1 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 1 1. Монета подброшена 3 раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб». 2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что разность выпавших очков равна четырем. 3. В коробке 15 гаек, среди которых две 7, три 10, остальные 8. Наудачу взяты 5 гаек. Определить вероятность того, что среди них одна 7, две 10 и две 8. 4. Какова вероятность попасть не целясь бесконечно малой пулей в прут квадратной решетки 10, если расстояние между центрами прутьев равно 30? 5. К экзамену по математике составлены 15 задач, среди которых пять - повышенной сложности. В билет случайным образом попали три задачи. Какова вероятность того, что хотя бы одна задача будет повышенной сложности? 6. Вирус подвергается действию раствора антибиотиков А , В, С, концентрация которых соответственно 52%, 38% и 10%, а эффективность уничтожения ими вируса - соответственно 30%, 40% и 70%. Определить вероятность гибели вируса. 7. Маша, Даша и маленькая Сонечка договорились мыть посуду по очереди, но в случайном порядке. Вероятность что-то разбить для девочек равна соответственно 0,3% ; 0,5% и 10%. Из кухни доносится звон разбитой чашки. Определить вероятность того, что посуду в этот раз мыла Маша. 8. Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, не менее трех девочек, если вероятность рождения мальчика и девочки считать одинаковыми. 9. Вероятность разрушения образца композита при испытании на прочность равна 0,3. Определить вероятность того, что при испытании 100 образцов неразрушенными останутся от 65 до 75 образцов. 10. Вероятность того, что автомат заклинит при выстреле, равна 2%. Определить вероятность того, что при 1000 выстрелах заклинивание произошло 10 раз. 2 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 2 1. В коробке находятся карточки с буквами П, Т, Я, Ь ,С, М. Наудачу по одной извлекают четыре карточки. Найти вероятность того, что появится слово «ПЯТЬ». 2. В колоде 32 карты. После извлечения и возвращения одной карты колода перемешивается и снова извлекается карта. Определить вероятность того, что обе извлеченные карты будут одной масти. 3. В тренажерном зале занимаются 5 бухгалтеров, 3 врача и 6 менеджеров. К кулеру случайным образом подошли 5 человек. Какова вероятность того, что среди них два бухгалтера, один врач и два менеджера? 4. В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до одного конца отрезка не менее 0,2 а до другого конца не менее 0,1. 5. Для разрушения моста достаточно попадания одной бомбы. Сброшены 4 бомбы, вероятность попадания которых соответственно 0,2 ; 0,3 ; 0,4 ; 0,45. Найти вероятность того, что мост будет разрушен. 6. В первой урне 4 белых шара и 1 черный шар, во второй- 2 белых и 3 черных шара. Из первой урны во вторую переложено три шара, а затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что этот шар- белый. 7. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,2, а у второго – 0,6. В результате первого залпа оказалось одно попадание в цель. Чему равна вероятность того, что промахнулся первый охотник? 8. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что герб выпадет менее двух раз. 9. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний. 10. Вероятность занести один вирус из интернета оценивается как 0,01% на один ГБ. Пользователь скачал 100 ГБ из непроверенных источников. Найти вероятность того, что у пользователя поселились два разных вируса. 3 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 3 1. Набирая номер телефона, Петр забыл три последние цифры, и набрал их наудачу, вспомнив, что они различны. Какова вероятность того, что набран нужный номер? 2. Из урны, содержащей три белых и семь черных шаров, вынули наудачу два шара. Найти вероятность того, что оба шара- белые. 3. В коробке 12 гаек, среди которых две 7, четыре 10, остальные 8. Наудачу взяты 6 гаек. Определить вероятность того, что среди них одна 7, три 10 и три 8. 4. Иван и Петр встречаются у ГУКа с 13 до 14 часов. Каждый приходит в случайный момент времени, ждет другого до истечения часа, но не более 10 минут. Найти вероятность того, что встреча состоится. 5. Студент знает ответы на 20 из 25 вопросов программы. Определить вероятность того, что студент знает ответы на все три вопроса экзаменационного билета. 6. Играя раунд в CS, киберспортсмен остался один против двух противников. С вероятностью 25% он поставит бомбу, с вероятностью 50% - вступит в перестрелку, с вероятностью 25% - устроит засаду. Вероятность победы для этих вариантов соответственно равна 15%, 40% и 45%. Найти полную вероятность победы в этом раунде. 7. Число грузовых автомобилей, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин как 3:2. Вероятность того, что будут заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что эта машина – грузовая. 8. Игральный кубик подброшен 5 раз. Определить вероятность того, что менее двух раз появилось число очков, равное пяти. 9. Монету кидают 500 раз. Определить вероятность того. что герб появится от 200 до 350 раз. 10. Датчик элементарных частиц не регистрирует 4% попадающих в него нейтронов. Определить вероятность того, что среди 500 нейтронов, попавших в датчик, 18 нейтронов не будут зарегистирированы. 4 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 4 1. Группа из 10 детей рассаживается вокруг круглого стола в кафе произвольным образом, занимая все места. Какова вероятность, что Маша и Даша окажутся сидящими рядом? 2. Из полного набора костей домино наугад берутся две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой. 3. Среди 25 деталей 10 окрашено. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 деталей 3 окрашены. 4. В круге 2 r 1 наудачу выбирается точка с координатами r, . Найти вероятность события D r tg , 0 1 5. В двух урнах находятся белые и черные шары. В первой урне белых шаров 38%, во второй их 52%. Наудачу вынимается по одному шару из каждой урны. Определить вероятность того, что шары разного цвета. 6. На запущенном дачном участке произрастают сорняки- щучка дернистая(40%), пырей (30%), лебеда (20%) и крапива (10%). Вероятность исчезновения этих сорняков после одной перекопки соответственно равна 95%, 50%, 80% и 40%. Определить вероятность того, что после одной перекопки участок будет свободен от сорняков. 7. Маленькая Сонечка помогает маме и моет посуду, равновероятно тарелку, блюдце или чашку. Вероятность того, что она разобьет тарелку, равна 10%, блюдце- 6%, чашку- 3%. Из кухни донесся звон разбитой посуды. Определить вероятность того, что разбита чашка. 8. Вероятность поражения мишени при одиночном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах мишень будет поражена не менее трех раз. 9. Кубик кидают 600 раз. Определить вероятность того, что число очков, равное 6, появится менее 200 раз. 10. Вероятность ошибки при наборе текста оператором составляет 3% для одного печатного листа. Определить вероятность того, что на 100 печатных листах оператор допустит 4 ошибки. 5 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 5 1. Монета подброшена 4 раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб». 2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна четырем. 3. В коробке 10 гаек, среди которых две 7, три 10, остальные 8. Наудачу взяты 5 гаек. Определить вероятность того, что среди них одна 7, две 10 и две 8. 4. В квадрате с вершинами О(0,0); А(1,0); В(1,1); С(0,1) наудачу выбирается точка с координатами x y; . Найти вероятность события D x y x y ; 0,5 5. Вероятность поражения цели первым орудием равна 0,8. Определить вероятность поражения цели вторым орудием, если вероятность одного поражения цели при залпе двух орудий равна 0,38. 6. Студент Иванов играет в WоT на легком танке БТ-7. У него имеются три варианта действий: поехать в разведку, спрятаться в кустах и остаться защищать базу. Вероятности этих действий 50%, 35% и 15%. Вероятность получения медали за эти действия соответственно равна 20%, 45% и 5%. Определить вероятность получения Ивановым медали. 7. Два охотника одновременно стреляют в цель. Известно, что вероятность попадания у первого охотника равна 0,2, а у второго – 0,8. В результате первого залпа оказалось одно попадание в цель. Чему равна вероятность того, что промахнулся второй охотник? 8. Монету бросают шесть раз. Найти вероятность того, что герб выпадет менее трех раз. 9. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,65. Найти вероятность того, что событие появится менее чем в 70 случаях. 10. Вероятность ошибочного соединения при одном телефонном вызове равна 2%. Определить вероятность того, что для 500 вызовов 8 соединений будут ошибочными. 6 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 6 1. В коробке находятся карточки с буквами П, Т, О, А ,С, Р, М. Наудачу по одной извлекают пять карточек. Найти вероятность того, что появится слово «СПОРТ». 2. Из колоды в 32 карты наудачу извлекаются четыре карты. Определить вероятность того, что все извлеченные карты- тузы. 3. В тренажерном зале занимаются 6 бухгалтеров, 3 юриста и 6 менеджеров. К кулеру случайным образом подошли 6 человек. Какова вероятность того, что среди них поровну представителей указанных профессий? 4. Иван и Петр встречаются у ГУКа с 10 до 11 часов. Каждый приходит в случайный момент времени, ждет другого до истечения часа, но не более 15 минут. Найти вероятность того, что встреча состоится после 10.30. 5. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка 0,65. а для другого- 0,75. Найти вероятность того, что в мишень попадет только один из стрелков. 6. Школьник Петя спрашивает в чате WоT стоит ли покупать танк КВ-1С. При этом 10% респондентов ответят «да», столько же – «нет», остальные проигнорируют вопрос. Вероятность покупки в этих трех случаях соответственно равна 55%, 10% и 35%. Определить вероятность того, что Петя купит КВ-1С. 7. Маленькая Сонечка помогает маме и моет посуду, равновероятно тарелку, блюдце или чашку. Вероятность того, что она разобьет тарелку, равна 10%, блюдце- 8%, чашку- 3%.. Из кухни донесся звон разбитой посуды. Определить вероятность того, что разбита тарелка. 8. Определить вероятность того, что в семье, имеющей шесть детей, не более трех девочек, если вероятность рождения мальчика и девочки считать одинаковыми. 9. При ловле сельди выяснилось, что среди них 85% рыб стандартного размера. Подсчитать вероятность того, что среди выловленных 1000 единиц сельди более 900- стандартного размера. 10. Вероятность осечки при одном выстрела из винтовки равна 0,2% . Определить вероятность того, что на 1000 выстрелов произойдет три осечки. 7 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 7 1. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, и набрал их наудачу, вспомнив, что они различны. Какова вероятность того, что набран нужный номер? 2. Из урны, содержащей 3 белых и 7 черных шаров, вынули наудачу два шара. Найти вероятность того, что оба шара- черные. 3. Среди 25 деталей 15 окрашено. Определить вероятность того. что среди взятых наудачу 10 деталей пять окрашены. 4. Какова вероятность попасть не целясь бесконечно малой пулей в прут квадратной решетки 8, если расстояние между центрами прутьев равно 24. 5. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка 0,80. а для другого- 0,95. Найти вероятность того, что в мишень попадет только один из стрелков. 6. Маша ищет в интернете информацию для решения типового расчета. Как правило, в 40% случаев она использует Google, в 50% случаев- Yandex, в 10% случаев- Rambler. Вероятность найти нужную информацию соответственно равна 80%, 90% и 70%. Определить полную вероятность того, что искомая информация будет найдена. 7. Число грузовых автомобилей, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин как 3:2. Вероятность того, что будут заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что эта машина – легковая. 8. Новичок стреляет по мишени. Вероятность поражения мишени при одиночном выстреле равна 0,2. Найти вероятность того, что при 6 выстрелах мишень будет поражена не более двух раз. 9. Вероятность появления события в каждом из 150 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится более чем в 69 и менее чем в 121 случаях. 10. Вероятность того. что айсберг любого известного размера не успеет растаять по дороге к экватору равна 0,001. Найти вероятность того, что из 1000 плывущих от Антарктиды к экватору айсбергов доплывут целых два. 8 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 8 1. Группа из 10 детей рассаживается вокруг круглого стола в кафе произвольным образом, занимая все места. Какова вероятность, что Маша и Даша окажутся сидящими на противоположных местах? 2. Из полного набора костей домино наугад берутся две кости. Определить вероятность того, что вторую кость невозможно приставить к первой. 3. В тренажерном зале занимаются 6 бухгалтеров, 3 контент - менеджера и 5 риэлторов. К кулеру случайным образом подошли 6 человек. Какова вероятность того, что среди них поровну представителей указанных профессий? 4. В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до одного конца отрезка не менее 0,1 а до другого - не менее 0,3. 5. В двух урнах находятся белые и черные шары. В первой урне белых шаров 30%, во второй их 55%. Наудачу вынимается по одному шару из каждой урны. Определить вероятность того, что оба шара - белые. 6. Студент М. решил купить новую мышку. С вероятностью 5% он купит Razer, с аналогичной вероятностью - Steelseries и, наконец, с вероятностью 90%- дешевую подделку. Вероятность того, что мышка доработает до конца гарантийного срока для этих вариантов соответственно равна 90%, 90% и 50%. Определить полную вероятность безотказной работы мышки студента М. в течение гарантийного срока. 7. Эльф, хоббит и человек участвуют в турнире по стрельбе из лука. Их меткость равна соответственно 96%, 90% и 85%. Выбранный случайным образом стрелок промахнулся. Определить вероятность того, что стрелял эльф. 8. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены 5 точек. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С, а три – правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка. 9. Мыльный пузырь лопается с вероятностью 85% в течение 30 секунд независимо от его размера. Определить вероятность того, что среди 100 мыльных пузырей через 30 секунд лопнут не менее 95 штук. 10. Синяя кайма на шляпке появляется у 7% грибов «рядовка обыкновенная». Найти вероятность того, что среди 100 собранных рядовок девять имеют на шляпке синюю кайму. 9 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 9 1. Монета подброшена 3 раза. Найти вероятность того, что ни одного раза не появится «герб». 2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков равно четырем. 3. В коробке 12 гаек, среди которых три 7, три 10, остальные 8. Наудачу взяты 6 гаек. Определить вероятность того, что среди них две 7, две 10 и две 8. 4. В круге 2 r 1 наудачу выбирается точка с координатами r, . Найти вероятность события 1 3 , sin 2 2 D r 5. В лифт 9 - этажного дома зашли 4 человека. Каждый из них независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Определить вероятность того, что по крайней мере двое сошли на одном этаже. 6. Команда Virtus.pro играет матч в DOTA2. В 20% случаев команда выбирает защитную тактику, в 60% случаев- агрессивную тактику, в остальных случаях тактика комбинированная. Вероятность выигрыша для указанных вариантов соответственно равна 45%, 75% и 50%. Определить вероятность победы команды в матче. 7. Имеется десять одинаковых урн, в девяти из которых находится по два черных и два белых шара, а в одной – пять белых и один черный шар. Из наугад взятой урны извлечен наудачу шар белого цвета. Чему равна вероятность того, что шар взят из урны, содержащей пять белых шаров. 8. Игральный кубик брошен 6 раз. Определить вероятность того, что шесть очков выпадет один или два раза. 9. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится более чем в 70 и мене чем в 85 случаях. 10. Известно, что 5% всех мужчин – дальтоники. Определить вероятность того, что из 500 случайным образом выбранных мужчин 18 дальтоников. 10 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 10 1. В коробке шесть одинаковых занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке. 2. Из колоды в 32 карты наудачу извлекаются четыре карты. Определить вероятность того, что не появилось ни одного туза. 3. Среди 20 деталей 5 бракованных. Определить вероятность того. что среди взятых наудачу 6 деталей две бракованные. 4. Маша и Даша встречаются у ГУКа с 13 до 14 часов. Каждая приходит в случайный момент времени, ждет другую до истечения часа, но не более 20 минут. Найти вероятность того, что встреча не состоится. 5. В лифт 9 - этажного дома зашли 4 человека. Каждый из них независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Определить вероятность того, что все они вышли на разных этажах. 6. Имеется три одинаковые урны с шарами. В первой урне 4 белых и 3 черных, во второй – 5 белых и 2 черных, в третьей – 2 белых и 5 черных шаров. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что это белый шар. 7. Эльф, хоббит и человек участвуют в турнире по стрельбе из лука. Их меткость равна соответственно 95%, 88% и 85%. Выбранный случайным образом стрелок промахнулся. Определить вероятность того, что стрелял человек. 8. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что герб выпадет менее трех раз. 9. Стандартная пластина «Фумитокса» при распылении в закрытом помещении уничтожает 70% комаров в течение получаса. По помещению летают 100 комаров. Определить вероятность того, что через полчаса после распыления «Фумитокса» в помещении останется не менее 15 комаров. 10. Всхожесть семян пшеницы равна 99%. Определить вероятность того, что из посеянных 1000 семян семь не взойдут. 11 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 11 1. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, и набрал их наудачу, вспомнив, что они различны и нечетны. Какова вероятность того, что набран нужный номер 2. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, вынули наудачу два шара. Найти вероятность того, что оба шара- черные. 3. Среди 16 деталей 6 нестандартных. Определить вероятность того. что среди взятых наудачу 5 деталей три нестандартные. 4. На плоскость нанесены две концентрические окружности 6 и 18. Какова вероятность того, что наудачу появившаяся в большем круге точка попадет и в малый круг? 5. В лифт 9 - этажного дома зашли 3 человека. Каждый из них независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Определить вероятность того, что все они выйдут на разных этажах. 6. Киберспортсмен при игре в DOTA2 выбирает одну из трех линий: верхнюю, среднюю и нижнюю с вероятностью соответственно 20%, 50% и 30% Шансы на победу для каждой из линий равны соответственно 40%, 55% и 35%. Определить вероятность выигрыша этого спортсмена. 7. Имеется десять одинаковых урн, в девяти из которых находится по два черных и два белых шара, а в одной – пять белых и один черный шар. Из наугад взятой урны извлечен наудачу шар черного цвета. Чему равна вероятность того, что шар взят из урны, содержащей пять белых шаров. 8. Вероятность поражения мишени при одиночном выстреле равна 0,9. Найти вероятность того, что при 6 выстрелах мишень будет поражена не менее пяти раз. 9. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,75. Найти вероятность того, что событие появится не менее чем в половине испытаний. 10. Среди серых ворон 0,4% ворон- альбиносов. Определить вероятность того, что в стае из 1000 ворон имеются пять альбиносов. 12 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 12 1. Монета подброшена 3 раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «цифра». 2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна пяти, а произведение- четырем. 3. В коробке 15 гаек, среди которых три 7, четыре 10, остальные 8. Наудачу взяты 5 гаек. Определить вероятность того, что среди них две 7, две 10 и одна 8. 4. В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит 0,4. 5. В двух урнах находятся белые и черные шары. В первой урне белых шаров 40%, во второй их 60%. Наудачу вынимается по одному шару из каждой урны. Определить вероятность того, что оба шара- черные. 6. Новичок играет свой первый матч в StarCraft II. С вероятностью 30% он выберет игру за зергов, с вероятностью 40% - за протоссов и с вероятностью 30% - за терранов. Шансы на выигрыш в этих трех случаях соответственно 10%, 50% и 40%. Определить вероятность выигрыша новичка. 7. Имеются три комплекта игральных карт. В первом из них 8 карт красной масти и две- черной, во втором черных и красных карт поровну, в третьем две красных и 8 черных. Из одного комплекта вытянули карту, которая оказалась черной. Определить вероятность того, что карта взята из третьего комплекта. 8. Определить вероятность того, что в семье, имеющей шесть детей, не более четырех мальчиков, если вероятность рождения мальчика и девочки считать одинаковыми. 9. Из каждой сотни виноградин сорта «Рислинг» в среднем 60 виноградин не имеют косточек. Найти вероятность того, что среди 800 виноградин не менее 500 – без косточек. 10. Если толщина монеты отлична от нуля, то вероятность падения монеты на ребро равна 0,1%. Определить вероятность того, что из 1000 просыпавшихся на пол монет две упали на ребро. 13 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 13 1. В коробке семь одинаковых занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке. 2. Из колоды в 32 карты наудачу извлекаются одна за другой две карты. Определить вероятность того, что сначала появилась дама, а потом- валет. 3. В тренажерном зале занимаются 7 бухгалтеров, 5 юристов и 6 менеджеров. К кулеру случайным образом подошли 8 человек. Какова вероятность того, что среди них 3 бухгалтера, 2 юриста и 3 менеджера? 4. Какова вероятность попасть не целясь бесконечно малой пулей в прут квадратной решетки 6, если расстояние между центрами прутьев равно 18. 5. Монета подброшена 6 раз. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб». 6. В первой урне 3 белых шара и 2 черных шара, во второй- 2 белых и 4 черных шара. Из первой урны во вторую переложено два шара, а затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что этот шар- белый. 7. На стеллаже 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность поражения цели из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; без оптического прицела- 0,80. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Определить вероятность того, что винтовка была с оптическим прицелом. 8. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены 5 точек. Найти вероятность того, что две из них окажутся правее точки С, а три – левее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка. 9. Известно, что 80% джедаев сражаются лазерными мечами синего цвета. Определить вероятность того, что из 100 джедаев более четверти имеют синие мечи. 10. Установлено, что 2% кошек имеют разный цвет глаз. Найти вероятность того, что у 15 из 1000 наудачу выбранных кошек глаза разного цвета. 14 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 14 1. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, и набрал их наудачу, вспомнив, что они различны и не равны нулю. Какова вероятность того, что набран нужный номер? 2. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, вынули наудачу два шара. Найти вероятность того, что оба шара- белые. 3. Среди 15 деталей 4 нестандартных. Определить вероятность того. что среди взятых наудачу 5 деталей две - нестандартные. 4. В квадрате с вершинами О(0,0); А(1,0); В(1,1); С(0,1) наудачу выбирается точка с координатами x y; . Найти вероятность события D x y xy ; 0,3 5. Монета подброшена 5 раз. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «цифра». 6. Имеется три одинаковые урны с шарами. В первой урне 4 белых и 2 черных, во второй – 5 белых и 3 черных, в третьей – 2 белых и 7 черных шаров. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что это черный шар. 7. Количества легковых машин, грузовых машин, автобусов и специализированных машин, проезжающих по шоссе в течение дня, относятся как 3 : 4 : 2 : 1. Для каждого из этих типов транспортных средств вероятность обращения в шиномонтаж составляет соответственно 20%, 10%, 5% и 2%. К шиномонтажу подъехала машина. Определить вероятность того, что эта машина - легковая. 8. Игральный кубик брошен 6 раз. Определить вероятность того, что шестерка выпадет не более одного раза. 9. Хан Соло понимает в среднем 80% предложений, которые ревет Чубакка. Найти вероятность того, что Хан Соло поймет от 90 до 100 предложений среди 120 предложений Чубакки. 10. Семена горчицы содержат 7% семян сорняков. Определить вероятность того, что партия из 100 семян содержит 10 семян сорняков 15 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 15 1. Группа из 8 детей рассаживается вокруг круглого стола в кафе произвольным образом, занимая все места. Какова вероятность, что Маша и Даша окажутся сидящими рядом? 2. Из полного набора костей домино наугад берутся две кости. Определить вероятность того, что обе кости оказались дублями. 3. Среди 20 студентов, сдающих экзамен, пятеро из города А, остальные- из других городов. Случайным образом 4 студента сели на первые парты. Определить вероятность того, что двое среди них - уроженцы города А. 4. В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до обоих концов отрезка превосходит 0,3. 5. В первой урне 35 белых шаров и 65 черных, во второй урне 30 белых шаров и 70 черных. Наудачу вынимают по одному шару из каждой урны. Определить вероятность того, что эти шары белые. 6. Игрок Dendi выбирает себе героя для игры в DOTA2. С вероятностью 20% это будет «Pudge», с вероятностью 35%- «Slark», и с вероятностью 45% - «Invoker». Шансы на выигрыш для этих героев соответственно равны 55%, 45% и 65%. Определить вероятность выигрыша Dendi. 7. В первом ящике 20 деталей, среди которых 3 бракованных, во втором- 18 деталей, среди которых 6 бракованных. Из наудачу выбранного ящика взяли деталь, которая оказалась бракованной. Определить вероятность того, что деталь извлекли из первого ящика. 8. Монету бросают шесть раз. Найти вероятность того, что герб выпадет более четырех раз. 9. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,65. Найти вероятность того, что событие появится менее чем в половине случаев. 10. Среди шариков для подшипников 0,5% никелированы. Определить вероятность того, что в партии из 1000 шариков никелированных шариков будет 7 шт. 16 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 16 1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна восьми, а разность - четырем. 2. Среди 20 деталей 4 бракованных. Определить вероятность того. что среди взятых наудачу 6 деталей три - бракованные. 3. В трамвае 15 пассажиров, среди которых 6 пенсионеров. Случайным образом вышли пятеро пассажиров. Найти вероятность того, что среди вышедших - три пенсионера. 4. В квадрате с вершинами О(0,0); А(1,0); В(1,1); С(0,1) наудачу выбирается точка с координатами x y; . Найти вероятность события D x y x y ; 0,8 5. Монета подброшена 4 раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «цифра». 6. Маленькая Сонечка помогает маме и моет посуду – всего 10 тарелок, 5 блюдец и 5 чашек. Вероятность того, что она разобьет тарелку- 8%, блюдце- 5% и чашку- 3%. Определить вероятность того, что наудачу выбранный предмет, который она сейчас моет, не пострадает. 7. Имеются три комплекта игральных карт. В первом из них 8 карт красной масти и две- черной, во втором черных и красных карт поровну, в третьем две красных и 8 черных. Из одного комплекта вытянули карту, которая оказалась красной. Определить вероятность того, что карта взята из третьего комплекта. 8. Вероятность падения бутерброда маслом вниз равна 0,8. Определить вероятность того, что из шести одинаковых упавших бутербродов не более четырех упадет маслом вниз. 9. Магистр Йода останавливает в воздухе с помощью Силы 75% летящих в него снарядов, а от остальных уворачивается. Определить вероятность того, что среди 500 летящих снарядов магистр Йода остановит не менее 400 снарядов. 10. Вероятность того, что деталь бракованная, равна 7%. Найти вероятность того, что в партии из 100 деталей будет 5 бракованных. 17 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 17 1. В коробке пять одинаковых занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков не появятся в возрастающем порядке. 2. Из колоды в 32 карты наудачу извлекаются одна за другой две карты. Определить вероятность того, что сначала появилась дама пик, а потом- туз. 3. Среди 18 машин, стоящих на парковке семь – выпуска 2013 года, остальные - более ранних годов. Случайным образом выезжают пять машин. Какова вероятность того, что среди выехавших машин три - выпуска 2013 года. 4. На плоскость нанесены две концентрические окружности 13 и 21. Какова вероятность того, что наудачу появившаяся в большем круге точка не попадет в малый круг? 5. В первой урне 60 белых шаров и 40 черных, во второй урне 75 белых шаров и 25 черных. Наудачу вынимают 2 шара из первой и 3 шара из второй урны. Определить вероятность того, что все шары- черные. 6. Даша играет в Sims. С вероятностью 50% она создаст семью из 2 персонажей, с вероятностью 35% персонажей в семье будет три, с вероятностью 15% их будет четыре. Вероятности покупки двухэтажного коттеджа в течение трех часов для семей такого состава соответственно равны 10%, 20% и 30%. Определить вероятность того, что Даша купит двухэтажный коттедж в течение трех часов. 7. В первом ящике 10 деталей, среди которых 2 бракованные, во втором- 15 деталей, среди которых 6 бракованных. Из наудачу выбранного ящика взяли деталь, которая оказалась бракованной. Определить вероятность того, что деталь извлекли из второго ящика. 8. На отрезок, разделенный на три равные части, наудачу брошены 6 точек. Найти вероятность того, что на каждую из трех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка. 9. Из каждых 10 орков 8 являются косоглазыми. Найти вероятность того, что среди 300 орков от 150 до 170 орков будут косоглазыми. 10. В среднем 8% деревьев имеют дупла. Найти вероятность того, что среди 100 наудачу выбранных деревьев у девяти имеются дупла. 18 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 18 1. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, и набрал их наудачу, вспомнив, что они различны и больше единицы. Какова вероятность того, что набран нужный номер? 2. Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, вынули наудачу два шара. Найти вероятность того, что шары разного цвета. 3. В коробке 10 гаек, среди которых две 7, три 10, остальные 8. Наудачу взяты 7 гаек. Определить вероятность того, что среди них две 7, две 10 и три 8. 4. В отрезке единичной длины наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что расстояние от точки до обоих концов отрезка больше 0,3. 5. Вероятности того, что некачественный бензин находится в первой, второй и третьей канистрах соответственно равны 0,7 ; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что некачественный бензин находится хотя бы в одной канистре. 6. В первой урне 4 белых шара и 3 черных шара, во второй- 5 белых и 2 черных шара. Из первой урны во вторую переложено два шара, а затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что этот шар- черный. 7. На стеллаже 10 винтовок, из которых 3 снабжены оптическим прицелом. Вероятность поражения цели из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; без оптического прицела- 0,85. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Определить вероятность того, что винтовка была без оптического прицела. 8. Монету бросают семь раз. Найти вероятность того, что герб выпадет более пяти раз. 9. Вероятность появления события в каждом из 150 независимых испытаний постоянна и равна 0,6. Найти вероятность того, что событие появится менее чем в 70 случаях. 10. При температуре 0 40 заводится 7% иномарок. Термометр с утра показал ровно 0 40 мороза . Определить вероятность того, что заведется 15 из 200 иномарок. 19 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 19 1. Группа из 10 делегатов конференции усаживается в зале в первый ряд произвольным образом, занимая все места. Какова вероятность, что два определенных делегата окажутся сидящими рядом? 2. Из полного набора костей домино наугад берутся две кости. Определить вероятность того, что обе кости не оказались дублями. 3. В урне находятся 4 белых, 2 черных, 3 синих и 5 зеленых шаров. Наудачу вынули 6 шаров. Найти вероятность того, что среди них 2 белых, 1 черный и 3 зеленых. 4. Какова вероятность попасть не целясь бесконечно малой пулей в прут квадратной решетки 6, если расстояние между центрами прутьев равно 20. 5. В двух урнах находятся белые и черные шары. В первой урне белых шаров 64%, во второй их 40%. Наудачу вынимается по одному шару из каждой урны. Определить вероятность того, что хотя бы один шар - белый. 6. В пруду живут окуни (20%), чебаки (70%) и ерши (10%). Вероятность схватить наживку для этих видов рыб соответственно 20%, 25% и 5%. На берегу сидит дядя Вася с удочкой. Определить вероятность того. что у него «клюнет». 7. Имеются три комплекта игральных карт. В первом из них 7 красных и три черных карты, во втором черных и красных карт поровну, в третьем две красных и 8 черных. Из одного комплекта вытянули карту, которая оказалась черной. Определить вероятность того, что карта взята из первого комплекта. 8. На отрезок, разделенный на две равные части, наудачу брошены 6 точек. Найти вероятность того, что на каждую часть отрезка попадет по 3 точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка. 9. К интернету подключено в среднем 75% домов нашего города. Определить вероятность того. что среди 500 наудачу взятых домов к интернету подключены от 50 до 200 домов. 10. Звание мастера спорта имеют 5% всех спортсменов. Найти вероятность того, что из 100 спортсменов семеро имеют звание мастера спорта. 20 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 20 1. Монета подброшена 2 раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «цифра». 2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что разность выпавших очков равна единице, а произведение - больше пяти. 3. Среди 15 машин, стоящих на парковке 10 – выпуска 2014 года, остальные - более ранних годов. Случайным образом выезжают шесть машин. Какова вероятность того, что среди этих машин четыре - выпуска 2014 года. 4. Иван и Петр встречаются у ГУКа с 13 до 14 часов. Каждый приходит в случайный момент времени, ждет другого до истечения часа, но не более 15 минут. Найти вероятность того, что встреча состоится до 13.55. 5. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при трех выстрелах равна 0,992. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле. 6. В первой урне 3 белых шара и 4 черных шара, во второй- 2 белых и 5 черных шаров. Из первой урны во вторую переложено три шара, а затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что этот шар- черный. 7. Протосс играет против террана в StarCraft II, причем равновероятно наземными, воздушными или десантными войсками. Использование этих видов войск дает ему шансы на победу соответственно 75% ; 75% и 50%. Протосс выиграл. Какова вероятность того, что он воевал десантными войсками? 8. Игральный кубик брошен 5 раз. Определить вероятность того, что шестерка выпадет не более одного раза. 9. Количество конфет с фруктовой начинкой относится к количеству конфет с овощной начинкой как 3:2. Определить вероятность того, что из 400 конфет менее 200 имеют фруктовую начинку. 10. В 5% любительских матчей фиксируется автогол. Определить вероятность того. что в 150 любительских матчах будет 12 автоголов. 21 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 21 1. В коробке находятся карточки с буквами Д, Т, О, А ,М, Р. Наудачу по одной извлекают четыре карточки. Найти вероятность того, что появится слово «ДОТА». 2. Из колоды в 32 карты наудачу извлекаются одна за другой две карты. Определить вероятность того, что обе карты одной масти. 3. В урне находятся 5 белых, 2 красных и 5 зеленых шаров. Наудачу вынули 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них 3 белых, 1 красный и 1 зеленый. 4. На плоскость нанесены две концентрические окружности 10 и 100. Какова вероятность того, что наудачу появившаяся в большем круге точка попадет и в малый круг? 5. Вероятности того, что некачественный бензин находится в первой, второй, третьей и четвертой канистрах соответственно равны 0,1; 0,2 ; 0,3 и 0,4. Найти вероятность того, что некачественный бензин находится хотя бы в одной канистре. 6. Литье в болванках поступает из двух цехов: 70% из первого и 30% из второго. При этом материал из первого цеха имеет 5% брака, а из второго – 10%. Найти вероятность того, что взятая наугад болванка без дефекта. 7. В коробке находятся две неотличимые по виду и весу игральные кости. На одной «правильной», выпадение всех цифр равновероятно. На второй, «неправильной», шестерка выпадает с вероятностью 1/ 3, единица- с вероятностью 1/ 9, остальные цифры равновероятны. Наудачу извлеченная из коробки кость подброшена и в результате выпало 6 очков. Найти вероятность того, что была подброшена «неправильная» кость. 8. Вероятность падения бутерброда маслом вниз равна 0,7. Определить вероятность того, что из четырех одинаковых упавших бутербродов не более трех упадет маслом вниз. 9. Орнитолог подсчитал, что среди наблюдаемых за день перелетных птиц в среднем 65% уток. Найти вероятность того, что из 120 пролетевших за день птиц не более 70 уток. 10. До поверхности Земли долетает 3% метеоритов, попавших в атмосферу. Определить вероятность того, что из 1000 попавших в атмосферу метеоритов до поверхности долетит 25. 22 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 22 1. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, и набрал их наудачу, вспомнив, что они различны и меньше девяти. Какова вероятность того, что набран нужный номер? 2. Из урны, содержащей 3 синих и 7 зеленых шаров, вынули один за другим два шара. Найти вероятность того, что шары разного цвета. 3. Наблюдатель отмечает птиц, прилетевших на участок. Среди них 5 воробьев, 3 коноплянки, 2 грача и 5 синиц. Случайным образом получены снимки 7 различных птиц. Определить вероятность того, что среди них 3 воробья, 1 коноплянка, 1 грач и 2 синицы. 4. Какова вероятность того, что сумма трех наудачу взятых отрезков, каждый из которых не превосходит L, будет больше L? 5. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка 0,85. а для другого- 0,90. Найти вероятность того, что в мишень попадет только один из стрелков. 6. В первой урне 5 белых шара и 2 черных шара, во второй- 3 белых и 2 черных шара. Из первой урны во вторую переложено три шара, а затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что этот шар- белый. 7. В коробке находятся две неотличимые по виду и весу игральные кости. На одной «правильной», выпадение всех цифр равновероятно. На второй, «неправильной», шестерка выпадает с вероятностью 1/ 3, единица- с вероятностью 1/ 9, остальные цифры равновероятны. Наудачу извлеченная из коробки кость подброшена; в результате выпало 6 очков. Найти вероятность того, что была подброшена «правильная» кость. 8. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 3:1. На этот отрезок наудачу брошены 4 точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С, а две – правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка. 9. Известно, что взрываются 85% петард, остальные являются бракованными. Найти вероятность того, что среди купленных 200 петард взорвутся от 120 до 179 петард. 10. Шансы на то, что природный алмаз пригоден к огранке, составляют 4,5%. Определить вероятность того, что из 100 найденных алмазов три пригодны к огранке. 23 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 23 1. Монета подброшена 3 раза. Найти вероятность того, что ни одного раза не появится «цифра». 2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что разность выпавших очков равна четырем, а произведение - больше десяти. 3. Под микроскопом 6 бактерий штамма А, 5 – штамма В, 4- штамма С и 2штамма D. Для проверки на резистентность к антибиотику случайным образом выбраны 7 бактерий. Определить вероятность того, что среди них 3 бактерии штамма А, 2 – штамма В, 2- штамма С. 4. В квадрате с вершинами О(0,0); А(1,0); В(1,1); С(0,1) наудачу выбирается точка с координатами x y; . Найти вероятность события D x y xy ; 0,5 5. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех выстрелах равна 0,9919. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле. 6. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника -0,9; для велосипедиста – 0,8 и для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что взятый наудачу спортсмен выполнит норму. 7. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это женщина? 8. На отрезок, разделенный на четыре равные части, наудачу брошены 8 точек. Найти вероятность того, что на каждую часть отрезка попадет по 2 точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка. 9. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,55. Найти вероятность того, что событие появится менее чем в половине случаев. 10. Юбилейные металлические рубли составляют 2% от их общего количества. Найти вероятность того, что из 500 металлических рублей 9 являются юбилейными. 24 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 24 1. Группа из 12 студентов рассаживается вокруг круглого стола произвольным образом, занимая все места. Какова вероятность, что Иван и Петр окажутся сидящими на противоположных местах? 2. Из полного набора костей домино наугад берутся две кости одна за другой. Определить вероятность того, что первая кость «2 : 3» , а втораядубль. 3. Среди 17 деталей 5 бракованных. Определить вероятность того. что среди взятых наудачу 5 деталей две- бракованные. 4. На плоскость нанесены две концентрические окружности 10 и 20. Какова вероятность того, что наудачу появившаяся в большем круге точка не попадет в малый круг? 5. В двух урнах находятся белые и черные шары. В первой урне белых шаров 60%, во второй их 40%. Наудачу вынимается по одному шару из каждой урны. Определить вероятность того, что хотя бы один шар - черный. 6. В отделении Сбербанка имеются четыре автомата для пересчета купюр. Вероятности того, что автомат выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны: 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу автомат выдержит гарантийный срок. 7. Маша, Даша и маленькая Сонечка договорились мыть посуду по очереди, но в случайном порядке. Вероятность что-то разбить для девочек равна соответственно 0,3% ; 0,6% и 10%. Из кухни доносится звон разбитой чашки. Определить вероятность того, что посуду в этот раз мыла Сонечка. 8. Вероятность падения бутерброда маслом вверх равна 0,3. Определить вероятность того, что из четырех одинаковых упавших бутербродов не менее трех упадет маслом вверх. 9. Вероятность появления события в каждом из 300 независимых испытаний постоянна и равна 0,62. Найти вероятность того, что событие появится не менее чем в 170 и не более чем в 250 случаях. 10. Вероятность несимметричной окраски крыльев бабочки составляет 1.5%. Определить вероятность того, что из 500 бабочек 6 будут окрашены несимметрично. 25 Введение в теорию вероятностей. Часть 1 Вариант 25 1. Группа из 12 делегатов конференции усаживается в зале в первый ряд произвольным образом, занимая все места. Какова вероятность, что два определенных делегата окажутся сидящими рядом? 2. Куб, все стороны которого окрашены, распилен на 1000 одинаковых кубиков. Найти вероятность того, что у наудачу взятого кубика не будет окрашенных граней. 3. В коробке 13 гаек, среди которых три 7, четыре 10, остальные 8. Наудачу взяты 6 гаек. Определить вероятность того, что среди них две 7, две 10 и две 8. 4. Иван и Петр встречаются в определенном месте с 11 до 12 часов. Каждый приходит в случайный момент времени, ждет другого до истечения часа, но не более 10 минут. Найти вероятность того, что встреча не состоится до 11.30. 5. Среди 22 пельменей четыре - «счастливые». Определить вероятность того, что среди трех случайным образом положенных в тарелку пельменей хотя бы один -«счастливый». 6. В первой урне 5 белых шаров и 1 черный шар, во второй- 4 белых и 3 черных шара. Из первой урны во вторую переложено три шара, а затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что этот шар- белый. 7. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин – дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? 8. Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять детей, не более трех девочек, если вероятность рождения мальчика и девочки считать одинаковыми. 9. Известно, что взрываются 80% петард, остальные являются бракованными. К Новому Году куплено 150 петард. Найти вероятность того, что взорвутся от 100 до 130 петард. 10. Джоггингом занимаются 3% населения Лихтенштейна. Найти вероятность того, что среди 1000 лихтенштейнцев 25 занимаются джоггингом.