Имеются два мотка медной проволоки диаметрами d1 = 0,2 мм и d2 = 0,3 мм. Массы мотков равны. Во сколько раз сопротивление у первого мотка больше, чем у второго?
Решение:
Имеются два мотка медной проволоки с разными диаметрами: \(d_1 = 0.2 \, \text{мм}\) и \(d_2 = 0.3 \, \text{мм}\). При этом массы мотков равны. Требуется найти, во сколько раз сопротивление первого мотка больше, чем у второго.
Сопротивление проволоки связано с её геометрическими размерами следующим образом:
\[ R = \frac{\rho \cdot L}{A} \]
где \( \rho \) - удельное сопротивление материала проволоки, \( L \) - длина проволоки, \( A \) - площадь поперечного сечения проволоки.
Площадь поперечного сечения проволоки \( A \) связана с её диаметром \( d \) следующим образом:
\[ A = \frac{\pi \cdot d^2}{4} \]
Рассмотрим два мотка с разными диаметрами, но равными массами:
\[ m_1 = m_2 \]
Выразим длину проволоки через массу, площадь поперечного сечения и удельное сопротивление:
\[ L_1 = \frac{4 \cdot m_1}{\pi \cdot d_1^2 \cdot \rho} \] \[ L_2 = \frac{4 \cdot m_2}{\pi \cdot d_2^2 \cdot \rho} \]
Подставляя выражения для площади поперечного сечения \( A \) и длины \( L \) в формулу для сопротивления \( R \), получаем:
\[ R_1 = \frac{\rho \cdot \frac{4 \cdot m_1}{\pi \cdot d_1^2 \cdot \rho}}{\frac{\pi \cdot d_1^2}{4}} = \frac{16 \cdot m_1}{\pi^2 \cdot d_1^2 \cdot \rho} \] \[ R_2 = \frac{\rho \cdot \frac{4 \cdot m_2}{\pi \cdot d_2^2 \cdot \rho}}{\frac{\pi \cdot d_2^2}{4}} = \frac{16 \cdot m_2}{\pi^2 \cdot d_2^2 \cdot \rho} \]
Теперь найдём отношение сопротивлений:
\[ \frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{16 \cdot m_1}{\pi^2 \cdot d_1^2 \cdot \rho}}{\frac{16 \cdot m_2}{\pi^2 \cdot d_2^2 \cdot \rho}} = \frac{m_1 \cdot d_2^4}{m_2 \cdot d_1^4} \]
Учитывая, что массы мотков равны (\( m_1 = m_2 \)), подставляем значения диаметров \( d_1 = 0.2 \, \text{мм} \) и \( d_2 = 0.3 \, \text{мм} \):
\[ \frac{R_1}{R_2} = \frac{d_2^4}{d_1^4} = \frac{0.3^4}{0.2^4} = 5.0625 \]
Итак, сопротивление первого мотка окажется больше в \(5.0625\) раза по сравнению со вторым мотком.