1. Почему возникает необходимость введения модели абсолютно твёрдого тела?
Необходимость введения модели абсолютно твёрдого тела возникает для упрощения анализа механических систем. В реальных условиях тела могут деформироваться под воздействием сил, но во многих задачах такой подход усложняет расчёты. Модель абсолютно твёрдого тела предполагает, что расстояние между любыми двумя точками тела остаётся неизменным, что позволяет более легко изучать его движение без учёта деформаций.
2. Какое тело называют абсолютно твёрдым?
Абсолютно твёрдое тело — это идеализированное тело, которое не деформируется ни при каких внешних воздействиях. Расстояния между его точками остаются постоянными, независимо от действия сил. Такое предположение облегчает расчёты и позволяет сосредоточиться только на движении тела.
3. Какие два вида движения полностью определяют произвольное движение абсолютно твёрдого тела?
Произвольное движение абсолютно твёрдого тела можно полностью определить комбинацией двух видов движений: поступательного и вращательного. Эти виды движений позволяют описать любую траекторию и ориентацию твёрдого тела в пространстве.
4. Дайте определение поступательного и вращательного движения абсолютно твёрдого тела. Приведите примеры поступательного, вращательного и произвольного движения тела.
Поступательное движение абсолютно твёрдого тела — это движение, при котором все точки тела движутся по одинаковым траекториям и проходят одинаковые расстояния. Примером может служить движение автомобиля по ровной дороге. Вращательное движение — это движение, при котором все точки тела описывают окружности вокруг одной оси. Примером является вращение колеса. Произвольное движение сочетает поступательное и вращательное, как, например, движение шарика, катящегося по наклонной плоскости.
5. Сформулируйте условие статического равновесия тела для поступательного движения. Приведите примеры, когда тело или конструкция находится в состоянии статического равновесия.
Условие статического равновесия тела для поступательного движения заключается в том, что сумма всех действующих на него сил должна быть равна нулю. Это означает, что тело не должно ускоряться ни в одном направлении. Примером может быть подвешенная на нити люстра, где силы тяжести и натяжения уравновешивают друг друга, или статическая конструкция моста, где все силы, включая вес и опорные реакции, уравновешены, обеспечивая стабильность конструкции.
1. Плакат массой 5 кг подвешен над проезжей частью улицы на двух параллельных стропах, составляющих угол 3° с горизонтом (рис. 146). Найдите силы натяжения в стропах.
Для нахождения сил натяжения в стропах, поддерживающих плакат массой 5 кг, используем закон равновесия сил. Сначала определим силу тяжести, действующую на плакат:
F = m * g = 5 кг * 9.8 м/с² = 49 Н.
Поскольку плакат поддерживается двумя стропами, составляющими угол 3° с горизонтом, каждая из них должна компенсировать половину веса, направленного вертикально вниз.
Обозначим силу натяжения в каждой стропе как T. Поскольку стропы наклонены под углом 3° к горизонту, вертикальная составляющая силы натяжения каждой стропы будет T * sin(3°). В состоянии равновесия сумма вертикальных составляющих натяжений строп уравновешивает силу тяжести, то есть:
2 * T * sin(3°) = 49 Н.
Выражаем T:
T = 49 / (2 * sin(3°)).
Подставив значение sin(3°) примерно равное 0.0523, получаем:
T ≈ 49 / (2 * 0.0523) ≈ 49 / 0.1046 ≈ 468.84 Н.
Ответ: силы натяжения в каждой из строп составляют примерно 469 Н.
2. Цепи, которыми крепится к потолку и стене люстра (рис. 147), выдерживают силу натяжения 1200 Н. Люстра какой предельной массы может быть на них подвешена?
Обозначим:
силу натяжения цепи, которая крепится к потолку, как T₁; силу натяжения цепи, которая крепится к стене, как T₂. Поскольку угол между цепью и потолком составляет 60°, сила натяжения T₁ имеет вертикальную и горизонтальную составляющие.
Определим вертикальную составляющую силы T₁, которая удерживает вес люстры. Эта составляющая равна:
T₁y = T₁ * sin(60°).
Поскольку цепь, прикреплённая к стене, натянута горизонтально, её сила натяжения T₂ будет компенсировать горизонтальную составляющую T₁. Поэтому для равновесия в горизонтальном направлении:
T₂ = T₁ * cos(60°).
Подставим значения: угол 60° имеет sin(60°) ≈ 0.866 и cos(60°) ≈ 0.5. Максимальное значение силы натяжения в цепи T₁ равно 1200 Н.
Тогда вертикальная составляющая T₁y будет:
T₁y = 1200 * 0.866 ≈ 1039.2 Н.
Эта вертикальная составляющая силы T₁ должна уравновешивать вес люстры, который равен:
F = m * g.
Следовательно, максимальная масса люстры m предельна и может быть найдена как:
m = T₁y / g.
Подставляем значения: g ≈ 9.8 м/с²,
m ≈ 1039.2 / 9.8 ≈ 106 кг.
Ответ: предельная масса люстры, которую можно подвесить на этих цепях, составляет примерно 106 кг.
3. К неподвижному вертикальному кольцу радиально прикреплены четыре каната: под углом 30, 90 и 210° к горизонтали. Силы натяжения в канатах равны соответственно 200, 500 и 300 Н. Найдите силу натяжения четвёртого каната. Какой угол с горизонталью он составляет?
Для решения задачи используем равновесие сил, где сумма горизонтальных и вертикальных компонент всех сил должна быть равна нулю.
T1 = 200 Н под углом 30° к горизонтали. T2 = 500 Н под углом 90° к горизонтали (вертикально вверх). T3 = 300 Н под углом 210° к горизонтали. T4 и угол α — искомая сила и угол четвёртого каната. Разложение сил на компоненты Горизонтальные компоненты:
T1 * cos(30°) = 200 * (√3 / 2) = 100√3. T2 * cos(90°) = 500 * 0 = 0 (горизонтальной компоненты нет, так как сила вертикальна). T3 * cos(210°) = 300 * (-√3 / 2) = -150√3. T4 * cos(α) — горизонтальная компонента четвёртой силы. Условие равновесия по горизонтали: 100√3 - 150√3 + T4 * cos(α) = 0.
Упрощаем: -50√3 + T4 * cos(α) = 0, отсюда T4 * cos(α) = 50√3.
Вертикальные компоненты:
T1 * sin(30°) = 200 * 1/2 = 100. T2 * sin(90°) = 500 * 1 = 500. T3 * sin(210°) = 300 * (-1/2) = -150. T4 * sin(α) — вертикальная компонента четвёртой силы. Условие равновесия по вертикали: 100 + 500 - 150 + T4 * sin(α) = 0.
Упрощаем: 450 + T4 * sin(α) = 0, отсюда T4 * sin(α) = -450.
Нахождение T4 и α Получили систему уравнений:
T4 * cos(α) = 50√3, T4 * sin(α) = -450. Находим T4, используя формулу: T4 = √((T4 * cos(α))^2 + (T4 * sin(α))^2).
Подставляем значения: T4 = √((50√3)^2 + (-450)^2).
Считаем: T4 = √(7500 + 202500) = √210000 ≈ 458.26 Н.
Теперь находим угол α: tan(α) = (T4 * sin(α)) / (T4 * cos(α)) = -450 / (50√3).
Упрощаем: tan(α) ≈ -450 / 86.6 ≈ -5.2.
Находим угол α: α ≈ arctan(-5.2) ≈ -79°.
Ответ: Сила натяжения четвёртого каната составляет примерно 458.26 Н, угол с горизонталью — примерно -79°.
4. Чемодан массой 30 кг скатывается с наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом. Коэффициент трения между поверхностью чемодана и плоскостью равен 0,3. С какой минимальной силой следует прижимать чемодан к плоскости, чтобы он скатывался с постоянной скоростью?
Сначала найдём силу тяжести, которая действует на чемодан вдоль наклонной плоскости. Эта составляющая силы тяжести равна F_скл = m * g * sin(30°),
где m = 30 кг, g ≈ 9.8 м/с², и угол наклона плоскости равен 30°. Подставляем значения:
F_скл = 30 * 9.8 * 0.5 = 147 Н.
Теперь найдём силу нормальной реакции опоры (перпендикулярную плоскости) для этого чемодана. Без дополнительного прижимающего усилия она будет равна N = m * g * cos(30°).
Подставляем значения, где cos(30°) ≈ 0.866:
N = 30 * 9.8 * 0.866 ≈ 254 Н.
Сила трения рассчитывается по формуле F_тр = μ * N, где μ — коэффициент трения, равный 0.3. Подставляем значение нормальной силы: F_тр = 0.3 * 254 ≈ 76.2 Н.
Чтобы чемодан скатывался с постоянной скоростью, сила трения должна быть равна силе, которая тянет чемодан вдоль наклонной плоскости (147 Н). Поэтому требуется дополнительное прижимающее усилие F_доп, чтобы увеличить силу трения до 147 Н. Введём новую нормальную силу N_нов = N + F_доп, тогда новая сила трения будет равна F_тр = μ * (N + F_доп). Приравниваем её к 147 Н:
0.3 * (254 + F_доп) = 147.
Решаем уравнение для F_доп:
F_доп = (147 / 0.3) - 254 ≈ 490 - 254 ≈ 236 Н.
Ответ: для того чтобы чемодан скатывался с постоянной скоростью, его нужно прижимать к плоскости с силой примерно 236 Н.
5. Система грузов и невесомых блоков, приведённая на рисунке 148, находится в равновесии. Найдите массу второго груза и силы натяжения нитей.
Дано: Масса первого груза m1 = 2 кг. Ускорение свободного падения g = 9.8 м/с². Решение: Определение T1: Сила натяжения T1, на которой подвешен груз m1, равна его весу: T1 = m1 * g = 2 * 9.8 = 19.6 Н
Нахождение T2: Поскольку блок находится в равновесии, вертикальная составляющая T2 должна уравновешивать T1.
Угол наклона для T2 составляет 40° к горизонтали. Тогда:
T2 * sin(40°) = T1
Подставим T1 = 19.6 Н:
T2 = 19.6 / sin(40°)
Примерно, sin(40°) ≈ 0.6428, тогда:
T2 ≈ 19.6 / 0.6428 ≈ 30.5 Н
Нахождение m2: Поскольку T2 равен весу груза m2, можно записать:
T2 = m2 * g
Подставим T2 = 30.5 Н и g = 9.8 м/с²:
m2 = 30.5 / 9.8 ≈ 3.1 кг
Ответ: Сила натяжения T1 ≈ 19.6 Н Сила натяжения T2 ≈ 30.5 Н Масса второго груза m2 ≈ 3.1 кг