1J Сформулируйте закон всемирного тяготения.
Закон всемирного тяготения формулируется так: все тела во Вселенной притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между их центрами масс. Этот закон был открыт Исааком Ньютоном.
2 Чему равна гравитационная постоянная?
Гравитационная постоянная равна 6,674 * 10^-11 Н·м²/кг².
3 От чего зависит сила гравитационного взаимодействия двух однородных шарообразных тел?
Сила гравитационного взаимодействия двух однородных шарообразных тел зависит от их масс и расстояния между их центрами. Чем больше массы тел и меньше расстояние между ними, тем больше сила притяжения.
4 Действием каких сил обусловлено движение планет Солнечной системы вокруг Солнца?
Движение планет Солнечной системы вокруг Солнца обусловлено действием гравитационной силы, возникающей между планетами и Солнцем.
5. Что представляют собой траектории планет Солнечной системы в системе отсчёта, связанной с Солнцем и удалёнными звёздами?
В системе отсчёта, связанной с Солнцем и удалёнными звёздами, траектории планет представляют собой эллипсы, причём Солнце находится в одном из фокусов этих эллипсов. Это соответствует законам Кеплера.
6. Что называют искусственным спутником Земли?
Искусственным спутником Земли называют любое тело, созданное человеком, выведенное на орбиту вокруг Земли с помощью ракеты-носителя.
7. Чем определяется модуль скорости спутника вокруг Земли?
Модуль скорости спутника определяется орбитой, на круговой орбите рассчитывается как v = √(GM/R), где G — гравитационная постоянная, M — масса Земли, R — радиус орбиты.
8. Что называют первой космической скоростью?
Первая космическая скорость — минимальная скорость, необходимая для вывода тела на орбиту вокруг Земли, составляет примерно 7,9 км/с.
1 Определите массу Земли, используя значения гравитационной постоянной и модуля ускорения свободного падения вблизи поверхности Земли.
Массу Земли можно определить, используя закон всемирного тяготения и формулу для ускорения свободного падения:
g = GM / R²,
где g — ускорение свободного падения (примерно 9,8 м/с²), G — гравитационная постоянная (6,674 × 10⁻¹¹ Н·м²/кг²), M — масса Земли, R — радиус Земли (приблизительно 6,371 × 10⁶ м).
Выражаем массу Земли из формулы: M = gR² / G.
Подставляем значения: M = (9,8 × (6,371 × 10⁶)²) / (6,674 × 10⁻¹¹).
Сначала вычисляем R²: R² = (6,371 × 10⁶)² = 4,058 × 10¹³ м².
Затем считаем числитель: gR² = 9,8 × 4,058 × 10¹³ = 3,97684 × 10¹⁴.
Теперь делим на G: M = 3,97684 × 10¹⁴ / 6,674 × 10⁻¹¹ ≈ 5,97 × 10²⁴ кг.
Ответ: масса Земли приблизительно равна 5,97 × 10²⁴ кг.
2 Оцените модуль силы гравитационного взаимодействия двух свинцовых шаров в опыте Кавендиша по измерению гравитационной постоянной. Считайте, что шары однородные, масса каждого из шаров равна 1 кг, а расстояние между их центрами равно 20 см.
Для определения модуля силы гравитационного взаимодействия двух свинцовых шаров в опыте Кавендиша используется формула из закона всемирного тяготения:
F = G * (m₁ * m₂) / r²,
где F — сила гравитационного взаимодействия, G — гравитационная постоянная (6,674 × 10⁻¹¹ Н·м²/кг²), m₁ и m₂ — массы шаров (по 1 кг каждый), r — расстояние между центрами шаров (0,2 м).
Подставляем значения: F = (6,674 × 10⁻¹¹) × (1 × 1) / (0,2)².
Сначала вычисляем квадрат расстояния: r² = (0,2)² = 0,04 м².
Теперь вычисляем числитель: G × m₁ × m₂ = 6,674 × 10⁻¹¹ × 1 × 1 = 6,674 × 10⁻¹¹ Н·м².
Делим на r²: F = (6,674 × 10⁻¹¹) / 0,04 = 1,6685 × 10⁻⁹ Н.
Ответ: модуль силы гравитационного взаимодействия равен приблизительно 1,67 × 10⁻⁹ Н.
3 Определите модуль силы, с которой Солнце притягивает Землю. Считайте, что расстояние от Солнца до Земли равно 1.5 * 10^8 км.
Для определения модуля силы, с которой Солнце притягивает Землю, используем закон всемирного тяготения:
F = G * (M₁ * M₂) / r²,
где F — сила притяжения, G — гравитационная постоянная (6,674 × 10⁻¹¹ Н·м²/кг²), M₁ — масса Солнца (1,989 × 10³⁰ кг), M₂ — масса Земли (5,972 × 10²⁴ кг), r — расстояние между Солнцем и Землёй (1,5 × 10⁸ км = 1,5 × 10¹¹ м).
Подставляем значения: F = (6,674 × 10⁻¹¹) × (1,989 × 10³⁰) × (5,972 × 10²⁴) / (1,5 × 10¹¹)².
Сначала вычисляем квадрат расстояния: r² = (1,5 × 10¹¹)² = 2,25 × 10²² м².
Затем числитель: G × M₁ × M₂ = (6,674 × 10⁻¹¹) × (1,989 × 10³⁰) × (5,972 × 10²⁴) ≈ 7,927 × 10⁴³ Н·м².
Теперь делим: F = (7,927 × 10⁴³) / (2,25 × 10²²) ≈ 3,52 × 10²² Н.
Ответ: модуль силы, с которой Солнце притягивает Землю, равен приблизительно 3,52 × 10²² Н.
4 Определите ускорение свободного падения на поверхности Луны, считая её однородным шаром, радиус которого в 3.7 раза меньше радиуса Земли, а масса в 81 раз меньше массы Земли. Оцените, какую минимальную по модулю скорость надо сообщить телу на поверхности Луны, чтобы оно стало спутником Луны, движущимся по круговой орбите вблизи её поверхности.
Для определения ускорения свободного падения на поверхности Луны и минимальной скорости для спутника используем формулы гравитации.
Ускорение свободного падения на поверхности небесного тела определяется как g = G * M / R², где G — гравитационная постоянная (6.674 * 10⁻¹¹ Н·м²/кг²), M — масса Луны, R — радиус Луны.
Масса Луны равна Mл = Mз / 81, где Mз = 5.972 * 10²⁴ кг — масса Земли. Значит, Mл = 5.972 * 10²⁴ / 81 ≈ 7.38 * 10²² кг.
Радиус Луны равен Rл = Rз / 3.7, где Rз = 6.371 * 10⁶ м — радиус Земли. Значит, Rл ≈ 6.371 * 10⁶ / 3.7 ≈ 1.72 * 10⁶ м.
Теперь подставляем значения в формулу ускорения свободного падения: gл = (6.674 * 10⁻¹¹ * 7.38 * 10²²) / (1.72 * 10⁶)².
В знаменателе (1.72 * 10⁶)² = 2.96 * 10¹². В числителе G * Mл = 4.93 * 10¹². Делим: gл = 4.93 * 10¹² / 2.96 * 10¹² ≈ 1.67 м/с².
Ускорение свободного падения на Луне составляет 1.67 м/с².
Первая космическая скорость находится по формуле v = √(G * M / R). Подставляем данные: vл = √((6.674 * 10⁻¹¹ * 7.38 * 10²²) / 1.72 * 10⁶).
Числитель равен 4.93 * 10¹², делим его на Rл ≈ 1.72 * 10⁶: 4.93 * 10¹² / 1.72 * 10⁶ ≈ 2.87 * 10⁶.
Берем квадратный корень: vл ≈ √(2.87 * 10⁶) ≈ 1694 м/с.
Ответ: ускорение свободного падения на Луне равно 1.67 м/с², а минимальная скорость для спутника — 1694 м/с.
5 Определите период обращения и модуль скорости движения искусственного спутника Земли, радиус круговой орбиты которого равен десяти радиусам Земли.
Радиус орбиты спутника: R = 10 * Rз, где Rз ≈ 6.371 * 10⁶ м. R = 10 * 6.371 * 10⁶ = 6.371 * 10⁷ м.
Модуль скорости на круговой орбите рассчитывается по формуле: v = √(G * M / R), где: G = 6.674 * 10⁻¹¹ Н·м²/кг² — гравитационная постоянная, M ≈ 5.972 * 10²⁴ кг — масса Земли.
Подставляем данные: v = √((6.674 * 10⁻¹¹ * 5.972 * 10²⁴) / 6.371 * 10⁷).
Числитель: G * M = 6.674 * 10⁻¹¹ * 5.972 * 10²⁴ ≈ 3.986 * 10¹⁴.
Делим: 3.986 * 10¹⁴ / 6.371 * 10⁷ ≈ 6.255 * 10⁶.
Берем квадратный корень: v ≈ √(6.255 * 10⁶) ≈ 2501 м/с.
Период обращения определяется по формуле: T = 2π * R / v.
Подставляем значения: T = 2π * 6.371 * 10⁷ / 2501.
Числитель: 2π * 6.371 * 10⁷ ≈ 4.001 * 10⁸.
Делим: 4.001 * 10⁸ / 2501 ≈ 1.6 * 10⁵ секунд.
Переводим в часы: T ≈ 1.6 * 10⁵ / 3600 ≈ 44.4 часа.
Ответ: модуль скорости спутника равен примерно 2501 м/с, а период обращения — около 44.4 часа.