (IV век) ложное. Эти условия выполняются без противоречий.
Ответ: Сосуд, найденный мальчиками, является финикийским и был изготовлен в V веке.
16. Выясните, какой сигнал должен быть на выходе электронной схемы при каждом возможном наборе сигналов на входах. Составьте таблицу работы схемы. Каким логическим выражением описывается схема?
A B ¬A ¬B F 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0
Тестовые задания для самоконтроля
1. Совокупность знаков, с помощью которых записываются числа, называется:
а) системой счисления
б) цифрами системы счисления
+в) алфавитом системы счисления
г) основанием системы счисления
2. Чему равен результат сложения двух чисел, записанных римскими цифрами: МСМ + LXVIII?
а) 1168
+б) 1968
в) 2168
г) 1153
3. Число 301011 может существовать в системах счисления с основаниями:
а) 2 и 10
б) 4 и 3
+в) 4 и 8
г) 2 и 4 4
4. Двоичное число 100110 в десятичной системе счисления записывается как:
а) 36
+б) 38
в) 37
г) 46
5. В классе 1100102% девочек и 10102 мальчиков. Сколько учеников в классе?
а) 10
+б) 20
в) 30
г) 40
6. Сколько цифр 1 в двоичном представлении десятичного числа 15?
а) 1
б) 2
в) 3
+г) 4
7. Чему равен результат сложения чисел 1102 и 128?
а) 610
б) 1010
+в) 100002
г) 178
8. Ячейка памяти компьютера состоит из однородных элементов, называемых:
а) кодами
+б) разрядами
в) цифрами
г) коэффициентами
9. Количество разрядов, занимаемых двухбайтовым числом, равно:
а) 8
+б) 16
в) 32
г) 64
10. В знаковый разряд ячейки для отрицательных чисел заносится:
а) +
б) -
в) 0
+г) 1
11. Вещественные числа представляются в компьютере в:
а) естественной форме
б) развёрнутой форме
+в) экспоненциальной форме с нормализованной мантиссой
г) виде обыкновенной дроби
12. Какое предложение не является высказыванием?
а) Никакая причина не извиняет невежливость.
+б) Обязательно стань отличником.
в) Рукописи не горят.
г) 10112 = 1 • 23 + 0 • 22 + 1 • 21 + 1 • 20
13. Какое высказывание является ложным?
а) Знаком v обозначается логическая операция ИЛИ.
б) Логическую операцию ИЛИ также называют логическим сложением.
в) Дизъюнкцию также называют логическим сложением.
+г) Знаком v обозначается логическая операция конъюнкция.
14. Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание
((X < 5) ∨ (X < 3)) ∧ ((X < 2) ∨ (X < 1)) ?
+а) 1
г) 4
15. Для какого символьного выражения верно высказывание:
«НЕ (Первая буква согласная) И НЕ (Вторая буква гласная)»?
+а) abcde
б) bcade
в) babas
г) cabab
16. Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов. Поисковый сервер в автоматическом режиме составил таблицу ключевых слов для сайтов этого сегмента. Вот её фрагмент:
Сколько сайтов будет найдено по запросу принтер | сканер | монитор, если по запросу принтер | сканер было найдено 450 сайтов, по запросу принтер & монитор — 40, а по запросу сканер & монитор — 50?
а) 900
б) 540
в) 460
+г) 810
17. Какому логическому выражению соответствует следующая таблица истинности?
а) А & В
б) А v В
+в) ¬(А & В)
г) ¬А & ¬В
18. Когда сломался компьютер, его хозяин сказал: «Оперативная память не могла выйти из строя». Сын хозяина компьютера предположил, что вышел из строя процессор, а жёсткий диск исправен. Пришедший специалист по обслуживанию сказал, что, скорее всего, с процессором всё в порядке, а оперативная память неисправна. В результате оказалось, что двое из них сказали всё верно, а третий — всё неверно. Что же сломалось?
а) оперативная память
+б) процессор
в) жёсткий диск
г) процессор и оперативная память
19. На перекрёстке произошло дорожно-транспортное происшествие, в котором участвовали автобус (А), грузовик (Г), легковой автомобиль (Л) и маршрутное такси (М). Свидетели происшествия дали следующие показания. Первый свидетель считал, что первым на перекрёсток выехал автобус, а маршрутное такси было вторым. Другой свидетель полагал, что последним на перекрёсток выехал легковой автомобиль, а вторым был грузовик. Третий свидетель уверял, что автобус выехал на перекрёсток вторым, а следом за ним — легковой автомобиль. В результате оказалось, что каждый из свидетелей был прав только в одном из своих утверждений. В каком порядке выехали машины на перекрёсток? В вариантах ответов перечислены подряд без пробелов первые буквы названий транспортных средств в порядке их выезда на перекрёсток:
а) АМЛГ
+б) АГЛМ
в) ГЛМА
г) МЛГА
20. Какое логическое выражение соответствует следующей схеме?
в) ¬(А & В)
+г) ¬А & ¬В