Стрела пущена из лука вертикально вверх с начальной скоростью v = 40 м/с. Определить: 1) через какое время и с какой скоростью стрела упадет на землю; какой путь будет пройден ею за это время; 2) через какое время она окажется на высоте h = 35 м.
Решение:
Для решения этой задачи мы можем использовать уравнения движения тела в вертикальном направлении с постоянным ускорением свободного падения (g ≈ 9.8 м/с², предполагая, что это на Земле).
1) Вначале определим, через какое время стрела вернется на землю.
У нас есть начальная вертикальная скорость (v₀ = 40 м/с) и начальная высота (h₀ = 0 м). Мы хотим найти время (t) и конечную скорость (v), когда стрела вернется на землю. Мы можем использовать следующее уравнение движения:
h = h₀ + v₀t - (1/2)gt²,
где h - высота, h₀ - начальная высота, v₀ - начальная скорость, g - ускорение свободного падения, t - время.
Подставим известные значения:
0 = 0 + (40 м/с)t - (1/2)(9.8 м/с²)t².
Теперь решим это уравнение для времени t. Сначала упростим его:
0 = 40t - 4.9t².
Теперь факторизуем:
t(40 - 4.9t) = 0.
Это уравнение имеет два решения: t₁ = 0 (начальный момент времени) и t₂ = 40/4.9 ≈ 8.16 секунд (время, когда стрела вернется на землю).
Теперь мы знаем, что стрела упадет на землю через примерно 8.16 секунд. Для определения скорости при ударе на землю, мы можем использовать:
v = v₀ - gt,
где v₀ - начальная скорость, g - ускорение свободного падения, t - время.
Подставим значения:
v = 40 м/с - (9.8 м/с²)(8.16 с) ≈ -40 м/с (отрицательный знак указывает на направление вниз).
Таким образом, стрела упадет на землю со скоростью около 40 м/с вниз. Путь, пройденный ей за это время:
s = v₀t - (1/2)gt², s = (40 м/с)(8.16 с) - (1/2)(9.8 м/с²)(8.16 с)² ≈ 165 м.
2) Теперь определим, через какое время стрела окажется на высоте h = 35 м.
Мы используем тот же уравнение движения:
h = h₀ + v₀t - (1/2)gt².
Мы знаем, что начальная высота (h₀) равна 0 м, начальная скорость (v₀) равна 40 м/с, ускорение свободного падения (g) равно 9.8 м/с², и мы хотим найти время (t), когда стрела окажется на высоте h = 35 м.
35 м = 0 м + (40 м/с)t - (1/2)(9.8 м/с²)t².
Теперь решим это уравнение для времени t:
(1/2)(9.8 м/с²)t² - (40 м/с)t + 35 м = 0.
Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
D = (-40 м/с)² - 4 * (1/2)(9.8 м/с²) * 35 м ≈ 1600 - 686 ≈ 914.
t = (-(-40 м/с) ± √914) / (2 * (1/2)(9.8 м/с²)) ≈ (40 м/с ± √914) / (2 * 4.9 м/с²).
t₁ ≈ (40 м/с + √914) / (2 * 4.9 м/с²) ≈ 6.67 секунд, t₂ ≈ (40 м/с - √914) / (2 * 4.9 м/с²) ≈ 1.53 секунд.
Итак, стрела окажется на высоте 35 м через примерно 1.53 секунды и через примерно
6.67 секунд после своего запуска.