A10 Для какого имени ложно высказывание: Первая буква гласная \/ Четвертая буква согласная? 1) Петр 2) Алексей 3) Наталья 4) Елена Пояснение. Дизъюнкция ложна только в одном случае: когда ложны оба утверждения. A10 На числовой прямой даны два отрезка: P=[3, 13] и Q=[7, 17]. Выберите такой отрезок A, чтобы формула ( (x ∈ A) → (x ∈ P) ) ∨ ¬ (x ∈ Q) Тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x. 1) [5, 20] 2) [10, 25] 3) [15, 30] 4) [20, 35] Пояснение. Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение выраж ения. Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q. Применив преобразование импликации, получаем: ¬A ∨ P ∨ ¬ Q. Это выраж ение должно быть истинно для любого x. Поэтому выраж ение ¬A должно быть истинно на отрезке [13;17]. Тогда, выраж ение A должно быть истинно внутри промеж утка, который ни одной точкой не лежит в отрезке [13;17]. Из всех отрезков только отрезок [20, 35] удовлетворяет этим условиям. Правильный ответ указан под номером 4. A10 Какое из приведенных названий городов удовлетворяет следующему логическому условию: ((первая буква гласная) \/ (последняя буква гласная)) —> (название содержит букву «ф»)? 1) Дюссельдорф 2) Прага 3) Венеция 4) Тулуза Пояснение. Применим преобразование импликации: ((первая буква СОгласная) ∧ (последняя буква СОгласная)) ∨ (название содержит букву «ф») Логическое "Или" истинно, когда истинно хотя бы одно утверждение. В варианте 1 есть буква "ф". A10 На числовой прямой даны три отрезка: P = [10,50], Q = [15, 20] и R=[30,80]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x ∈ P) → (x ∈ Q) ) ∨ ((x ∉ A)→ (x ∉ R)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. 1) [10,25] 2) [25, 50] 3) [40,60] 4) [50, 80] Пояснение. Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Введем обозначения: (x ∉А) ≡ ¬A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q; (x ∉ R) ≡ ¬R. Применив преобразование импликации, получаем: ¬P∨Q∨A∨¬R ¬P∨Q∨¬R истинно тогда, когда x∈(– ∞,30);(50,∞). Выраж ение A должно быть истинно на отрезке [30;50]. Из всех отрезков только отрезок [25;50] удовлетворяет этому условию. A10 Какое из приведенных имен удовлетворяет логическому условию (первая буква гласная -> вторая буква гласная) /\ последняя буква гласная 1) ИРИНА 2) МАКСИМ 3) АРТЕМ 4) МАРИЯ Пояснение. Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны оба утверждения. "Последняя буква гласная" только в вариантах 1 и 4. Импликация ложна тогда и только тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно, т. е. "первая буква гласная -> вторая буква согласная", это выполняется в варианте 1, следовательно, он нам не подходит. Остается вариант ответа 4. A10 На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 15] и Q = [12, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∨ (x ∈ Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. 1) [3, 11] 2) [2, 21] 3) [10, 17] 4) [15, 20] Пояснение. Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q. Применив преобразование импликации, получаем: ¬A∨P∨Q P∨Q истинно тогда, когда x∈[5;18]. Поскольку все выраж ение должно быть истинно для ЛЮБОГО x, следовательно, выраж ение ¬A должно быть истинно на интервалах (– ∞,5) и (18,∞). Соответственно, выраж ение A должно быть истинно только внутри отрезка [5;18]. Из всех отрезков только отрезок [10, 17] полностью лежит внутри отрезка [5;18]. A10 Для какого из названий животных ложно высказывание: Четвёртая буква гласная → (Вторая буква согласная) ? 1) Кошка 2) Жираф 3) Верблюд 4) Страус Пояснение. Применим преобразование импликации: Четвёртая буква СОгласная ∨ (Вторая буква согласная) = 0 Применим отрицание к обоим частям уравнения: Четвёртая буква Гласная ∧ (Вторая буква Гласная) = 1 Следовательно, ответ "Жираф". A10 Логическое выраж ение ¬Y \/ ¬((Х V Y) Λ ¬Y) Λ Х Λ ¬Y максимально упpощаетcя до выраж ения 1) Х Λ Y 2) ¬Y 3) Х 4) 1 Пояснение. Рассмотрим кусочек выраж ения: ¬((Х V Y) Λ ¬Y) = (¬(Х V Y) V Y)= применим закон Де Моргана =(¬(Х V Y) V Y)= ¬Х Λ ¬Y V Y Теперь рассмотрим то, что получиться в результате подстановки выраж ения выше в исходное выраж ение: ¬Y V ¬Х Λ ¬Y V Y Λ Х Λ ¬Y ¬Y Λ Y = 0 в любом случае, так как конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны оба утверждения. Тогда наше выраж ение равно: (¬Y V ¬Х) Λ (¬Y V Х). Вспомним, что . Следовательно, (¬Y V ¬Х) Λ (¬Y V Х) = ¬Y V ¬Х Λ Х. ¬Х Λ Х = 0. Дизъюнкция истинна, если хотя бы одно из утверждений истинно. Следовательно: ¬Y V 0 = ¬Y . Ответ 2. A10 Какое из приведённых имён удовлетворяет логическому условию: (вторая буква гласная )/\ (последняя буква согласная)? 1) АЛЕКСЕЙ 2) ПАВЕЛ 3) КСЕНИЯ 4) МАРИНА Пояснение. Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны оба утверждения. И то и то верно для варианта 2. A10 На числовой прямой даны три отрезка: P = [0,20], Q = [10, 25] и R=[35,50]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∨ ((x ∈ Q)→ (x ∈ R)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. 1) [-15,-5] 2) [25, 30] 3) [10,27] 4) [15, 25] Пояснение. Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q; (x ∈ R) ≡ R. Применив преобразование импликации, получаем: ¬A∨P∨¬Q∨R P∨¬Q∨R истинно тогда, когда x∈(– ∞,20];(25,∞);[5;15]. Значит, выраж ение А должно быть истинно на промеж утке, не включающем полуинтервал (20;25]. Из всех отрезков только отрезок [-15;-5] удовлетворяет этому условию. A10 Какое логическое выраж ение равносильно выраж ению ¬ (¬A \/ ¬B) /\ C 1) ¬A \/ B \/ ¬C 2) А /\ B /\ C 3) (A \/ B) /\ C 4) (¬A /\ ¬B) \/ ¬C Пояснение. В первую очередь применим отрицание, вторым шагом уберем скобки: ¬ (¬A \/ ¬B) /\ C = (A /\ B) /\ C = А /\ B /\ C. A10 Для какого из названий животных ложно высказывание: (Заканчивается на согласную букву) Λ (B слове 6 букв) → (Четвертая буква согласная)? 1) Страус 2) Леопард 3) Верблюд 4) Кенгуру Пояснение. В первую очередь выполняется логическое "И". Импликация ложна только тогда, когда посылка истина, а следствие ложно. Посылка {(Заканчивается на согласную букву) Λ (B слове 6 букв)} истина для варианта один, а следствие {(Четвертая буква согласная)} для него ложно. Следовательно, ответ 1. A10 Какая из приведенных марок автомобилей не удовлетворяет следующему логическому условию: (предпоследняя буква согласная) \/ ((первая буква согласная) /\ (в названии нет буквы «д»))? 1) Форд 2) Москвич 3) Ауди 4) Мерседес Пояснение. Логическое "Или" ложно, когда ложны оба утверждения. "(предпоследняя буква согласная)" ложно для второго и четвертого варианта. "(первая буква согласная) /\ (в названии нет буквы «д»)" ложно только для четвертого варианта. A10 Для какого символьного набора истинно высказывание: Вторая буква согласная /\ (В слове 3 гласных буквы \/ Первая буква согласная) ? 1) УББОШТ 2) ТУИОШШ 3) ШУБВОИ 4) ИТТРАО Пояснение. Дизъюнкция истинна, когда истинно хотя бы одно высказывание. Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны оба утверждения. Высказывание "Вторая буква согласная" верно для вариантов 1 и 4. Высказывание "В слове 3 гласных буквы " верно для варианта 4. A10 Для какого символьного выраж ения будет ложным высказывание (первая буква гласная) → (четвертая буква гласная)? 1) east 2) fast 3) rest 4) last Пояснение. Импликация ложна тогда и только тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Первая буква является гласной только в варианте 1, четвертая буква — согласная, остальные варианты можно не рассматривать. A10 Для какого из приведенных чисел X логическое условие истинно? ((X<15) /\ (2∙X>23)) → ((X<14) /\ (X>15)) 1) 11 2) 12 3) 13 4) 14 Пояснение. Логическое И истинно только тогда , когда истинны оба утверждения.(1) Импликация ложна только тогда,когда из истины следует лож ь.(2) Проверяя поочередно каждый вариант, находим, что правильный ответ 11. A10 Какое из приведённых имен удовлетворяет логическому условию: (Первая буква гласная) /\ (Четвёртая буква согласная) \/ (B слове четыре буквы)? 1) Сергей 2) Вадим 3) Антон 4) Илья Пояснение. Дизъюнкция ложна только в одном случае: когда ложны оба утверждения. Следовательно для истинности выраж ения в целом достаточно истинности одного из утверждений. (B слове четыре буквы) верно только для варианта 4, следовательно ответ 4. A10 На числовой прямой даны три отрезка: P = [15,30], Q = [0, 10] и R=[25,35]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x ∈ P) → (x ∈ Q) ) ∨ ((x ∈ A)→ (x ∈ R)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. 1) [10,17] 2) [15, 25] 3) [20,30] 4) [35, 40] Пояснение. Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q; (x ∈ R) ≡ R. Применив преобразование импликации, получаем: ¬P∨Q∨¬A∨R ¬P∨Q∨R истинно тогда, когда x∈(– ∞,15);(25,∞). Выраж ение ¬A должно быть истинно на интервале [15;25]. Поскольку все выраж ение должно быть истинно для ЛЮБОГО x, следовательно, выраж ение A должно быть истинно на промеж утке, не включающем отрезок [15;25]. Из всех отрезков только отрезок [35;40] удовлетворяет этому условию. A10 Какое из приведенных названий городов удовлетворяет следующему логическому условию: ((первая буква гласная) ∨ (последняя буква гласная)) → (название содержит букву «ф»)? 1) Дюссельдорф 2) Прага 3) Венеция 4) Тулуза Пояснение. Применим преобразование импликации: ((первая буква СОгласная) ∧ (последняя буква СОгласная)) ∨ (название содержит букву «ф») Дизъюнкция истинна, когда истинно хотя бы одно высказывание. Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны оба утверждения. Следовательно, ответ 1. A10 Для какого из приведённых чисел X истинно логическое условие: ¬ ((X кратно 2) → (X кратно 4))? 1) 7 2) 8 3) 10 4) 12 Пояснение. Импликация ложна только тогда, когда из истины следует лож ь. Проверив поочередно каждый вариант, приходим к выводу, что ответ 10. A10 На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 15] и Q = [10,20]. Выберите такой отрезок A, что формула (x ∈ P) ∧ (x ∉ Q) ∧ (x ∈ A) тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х. 1) [0, 7] 2) [8, 15] 3) [15, 20] 4) [7, 20] Пояснение. Логическое И ложно, если ложно хотя бы одно утверждение. Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∉ Q) ≡ ¬Q. Исходная конъюнкция равносильна дизъюнкции P∧¬Q∧A. Выраж ение P∧¬Q ложно тогда, когда x∈(– ∞,5);(10,∞). Выраж ение A должно быть ложно на интервале [5;10]. Поскольку все выраж ение должно быть ложно для ЛЮБОГО x, следовательно, выраж ение A должно быть истинно на любом промеж утке, ни один элемент которого не содержится в отрезке [5;10]. Из всех отрезков только отрезок [15;20] удовлетворяет этому условию. A10 На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [5, 15]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x ∉ А) → (x ∉ P) ) ∨ (x ∈ Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. 1) [10, 15] 2) [20, 35] 3) [15, 22] 4) [12, 18] Пояснение. Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Введем обозначения: (x ∉А) ≡ ¬A; (x ∉ P) ≡ ¬P; (x ∈ Q) ≡ Q. Применив преобразование импликации, получаем: A∨ ¬P∨Q ¬P∨Q истинно тогда, когда x∈(– ∞,15);(20,∞). Поскольку все выраж ение должно быть истинно для ЛЮБОГО x, следовательно, выраж ение A должно быть истинно на отрезке [15;20] или любом другом, который полностью включает этот отрезок. Из всех отрезков только отрезок [15;22] удовлетворяет этим условиям. A10 Для какого из приведенных чисел X логическое условие истинно? ((X<25) → (X<23)) /\ ((X<22) →(X>21)) 1) 21 2) 22 3) 23 4) 24 Пояснение. Логическое И истинно только тогда , когда истинны оба утверждения. Применим преобразование импликации к каждому утверждению: (X>25) ∨ (X<23) = 1 (X>22) ∨ (X>21) = 1 Проверяя поочередно варианты ответа, придем к выводу, что второй вариант верный. A10 Для какого из приведённых чисел X истинно логическое условие: ¬((X кратно 3) (X кратно 9))? 1) 7 2) 15 3) 18 4) 27 Пояснение. Для того, чтобы логическое условие было верным, импликация внутри него должна возвращать ноль. Импликация возвращает ноль, только если из правдивого утверждения следует ложное. То есть, искомый Х долж ен быть кратным 3, но не кратным 9. Из предлож енных вариантов ответа этому условию удовлетворяет ответ под номером 2. A10 На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [5,15]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x ∈ Q) → (x ∈ P) ) ∧ (x ∈ А) тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х. 1) [0, 6] 2) [5, 8] 3) [7, 15] 4) [12, 20] Пояснение. Логическое И ложно, если ложно хотя бы одно утверждение. Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q. Применив преобразование импликации, получаем: ¬Q∨P∧A P∨¬Q ложно тогда, когда x∈[5;10]. Выраж ение A должно быть ложно на интервале (– ∞,5); (10,∞). Поскольку все выраж ение должно быть ложно для ЛЮБОГО x, следовательно, выраж ение A должно быть истинно на интервале [5;10] или на любом другом, полностью включающимся в этот интервал. Из всех отрезков только отрезок [5;8] удовлетворяет этому условию. A10 Какое из приведённых названий животных удовлетворяет логическому условию: В слове пять букв/\Четвёртая буква гласная ? 1) Зебра 2) Слон 3) Кабан 4) Олень Пояснение. Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны оба утверждения. И то и то истинно только для варианта 3. A10 Какое из приведенных имен удовлетворяет логическому условию: Первая буква гласная /\ Четвертая буква согласная \/ В слове четыре буквы? 1) Сергей 2) Вадим 3) Антон 4) Илья Пояснение. Дизъюнкция истинна, когда истинно хотя бы одно высказывание. Для Илья истинно "В слове четыре буквы". A10 На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 50] и Q = [70, 90]. Выберите такой отрезок A, что формула ((х∈Р) → (х ∈ А)) ∧ ((х∈ А) → (x∈Q)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину. 1) [8, 91] 2) [28, 81] 3) [48, 67] 4) [68, 73] Пояснение. Импликация (х ∈ Y) → (х ∈ Z) истинна тогда и только тогда, когда область Y целиком лежит в области Z. В нашем случае, область Р должна содержаться в области А и одновременно область А должна содержаться в Q. Тем самым, область Р должна целиком лежать в области Q, однако это не так. В условии задачи опечатка. Приведем другое рассуждение. Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q. Применив преобразование импликации, получаем: (¬P ∨ A) ∧ (¬A ∨ Q ) Логическое И истинно, если истинны оба утверждения. Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Эти выраж ения должны быть истинны для любого x. Тогда выраж ение A должно быть истинно на отрезке [10;50], а ¬A на лучах (−∞70] и [90;+∞). Составители ошиблись. A10 На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [15, 25]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∨ (x ∈ Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. 1) [10, 15] 2) [10, 30] 3) [8, 22] 4) [8, 30] Пояснение. Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q. Применив преобразование импликации, получаем: ¬А∨P∨Q. Выраж ение P∨Q истинно тогда, когда x∈[10;25]. Поскольку все выраж ение должно быть истинно для ЛЮБОГО x, выраж ение ¬A должно быть истинно для всех х вне этого отрезка, а тогда само выраж ение А должно быть истинно на отрезке, целиком принадлежащим [10;25]. Из всех заданных отрезков только отрезок [10;15] удовлетворяет этим условиям. A10 На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 10] и Q = [6, 14]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x ∈А) → (x ∈ P) ) ∨ (x ∈ Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. 1) [0, 3] 2) [3, 11] 3) [11, 15] 4) [15, 17] Пояснение. Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q. Применив преобразование импликации, получаем: ¬A∨P∨Q P∨Q истинно тогда, когда x∈[2;14]. Поскольку все выраж ение должно быть истинно для ЛЮБОГО x, следовательно, выраж ение ¬A должно быть истинно на интервалах (– ∞,2) и (14,∞). Соответственно, выраж ение A должно быть истинно только внутри отрезка [2;14]. Из всех отрезков только отрезок [3, 11] полностью лежит внутри отрезка [2;14]. A10 Какое из приведенных названий стран удовлетворяет следующему логическому условию: ((первая буква гласная) \/ (последняя буква гласная)) → (название содержит букву «д»)? 1) Ангола 2) Мексика 3) Индия 4) Австралия Пояснение. Применим преобразование импликации: (первая буква СОгласная) ∧ (последняя буква СОгласная) ∨ (название содержит букву «д») Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны оба утверждения. A10 Для какого из приведённых чисел X истинно логическое условие: ¬((X кратно 5) (X кратно 25))? 1) 37 2) 59 3) 65 4) 125 Пояснение. Для того, чтобы логическое условие было верным, импликация внутри него должна возвращать ноль. Импликация возвращает ноль, только если из правдивого утверждения следует ложное. То есть, искомый Х долж ен быть кратным 5, но не кратным 25. Из предлож енных вариантов ответа этому условию удовлетворяет ответ под номером 3. A10 Какое из приведенных названий домашних животных удовлетворяет следующему логическому условию: ((первая буква согласная) → (последняя буква согласная)) ∧ (название содержит букву «к»)? 1) Кролик 2) Корова 3) Коза 4) Свинья Пояснение. Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны оба утверждения. Следовательно, вариант 4 не подходит. Импликация ложна тогда и только тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Следствие ложно, когда последняя буква гласная, это выполняется для всех вариантов, кроме 1, следовательно он нам подходит. A10 На числовой прямой даны два отрезка: Р = [35, 55] и Q = [45, 65]. Выберите такой отрезок А, что обе приведённые ниж е формулы истинны при любом значении переменной х: (x ∈ P)→ (x ∈ A) ( ¬(x ∈ A) → (¬(x ∈ Q)) ) 1) [40, 50] 2) [30, 60] 3) [30, 70] 4) [40, 100] Пояснение. Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q. Применив преобразование импликации, получаем: ¬P ∨ A А ∨ ¬ Q Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Эти выраж ения должны быть истинны для любого x. Тогда выраж ение A должно быть истинно на отрезке [35;55] и на отрезке [45;65]. Из всех отрезков только отрезок [30, 70] удовлетворяет этим условиям. Правильный ответ указан под номером 3. A10 Для какого из указанных значений X истинно высказывание ¬ ((X>2) → (X>3))? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 Пояснение. Высказывание истинно, если выраж ение в скобках ложно. Импликация ложна тогда и только тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Посылка истинна в вариантах 3 и 4, однако вариант 4 не подходит, так как в таком случае следствие истинно. Следовательно ответ 3. A10 На числовой прямой даны два отрезка: Р = [30, 45] и Q = [40, 55]. Выберите такой отрезок А, что обе приведённые ниж е формулы истинны при любом значении переменной х: ( ¬(x ∈ A) → (¬(x ∈ P)) ) ((x ∈ Q)→ (x ∈ A)) 1) [25, 50] 2) [25, 65] 3) [35, 50] 4) [35, 85] Пояснение. Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q. Применив преобразование импликации, получаем: A ∨ ¬P ¬ Q ∨ А Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Эти выраж ения должны быть истинны для любого x. Тогда выраж ение A должно быть истинно на отрезке [30;45] и на отрезке [40;55]. Из всех отрезков только отрезок [25, 65] удовлетворяет этим условиям. Правильный ответ указан под номером 2. A10 Какое из приведённых имен удовлетворяет логическому условию Первая буква гласная ∧ Четвёртая буква согласная ∨ В слове четыре буквы ? 1) Сергей 2) Вадим 3) Антон 4) Илья Пояснение. Дизъюнкция истинна, когда истинно хотя бы одно высказывание. Для варианта 4 высказывание "В слове четыре буквы" истинно, следовательно, ответ 4. A10 Какое из приведенных названий стран удовлетворяет следующему логическому условию: ((последняя буква согласная) v (первая буква согласная)) → (название содержит букву «п»)? 1) Бразилия 2) Мексика 3) Аргентина 4) Куба Пояснение. Применим преобразование импликации: ((первая буква Гласная) ∧ (последняя буква Гласная)) ∨ (название содержит букву «п») Дизъюнкция истинна, когда истинно хотя бы одно высказывание. Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны оба утверждения. Следовательно, ответ 3. A10 Какое из приведенных названий животных удовлетворяет логическому условию: В слове пять букв /\ Четвертая буква гласная? 1) Зебра 2) Слон 3) Кабан 4) Олень Пояснение. Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны оба утверждения. A10 Какое из приведенных названий стран удовлетворяет следующему логическому условию: ((последняя буква согласная) \/ (первая буква согласная)) → (название содержит букву «п»)? 1) Бразилия 2) Мексика 3) Аргентина 4) Куба Пояснение. Cоставим логическое выраж ение: (A\/B) → (C). Утверждение С ложно для всех вариантов, следовательно, первая часть выраж ения должна быть ложной, чтобы конъюнкция была истинной. (A\/B)=0 ¬(A\/B)=1. Применим закон Де Моргана: ¬A /\ ¬B = 1. ¬A есть (последняя буква гласная), а ¬B — (первая буква гласная). Под эти критерии подходит всего один вариант: 3. A10 Какое из приведённых имён удовлетворяет логическому условию: (первая буква согласная → последняя буква согласная) /\ (первая буква гласная → последняя буква гласная)? Если таких слов несколько, укажите самое длинное из них. 1) АННА 2) БЕЛЛА 3) АНТОН 4) БОРИС Пояснение. Логическое И истинно только тогда , когда истинны оба утверждения.(1) Импликация ложна только тогда,когда из истины следует лож ь.(2) Вариант 1 подходит по всем условиям. Вариант 2 не подходит из за условия (2). Вариант 3 не подходит из за условия (2). Вариант 4 подходит по всем условиям. Необходимо указать самое длинное из слов, следовательно, ответ 4. A10 Для какого из названий животных ложно высказывание: ((Заканчивается на согласную букву) /\ (В слове 7 букв)) → ¬ (Третья буква согласная) ? 1) Страус 2) Леопард 3) Верблюд 4) Кенгуру Пояснение. Применим преобразование импликации: (Заканчивается на Гласную букву) ∨ (В слове НЕ 7 букв) ∨ (Третья буква Гласная) = 0 Применим отрицание к обоим частям уравнения: (Заканчивается на СОласную букву) ∧ (В слове 7 букв) ∧ (Третья буква СОгласная) = 1 Конъюнкция истинна, когда истинны все высказывания. В слове "Верблюд" 7 букв, оно заканчивается на согласную букву и третья буква у в нем — согласная. A10 На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 25] и Q = [0, 12]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x ∉ А) → (x ∉ P) ) ∨ (x ∈ Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. 1) [10, 15] 2) [20, 35] 3) [5, 20] 4) [12, 40] Пояснение. Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Введем обозначения: (x ∉А) ≡ ¬A; (x ∉ P) ≡ ¬P; (x ∈ Q) ≡ Q. Применив преобразование импликации, получаем: A∨ ¬P∨Q ¬P∨Q истинно тогда, когда x∈(– ∞,12);(25,∞). Поскольку все выраж ение должно быть истинно для ЛЮБОГО x, следовательно, выраж ение A должно быть истинно на интервале [12;25] или любом другом, который полностью включает этот отрезок. Из всех отрезков только отрезок [12;40] удовлетворяет этим условиям. A10 Для какого имени ложно высказывание: (Первая буква гласная) \/ (Четвёртая буква согласная)? 1) Пётр 2) Алексей 3) Наталья 4) Елена Пояснение. Дизъюнкция ложна только в одном случае: когда ложны оба утверждения. (Первая буква гласная) ложно для вариантов 1 и 3. (Четвёртая буква согласная) ложно для варианта 3. Ответ 3. A10 Какое логическое выраж ение равносильно выраж ению ¬ (А \/ ¬B)? 1) A \/ B 2) A /\ B 3) ¬A \/ ¬B 4) ¬A /\ B Пояснение. ¬ (А \/ ¬B) = ¬ A /\ ¬ (¬B) = ¬ A /\ B. Правильный ответ указан под номером 4. A10 На числовой прямой даны два отрезка: P=[5, 15] и Q=[11, 21]. Выберите такой отрезок A, чтобы формула ( (x ∈ A) → (x ∈ P) ) ∨ ¬ (x ∈ Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x. 1) [2, 22] 2) [3, 13] 3) [6, 16] 4) [17, 27] Пояснение. Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q. Применив преобразование импликации, получаем: ¬A ∨ P ∨ ¬ Q. Это выраж ение должно быть истинно для любого x. Тогда выраж ение ¬A должно быть истинно на отрезке [15;21]. Тогда выраж ение A должно быть истинно внутри промеж утка, который ни одной точкой не лежит в отрезке [15;21]. Из всех отрезков только отрезок [3, 13] удовлетворяет этим условиям. Правильный ответ указан под номером 2. A10 На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 30] и Q = [15, 20]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∨ (x ∈ Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. 1) [10, 15] 2) [12, 30] 3) [20, 25] 4) [26, 28] Пояснение. Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P)≡P; (x ∈ Q)≡Q. Применив преобразование импликации, получаем: ¬A∨P∨Q Поскольку все выраж ение должно быть истинно для ЛЮБОГО x, следовательно, выраж ение ¬A должно быть истинно на интервалах (– ∞,15), (30,∞) и [20;25]. Соответственно, выраж ение A должно быть истинно внутри отрезков [15;20) и (25;30]. Из всех отрезков только отрезок [26;28] удовлетворяет этим условиям. A10 Для какого имени истинно высказывание: Третья буква гласная → ¬ (Первая буква согласная \/ В слове 4 гласных буквы)? 1) Римма 2) Анатолий 3) Светлана 4) Дмитрий Пояснение. Применим преобразование импликации: Третья буква СОгласная ∨ (Первая буква Гласная ∧ В слове НЕ 4 гласных буквы) Дизъюнкция истинна, когда истинно хотя бы одно высказывание. A10 Для какого имени ложно высказывание: (Первая буква имени гласная → Четвертая буква имени согласная). 1) ЕЛЕНА 2) ВАДИМ 3) АНТОН 4) ФЕДОР Пояснение. Импликация ложна тогда и только тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. В нашем случае — если первая буква имени гласная и четвертая буква гласная. Этому условию удовлетворяет имя Антон. Примечание. Тот ж е результат следует из следующих преобразований: ¬ (A → B) = ¬ (¬ A ∨ B) = A ∧ (¬ B). Правильный ответ указан под номером 3. A10 Какое из приведенных названий стран удовлетворяет следующему логическому условию: ((первая буква гласная) \/ (последняя буква гласная)) → (название содержит букву «д»)? 1) Россия 2) Украина 3) Канада 4) Египет Пояснение. Применим преобразование импликации: (первая буква СОгласная) ∧ (последняя буква СОгласная) ∨ (название содержит букву «д») "Канада" содержит букву «д». A10 На числовой прямой даны два отрезка: Р = [4, 16] и Q = [9, 18]. Выберите такой отрезок А, что формула тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. 1) [1, 11] 2) [5,15] 3) [11, 21] 4) [15,25] Пояснение. Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q. Применив преобразование импликации, получаем: ¬A∨P∨Q P∨Q истинно тогда, когда x∈[4;18]. Поскольку все выраж ение должно быть истинно для любого x, выраж ение ¬A должно быть истинно на лучах (–∞,4) и (18,+∞). Поэтому выраж ение A должно быть истинно только внутри отрезка [4;18]. Из всех отрезков только отрезок [5;15] полностью лежит внутри отрезка [4;18]. A10 Для какого символьного набора истинно высказывание: Вторая буква согласная /\ (В слове 3 гласных буквы \/ Первая буква согласная)? 1) АББЕЖК 2) КАИЕЖЖ 3) ЖАБВЕИ 4) ИККРОЕ Пояснение. Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны оба утверждения. "Вторая буква согласная" верно для варианта 4. A10 Для какого из названий животных ложно высказывание: (Заканчивается на согласную букву) /\ (В слове 7 букв) → ¬ (Третья буква согласная)? 1) Верблюд 2) Страус 3) Кенгуру 4) Леопард Пояснение. Импликация ложна тогда и только тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Следствие ложно, когда третья буква согласная, это выполняется для всех вариантов, кроме 4, следовательно, он нам не подходит. Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны оба утверждения. На согласную букву НЕ заканчивается вариант 3. Из оставшихся вариантов семь букв содержится только в слове верблюд, следовательно, ответ 1. A10 Для какого имени ложно высказывание: (первая буква гласная /\ последняя буква согласная) → (третья буква согласная) ? 1) ДМИТРИЙ 2) АНТОН 3) ЕКАТЕРИНА 4) АНАТОЛИЙ Пояснение. Применим преобразование импликации: (первая буква СОгласная ∨ последняя буква Гласная) ∨ (третья буква согласная) = 0 Применим отрицание к обоим частям уравнения: (первая буква Гласная ∧ последняя буква СОласная ∧ третья буква Гласная) = 1 Следовательно, ответ 4. A10 Какое из приведённых имён удовлетворяет логическому условию: (вторая буква гласная → первая буква гласная) /\ (последняя буква согласная)? 1) АЛЕКСЕЙ 2) ПАВЕЛ 3) КСЕНИЯ 4) МАРИНА Пояснение. Конъюнкция истинна тогда и только тогда, когда истинны оба утверждения. Последняя буква согласная в вариантах 2 и 1. Импликация ложна тогда и только тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Для второго варианта импликация ложна. Следовательно остается вариант 1. A10 На числовой прямой даны три отрезка: P = [20,50], Q = [15, 20] и R=[40,80]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x ∈ P) → (x ∈ Q) ) ∨ ((x ∈ A)→ (x ∈ R)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. 1) [10,25] 2) [20, 30] 3) [40,50] 4) [35, 45] Пояснение. Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q; (x ∈ R) ≡ R. Применив преобразование импликации, получаем: ¬P∨Q∨¬A∨R ¬P∨Q∨R истинно тогда, когда x∈(– ∞,20);(40,∞). Выраж ение ¬A должно быть истинно на интервале [20;40]. Поскольку все выраж ение должно быть истинно для ЛЮБОГО x, следовательно, выраж ение A должно быть истинно на промеж утке, не включающем отрезок [20;40]. Из всех отрезков только отрезок [40;50] удовлетворяет этому условию. A10 Для какого символьного набора ложно высказывание: Первая буква гласная → (Третья буква согласная)? 1) IKANM 2) KAINA 3) KIKI3 4) IKMIK Пояснение. Применим преобразование импликации: Первая буква СОгласная ∨ Третья буква согласная = 0 Дизъюнкция ложна, когда ложны оба высказывания. A10 На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 10] и Q = [15, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∨ (x ∈ Q) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. 1) [3, 11] 2) [6, 10] 3) [8, 16] 4) [17, 23] Пояснение. Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q. Применив преобразование импликации, получаем: ¬A∨P∨Q Поскольку все выраж ение должно быть истинно для ЛЮБОГО x, следовательно, выраж ение ¬A должно быть истинно на интервалах (–∞,5), (18,∞) и [10;15]. Соответственно, выраж ение A должно быть истинно внутри отрезков [5;10] и [15;18] или любого другого, который полностью включает эти отрезки, но сам не выходит за их пределы. Из всех отрезков только отрезок [6, 10] удовлетворяет этим условиям. A10 На числовой прямой даны три отрезка: P = [10,15], Q = [10,20] и R=[5,15]. Выберите такой интервал A, что формулы (x ∈ A) → (x ∈ P) и (x ∈ Q) → (x ∈ R) тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек). 1) [5, 12] 2) [10, 17] 3) [12, 20] 4) [15, 25] Пояснение. Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q; (x ∈ R) ≡ R. Применив преобразование импликации, получаем: (¬A∨P) и (¬Q∨R) R∨¬Q ложно тогда, когда x∈[15;20]. Выраж ение ¬A∨P должно быть ложно на этом ж е интервале. Выраж ение P на нем ложно, следовательно, стоит потребовать, чтобы ¬А было ложно на интервале, который полностью входит в интервал [10;20]. Если ¬A ложно, то A истинно. Из всех отрезков только отрезок [12;20] удовлетворяет этому условию. A10 На числовой прямой даны два отрезка: Р = [30, 50] и Q = [70, 90]. Выберите такой отрезок А, что формула ((х ∈ Q) → (х ∈ А)) ∧ ((х∈ A) → (х ∈ P)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину. 1) [25, 95] 2) [40, 80] 3) [55, 65] 4) [73, 88] Пояснение. Импликация (х ∈ Y) → (х ∈ Z) истинна тогда и только тогда, когда область Y целиком лежит в области Z. В нашем случае, область Р должна содержаться в области А и одновременно область А должна содержаться в Q. Тем самым, область Р должна целиком лежать в области Q, однако это не так. В условии задачи опечатка. Приведем другое рассуждение. Введем обозначения: (x ∈А) ≡ A; (x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q. Применив преобразование импликации, получаем: (¬Q ∨ A) ∧ (¬A ∨ P ) Логическое И истинно, если истинны оба утверждения. Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение. Эти выраж ения должны быть истинны для любого x. Тогда выраж ение A должно быть истинно на отрезке [70;90], а ¬A на лучах (−∞30] и [50;+∞). Это невозможно. Составители ошиблись.