1. В каких колебательных системах возможны вынужденные колебания?
Вынужденные колебания возможны в любой колебательной системе, на которую действует внешняя периодическая сила. Это может быть механическая система (например, маятник, на который действует периодически изменяющаяся сила), электрическая система (колебательный контур, на который подаётся переменное напряжение) или любая другая система, способная колебаться. Главное условие — наличие внешнего периодического воздействия.
2. Возможны ли свободные колебания в системе, находящейся в состоянии безразличного равновесия?
В системе, находящейся в состоянии безразличного равновесия, свободные колебания невозможны. Безразличное равновесие означает, что при любом небольшом смещении из положения равновесия на систему не действует возвращающая сила, стремящаяся вернуть её в исходное положение. Поэтому после выведения из положения равновесия, система будет продолжать двигаться в направлении смещения без возвращения.
3. Возможны ли свободные колебания в системе, имеющей положение устойчивого равновесия?
В системе, имеющей положение устойчивого равновесия, свободные колебания возможны. Устойчивое равновесие означает, что при небольшом смещении из положения равновесия возникает возвращающая сила, стремящаяся вернуть систему в исходное положение. Если при этом силы трения невелики, система будет совершать затухающие колебания.
4. Что такое резонанс? Почему резонансная кривая при наличии трения распола-гается ниже, чем при его отсутствии?
Резонанс — это явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при совпадении (или приближении) частоты внешней периодической силы с собственной частотой колебательной системы.
Резонансная кривая при наличии трения расположена ниже, чем при его отсутствии, потому что трение рассеивает энергию колебательной системы, уменьшая амплитуду колебаний. При резонансе, даже с трением, амплитуда будет больше, чем вне резонанса, но всё же меньше, чем в идеальном случае без трения.
5. Как можно избежать нежелательного резонанса? Как можно использовать энергетические ресурсы резонансных процессов?
Для избежания нежелательного резонанса необходимо:
Изменять собственную частоту системы (например, изменяя массу или жесткость). Изменять частоту внешнего воздействия. Увеличивать силы затухания (трения, сопротивления). Это снизит амплитуду колебаний при резонансе. Использование энергетических ресурсов резонансных процессов: Резонансные процессы используются для увеличения амплитуды колебаний, что может быть полезно в различных приложениях:
Настройка радиоприёмников: Выбирается резонансная частота колебательного контура, чтобы усилить сигнал от нужной радиостанции. Механические резонансы: Используются в некоторых типах двигателей, вибромашинах и других устройствах. Медицинская диагностика: Ультразвуковая диагностика основана на явлении резонанса. Разрушение материалов: При совпадении частоты внешнего воздействия с собственной частотой материала, можно вызвать разрушение (например, разрушение моста от резонанса, вызванного ветром).
1. Шар массой m = 0,1 кг, находящийся на гладком горизонтальном столе, колеб-лется под действием внешней силы, изменяющейся с течением времени по закону F = 0,25cos5t(Н). Найдите зависимость ускорения шара от времени, его максимальное ускорение. Чему равна амплитуда колебаний шара?
Зависимость ускорения от времени: По второму закону Ньютона, F = ma, где F — сила, m — масса, a — ускорение. В данном случае:
0.25cos(5t) Н = 0.1 кг * a(t)
a(t) = (0.25cos(5t) Н) / (0.1 кг) = 2.5cos(5t) м/с²
Таким образом, зависимость ускорения шара от времени описывается уравнением a(t) = 2.5cos(5t) м/с².
Максимальное ускорение: Максимальное значение функции косинуса равно 1, поэтому максимальное ускорение:
amax = 2.5 м/с²
Амплитуда колебаний: Ускорение при гармонических колебаниях связано со смещением (x) соотношением: a = -ω²x, где ω — круговая частота. В данном случае, круговая частота ω = 5 рад/с (из уравнения силы). Из уравнения ускорения:
a(t) = -ω²x(t) = 2.5cos(5t)
x(t) = -a(t)/ω² = -(2.5cos(5t))/(5²) = -0.1cos(5t) м
Амплитуда колебаний A = 0.1 м.
2. Шар массой m =0,1 кг присоединяется к горизонтально расположенной, закре-плённой на другом конце пружине. Амплитуда колебаний шара под действием внешней вынуждающей силы F = 0,25cos 5t (Н) возрастает в 5 раз по сравнению со статическим смещением. Определите жёсткость пружины.
Статическое смещение (x₀): Статическое смещение возникает под действием постоянной силы, равной амплитуде вынуждающей силы (F₀ = 0.25 Н). По закону Гука:
F₀ = k * x₀
x₀ = F₀ / k = 0.25 Н / k
Амплитуда вынужденных колебаний (A): Амплитуда колебаний в 5 раз больше статического смещения:
A = 5 * x₀ = 5 * (0.25 Н / k) = 1.25 Н / k
Резонанс (приближение): В условии задачи говорится, что амплитуда вынужденных колебаний значительно больше статического смещения, что указывает на то, что частота вынуждающей силы (ω = 5 рад/с) близка к собственной частоте колебаний системы (ω₀). Приближенно, в резонансных условиях, амплитуда колебаний определяется:
A ≈ F₀ / |k - mω²|
Подстановка: Подставим выражения для A и x₀ в приближенное выражение для A и выражение для x₀:
1.25 Н / k ≈ 0.25 Н / |k - mω²|
1.25 * |k - mω²| = 0.25
|k - mω²| ≈ 0.2 Н/к
Вместо k/10, получаем выражение:
|k - (0.1 кг) * (5 рад/с)²| = 0.2 Н/к |k - 2.5 Н/к| = 0.2
Решение: Это дает два возможных варианта:
k - 2.5 Н/к = 0.2 Н/к => k = 2.7 Н/к (Неправильное уравнение, ошибка)
2.5 Н/к - k = 0.2 Н/к => 2.3k = 2.5 Н/к => k = 1.09 Н/м
|k - 2.5| = 0.2
k = 2.7 Н/м или k = 2.3 Н/м
3. Ускорение пружинного маятника, совершающего вынужденные колебания по оси X, изменяется со временем по закону ax=-0,8cos4t(м/с2). Определите амплитуду колебаний маятника.
Ускорение пружинного маятника, совершающего вынужденные колебания, описывается уравнением ax = -0.8cos(4t) м/с².
Из уравнения видно, что круговая частота вынуждающей силы равна ω = 4 рад/с. Для нахождения амплитуды вынужденных колебаний нужно использовать формулу, которая связывает амплитуду вынужденных колебаний с амплитудой внешней силы и частотой:
A = F₀ / √((k - mω²)² + (rω)²)
Однако, в данном случае, нам дано ускорение, а не сила. Сначала необходимо найти амплитуду силы, а затем использовать её в формуле.
Мы знаем, что ускорение a = -ω²x, где x - смещение от положения равновесия. В этом случае, ax = -0.8cos(4t) м/с².
Сравнивая с уравнением a = -ω²x, мы видим, что ω²A = 0.8, где ω=4 рад/с. Следовательно, A = 0.8 / ω² = 0.8 / 4² = 0.8 / 16 = 0.05 м = 5 см.
4. На пружинный маятник, имеющий частоту собственных колебаний w0 = 114,6 рад/с, действуют последовательно вынуждающие силы F1 = 0,5cos 1,9t (Н) и F2 = 0,5cos 1,95t (Н) одинаковой амплитуды, но разной частоты. Жёсткость пружины k = 50 Н/м. Чему равна амплитуда вынужденных колебаний маятника, происходящих под действием каждой из этих сил?
Формула для амплитуды вынужденных колебаний:
A = F₀ / |k - mω²|
где:
A - амплитуда колебаний F₀ - амплитуда внешней силы (0.5 Н) k - жесткость пружины (50 Н/м) m - масса грузика (неизвестна, найдем через ω₀) ω - частота вынуждающей силы (1.9 рад/с для F1, 1.95 рад/с для F2) Найдем массу m:
ω₀ = √(k/m) => m = k / ω₀² = 50 Н/м / (114.6 рад/с)² ≈ 0.0038 кг
Теперь рассчитаем амплитуды для каждой силы:
Для F1 (ω = 1.9 рад/с):
A₁ ≈ 0.5 Н / |50 Н/м - (0.0038 кг)*(1.9 рад/с)²| ≈ 0.5 Н / 49.986 Н/м ≈ 0.01 м (1 см)
Для F2 (ω = 1.95 рад/с):
A₂ ≈ 0.5 Н / |50 Н/м - (0.0038 кг)*(1.95 рад/с)²| ≈ 0.5 Н / 49.9855 Н/м ≈ 0.01 м (1 см)
5. К горизонтально расположенному пружинному маятнику приложена постоянная сила F0, вызывающая его статическое смещение от положения равновесия. После прекращения действия этой силы на маятник действует периодическая внешняя сила с амплитудой F0. На сколько процентов отличается частота вынуждающей силы от частоты собственных колебаний маятника, если амплитуда вынужденных колебаний больше статического смещения в 10 раз?
Статическое смещение: x₀ = F₀/k
Амплитуда вынужденных колебаний: A = 10x₀ = 10F₀/k
Формула амплитуды: Мы используем формулу амплитуды вынужденных колебаний, предполагая слабым затухание:
A ≈ F₀ / |k - mω²| = 10F₀/k
Это упрощенное соотношение справедливо только при условии что |k - mω²| значительно меньше k.
Частоты: Из последнего уравнения получаем: |k - mω²| = k/10. Подставляя m = k/ω₀²:
|k - kω²/ω₀²| = k/10
|1 - ω²/ω₀²| = 1/10
ω²/ω₀² = 1 ± 1/10 = 1.1 или 0.9
ω/ω₀ = √1.1 ≈ 1.0488 или ω/ω₀ = √0.9 ≈ 0.9487
Процентная разница:
В первом случае (ω/ω₀ ≈ 1.0488), процентная разница составляет приблизительно 4.88%. Во втором случае (ω/ω₀ ≈ 0.9487), процентная разница составляет приблизительно 5.13%. Таким образом, частота вынуждающей силы отличается от собственной частоты примерно на 5%.