С холма под углом к горизонту бросили камень. К моменту, когда вектор его скорости повернулся на угол α = 30∘ , он пролетел x = 3,6 м по горизонтали. Найдите величину скорости камня в этот момент времени, если его начальная скорость равна v0 = 10 м/c. Ответ выразить в м/c, округлив до десятых. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/c2 . Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Для решения этой задачи используем компоненты скорости в горизонтальном и вертикальном направлениях.
1. Горизонтальная составляющая скорости не меняется со временем, так как нет горизонтального ускорения. Поэтому горизонтальная скорость камня в момент поворота остается равной начальной скорости: \(V_x = V_0 = 10 \ м/c\).
2. Вертикальная составляющая скорости меняется под действием ускорения свободного падения \(g = 10 \ м/c^2\). Момент поворота происходит через некоторое время \(t\) после броска. Вертикальное перемещение в этот момент времени можно выразить через начальную вертикальную скорость и время:
\[y = V_{0y} t - \frac{1}{2}gt^2\]
Здесь \(V_{0y}\) - начальная вертикальная скорость, \(t\) - время, \(y\) - вертикальное перемещение, которое равно \(0\) на момент поворота, так как камень вернулся на тот же уровень, с которого был брошен.
Теперь мы можем выразить начальную вертикальную скорость:
\[0 = V_{0y} t - \frac{1}{2}gt^2\]
\[V_{0y} t = \frac{1}{2}gt^2\]
\[V_{0y} = \frac{1}{2}gt\]
3. Теперь, когда у нас есть начальная вертикальная скорость, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения скорости камня в момент поворота:
\[V = \sqrt{V_x^2 + V_{0y}^2} = \sqrt{(10 \ м/c)^2 + \left(\frac{1}{2} \cdot 10 \ м/c^2 \cdot t\right)^2}\]
\[V = \sqrt{100 \ м^2/c^2 + \frac{1}{4} \cdot 100 \ м^2/c^2 \cdot t^2} = \sqrt{100 \ м^2/c^2 \left(1 + \frac{1}{4}t^2\right)}\]
Теперь мы можем найти \(t\) из условия, что горизонтальное перемещение равно \(3.6 \ м\) (заметим, что это именно расстояние, которое прошел камень по горизонтали к моменту поворота):
\[x = V_x t = 10 \ м/c \cdot t = 3.6 \ м\]
\[t = \frac{3.6 \ м}{10 \ м/c} = 0.36 \ c\]
Теперь мы можем подставить это значение времени в нашу формулу для \(V\):
\[V = \sqrt{100 \ м^2/c^2 \left(1 + \frac{1}{4}(0.36 \ c)^2\right)}\]
\[V \approx \sqrt{100 \ м^2/c^2 \left(1 + \frac{1}{4}(0.36 \ c)^2\right)} \approx 10.2 \ м/c\]
Таким образом, скорость камня в момент поворота составляет около \(10.2 \ м/c\) (округлено до десятых).