B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. прибавь 4, 2. вычти 3. Первая из них увеличивает число на э кране на 4, вторая — уменьшает его на 3 (отрицательные числа допускаются). Программа для Калькулятора — это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 1 с помощью программы, которая содержит ровно 7 команд? Пояснение. Операция вычитания соответствует слож ению с отрицательным числом. Для слож ения справедлив переместительный (коммутативный) закон, значит, порядок команд в программе не имеет значения. Каждой программе соответствует одно число, поэтому посчитав количество программ (с точностью до перестановки), найдём количество различных чисел. Если в программе n команд 1, тогда в ней будет 7-n команд 2. n изменяется от 0 до 7. Всего 8 программ, следовательно, 8 чисел. Ответ: 8. О т в е т : 8 B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. прибавь 1 2. прибавь 2. Первая из них увеличивает число на э кране на 1, вторая — на 2. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит не более 4 команд? Пояснение. *Следующее рассуждение удобно записывать в виде дерева. С помощью одной команды из числа 2 можно получить 2 различных числа: 2 + 1 = 3, 2 + 2 = 4. С помощью двух команд получаются числа: 3 + 1 = 4, 3 + 2 = 5, 4 + 1 = 5, 4 + 2 = 6. Число 4 уж е было, поэтому его не учитываем, а число 5 учитываем один раз, т.е. получили ещё 2 числа. С помощью трёх команд получаются числа: 5 + 1 = 6, 5 + 2 = 7, 6 + 1 = 7, 6 + 2 = 8, т. е. ещё 2 различных числа. По аналогии после чётырёх команд получится ещё два числа. Суммируем количество получившихся чисел и учтём, что количество команд не более 4, а значит, если программа не содержит ни одной команды, то мы просто получим число 2. Всего различных чисел: 2 * 4 + 1 = 9. Ответ: 9. О т в е т : 9 B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. прибавь 3, 2. вычти 2. Первая из них увеличивает число на э кране на 3, вторая – уменьшает его на 2. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на э кране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 3 с помощью программы, которая содержит ровно 25 команд? Пояснение. Операция вычитания соответствует слож ению с отрицательным числом. Для слож ения справедлив переместительный (коммутативный) закон, значит, порядок команд в программе не имеет значения. Результат программы будет определяться равенством: , где n — количество команд 1. Найдём, сколько из них неотрицательные. Для этого решим неравенство для целых n: откуда следует, что n принимает значения от 10 до 25, т. е. 16 значений. Ответ: 16. О т в е т : 16 B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. прибавь 2 2. умнож ь на 3. Первая из них увеличивает число на э кране на 2, вторая — утраивает его. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит не более 4 команд? Пояснение. *Следующее рассуждение удобно записывать в виде дерева. С помощью одной команды из числа 2 можно получить 2 различных числа: 2 + 2 = 4 2 * 3 = 6. С помощью двух команд можно получить по два числа из 4 и 6: 4 + 2 = 6 . 4 * 3 = 12 6 + 2 = 8 6 * 3 = 18 Число 6 уж е есть, поэтому и все числа, которые могут из него получиться нам не интересны, т. к. они все будут повторять уж е имеющиеся. Т. е. мы получили 3 числа. С помощью трёх команд получаются следующие числа. 12 + 2 = 14 12 * 3 = 36 8 + 2 = 10 8 * 3 = 24 18 + 2 = 20 18 * 3 = 54 С помощью четырёх команд из 6 чисел представленных выше получится ещё 12 чисел. Но заметим, что 10 + 2 = 12, а это число у нас уж е имеется, значит, осталось 11 чисел. Суммируем количество получившихся чисел и учтём, что количество команд не более 4, а значит, если программа не содержит ни одной команды, то мы просто получим одно число 2. Всего различных чисел: 2 + 3 + 6 + 11 + 1 = 23. Ответ: 23. О т в е т : 23 B13 У исполнителя Арифметик две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 1, 2. прибавь 3. Первая из них увеличивает на 1 число на э кране, вторая увеличивает это число на 3. Программа для Арифметика — это последовательность команд. Сколько существует программ, которые число 2 преобразуют в число 15? Пояснение. Для слож ения справедлив переместительный (коммутативный) закон, значит, порядок команд в программе не имеет значения для результата. Обе команды увеличивают исходное число, поэтому количество команд не мож ет превосходить 15 − 2 = 13. При этом минимальное количество команд — 5 (так как (15−2)/3 = 4 с остатком 1). При этом заметим, что 15 — нечетное, а 2 — четное. А так как обе команды увеличивают исходное число на нечетное число, то количество команд должно быть нечетным. Иначе говоря, команд мож ет быть 5, 7, 9, 11 или 13. Так как, как было сказано выше, порядок команд не имеет значения, каждому числу команд соответствует один набор команд, которые можно расположить в любом порядке. 5 командам соответствует набор 22221 (здесь получается 5 возможных вариантов располож ения), 7 командам - набор 2221111 (здесь получается 35 возможных вариантов располож ения), 9 командам - 22111111 (здесь получается 36 возможных вариантов располож ения), 11 командам - 21111111111 (здесь получается 11 возможных вариантов располож ения), 13 командам - 11111111111111 (здесь только 1 вариант располож ения). Всего получается 88 программ. Ответ: 88. О т в е т : 88 B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. прибавь 5, 2. вычти 3. Первая из них увеличивает число на э кране на 5, вторая – уменьшает его на 3. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на э кране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 4 с помощью программы, которая содержит ровно 30 команд? Пояснение. Операция вычитания соответствует слож ению с отрицательным числом. Для слож ения справедлив переместительный (коммутативный) закон, значит, порядок команд в программе не имеет значения. Результат программы будет определяться равенством: , где n — количество команд 1. Найдём, сколько из них неотрицательные. Для этого решим неравенство для целых n: откуда следует, что n принимает значения от 11 до 30, т. е. 20 значений. Ответ: 20. О т в е т : 20 B13 У исполнителя Множик есть две команды: 1. умнож ь на 4, 2. подели на 2. Первая из них увеличивает число на э кране в 4 раза, вторая – уменьшает его в 2 раза. Программа для Множика – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 1024 с помощью программы, которая содержит ровно 10 команд? Пояснение. От перестановки множителей произведение не меняется, каждой программе соответствует одно число, поэтому посчитав количество программ (с точностью до перестановки), найдём количество различных чисел. Если в программе n команд 1, тогда в ней будет 10 - n команд 2, n изменяется от 0 до 10. Всего 11 программ, следовательно, 11 чисел. Ответ: 11. О т в е т : 11 B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. умнож ь на 15, 2. подели на 2. Первая из них увеличивает число на э кране в 15 раз, вторая – уменьшает его в 2 раза. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 4096 с помощью программы, которая содержит ровно 12 команд? Пояснение. От перестановки множителей произведение не меняется, каждой программе соответствует одно число, поэтому посчитав количество программ (с точностью до перестановки), найдём количество различных чисел. Если в программе n команд 1, тогда в ней будет 12 - n команд 2, n изменяется от 0 до 12. Всего 13 программ, следовательно, 13 чисел. Ответ: 13. О т в е т : 13 B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. умнож ь на 2 2. умнож ь на 3. Первая из них умножает число на э кране на 2, вторая — утраивает его. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит ровно 3 команды? Пояснение. *Следующее рассуждение удобно записывать в виде дерева. С помощью одной команды из числа 2 можно получить 2 различных числа: 2 * 2 = 4 2 * 3 = 6. С помощью двух команд можно получить по два числа из 4 и 6: 4 * 2 = 8 4 * 3 = 12 6 * 2 = 12 6 * 3 = 18 Видим, что два результата совпадают, поэтому получилось 3 числа, а не 4. С помощью трёх команд получаются следующие числа. 12 * 2 = 24 12 * 3 = 36 8 * 2 = 16 8 * 3 = 24 18 * 2 = 36 18 * 3 = 54 Числа 36 и 24 встречаются дважды, поэтому всего получаем 4 различных числа. Ответ: 4. О т в е т : 4 B13 У исполнителя Удвоитель-Утроитель три команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 1 2. умножь на 2 3. умножь на 3. Первая из них увеличивает на 1 число на э кране, вторая увеличивает это число в 2 раза, третья - в 3 раза. Программа для Удвоителя-Утроителя — это последовательность команд. Сколько существует программ, которые число 1 преобразуют в число 14? Пояснение. Обозначим R(n) — количество программ, которые преобразуют число 1 в число n. Верны следующие соотношения: 1. Если n не делится на 2 или на 3, то тогда R(n) = R(n−1), так как существует единственный способ получения n из n−1 — прибавлением единиц . 2. Пусть n делится на 2 и на 3. Тогда R(n) = R(n / 2) + R(n / 3) + R(n − 1). Достаточно вычислить все значения R(n). Имеем: R(2) = 2 (можно умножить единицу на 2 или прибавить 1), R(3) = 3 (можно умножить единицу на 3 или прибавить 1 к двойке, которую, в свою очередь, можно получить двумя способами(см. выше)), R(4) = R(2) + R(3) = 5, R(5) = R(4) = 5, R(6) = R(2) + R(3) + R(5) = 10, R(7) = R(6) = 10, R(8) = R(4) + R(7) = 5 + 10 = 15, R(9) = R(3) + R(8) = 3 + 15 = 18, R(10) = R(5) + R(9) = 5 + 18 = 23, R(11) = R(10) = 23, R(12) = R(11) + R(4) + R(6) = 23 + 5 + 10 = 38, R(13) = R(12) = 38, R(14) = R(13) + R(7) = 38 + 10 = 48. О т в е т : 48 B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. умнож ь на 2 2. умнож ь на 3. Первая из них умножает число на э кране на 2, вторая — утраивает его. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит не более 3 команд? Пояснение. *Следующее рассуждение удобно записывать в виде дерева. С помощью одной команды из числа 2 можно получить 2 различных числа: 2 * 2 = 4 2 * 3 = 6. С помощью двух команд можно получить по два числа из 4 и 6: 4 * 2 = 8 4 * 3 = 12 6 * 2 = 12 6 * 3 = 18 Видим, что два результата совпадают, поэтому получилось 3 числа, а не 4. С помощью трёх команд получаются следующие числа. 12 * 2 = 24 12 * 3 = 36 8 * 2 = 16 8 * 3 = 24 18 * 2 = 36 18 * 3 = 54 Числа 36 и 24 встречаются дважды, поэтому всего получаем 4 различных числа. Суммируем количество получившихся чисел и учтём, что количество команд не более 3, а значит, если программа не содержит ни одной команды, то мы просто получим число 2. Всего различных чисел: 2 + 3 + 4 + 1 = 10. Ответ: 10. О т в е т : 10 B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. прибавь 3, 2. вычти 4. Первая из них увеличивает число на э кране на 3, вторая – уменьшает его на 4. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на э кране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 5 с помощью программы, которая содержит ровно 15 команд? Пояснение. Операция вычитания соответствует слож ению с отрицательным числом. Для слож ения справедлив переместительный (коммутативный) закон, значит, порядок команд в программе не имеет значения. Результат программы будет определяться равенством: , где n — количество команд 1. Найдём, сколько из них неотрицательные. Для этого решим неравенство для целых n: откуда следует, что n принимает значения от 8 до 15, т. е. 8 значений. Ответ: 8. О т в е т : 8 B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. прибавь 2 2. умнож ь на 3. Первая из них увеличивает число на э кране на 2, вторая — утраивает его. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит ровно 3 команды? Пояснение. *Следующее рассуждение удобно записывать в виде дерева. С помощью одной команды из числа 2 можно получить 2 различных числа: 2 + 2 = 4, 2 * 3 = 6. С помощью двух команд можно получить по два числа из 4 и 6: 4 + 2 = 6, 4 * 3 = 12, 6 + 2 = 8, 6 * 3 = 18. С помощью трёх команд получаются следующие числа. 12 + 2 = 14, 12 * 3 = 36, 8 + 2 = 10, 8 * 3 = 24, 18 + 2 = 20, 18 * 3 = 54, Число 6 даст числа 8 и 18. Итого: 8 чисел. Ответ: 8. О т в е т : 8 B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. прибавь 1. 2. умнож ь на 2. Первая из них увеличивает число на э кране на 1, вторая – увеличивает его в 2 раза. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит ровно 4 команды? Пояснение. *Следующее рассуждение удобно записывать в виде дерева. С помощью одной команды из числа 2 можно получить два различных числа: 2 + 1 = 3, 2 * 2 = 4. С помощью двух команд можно получить четыре числа: 3 + 1 = 4, 3 * 2 = 6, 4 + 1 = 5, 4 * 2 = 8. С помощью трёх команд получаются следующие восемь различных чисел: 4 + 1 = 5, 4 * 2 = 8, 5 + 1 = 6, 5 * 2 = 10, 8 + 1 = 9, 8 * 2 = 16, 6 + 1 = 7, 6 * 2 = 12. С помощью четырёх команд из 8 чисел, получившихся выше, получится 16 чисел. Но заметим, что 5 * 2 = 10 и 9 + 1 = 10, поэтому различных из них будет 15 чисел. Ответ: 15. О т в е т : 15 B13 У исполнителя Утроитель две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 2, 2. умножь на 3. Первая из них увеличивает на 2 число на э кране, вторая утраивает его. Программа для Утроителя - это последовательность команд. Сколько существует программ, которые число 1 преобразуют в число 55? Пояснение. Обозначим R(n) — количество программ, которые преобразуют число 1 в число n. Верны следующие соотношения: 1. Если n не делится на 3, то тогда R(n) = R(n−2), так как существует единственный способ получения n из n−2 — прибавлением двойки. 2. Пусть n делится на 3. Тогда R(n) = R(n / 3) + R(n − 2). Достаточно вычислить все значения R(n). Заметим, что R от четного числа всегда равно нулю. R от числа, которое после вычитания 1 не кратно 2, тож е равно нулю. R(2) = 0, R(3) = 2 (можно умножить единицу на 3 или прибавить 2 к единице), R(4) = R(2) = 0, R(5) = R(3) = 2, R(6) = R(4) + R(2) = 0, R(7) = R(5) = 2, R(8) = R(6) = 0, R(9) = R(7) + R(3) = 2 + 2 = 4, ... R(12) = R(10) + R(4) = 0 + 0 = 0, ... R(15) = R(13) + R(5) = 4 + 2 = 6, ... R(18) = R(16) + R(6) = 0 + 0 = 0, ... R(21) = R(19) + R(7) = 6 + 2 = 8, ... R(24) = R(22) + R(8) = 0 + 0 = 0, ... R(27) = R(25) + R(9) = 8 + 4 = 12, ... R(30) = R(28) + R(10) = 0 + 0 = 0, ... R(33) = R(31) + R(11) = 12 + 4 = 16, ... R(36) = R(34) + R(12) = 0 + 0 = 0, ... R(39) = R(37) + R(13) = 16 + 4 = 20, ... R(42) = R(40) + R(14) = 0 + 0 = 0, ... R(45) = R(43) + R(15) = 20 + 6 = 26, ... R(48) = R(46) + R(16) = 0 + 0 = 0, ... R(51) = R(49) + R(17) = 26 + 6 = 32, ... R(54) = R(52) + R(18) = 0 + 0 = 0, R(55) = R(53) = 32. О т в е т : 32 B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. прибавь 2 2. прибавь 3. Первая из них увеличивает число на э кране на 2, вторая – на 3. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит ровно 10 команд? Пояснение. Для слож ения справедлив переместительный (коммутативный) закон, значит, порядок команд в программе не имеет значения. Каждой программе соответствует одно число, поэтому посчитав количество программ (с точностью до перестановки), найдём количество различных чисел. Если в программе n команд 1, тогда в ней будет 10-n команд 2. n изменяется от 0 до 10. Всего 11 программ, следоваетльно, 11 чисел. Ответ: 11. О т в е т : 11 B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. умнож ь на 6, 2. подели на 2. Первая из них увеличивает число на э кране в 6 раз, вторая – уменьшает его в 2 раза. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 512 с помощью программы, которая содержит ровно 6 команд? Пояснение. От перестановки множителей произведение не меняется, каждой программе соответствует одно число, поэтому посчитав количество программ (с точностью до перестановки), найдём количество различных чисел. Если в программе n команд 1, тогда в ней будет 6 - n команд 2, n изменяется от 0 до 6. Всего 7 программ, следовательно, 7 чисел. Ответ: 7. О т в е т : 7 B13 У исполнителя Накопитель две команды: прибавь 5, прибавь 10. Первая из них увеличивает число на э кране на 5, вторая – увеличивает его на 10. Программа для Накопителя – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 1 с помощью программы, которая содержит ровно 7 команд? Пояснение. Число команд 7, а от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Тогда пусть n - количество команд"1", следовательно конечное число: 1 + 5 * n + (7 - n) * 10 = 1 + 70 + 5n - 10n = 71 - 5n, а n принимает значение от 0 до 7, т. е. 8 значений. Правильный ответ: 8. О т в е т : 8 B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. прибавь 2 2. прибавь 3. Первая из них увеличивает число на э кране на 2, вторая — на 3. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит ровно 10 команд? Пояснение. Для слож ения справедлив переместительный (коммутативный) закон, значит, порядок команд в программе не имеет значения. Каждой программе соответствует одно число, поэтому посчитав количество возможных программ (с точностью до перестановки), найдём количество различных чисел. Если в программе n команд 1, тогда в ней будет 10-n команд 2. n изменяется от 0 до 10. Всего 11 программ, следовательно, 11 чисел. Ответ: 11. О т в е т : 11 B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. прибавь 1 2. прибавь 4. Первая из них увеличивает число на э кране на 1, вторая — на 4. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит не более 3 команд? Пояснение. Для слож ения справедлив переместительный (коммутативный) закон, значит, порядок команд в программе не имеет значения. Каждой программе соответствует одно число, поэтому посчитав количество возможных программ (с точностью до перестановки), найдём количество различных чисел. При этом не будет повторяющихся чисел, поскольку 4 = 1 + 1 + 1 + 1, т. е. команда 2 равносильна четырём командам 1, но у нас не более 3 команд. Если в программе n команд 1, тогда оставшиеся будут командами 2. После одной команды n изменяется от 0 до 1. Всего 2 программы, следоваетльно, 2 числа. После двух команд n изменяется от 0 до 2. Всего 3 программы, следовательно, 3 числа. Аналогичным образом рассуждаем для трёх команд: получим 4 числа. Суммируем количество получившихся чисел и учтём, что количество команд не более 3, а значит, если программа не содержит ни одной команды, то мы просто получим число 2. Всего различных чисел: 2 + 3 + 4 + 1 = 10. Ответ:10. О т в е т : 10 B13 У исполнителя Множитель2 две команды: 1.умнож ь на 5 2.умнож ь на 3 Первая из них увеличивает число на э кране в 5 раз, вторая – увеличивает его в 3 раза. Программа для исполнителя Множитель2 – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 81 с помощью программы, которая содержит ровно 4 команды? Пояснение. Всего 4 команды. От перестановки мест множителей произведение не меняется. Пусть n - количество команды "1", тогда конечное число: 81 * 5n * 34 - n = 81 * 34 * (5 / 3)n = 812 * (5 / 3)n , где n меняется от 0 до 4, следовательно, разных значений будет 5. Ответ: 5. О т в е т : 5 B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. прибавь 2, 2. вычти 4. Первая из них увеличивает число на э кране на 2, вторая – уменьшает его на 4. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на э кране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 5 с помощью программы, которая содержит ровно 20 команд? Пояснение. Операция вычитания соответствует слож ению с отрицательным числом. Для слож ения справедлив переместительный (коммутативный) закон, значит, порядок команд в программе не имеет значения. Результат программы будет определяться равенством: , где n — количество команд 1. Найдём, сколько из них неотрицательные. Для этого решим неравенство для целых n: откуда следует, что n принимает значения от 13 до 20, т. е. 8 значений. Однако, при n = 13, мы получаем отрицательное число. Ответ: 7. О т в е т : 7 B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. прибавь 2. 2. умнож ь на 3. Первая из них увеличивает число на э кране на 2, вторая – увеличивает его в 3 раза. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит ровно 3 команды? Пояснение. *Следующее рассуждение удобно записывать в виде дерева. С помощью одной команды из числа 2 можно получить 2 различных числа: 2 + 2 = 4, 2 * 3 = 6. С помощью двух команд можно получить по два числа из 4 и 6: 4 + 2 = 6, 4 * 3 = 12, 6 + 2 = 8, 6 * 3 = 18. С помощью трёх команд получаются следующие числа. 12 + 2 = 14, 12 * 3 = 36, 8 + 2 = 10, 8 * 3 = 24, 18 + 2 = 20, 18 * 3 = 54, Число 6 даст числа 8 и 18. Итого: 8 чисел. Ответ: 8. О т в е т : 8 B13 У исполнителя Множитель две команды: 1. умнож ь на 5 2. раздели на 3 Первая из них увеличивает число на э кране в 5 раз, вторая – уменьшает его в 3 раза. Программа для Множителя – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 81 с помощью программы, которая содержит ровно 4 команды? Пояснение. Число команд 4, а от перестановки мест множителей произведение не меняется: пусть n - количество команд"1", следовательно конечное число: 5 n*(1/3)(4-n) = 5n * 3n * (1/3)4 = (1/81)* 15n , а n принимает значение от 0 до 4, т. е. 5 значений. Правильный ответ: 5. О т в е т : 5 B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. прибавь 4, 2. вычти 2. Первая из них увеличивает число на э кране на 4, вторая – уменьшает его на 2. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на э кране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 8 с помощью программы, которая содержит ровно 16 команд? Пояснение. Операция вычитания соответствует слож ению с отрицательным числом. Для слож ения справедлив переместительный (коммутативный) закон, значит, порядок команд в программе не имеет значения. Результат программы будет определяться равенством: , где n — количество команд 1. Найдём, сколько из них неотрицательные. Для этого решим неравенство для целых n: откуда следует, что n принимает значения от 4 до 16, т. е. 13 значений. Ответ: 13. О т в е т : 13 B13 У исполнителя Множик есть две команды: 1. умнож ь на 8, 2. подели на 2. Первая из них увеличивает число на э кране в 8 раз, вторая – уменьшает его в 2 раза. Программа для Множика – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 512 с помощью программы, которая содержит ровно 8 команд? Пояснение. От перестановок множителей произведение не меняется, поэтому, подсчитав количество возможных программ, найдём количество разных чисел. Запишем все программы в виде набора команд, с точностью до перестановки: 1. 1 1 1 1 1 1 1 1, 2. 2 1 1 1 1 1 1 1, 3. 2 2 1 1 1 1 1 1, 4. 2 2 2 1 1 1 1 1, 5. 2 2 2 2 1 1 1 1, 6. 2 2 2 2 2 1 1 1, 7. 2 2 2 2 2 2 1 1, 8. 2 2 2 2 2 2 2 1, 9. 2 2 2 2 2 2 2 2. Всего получили 9 различных программ, дающие 9 различных чисел. Ответ: 9. О т в е т : 9 B13 У исполнителя Кузнечик две команды: 1. прибавь 7 2. вычти 5 Первая из них увеличивает число на э кране на 7, вторая – уменьшает его на 5 (отрицательные числа допускаются). Программа для Кузнечика – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 1 с помощью программы, которая содержит ровно 7 команд? Пояснение. От перестановки мест слагаемых сумма не меняется, так что при количестве команд "1", равному n, сумма получается следующая: n * (7) + (-5) * (7 - n) = 7n - 35 + 5n = 12n - 35, а так как n принимает значения от 0 до 7, то всего возможных чисел будет 8. Правильный ответ: 8. О т в е т : 8 B13 У исполнителя Плюсик две команды: 1.прибавь 6, 2.вычти 3. Первая из них увеличивает число на э кране на 6, вторая – уменьшает его на 3. Плюсик умеет производить действия только с положительными числами. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на э кране. Программа для Плюсика – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 1 с помощью программы, которая содержит ровно 10 команд? Пояснение. Всего команд - 10. От перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Пусть n - количество команд "1", тогда конечное число: 1 + 6 * n - 3 * (10 - n) = 1 + 6n - 30 + 3n = 9n - 29. Решим следующее неравнство в целых числах 9n - 29 ≥ 0 9n ≥ 29 n ≥ откуда следует,что n меняется от 4 до 10, поэтому разных значений будет 7. Правильный ответ: 7. О т в е т : 7 B13 У исполнителя Удвоитель две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 1, 2. умножь на 2. Первая из них увеличивает на 1 число на э кране, вторая удваивает его. Программа для Удвоителя – это последовательность команд. Сколько есть программ, которые число 3 преобразуют в число 23? Пояснение. Построим полное дерево решений и подсчитаем количество вариантов. ←, →, ↑, ↓ Рассмотрим сначала ветвь, где первая команда умнож ение: 1) 3 → 6 → 12 → 13 → ... → 23 2) 6 → 7 → 14 → ... → 23 3) 7 → 8 → 16 → ... → 23 4) 8 → 9 → 18 → ... → 23 5) 9 → 10 → 20 → ... → 23 6) 10 → 11 → 22 → ...23 7) 11 → 12 → ... → 23 Теперь рассмотрим ветвь, где первая команда слож ение, вторая умнож ение: 8) 3 → 4 → 8 → 16 → ... → 23 9) 8 → 9 → 18 → ... → 23 10) 9 → 10 → 20 → ... → 23 11) 10 → 11 → 22 → ...23 12) 11 → 12 → ... → 23 Ветвь, где первая и вторая команда слож ение: 13) 3 → 4 → 5 → 10 → 20 → ... → 23 14) 10 → 11 → 22 → .. → 23 15) 11 → 12 → ... → 23 Первые три и более команд слож ение: 16) 3 → 4 → 5 → 6 → 12 → ... → 23 Ещё 6 программ будут иметь такой ж е конец , как программы 2 — 7. Всего 22 программы. О т в е т : 22 B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. умнож ь на 8, 2. подели на 3. Первая из них увеличивает число на э кране в 8 раз, вторая – уменьшает его в 3 раза. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 729 с помощью программы, которая содержит ровно 6 команд? Пояснение. От перестановки множителей произведение не меняется, каждой программе соответствует одно число, поэтому посчитав количество программ (с точностью до перестановки), найдём количество различных чисел. Если в программе n команд 1, тогда в ней будет 6 - n команд 2, n изменяется от 0 до 6. Всего 7 программ, следовательно, 7 чисел. Ответ: 7. О т в е т : 7 B13 У исполнителя Накопитель две команды: 1.прибавь 5, 2.прибавь 10. Первая из них увеличивает число на э кране на 5, вторая – увеличивает его на 10. Программа для Накопителя – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 1 с помощью программы, которая содержит ровно 7 команд? Пояснение. От перестановки мест слагаемых сумма не меняется, количество команд - 7, значит конечное число 1 + n * 5 + (7 - n) * 10 = 1 + 5n + 70 - 10n = 71 - 5n, где n - количество команд "1", при этом n изменяется от 0 до 7, т. е. всего 8 различных чисел. Ответ: 8. О т в е т : 8 B13 У исполнителя Удвоитель-Утроитель три команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 1 2. умножь на 2 3. умножь на 3. Первая из них увеличивает на 1 число на э кране, вторая увеличивает это число в 2 раза, третья - в 3 раза. Программа для Удвоителя-Утроителя — это последовательность команд. Сколько существует программ, которые число 1 преобразуют в число 13? Пояснение. Обозначим R(n) — количество программ, которые преобразуют число 1 в число n. Верны следующие соотношения: 1. Если n не делится на 2 или на 3, то тогда R(n) = R(n−1), так как существует единственный способ получения n из n−1 — прибавлением единиц . 2. Пусть n делится на 2 и на 3. Тогда R(n) = R(n / 2) + R(n / 3) + R(n − 1). Достаточно вычислить все значения R(n). Имеем: R(2) = 2 (можно умножить единицу на 2 или прибавить 1), R(3) = 3 (можно умножить единицу на 3 или прибавить 1 к двойке, которую, в свою очередь, можно получить двумя способами(см. выше)), R(4) = R(2) + R(3) = 5, R(5) = R(4) = 5, R(6) = R(2) + R(3) + R(5) = 10, R(7) = R(6) = 10, R(8) = R(4) + R(7) = 5 + 10 = 15, R(9) = R(3) + R(8) = 3 + 15 = 18, R(10) = R(5) + R(9) = 5 + 18 = 23, R(11) = R(10) = 23, R(12) = R(11) + R(4) + R(6) = 23 + 5 + 10 = 38, R(13) = R(12) = 38. О т в е т : 38 B13 У исполнителя Кузнечик две команды: 1. прибавь 4, 2. вычти 3. Первая из них увеличивает число на э кране на 4, вторая – уменьшает его на 3 (отрицательные числа допускаются). Программа для Кузнечика – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 1 с помощью программы, которая содержит ровно 7 команд? Пояснение. Операция вычитания соответствует слож ению с отрицательным числом. Для слож ения справедлив переместительный (коммутативный) закон, значит, порядок команд в программе не имеет значения. Каждой программе соответствует одно число, поэтому посчитав количество программ (с точностью до перестановки), найдём количество различных чисел. Если в программе n команд 1, тогда в ней будет 7-n команд 2. n изменяется от 0 до 7. Всего 8 программ, следоваетльно, 8 чисел. Ответ: 8. О т в е т : 8 B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. прибавь 3, 2. вычти 2. Первая из них увеличивает число на э кране на 3, вторая – уменьшает его на 2. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на э кране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 2 с помощью программы, которая содержит ровно 18 команд? Пояснение. Операция вычитания соответствует слож ению с отрицательным числом. Для слож ения справедлив переместительный (коммутативный) закон, значит, порядок команд в программе не имеет значения. Результат программы будет определяться равенством: , где n — количество команд 1. Найдём, сколько из них неотрицательные. Для этого решим неравенство для целых n: откуда следует, что n принимает значения от 7 до 18, т. е. 12 значений. Ответ: 12. О т в е т : 12 B13 У исполнителя Утроитель две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 2, 2. умножь на 3. Первая из них увеличивает на 2 число на э кране, вторая утраивает его. Программа для Утроителя - это последовательность команд. Сколько существует программ, которые число 1 преобразуют в число 49? Пояснение. Обозначим R(n) — количество программ, которые преобразуют число 1 в число n. Верны следующие соотношения: 1. Если n не делится на 3, то тогда R(n) = R(n−2), так как существует единственный способ получения n из (n−2) — прибавлением двойки. 2. Пусть n делится на 3. Тогда R(n) = R(n / 3) + R(n − 2). Достаточно вычислить все значения R(n). Заметим, что R от четного числа всегда равно нулю. R от числа, которое после вычитания 1 не кратно 2, тож е равно нулю. R(2) = 0, R(3) = 2 (можно умножить единицу на 3 или прибавить 2 к единице), R(4) = R(2) = 0, R(5) = R(3) = 2, R(6) = R(4) + R(2) = 0, R(7) = R(5) = 2, R(8) = R(6) = 0, R(9) = R(7) + R(3) = 2 + 2 = 4, ... R(12) = R(10) + R(4) = 0 + 0 = 0, ... R(15) = R(13) + R(5) = 4 + 2 = 6, ... R(18) = R(16) + R(6) = 0 + 0 = 0, ... R(21) = R(19) + R(7) = 6 + 2 = 8, ... R(24) = R(22) + R(8) = 0 + 0 = 0, ... R(27) = R(25) + R(9) = 8 + 4 = 12, ... R(30) = R(28) + R(10) = 0 + 0 = 0, ... R(33) = R(31) + R(11) = 12 + 4 = 16, ... R(36) = R(34) + R(12) = 0 + 0 = 0, ... R(39) = R(37) + R(13) = 16 + 4 = 20, ... R(42) = R(40) + R(14) = 0 + 0 = 0, ... R(45) = R(43) + R(15) = 20 + 6 = 26, ... R(48) = R(46) + R(16) = 0 + 0 = 0, R(49) = R(47) = 26. О т в е т : 26 B13 У исполнителя Удвоитель две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 2, 2. умнож ь на 2. Первая из них увеличивает на 2 число на э кране, вторая удваивает его. Программа для Удвоителя - это последовательность команд. Сколько есть программ, которые число 2 преобразуют в число 42? Пояснение. Обозначим R(n) — количество программ, которые преобразуют число 2 в число n. Обозначим t(n) наибольшее кратное 2, не превосходящее n. Заметим, что мы мож ем получить только n, кратные 2. Верно следующее соотношение: R(n) = R(n / 2) + R(n - 2) (если n > 2). При n = 4 R(n)) = 2 (один способ: прибавлением единицы). Поэтому достаточно постепенно вычислить значения R(n) для всех чисел, кратных 2 и не превосходящих 42. R(n) для любого нечетного n равно 0. Имеем: R(4)= 2, R(6) = R(3) + R(4) = 0 + 2 = 2, R(8) = R(4) + R(6) = 2 + 2 = 4, R(10) = R(5) + R(8) = 0 + 4 = 4, R(12) = R(6) + R(10) = 2 + 4 = 6, R(14) = R(7) + R(12) = 0 + 6 = 6, R(16) = R(8) + R(14) = 4 + 6 = 10, R(18) = R(9) + R(16) = 0 + 10 = 10, R(20) = R(10) + R(18) = 4 + 10 = 14. R(22) = R(11) + R(20) = 0 + 14 = 14. R(24) = R(12) + R(22) = 6 + 14 = 20. R(26) = R(13) + R(24) = 0 + 20 = 20. R(28) = R(14) + R(26) = 6 + 20 = 26. R(30) = R(15) + R(28) = 0 + 26 = 26. R(32) = R(16) + R(30) = 10 + 26 = 36. R(34) = R(17) + R(32) = 0 + 36 = 36. R(36) = R(18) + R(34) = 10 + 36 = 46. R(38) = R(19) + R(36) = 0 + 46 = 46. R(40) = R(20) + R(36) = 14 + 46 = 60. R(42) = R(21) + R(40) = 0 + 60 = 60. О т в е т : 60 B13 У исполнителя Множитель две команды: 1. умнож ь на 5 2. раздели на 3 Первая из них увеличивает число на э кране в 5 раз, вторая – уменьшает его в 3 раза. Программа для Множителя – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 81 с помощью программы, которая содержит ровно 4 команды? Пояснение. Число команд 4, а от перестановки мест множителей произведение не меняется. Тогда пусть n - количество команд"1", следовательно конечное число: 81 * 5n * (1/3)(4-n) = 81 * 5n * 3n * (1/3)4 = 81 * (1/81) * 15n = 15n , а n принимает значение от 0 до 4, т. е. 5 значений. Правильный ответ: 5. О т в е т : 5 B13 У исполнителя Калькулятор две команды: 1. прибавь 4, 2. вычти 3. Первая из них увеличивает число на э кране на 4, вторая – уменьшает его на 3. Если в ходе вычислений появляется отрицательное число, он выходит из строя и стирает написанное на э кране. Программа для Калькулятора – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 0 с помощью программы, которая содержит ровно 17 команд? Пояснение. Операция вычитания соответствует слож ению с отрицательным числом. Для слож ения справедлив переместительный (коммутативный) закон, значит, порядок команд в программе не имеет значения. Результат программы будет определяться равенством: , где n — количество команд 1. Найдём, сколько из них неотрицательные. Для этого решим неравенство для целых n: откуда следует, что n принимает значения от 8 до 17, т. е. 10 значений. Ответ: 10. О т в е т : 10 B13 У исполнителя Удвоитель две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 1, 2. умнож ь на 2. Первая из них увеличивает на 1 число на э кране, вторая удваивает его. Программа для Удвоителя — это последовательность команд. Сколько есть программ, которые число 1 преобразуют в число 20? Пояснение. Обозначим R(n) — количество программ, которые преобразуют число 2 в число n. Обозначим t(n) наибольшее кратное 2, не превосходящее n. Заметим, что мы мож ем получить только числа, кратные 2. Обе команды увеличивают исходное число, поэтому количество команд не мож ет превосходить 20 − 1 = 19. Верны следующие соотношения: 1. Если n не делится на 2, то тогда R(n) = R(t(n)), так как существует единственный способ получения n из t(n) — прибавлением единиц . 2. Пусть n делится на 2. Тогда R(n) = R(n / 2) + R(n - 1)= R(n / 2) + R(n - 2) (если n > 2). При n = 2 R(n) = 2 (два способа: прибавлением единицы и удвоением). Поэтому достаточно постепенно вычислить значения R(n) для всех чисел, кратных 2 и не превосходящих 20. Имеем: R(2) = 2 = R(3) R(4) = 2 + 2 = 4 = R(5), R(6) = R(3) + R(4) = 2 + 4 = 6 = R(7), R(8) = R(4) + R(6) = 4 + 6 = 10 = R(9), R(10) = R(5) + R(8) = 4 + 10 = 14 = R(11), R(12) = R(6) + R(10) = 6 + 14 = 20 = R(13), R(14) = R(7) + R(12) = 6 + 20 = 26 = R(15), R(16) = R(8) + R(14) = 10 + 26 = 36 = R(17), R(18) = R(9) + R(16) = 10 + 36 = 46 = R(19), R(20) = R(10) + R(18) = 14 + 46 = 60. О т в е т : 60 B13 У исполнителя Кузнечик две команды: 1.прибавь 7 2.вычти 5 Первая из них увеличивает число на э кране на 7, вторая – уменьшает его на 5 (отрицательные числа допускаются). Программа для Кузнечика – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 1 с помощью программы, которая содержит ровно 7 команд? Пояснение. От перестановки мест слагаемых сумма не меняется, так что при n команд "1" сумма получается следующая: n * (7) + (-5)*(7 - n) = 7n - 35 + 5n = 12n - 35, а так как n принимает значения от 0 до 7, то всего возможных чисел будет 8. Правильный ответ: 8. О т в е т : 8 B13 У исполнителя Арифметик две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 1, 2. прибавь 3. Первая из них увеличивает на 1 число на э кране, вторая увеличивает это число на 3. Программа для Арифметика — это последовательность команд. Сколько существует программ, которые число 7 преобразуют в число 20? Пояснение. Для слож ения справедлив переместительный (коммутативный) закон, значит, порядок команд в программе не имеет значения для результата. Обе команды увеличивают исходное число, поэтому количество команд не мож ет превосходить 20 − 7 = 13. При этом минимальное количество команд — 5 (так как (15−2)/3 = 4, 15−3 4 = 1 = 1 1). При этом заметим, что 7 — нечетное, а 20 — четное. А так как обе команды увеличивают исходное число на нечетное число, то количество команд должно быть нечетным. Иначе говоря, команд мож ет быть 5, 7, 9, 11 или 13. Так как, как было сказано выше, порядок команд не имеет значения, каждому числу команд соответствует один набор команд, которые можно расположить в любом порядке. 5 командам соответствует набор 22221 (здесь получается 5 возможных вариантов располож ения), 7 командам - набор 2221111 (здесь получается 35 возможных вариантов располож ения), 9 командам - 22111111 (здесь получается 36 возможных вариантов располож ения), 11 командам - 21111111111 (здесь получается 11 возможных вариантов располож ения), 13 командам - 11111111111111 (здесь только 1 вариант располож ения). Всего получается 88 программ. Ответ: 88. О т в е т : 88 B13 У исполнителя Кузнечик две команды: 1. прибавь 3, 2. вычти 4. Первая из них увеличивает число на э кране на 3, вторая – уменьшает его на 4 (отрицательные числа допускаются). Программа для Кузнечика – это последовательность команд. Сколько различных чисел можно получить из числа 1 с помощью программы, которая содержит ровно 8 команд? Пояснение. Операция вычитания соответствует слож ению с отрицательным числом. Для слож ения справедлив переместительный (коммутативный) закон, значит, порядок команд в программе не имеет значения. Каждой программе соответствует одно число, поэтому посчитав количество программ (с точностью до перестановки), найдём количество различных чисел. Если в программе n команд 1, тогда в ней будет 8-n команд 2. n изменяется от 0 до 8. Всего 9 программ, следоваетльно, 9 чисел. Ответ: 9. О т в е т : 9 B13 У исполнителя Удвоитель две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 1, 2. умнож ь на 2. Первая из них увеличивает на 1 число на э кране, вторая удваивает его. Программа для Удвоителя — это последовательность команд. Сколько есть программ, которые число 2 преобразуют в число 20? Пояснение. Обозначим R(n) — количество программ, которые преобразуют число 2 в число n. Обозначим t(n) наибольшее кратное 2, не превосходящее n. Заметим, что мы мож ем получить только числа, кратные 2. Обе команды увеличивают исходное число, поэтому количество команд не мож ет превосходить 20 − 2= 18. Верны следующие соотношения: 1. Если n не делится на 2, то тогда R(n) = R(t(n)), так как существует единственный способ получения n из t(n) — прибавлением единиц . 2. Пусть n делится на 2. Тогда R(n) = R(n / 2) + R(n - 1)= R(n / 2) + R(n - 2) (если n > 2). При n = 3 R(n)) = 1 (один способ: прибавлением единицы). Поэтому достаточно постепенно вычислить значения R(n) для всех чисел, кратных 2 и не превосходящих 20. Имеем: R(4)= 2 = R(5) R(6) = 2 + 1= 3 = R(7), R(8) = R(4)+R(6)= 2 + 3 = 5 = R(9), R(10) = R(5) + R(8) = 2 + 5 = 7 = R(11), R(12) = R(6) + R(10) = 3 + 7 = 10= R(13), R(14) = R(7) + R(12) = 3 + 10 = 13 = R(15), R(16) = R(8) + R(14) = 5 + 13 = 18 = R(17), R(18) = R(9) + R(16) = 5 + 18 = 23 = R(19), R(20) = R(10) + R(18) = 7 + 23 = 30. О т в е т : 30