Занятие 30. Задачи повышенной трудности на умножение и деление Решения заданий для самостоятельной работы. № 1. Запиши решение задачи составлением буквенного выражения. а) Верёвку длиной а дм разрезали на 3 равные части. По сколько дециметров в каждой части? Ответ: а : 3. б) Для библиотеки купили к книг и расставили их на полки по 9 книг на каждую. Сколько полок понадобилось? Ответ: к : 9. в) Мама купили 4 куска ткани, по а м каждый. Сколько всего метров ткани купила мама? Ответ: а ∙ 4. № 2. Реши задачи. а) В 4 банках по 5 л сока и в 5 банках по 3 л сока. Сколько всего литров сока в этих банках? 1) 5 ∙ 4 = 20 (л) – было в пятилитровых банках 2) 3 ∙ 5 = 15 (л) – было в трёхлитровых банках 3) 20 + 15 = 35 (л) – всего Ответ: 35 литров. б) В столовой израсходовали 2 ящика яблок, по 10 кг в каждом, и 6 ящиков апельсинов, по 5 кг в каждом. На сколько килограммов больше израсходовали апельсинов, чем яблок? 1) 10 ∙ 2 = 20 (кг) – было яблок 2) 5 ∙ 6 = 30 (кг) – было апельсинов 3) 30 – 20 = 10 (кг) – больше Ответ: на 10 кг больше. в) В клетке находятся цыплята и кролики. Всего у них 10 голов и 24 ноги. Сколько в клетке цыплят и сколько кроликов? 1) 2 ∙ 10 = 20 (н.) – было бы ног у десяти цыплят 2) 24 – 20 = 4 (н.) – осталось 3) 4 – 2 = 2 (н.) – больше ног у кролика, чем у цыплёнка 4) 4 : 2 = 2 (кр.) – было кроликов 5) 10 – 2 = 8 (ц.) – было цыплят Ответ: 8 цыплят, 2 кролика.
Занятие 31. Представление о площади прямоугольника, квадрата Решения заданий для самостоятельной работы. № 1. Реши задачу. а) Построй прямоугольник со сторонами 10 см и 2 см. «Выложи» прямоугольник квадратными сантиметрами и сосчитай любым способом, сколько квадратных сантиметров составляет его площадь? 10 ∙ 2 = 20 (кв. см) или 2 ∙ 10 = 20 (кв. см) – площадь Ответ: 20 квадратных сантиметров. б) Построй квадрат со стороной 3 см. «Выложи» его квадратными сантиметрами и сосчитай любым способом, сколько квадратных сантиметров составляет его площадь? 3 ∙ 3 = 9 (кв. см) – площадь Ответ: 9 квадратных сантиметров. в) Построй квадрат со стороной 5 см. «Выложи» его квадратными сантиметрами и сосчитай любым способом, сколько квадратных сантиметров составляет его площадь? 5 ∙ 5 = 25 (кв. см) – площадь Ответ: 25 квадратных сантиметров. г) Построй прямоугольник со сторонами 1 дм и 6 см. «Выложи» прямоугольник квадратными сантиметрами и сосчитай любым способом, сколько квадратных сантиметров составляет его площадь? 10 ∙ 6 = 60 (кв. см) или 6 ∙ 10 = 60 (кв. см) – площадь Ответ: 24 квадратных сантиметров. № 2. Реши задачу. В клетке находятся цыплята и кролики. У них 15 голов и 36 ног. Сколько в клетке цыплят и сколько кроликов? 1) 2 ∙ 15 = 30 (н.) – было бы ног у пятнадцати цыплят 2) 36 – 30 = 6 (н.) – осталось 3) 4 – 2 = 2 (н.) – больше ног у кролика, чем у цыплёнка 4) 6 : 2 = 3 (кр.) – было кроликов 5) 15 – 3 = 12 (ц.) – было цыплят Ответ: 12 цыплят, 3 кролика.
IV класс Занятие 29–31. Решение текстовых задач разных типов с использованием отрезков № 1 а) Отец старше сына в 4 раза, а вместе им 420 месяцев. Сколько лет каждому? 1) 1 + 4 = 5 (ч.) – равных составляет возраст отца и сына вместе 2) 420 мес. : 5 = 84 мес. = 7 л. – сыну 3) 7 ∙ 4 = 28 (л.) – отцу Ответ: 7 лет, 28 лет. б) Автомобиль без пассажиров на 1125 кг тяжелее, чем сидящие в нём пассажиры, а пассажиры в 6 раз легче, чем этот автомобиль. Найдите массу автомобиля. П 1.125 кг А П 1.125 кг А 1) 6 – 1 = 5 (ч.) – равных составляет разница между массой автомобиля и массой пассажиров 2) 1 125 : 5 = 225 (кг) – масса пассажиров 3) 225 + 1 125 = 1 350 (кг) или 225 ∙ 6 = 1 350 (кг) – масса автомобиля Ответ: 1 350 кг. в) Два четвёртых класса собрали 609 кг металлолома. Сколько килограммов металлолома собрал каждый класс, если один из них собрал на 19 кг меньше, чем другой? Вариант 1: 1) 609 – 19 = 590 (кг) – было бы всего, если бы оба класса собрали по столько, сколько первый класс 2) 590 : 2 = 295 (кг) – собрал один класс 3) 609 – 295 = 314 (кг) или 295 + 19 = 314 (кг) – собрал другой класс Вариант 2: 1) 609 + 19 = 628 (кг) – было бы всего, если бы оба класса собрали по столько, сколько собрал другой класс 2) 628 : 2 = 314 (кг) – собрал другой класс 3) 314 – 19 = 295 (кг) – собрал первый класс Ответ: 295 кг, 314 кг. г) На трёх полках стоят 496 журналов. На первой полке стоит в 3 раза больше журналов, чем на второй, а на третьей – 152 журнала. Сколько журналов на второй полке? 1) 496 – 152 = 344 (ж.) – на первой и второй полках вместе 2) 1 + 3 = 4 (ч.) – равных составляют журналы на первой и второй полках вместе 3) 344 : 4 = 86 (ж.) – на второй полке Ответ: 86 журналов. д) В первой канистре было в 3 раза больше бензина, чем во второй. Весь бензин из этих канистр вылили в пустой бензобак автомобиля. Если в этот бак долить ещё 8 л бензина, то он окажется полным. Сколько литров бензина было в каждой канистре, если в бак входит 80 л бензина? 1) 80 – 8 = 72 (л) – было в двух канистрах 2) 1 + 3 = 4 (ч.) – равных весь бензин 3) 72 : 4 = 18 (л) – было во второй канистре 4) 72 – 18 = 54 (л) или 18 ∙ 3 = 54 (л ) – было в первой канистре Ответ: 54 л, 18 л. е) Банка с мёдом весит 500 г. Та же банка с соком весит 350 г. Сок легче мёда в 2 раза. Сколько весит пустая банка? 1) 500 – 350 = 150 (г) – разница между весом мёда и сока 2) 2 – 1 = 1 (ч) – разница между весом мёда и сока 3) 150 : 1 = 150 (г) – вес сока 4) 350 – 150 = 200 (г) – вес пустой банки Ответ: 200 г. ж) У Пети было 17 шариков. Несколько шариков он подарил брату, и у него осталось на 3 шарика меньше, чем он подарил. Сколько шариков осталось у Пети? 1) 17 – 3 = 14 (ш.) – было бы у Пети, если бы он подарил столько же шариков, сколько осталось 2) 14 : 2 = 7 (ш) – осталось Ответ: 7 шариков. № 2 а) Дедушка старше внука в 6 раз, а внук моложе своего отца в 3 раза. Вместе им 100 лет. Сколько лет отцу, сыну и дедушке? 1) 1 + 6 + 3 = 10 (ч.) – равных общий возраст 2) 100 : 10 = 10 (л.) – сыну 3) 10 ∙ 3 = 30 (л.) – отцу 4) 10 ∙ 6 = 60 (л.) – дедушке Ответ: 10 лет, 30 лет, 60 лет. б) Боцман разрезал канат длиной 2 м 9 см на три части так, чтобы первая часть была на 28 см длиннее второй, а вторая — на 160 мм короче третьей. Найдите длину каждой части каната. 1) 2 м 9 см = 209 см 160 мм = 16 см 209 – 28 – 16 = 165 (см) – был бы канат, если бы три части были такой длины, как вторая часть 2) 165 : 3 = 55 (см) – вторая часть 3) 55 + 28 = 83 (см) – первая часть 4) 55 + 16 = 71 (см) – третья часть Ответ: 83 см, 55 см, 71 см. в) В парке живут воробьи, синицы, голуби и вороны – всего 20000 птиц. Воробьёв в 10 раз больше, чем ворон, голубей на 400 больше, чем ворон, синиц на 2400 меньше, чем воробьёв. Сколько каких птиц живёт в парке? ? пт. вороны ? пт. воробьи ? пт. 400 шт. голуби ? пт. 2 400 шт. синицы 20 000 пт. 1) 1 + 10 + 1 + 10 = 22 (ч.) – равных составляли бы все птицы, если бы голубей было столько же, сколько ворон, а синиц столько же, сколько воробьёв 2) 20 000 – 400 + 2 400 = 22 000 (пт. ) – было бы всего, если бы голубей было столько же, сколько ворон, а синиц столько же, сколько воробьёв 3) 22 000 : 22 = 1 000 (пт.) – ворон 4) 1 000 ∙ 10 = 10 000 (пт.) – воробьёв 5) 1 000 + 400 = 1 400 (пт.) – голубей 6) 10 000 – 2 400 = 7 600 (пт.) – синиц Ответ: 1 000 ворон, 10 000 воробьёв, 1 400 голубей, 7 600 синиц. Проверка: 1 000 + 10 000 + 1 400 + 7 600 = 20 000 (пт.) г) Мама старше дочери в 2 раза, а возраст бабушки равен сумме возрастов мамы и дочери. Обща сумма возрастов дочери, мамы и бабушки равна 120 годам. Сколько лет бабушке, маме и дочери? 1) 1 + 2 + 1 + 2 = 6 (ч.) – равных общая сумма возрастов 2) 120 : 6 = 20 (л.)- дочери 3) 20 ∙ 2 = 40 (л.) –маме 4) 20 + 40 = 60 (л.) – бабушке Ответ: 20 лет, 40 лет, 60 лет. д) Старинная задача. У пятерых крестьян – Ивана, Петра, Якова, Михаила и Герасима – было 10 овец. Сколько овец у каждого крестьянина, если известно, что у Ивана в два раза меньше, чем у Петра; у Якова в два раза меньше, чем у Ивана; Михаил имеет овец в два раза больше, чем Яков, а Герасим – вчетверо меньше, чем Пётр? 1) Яков – 1 часть, Иван – 2 части, Пётр – 4 части, Михаил – 2 части, Герасим – 1 часть. 1 + 2 + 4 + 2 + 1 = 10 (ч.) – равных 2) 10 : 10 = 1 (овца) – у Якова и у Герасима 3) 1 ∙ 2 = 2 (овцы) – у Ивана и у Михаила 4) 1 ∙ 4 = 4 (овцы) – у Петра Ответ: у Ивана 2 овцы, у Петра 4 овцы, у Якова 1 овца, у Михаила 2 овцы, у Герасима 1 овца. № 3 а) Плитка шоколада, две коробки зефира и пачка печенья стоят 195 д.е. Коробка зефира дороже плитки шоколада в 2 раза, а стоимость пачки печенья – в 4 раза больше стоимости коробки зефира. Сколько стоит коробка зефира? 1) Шоколад – 1 часть, 1 коробка зефира – 2 части, пачка печенья – 8 частей. Учитываем, что в общую стоимость входят две коробки зефира. 1 + 2 + 2 + 8 = 13 (ч.) – равных общая стоимость покупки 2) 195 : 13 = 15 (д.е.) – цена плитки шоколада 3) 15 ∙ 2 = 30 (д.е.) – цена коробки зефира Ответ: 30 д. е. б) Карандаш в 6 раз дешевле альбома, а ручка в 2 раза дешевле альбома. Альбом стоит на 2000 рублей больше, чем ручка и карандаш вместе. Сколько стоит каждый предмет? 1) Карандаш – 1 часть, альбом – 6 частей, ручка – 3 части. 1 + 3 = 4 (ч.) – равных карандаш и ручка вместе 2) 6 – 4 = 2 (ч.) – равных разница между ценой альбома и стоимостью карандаша и ручки вместе 3) 2 000 : 2 = 1 000 (руб.) – стоит карандаш 4) 1 000 ∙ 6 = 6 000 (руб.) – стоит альбом 5) 1 000 ∙ 3 = 3 000 (руб.) – стоит ручка Ответ: 1 000 руб., 6 000 руб., 3 000 руб. в) Когда у Оли спросили, сколько лет её отцу, она ответила так: «Я втрое моложе папы, но зато втрое старше брата». В это время вошёл брат и сказал: «Нам с папой вместе 50 лет». Сколько лет отцу? Брат – 1 часть, сестра – 3 части, отец – 9 частей. 1) 1 + 9 = 10 (ч.) – равных общий возраст брата и отца 2) 50 : 10 = 5 (л.) – брату 3) 50 – 5 = 45 (л.) или 5 ∙ 9 = 45 (л.) – отцу Ответ: 45 лет. г) Ребята пололи клубнику. Первый прополол в 2 раза больше рядов, чем второй, а третий на 1 ряд меньше, чем часть всех рядов. Сколько рядов прополол каждый мальчик, если все трое пропололи 30 рядов клубники? 1) 30 : 3 ∙ 1 = 10 (р.) – 1/3 часть 2) 10 – 1 = 9 (р.) – прополол третий мальчик 3) 30 – 9 = 21 (р.) – пропололи первый и второй мальчики вместе 4) 1 + 2 = 3 (ч. ) – равных составляют ряды, прополотые первый и вторым мальчиками 5) 21 : 3 = 7 (р.) – прополол второй мальчик 6) 7 ∙ 2 = 14 (р.) или 30 – 9 – 7 = 14 (р.) – прополол первый мальчик Ответ: 14 рядов, 7 рядов, 9 рядов. № 4 а) Сергей и Николай вместе весят 92 кг, Сергей и Алексей весят 95 кг, а Николай и Алексей весят 97 кг. Сколько весят вместе Сергей, Николай и Алексей? 1) 92 + 95 + 97 = 284 (кг) – двойной вес мальчиков 2) 284 : 2 = 142 (кг) – весят вместе Сергей, Николай и Алексей Ответ: 142 кг. б) 100 апельсинов разложили на пять кучек. В первой и второй кучке 46 штук, во второй и третьей – 38 штук, в третьей и четвёртой – 39 штук, в четвёртой и пятой – 36 штук. Найдите число апельсинов в каждой кучке. Вариант 1: 1) 46 + 39 = 85 (ап.) – в первой, второй, третьей и четвёртой кучках вместе 2) 100 – 85 = 15 (ап.) – в пятой кучке 3) 36 – 15 = 21 (ап.) – в четвёртой кучке 4) 39 – 21 = 18 (ап.) – в третьей кучке 5) 38 – 18 = 20 (ап.) – во второй кучке 6) 46 – 20 = 26 (ап.) – в первой кучке Вариант 2 1) 38 + 36 = 74 (ап.) – во второй, третьей, четвёртой и пятой кучках вместе 2) 100 – 74 = 26 (ап.) – в первой кучке 3) 46 – 26 = 20 (ап.) – во второй кучке 4) 38 – 20 = 18 (ап.) – в третьей кучке 5) 39 – 18 = 21 (ап.) – в четвёртой кучке 6) 36 – 21 = 15 (ап.) – в пятой кучке Ответ: 26 апельсинов, 20 апельсинов, 18 апельсинов, 21 апельсин, 15 апельсинов. № 5 № 6 а) У Вани и Сергея было по 12 мандаринов. Ваня съел 7 мандаринов, а Сергей съел столько своих мандаринов, сколько осталось у Вани. Сколько мандаринов съели вместе мальчики? Раз Сергей съел столько, сколько осталось у Вани, значит, мальчики съели половину всех мандаринов, то есть 12 штук. 1) 12 – 7 = 5 (м.) – осталось у Вани или съел Сергей 2) 7 + 5 = 12 (м.) – съели вместе Ответ: 12 мандаринов. б) Перед началом экскурсии по городу в первый автобус сели 58 туристов, а во второй — на 12 туристов меньше. Сколько туристов должны перейти из одного автобуса в другой, чтобы в каждом автобусе их стало поровну? 1 способ. 1) 58 – 12 = 46 (т.) – сели во второй автобус 2) 58 + 46= 104 (т.) – всего 3) 104 : 2 = 52 (т.) – должно стать в каждом автобусе 4) 58 – 52 = 6 (т.) – должны перейти из первого автобуса во второй 2 способ. Разница между автобусами – 12 человек. Чтобы туристов стало поровну, надо разницу разделить пополам между автобусами. Значит, во второй автобус должны перейти 12 : 2 = 6 (чел.). Ответ: 6 туристов. в) За смену завод выпустил 940 телевизоров и музыкальных центров. Когда вывезли на продажу 220 телевизоров, то их осталось столько же, сколько и музыкальных центров. Сколько телевизоров и музыкальных центров выпустил завод за смену? 1) 940 – 220 = 720 (пр.) – осталось 2) 720 : 2 = 360 (ц.) – выпустил завод за смену 3) 360 + 220 = 580 (т.) или 940 – 360 = 580 (т.) – выпустил завод Ответ: 580 телевизоров, 360 музыкальных центров. г) Игорь расставил 14 книг на 2 полки. Если бы на одной полке было на 2 книги больше, а на другой на 2 книги меньше, то на каждой полке книг было бы поровну. Сколько книг на каждой полке? 1) 14 : 2 = 7 (кн.) – было бы на каждой полке 2) 7 – 2 = 5 (кн.) – на одной полке 3) 7 + 2 = 9 (кн.) или 14 – 5 = 9 (кн.) – на другой полке Ответ: 5 книг, 9 книг. д) Два брата собрали вместе 82 сливы. Когда младший брат потерял 6 слив, а старший дал ему 12 своих, то у них стало слив поровну. Сколько слив нашел каждый брат? 1) 82 – 6 = 76 (сл.) – стало у братьев 2) 76 : 2 = 38 (сл.) – стало у каждого брата 3) 38 + 12 = 50 (сл.) – нашёл старший брат 4) 82 – 50 = 32 (сл.) – нашёл младший брат Ответ: 32 сливы, 50 слив. е) Катя и Лена собрали 40 ягод клубники. Когда они съели поровну, то у Кати осталось 15 ягод, а у Лены – 9 ягод. Сколько ягод клубники собрала каждая девочка? 1) 15 + 9 = 24 (яг.) – осталось всего 2) 40 – 24 = 16 (яг.) – съели всего 3) 16 : 2 = 8 (яг.) – съела каждая девочка 4) 15 + 8 = 23 (яг.) – собрала Катя 5) 9 + 8 = 17 (яг.) или 40 – 23 = 17 (яг.) – собрала Лена Ответ: 23 ягоды, 17 ягод. № 7 а) У трёх братьев вместе 650 д.е. Если количество денег первого уменьшить на 50 д.е., количество денег второго уменьшить на 60 д.е., а количество денег третьего увеличить на 90 д.е., то денег у братьев будет поровну. Сколько денег у каждого брата? 1) 650 – 50 – 60 + 90 = 630 (д. е.) – станет, если уравнять количество денег у каждого брата 2) 630 : 3 = 210 (д. е.) – станет у каждого брата 3) 210 + 50 = 260 (д. е.) – у первого брата 4) 210 + 60 = 270 (д. е.) – у второго брата 5) 210 – 90 = 120 (д. е.) – у третьего брата Ответ: 260 д. е., 270 д. е., 120 д. е. б) На трёх полках лежат 52 книги. Если 3 книги с третьей полки переложить на вторую, то на первой и третьей полках книг станет поровну, а на второй вдвое больше, чем на первой. Сколько книг было на каждой полке? 1) 1 + 2 + 1 = 4 (ч.) – равные составят все книги после перекладывания 2) 52 : 4 = 13 (кн.) – было на первой полке или станет на третьей полке 3) 13 + 3 = 16 (кн.) – было на третьей полке 4) 52 – 13 – 16 = 23 (кн.) – было на второй полке Ответ: 13 книг, 23 книги, 16 книг. в) В первой коробке 64 кубика. Когда из неё убрали 29 кубиков, то в ней осталось на 15 кубиков меньше, чем во второй и третьей коробках вместе. Сколько кубиков в третьей коробке, если во второй 12 кубиков? 1) 64 – 29 = 35 (к.) – стало в первой коробке 2) 35 + 15 = 50 (к.) – во второй и третьей коробках вместе 3) 50 – 12 = 38 (к.) – в третьей коробке Ответ: 38 кубиков. № 8 а) Отцу 40 лет, его старшему сыну 18 лет, а младшему 16 лет. Через сколько лет возраст отца будет равен сумме лет его сыновей? 1) 18 + 16 = 34 (г.) – сумма лет сыновей сейчас 2) 40 – 34 = 6 (л.) – надо наверстать сыновьям В то время, как сыновья будут преодолевать разницу в возрастах в 6 лет, возраст отца так же увеличится на 6 лет. Значит, сыновьям надо преодолеть двойную разницу в возрасте: 3) 6 + 6 = 12 (л.) – на двоих сыновей 4) 12 : 2 = 6 (лет) – пройдёт Ответ: 6 лет. Проверка: (18 + 6) + (16 + 6 ) = 40 + 6 46 = 46 б) Сыну 7 лет, а отцу 37. Через сколько лет отец будет втрое старше сына? 1) 37 – 7 = 30 (л.) – разница возрастов 2) 3 – 1 = 2 (ч.) – равных должна быть разница возрастов 3) 30 : 2 = 15 (л.) – должно быть сыну, чтобы отец был втрое старше 4) 15 – 7 = 8 (л.) – пройдёт Ответ: через 8 лет. Проверка: (7 + 8) ∙ 3 = 37 + 8 45 = 45 № 9 а) В одном куске в два раза больше полотна, чем в другом. Когда от меньшего отрезали 15 м, а от большего 45 м, то полотна в кусках стало поровну. Сколько метров полотна было в каждом куске сначала? 1) 45 – 15 = 30 (м) – разница в длине кусков 2) 2 – 1 = 1 (ч.) – разница в длине кусков 3) 30 : 1 = 30 (м) – составляет 1 часть, или было во втором куске 2) 30 ∙ 2 = 60 (м) – было в перовом куске Ответ: 60 м, 30 м. б) В одной бочке было в 3 раза больше бензина, чем в другой. Когда в первую бочку налили ещё 46 л, а во вторую – 18 л, то в двух бочках стало 148 л бензина. Сколько литров бензина было в каждой бочке первоначально? 1) 46 + 18 = 64 (л) – долили в две бочки 2) 148 – 64 = 84 (л) – было в двух бочках 3) 3 + 1 = 4 (ч.) – равные составляют 84 литра 4) 84 : 4 = 21 (л) – было во второй бочке 5) 21 ∙ 3 = 63 (л) – было в первой бочке Ответ: 63 литра, 21 литр. в) В двух кусках поровну ткани. После того как от первого куска продали 14 м, а от второго – 22 м, в первом куске осталось втрое больше ткани, чем во втором. Сколько метров ткани было в каждом куске первоначально? 1) 22 – 14 = 8 (м) – больше продали от второго куска 2) 3 – 1 = 2 (ч.) –больше равных частей осталось в первом куске, чем во втором 3) 8 : 2 = 4 (м) – осталось во втором куске 4) 4 + 22 = 26 (м) – было в каждом куске Ответ: по 26 метров. г) На двух кустах сидело 25 воробьёв. Когда с первого куста перелетело на второй 5 воробьёв, а со второго 7 воробьёв улетело, то на первом кусте осталось птиц в 2 раза больше, чем на втором. Сколько птиц было на каждом кусте первоначально? 1) 25 – 7 = 18 (в.) – осталось на двух кустах 2) 1 + 2 = 3 (ч.) – равные составляют все оставшиеся воробьи 3) 18 : 3 = 6 (в.) – осталось на втором кусте 4) 6 + 7 – 5 = 8 (в.) – было на втором кусте 5) 25 – 8 = 17 (в.) – было на первом кусте Ответ: 17 воробьёв, 8 воробьёв. д) В правом и левом карманах у Лёши всего 35 рублей. Если из правого кармана в левый переложить столько рублей, сколько было в левом, то в правом будет на 3 рубля больше, чем в левом. Сколько денег в каждом кармане было первоначально? 1) 35 – 3 = 32 (руб.) – было бы в двух карманах, если бы денег было в правом кармане столько же, сколько в левом 2) 32 : 2 = 16 (руб.) – будет в левом кармане 3) 16 : 2 = 8 (руб.) – было в левом кармане 4) 35 – 8 = 27 (руб.) – было в правом кармане Ответ: 8 рублей, 27 рублей. е) У Пети в правом кармане втрое больше орехов, чем в левом. Если в оба кармана положить ещё по 10 орехов, то в правом кармане их будет вдвое больше, чем в левом. Сколько орехов в каждом кармане? Было Стало 10 ор. Левый 10 ор. Правый Ответ: в левом кармане – 10 орехов, в правом кармане – 30 орехов. № 10 а) Старший брат сказал младшему: «Дай мне 8 рублей и тогда у меня денег будет вдвое больше, чем у тебя”. А младший возразил: “ Дай мне лучше ты 8 рублей, тогда у нас будет денег поровну”. Сколько денег у каждого из братьев? ? руб./ ? руб./ С С ? руб.// 8 руб. ? руб.// 8 руб. М М 8 руб. 8 руб. 1) 8 ∙ 2 = 16 (руб.) – больше у старшего брата 2) 16 + 8 + 8 = 32 (руб.) – будет больше у старшего брата, если младший отдаст ему 8 руб., или будет у младшего брата, если он отдаст 8 руб. 3) 32 ∙ 2 = 64 (руб.) – будет у старшего, если младший отдаст 8 руб. 4) 64 – 8 = 56 (руб.) – у старшего брата 5) 56 – 16 = 40 (руб.) или 32 + 8 = 40 (руб.) – у младшего брата Ответ: 56 руб., 40 руб. б) Если из первой корзины убрать 38 орехов, то в ней останется столько орехов, сколько их во второй корзине. А если в неё добавить 54 ореха, то станет столько, сколько в первой и второй корзинах вместе. В третьей корзине на 27 орехов меньше, чем в первой корзине. Сколько орехов в третьей корзине? Делаем вывод, что 54 ореха во второй корзине, так как при их добавлении в первую корзину к количеству орехов первой корзины прибавляется количество орехов второй корзины. 1) 54 + 38 = 92 (ор.) – в первой корзине 2) 92 – 27 = 65 (ор.) – в третьей корзине Ответ: 65 орехов. № 11 а) Турист прошёл половину пути и ещё 5 км. Ему осталось пройти 10 км. Чему равна длина всего пути? 1) 10 + 5 = 15 (км) – половина пути 2) 15 ∙ 2 = 30 (км) – весь путь Ответ: 30 км. б) Дети собирали яблоки. Когда к ним пришло столько же детей, что и было, да ещё 8, то оказалось, что половина всех детей девочки, а остальные 17 – мальчики. Сколько детей работало в саду сначала? 1) 17 ∙ 2 = 34 (чел.) – стало всего 2) 34 – 8 = 26 (чел.) – стало после того, как пришло столько же, что и было 3) 26 : 2 = 13 (чел.) – было сначала Ответ: 13 человек. в) Старинная задача. Спросил некто учителя: «Скажи, сколько у тебя учеников в классе, так как я хочу отдать к тебе в обучение сына?». Учитель ответил: «Если придёт учеников ещё столько же, сколько я имею, и полстолько и четверть столько и твой сын, то будет у меня 100 учеников». Сколько учеников в классе? «сколько я имею» «придёт ещё столько же» «и полстолька» «и четверть столько» 100 уч. «и твой сын» ? уч. 1 уч. 1) 100 – 1 = 99 (уч.) – без последнего 1 ученика 2) 4 + 4 + 2 + 1 = 11 (ч.) – равных составляют 99 учеников 3) 99 : 11 = 9 (уч.) – четверть «столько» 4) 9 ∙ 4 = 36 (уч.) – в классе Ответ: 36 учеников. г) Мама купила груши. К обеду она взяла из них половину, а Лариса взяла ещё одну грушу. Вечером мама взяла половину оставшихся груш, и Павел взял ещё две груши. После этого осталось только 2 груши. Сколько груш купила мама? 1) 2 + 2 = 4 (гр.) – половина оставшихся груш 2) 4 ∙ 2 = 8 (гр.) – осталось после обеда 3) 8 + 1 = 9 (гр.) – половина всех груш 4) 9 ∙ 2 = 18 (гр.) – купила мама Ответ: 18 груш. д) Совершая поход протяжённостью 100 км, велосипедист сделал привал. После привала он проехал ещё 10 км, и тогда оказалось, что ему осталось проехать в 3 раза больше, чем уже проехал. На каком расстоянии от начала пути был сделан привал? 1) 1 + 3 = 4 (ч.) – весь путь 2) 100 : 4 = 25 (км) – проехал велосипедист 3) 25 – 10 = 15 (км) – от начала пути был сделан привал Ответ: в 15 км. е) Когда из бочки с бензином взяли часть бензина, а потом ещё половину остатка без 2 литров, то бензина осталось 130 л. Сколько бензина было в бочке первоначально? 1) 1 – 1/5 = 4/5 – бензина осталось после первого раза 2) 4 : 2 = 2 (ч.) – половина остатка 3) 130 – 2 = 128 (л)- половина остатка, или 2/5 бензина 4) 128 : 2 ∙ 5 = 320 (л) – бензина было в бочке Ответ: 320 литров. ж) Когда туристы прошли всего пути и ещё 8 км, им осталось пройти всего пути и ещё 2 км. Как велик этот путь? ¼ от ? км // 8 км 2 км ½ от ? км// ? км ? км ? км // 1) 8 + 2 = 10 (км) – ¼ часть пути 2) 10 : 1 ∙ 4 = 40 (км) – весь путь Ответ: 40 км. № 12 а) Двое рабочих, работая вместе, укладывают 900 м дорожного покрытия за 20 ч. Первый рабочий за 1 ч укладывает на 9 м покрытия больше, чем второй. Сколько времени нужно второму рабочему на выполнение всей работы? 1) 900 : 20 = 45 (м) – за один час укладывают два рабочих вместе 2) 45 – 9 = 36 (м) – укладывали бы рабочие за 1 час, если бы первый работал, как второй 3) 36 : 2 = 18 (м) – за 1 час укладывает второй рабочий 4) 900 : 18 = 50 (ч) – нужно второму рабочему на всю работу Ответ: 50 часов. б) Рабочий за 1 ч изготавливал на 5 деталей больше, чем его ученик. За 2 часа совместной работы они сделали 58 деталей. Сколько деталей за смену сделает каждый, если смена длится 7 часов? 1) 58 : 2 = 29 (дет.) – за 1 час изготавливают вместе 2) 29 – 5 = 24 (дет.) – за 1 час изготавливали бы вместе, если бы рабочий работал, как ученик 3) 24 : 2 = 12 (дет.) – за 1 час изготавливает ученик 4) 29 – 12 = 17 (дет.) или 12 + 5 = 17 (дет.)- за 1 час изготавливает рабочий 5) 12 ∙ 7 = 84 (дет.) – изготовит ученик за смену 6) 17 ∙ 7 = 119 (дет.) – изготовит рабочий за смену Ответ: 84 детали, 119 деталей. в) Банка кофе стоит в 2 раза дороже, чем пачка чая. За 3 пачки чая и 5 банок кофе заплатили 585 д.е. Сколько стоит пачка чая? 1 пачка чая – 1 часть, 1 банка кофе – 2 части. 1) 1 ∙ 3 = 3 (ч.) – равные составляют 3 пачки чая 2) 2 ∙ 5 = 10 (ч.) – равных составляют 5 банок кофе 3) 3 + 10 = 13 (ч.) – вся покупка 4) 585 : 13 = 45 (д. е.) – стоит пачка чая Ответ: 45 д. е. г) За 1 кг печенья и 4 кг конфет заплатили 72000 д.е. Сколько стоит 1 кг конфет, если он дороже 1 кг печенья на 3000 д.е.? 1) 3 000 ∙ 4 = 12 000 (д. е.) – заплатили бы меньше, если бы вместо конфет купили печенье 2) 1 + 4 = 5 (кг) – печенья могли бы купить 3) 72 000 – 12 000 = 60 000 (д. е.) – заплатили бы за 5 кг печенья 4) 60 000 : 5 = 12 000 (д. е.) – стоит 1 кг печенья 5) 12 000 + 3 000 = 15 000 (д. е.) – стоит 1 кг конфет Ответ: 15 000 д. е. д) Таня пошла покупать ручки и карандаши. На деньги, которые у неё были, она могла купить 6 ручек или 12 карандашей. Тогда она решила купить того и другого поровну. Сколько? 1) 12 : 6 = 2 (р.) – ручка дороже карандаша 2) 1 + 2 = 3 (ч.) – равные вместе ручка и карандаш 3) 1 ∙ 12 = 12 (ч.) или 2 ∙ 6 = 12 (ч.) – равных всего 4) 12 : 3 = 4 (шт.) – ручек и карандашей Ответ: 4 ручки и 4 карандаша. № 13 а) Путешественники проехали расстояние, равное 860 км, из которого на автобусе – на 460 км меньше, чем на поезде. Какое время они были в пути, если скорость автобуса – 50 км/ч, а поезда 66 км/ч? 1) 860 – 460 = 400 (км) – проехали бы всего, если бы на поезде проехали столько же, сколько на автобусе 2) 400 : 2 = 200 ( км) – на автобусе 3) 200 : 50 = 4 (ч) – на автобусе 4) 860 – 200 = 660 (км) или 200 + 460 = 660 (км) – на поезде 5) 660 : 66 = 10 (ч) – на поезде 6) 4 + 10 = 14 (ч) – в пути Ответ: 14 часов. б) Вася проделал путь длиной 80 км за 4 ч пешком и 4 ч – на велосипеде. Зная, что скорость на велосипеде была в 3 раза больше его скорости пешком, найдите эти скорости. 1) 1 + 3 = 4 (ч.) – равные составляют две скорости вместе 2) 80 : 4 = 20 (км/ч) – общая скорость на велосипеде и пешком 3) 20 : 4 = 5 (км/ч) – 1 часть или скорость пешком 4) 5 ∙ 3 = 15 (км/ч) или 20 – 5 = 15 (км/ч) – скорость на велосипеде Ответ: 5 км/ч, 15 км/ч. в) Мотоциклист проехал 4 ч по грунтовой дороге и 5 ч по шоссе. Весь путь составил 285 км. Скорость мотоциклиста на шоссе была на 30 км/ч больше скорости на грунтовой дороге. Найдите скорость мотоциклиста на шоссе. 1) 30 ∙ 5 = 150 (км) – меньше проехал бы мотоциклист, если бы ехал всё время по грунтовой дороге 2) 285 – 150 = 135 (км) – проехал бы мотоциклист, есби бы всё время ехал по грунтовой дороге 3) 4 + 5 = 9 (ч) – в пути 4) 135 : 9 = 15 (км/ч) – скорость на грунтовой дороге 5) 15 + 30 = 45 (км/ч) – скорость на шоссе Ответ: 45 км/ч. г) Поезд проходит расстояние между двумя городами за 4 ч. Если его скорость увеличить на 24 км / ч, то он пройдёт это расстояние за 3 ч. Найдите расстояние между городами и первоначальную скорость поезда. 1) 24 ∙ 4 = 96 (км) – больше проедет поезд за 4 часа с новой скоростью 2) 4 – 3 = 1 (ч) – меньше затрачивается на расстояние между городами с новой скоростью 3) 96 : 1 = 96 (км/ч) – новая скорость поезда 4) 96 ∙ 3 = 288 (км) – расстояние между городами 5) 288 : 4 = 72 (км/ч) или 96 – 24 = 72 (км/ч) – первоначальная скорость поезда Ответ: 288 км, 72 км/ч. № 14 а) Два мальчика побежали одновременно навстречу друг другу по аллее парка, длина которой равна 480 м. Когда они встретились, первый пробежал на 80 м больше второго. С какой скоростью бежал каждый мальчик, если они встретились через 40 с? 1) 480 – 80 = 400 (м) – пробежали бы мальчики, если бы первый бежал, как второй 2) 400 : 2 = 200 (м) – пробежал второй мальчик 3) 200 : 40 = 5 (м/с) – скорость второго мальчика 1 вариант: 2 вариант: 4) 480 – 200 = 280 (м) – пробежал первый 4) 480 : 40 = 12 (м/с) – скорость сближения 5) 280 : 40 = 7 (м/с) – скорость первого 5) 12 – 5 = 7 (м/с) – скорость первого Ответ: 7 м/с, 5 м/с. В третьем варианте решения можно в 4-ом действии выяснить разницу скоростей: 80 : 40 = 2 (м/с) – скорость первого больше. А в пятом действии узнать скорость первого: 5 + 2 = 7 (м/с). В четвёртом варианте решения комбинируются действия по нахождению скорости сближения, разности скоростей, выяснению скорости каждого мальчика. б) Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 78 км. Через 3 часа они встретились. Найдите скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного из них на 2 км/ч больше скорости другого. 1) 78 : 3 = 26 (км/ч) – скорость сближения 2) 26 – 2 = 24 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы первый ехал, как второй 3) 24 : 2 = 12 (км/ч) – скорость второго 4) 12 + 2 = 14 (км/ч) или 26 – 12 = 14 (км/ч) – скорость первого Ответ: 14 км/ч, 12 км/ч. в) Из города А вышел поезд. Спустя 2 ч из этого же города в противоположном направлении вышел другой поезд. Через 3 ч после выхода второго поезда расстояние между поездами было 402 км. Найдите скорость второго поезда, если она на 6 км / ч больше скорости первого поезда. 1) 6 ∙ 3 = 18 (км) – больше проехал за 3 ч второй поезд, чем первый 2) 402 – 18 = 384 (км) – было бы расстояние между поездами, если бы скорость второго была равна скорости первого поезда 3) 2 + 3 + 3 = 8 (ч) – на 384 км 4) 384 : 8 = 48 (км/ч) – скорость первого поезда 5) 48 + 6 = 54 (км/ч) – скорость второго поезда Ответ: 54 км/ч. г) Тарас стал догонять Оксану, когда она находилась от него расстоянии 840 м, и догнал её через 6 мин. Найдите скорость Оксаны, если её скорость в 3 раза меньше скорости Тараса. 1) 840 : 6 = 140 (м/мин) – скорость преследования, или скорость Тараса больше скорости Оксаны 2) 3 – 1 = 2 (ч.) – равные разница скоростей 3) 140 : 2 = 70 (м/мин) – скорость Оксаны Ответ: 70 м/мин. № 15 а) Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Через сколько часов расстояние между ними будет 150 км, если известно, что первый до этого момента проедет 180 км, а скорость второго в 2 раза меньше, чем скорость первого? Так же известно, что первый автомобиль тратит на весь путь от А до В 7 ч. 1) 180 : 2 = 90 (км) – проедет второй автомобиль до нужного момента 2) 180 + 150 + 90 = 420 (км) – между пунктами 3) 420 : 7 = 60 (км/ч) – скорость первого автомобиля 4) 180 : 60 = 3 (ч) – пройдёт Ответ: через 3 часа. б) Старинная задача. Дикая утка от южного моря до северного летит три дня. Дикий гусь от северного моря до южного летит шесть дней. Если дикая утка и дикий гусь вылетели одновременно, то через сколько дней они встретятся? (Используйте схематический чертёж) 6 : 3 = 2 (р.) – скорость утки больше скорости гуся утка гусь 1 д. 2 д. 2 д. 1. д. Ответ: через 2 дня. в) Расстояние между деревнями А и В 84 км. В 8 ч из деревни А выехал велосипедист, а в 10 ч навстречу ему из В выехал на лошади лесник, который проезжал за 3 ч столько же, сколько велосипедист за 2 ч. Встреча произошла в 13 ч. Определите скорости обоих. ? км/ч/ ? км/ч/ ? км/ч 8 ч 2 ч 10 ч 2 ч 1 ч 13 ч 3 ч 10 ч А В ? км// ? км// ½ от ? км// ? км// 84 км Построив чертёж, обращаем внимание на то, что время пути велосипедиста с 10.00 до 13.00 условно можно разделить на 2 части – 2 ч и 1 ч. Так как велосипедист за этих два часа проезжает столько же, сколько лесник за 3 часа, то получается 3 равных отрезка расстояния и часть пути велосипедиста в течение 1 часа. За 1 час велосипедист проедет половину того, что он проезжает за 2 часа, а, значит, эта часть пути составляет ½ от повторяющихся отрезков пути. Чтобы получить равные части пути, надо все одинаковые участки пути разделить пополам. В результате мы получаем: 1) 2 + 2 + 1 + 2 = 7 (ч.) – равных составляют 84 км 2) 84 : 7 = 12 (км) – составляет одна часть пути, которую велосипедист проезжает за 1 ч, или скорость велосипедиста 3) 12 ∙2 = 24 (км) – проезжает велосипедист за 2 часа или лесник за 3 часа 4) 24 : 3 = 8 (км/ч) – скорость лесника Ответ: 12 км/ч, 8 км/ч. г) Две мухи соревнуются в беге. Они бегут от пола к потолку и обратно. Первая муха бежит в обе стороны с одинаковой скоростью. Вторая бежит вниз вдвое быстрее, чем первая, а вверх – вдвое медленне, чем первая. Которая из мух победит? Нужно нарисовать первый этап соревнования: первая муха достигает потолка, когда вторая на половине пути к нему; первая возвращается к полу, когда вторая достигает потолка. Побеждает первая. Заметим, что несущественно, во сколько раз быстрее вторая муха ползет вниз, чем первая. Ответ: первая.
Занятие 32. Задачи с геометрическим содержанием № 1 а) 1) 100 : 5 = 20 (см) – ширина 2) 100 : 2 – 20 = 30 (см) – длина 3) 20 ∙ 30 – 600 (кв. см) – площадь Ответ: 20 см, 30 см, 600 кв. см. б) 1) 7 ∙ 2 = 14 (см) – меньше был бы периметр, если бы длина была равна ширине 2) 34 – 14 = 20 (см) – был бы периметр прямоугольника с равными длиной и шириной 3) 20 : 4 = 5 (см) – ширина 4) 5 + 7 = 12 (см) или 34 : 2 – 5 = 12 (см) – длина Ответ: 5 см, 12 см. в) 1) 15 ∙ 6 = 90 (кв. м) – площадь прямоугольника 2) 1 + 4 = 5 (ч.) – равных составляют в сумме площади двух получившихся фигур 3) 90 : 5 = 18 (кв. м) – площадь одной части 4) 18 ∙ 4 = 72 (кв. м) – или 90 – 18 = 72 (кв. м) – площадь другой части Ответ: 18 кв. м, 72 кв. м. г) 1) 9 ∙ 4 = 36 (кв. см.) – площадь прямоугольника 2) 36 – 8 = 28 (кв. см) – была бы площадь двух частей, если бы одна часть была равна другой 3) 28 : 2 = 14 (кв. см) – площадь меньшей части 4) 14 + 8 = 22 (кв. см) или 36 – 14 = 22 (кв. см) – площадь большей части Ответ: 14 кв. см, 22 кв. см. № 2 а) 1) 20 : 4 = 5 (м) – сторона первого квадрата 2) 5 ∙ 5 = 25 (кв. м) – площадь первого квадрата 3) 20 + 12 = 32 (м) – периметр второго квадрата 4) 32 : 4 = 8 (м) – сторона второго квадрата 5) 8 ∙ 8 = 64 (кв. м) – площадь второго квадрата 6) 64 – 25 = 39 (кв. м) – увеличилась площадь Ответ: на 39 кв. м. б) 1) 20 га = 200 000 кв. м 200 000: 400 = 500 (м) – длина парка 2) (400 + 500) ∙ 2 = 1800 (м) – длина забора Ответ: 1 800 м. в) 1) 80 : 4 = 20 (см) – длина второй стороны прямоугольника 2) 17 ∙ 20 = 340 (кв. см) – первоначальная площадь прямоугольника Ответ: 340 кв. см. г) 1 м Д = 6 м 1 м 1 м 1 м Ш = 4 м 1 м 1 м 1 м 1 м 1) 6 ∙ 4 = 24 (кв. м) – площадь участка 2) 6 + 1 + 1= 8 (м) – новая длина 3) 4 + 1 + 1 = 6 (м) – новая ширина 4) 6 ∙ 8 = 48 (кв. м) – новая площадь 5) 48 : 24 = 2 (р.) – увеличится площадь Ответ: в 2 раза. № 3 а) 1) 6 ∙ 3 = 18 (см) – периметр треугольника 2) 6 – 3 = 3 (см) – сторона квадрата 3) 3 ∙ 4 = 12 (см) – периметр квадрата 4) 18 – 12 = 6 (см) – периметр квадрата меньше Ответ: на 6 см. б) 1) 10 ∙ 4 = 40 (м) – длина изгороди первого участка 2) 10 ∙ 10 = 100 (кв. м) – площадь каждого участка 3) 100 : 20 = 5 (м) – ширина второго участка 4) (20 + 5) ∙ 2 = 50 (м) – длина изгороди второго участка 5) 50 – 40 = 10 (м) – длиннее изгородь второго участка Ответ: изгородь второго участка на 10 м длиннее. в) Д = ? м S1 = 160 кв. м Ш1 = ? м Ш1 + Ш2 = 15 м S2 = 140 кв. м Ш2 = ? м 1) 160 + 140 = 300 (кв. м) – общая площадь двух участков 2) 300 : 15 = 20 (м) – длина каждого участка 3) 140 : 20 = 7 (м) – ширина второго участка Ответ: 7 м. г) Д1 = 34 см Д2 = 26 см S1 = ? кв. см S2 = ? кв. см Ш = ? см S1 + S2 = 420 кв. см 1) 34 + 26 = 60 (см) – общая длина двух прямоугольников 2) 420 : 60 = 7 (см) – ширина каждого прямоугольника 3) 34 ∙ 7 = 238 (кв. см) – площадь первого прямоугольника Ответ: 238 кв. см. № 4 а) Д = 57 см Ш1 = 1/3 от Д S2 = ? кв. см 1) 57 : 3 ∙1 = 19 (см) – ширина полосы Вариант 1: Вариант 2: 2) 57 ∙ 57 = 3 249 (кв. см) – квадрат 2) 57 – 19 = 38 (см) – ширина оставшейся части 3) 57 ∙ 19 = 1 083 (кв. см) – полоса 3) 57 ∙ 38 = 2 166 (кв. см) – остаток 4) 3 249 – 1 083 = 2 166 (кв. см) – остаток Ответ: 2 166 кв. см. б) Ш = Д1 = 3 см Р = (Д + Ш) ∙ 2 = ? см S1 = 1/3от S2 S2 = ? кв. см 1) 3 ∙ 3 = 9 (кв. см) – площадь квадрата 2) 9 : 1 ∙ 3 = 27 (кв. см) – площадь остатка 3) 9 + 27 = 36 (кв. см) – площадь прямоугольника 4) 36 : 3 = 12 (см) – длина прямоугольника 5) (3 + 12) ∙ 2 = 30 (см) – периметр прямоугольника Ответ: 30 см. в) 1) 32 : 4 = 8 (см) – длина квадрата или отпиленной части 2) 8 : 4 ∙ 1 = 2 (см) – ширина отпиленной части Ответ: 8 см, 2 см. г) 1) 24 : 4 = 6 (см) – длина квадрата или ширина дощечки 2) 6 : 1 ∙ 3 = 18 (см) – первоначальная длина дощечки Ответ: 6 см, 18 см. д) 1) 1 + 4 = 5 (ч.) –равных условно разбит квадрат 2) 10 : 5 = 2 (см) – ширина меньшего прямоугольника 3) 10 – 2 = 8 (см) - ширина большего прямоугольника 4) (10 + 2) ∙ 2 = 24 (см) – периметр меньшего прямоугольника 5) (10 + 8) ∙ 2 = 36 (см) – периметр большего прямоугольника Ответ: 24 см, 36 см.