Работа 1. Плюс-минус один 1 Зайцы нашли в лесу бревно длиной 6 м. Чтобы отнести домой, они распилили его на части длиной по 1 метру. Сколько они сделали распилов? 2 Из книги выпал кусок, у первой страницы которого номер 35, а у последней — 74. Сколько страниц выпало? 3 Теперь у зайцев уже несколько брёвен. Они распилили все брёв- на, сделав 20 распилов, и получили 27 чурбачков. Сколько брёвен было у зайцев? 4 Сколько всего существует двузначных чисел? А трёхзначных? 5 Улитке надо подняться на столб высотой 10 м. Каждый день она поднимается на 4 м, а каждую ночь сползает на 3 м. Когда улитка доползёт до цели, если она стартовала в понедельник утром? 6 Главное здание МГУ состоит из нескольких секторов. Этажи в разных секторах отличаются по высоте. Из-за этого, например, получается, что переходы с 13 этажа сектора А ведут на 19 этаж секторов Б и В. Как соотносятся по высоте этажи в этих секторах? 7 Сколько раз за сутки на часах минутная стрелка обгонит часовую?
Ответы и решения 1 Ответ: 5 распилов. Решение. После каждого распила количество частей увеличивается на 1. Вначале была одна часть (целое бревно), в конце стало 6. Значит, было сделано 6 − 1 = 5 распилов. 2 Ответ: 40 страниц. Решение. Посмотрим на страницы с 1-й по 74-ю. Из них в вы- павший кусок не входят страницы с 1-й по 34-ю. Значит, выпало 74 − 34 = 40 страниц. 3 Ответ: 7 брёвен. Решение. После каждого распила количество чурбачков увеличивается на 1. Значит, после 20 распилов их количество увеличилось на 20. Тогда изначально у зайцев было 27 − 20 = 7 брёвен. 4 Ответ: 90 двузначных и 900 трехзначных. Решение. Двузначные числа — это 10, 11, 12, . . . , 99. Всего их 99 − 9 = 90. Аналогично трёхзначных чисел 999 − 99 = 900. 5 Ответ: в воскресенье вечером. Решение. За сутки (день и ночь) улитка будет продвигаться по столбу на 1 м (подниматься на 4 м днём и опускаться на 3 м ночью). После 6 суток она окажется на высоте 6 м и за следующий день доползёт до верха. 6 Ответ: 3 : 2. Решение. Уровень пола 13 этажа сектора А совпадает с уровнем пола 19 этажа секторов Б и В. Значит, высота первых 18 этажей сектора А равна высоте первых 12 этажей в Б и В. Тогда отношение равно 18 : 12 или 3 : 2. 7 Ответ: 21 раз. Решение. За первые 12 часов минутная стрелка обгонит часовую 10 раз: каждый час, кроме первого и последнего. В 0 ч и 12 ч стрел- ки совместятся. Так как мы рассматриваем промежуток времени в 24 часа, то стрелки пойдут дальше. Их совпадение в 12 ч дня тоже нужно считать обгоном. За следующие 12 часов произойдёт ещё 10 обгонов, а всего их будет 10 + 1 + 10 = 21.
Работа 2. Чётность 1 Что такое чётное и что такое нечётное число? Каким является число 0: чётным или нечётным? 2 Можно ли разменять 25 лир десятью монетами в 1, 3 и 5 лир? 3 Существуют ли два натуральных числа, сумма и произведение которых нечётны? 4 Хулиган Дима порвал школьную стенгазету на 3 части. После этого он взял один из кусков и тоже порвал на 3 части. Потом опять один из кусков порвал на 3 части и т.д. Могло ли у него в итоге получиться 100 частей? 5 Обозначим буквой Ч чётные числа, а буквой Н — нечётные. Заполните пропуски так, чтобы получились верные соотношения: Ч + Ч = Ч · Ч =
Ч + Н = Ч · Н =
Н + Ч = Н · Ч =
Н + Н = Н · Н =
6 На шахматной доске на одной из клеток стоял конь. Он сделал несколько ходов и вернулся на ту же клетку. Чётное или нечётное число ходов он сделал? 7 В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли между ними рас- ставить знаки «+» и «−» так, чтобы получился 0? 8 Парламент состоит из двух равных по численности палат. На совместном заседании, связанном с принятием важного решения, присутствовали все представители обеих палат. Из-за важности во- проса при голосовании никто не воздержался. После подведения итогов было объявлено, что решение принято большинством в 25 голосов. Оппозиция закричала: «Это обман!» Как это удалось опре- делить? 9 На этот раз хулиган Дима исправил две цифры в примере на умножение. Получилось 4 · 5 · 4 · 5 · 4 = 2247. Помогите учительни- це Марье Петровне восстановить исходный пример. (Определите, какие цифры на что были исправлены, и объясните, почему по- другому это сделать было нельзя.)
Ответы и решения 1 Решение. Чётным называется число, которое делится на 2 (на- цело), нечётным — число, которое не делится на 2. 0 — это чётное число, потому что 0 делится на 2. 2 Ответ: нет, нельзя. Решение. Сумма чётного количества (в данном случае 10) нечёт- ных слагаемых будет чётным число. А 25 — нечётное число. 3 Ответ: нет, не существуют. Решение. Если бы такие числа существовали, то для того, что- бы их произведение было нечётным, нужно, чтобы они оба были нечётными. Но тогда их сумма будет чётной. Противоречие. 4 Ответ: нет, не могло. Решение. Если любой кусок стенгазеты разорвать на 3 части, то общее число кусков увеличится на 2. Значит, общее количество ча- стей всегда будет нечётным. Но 100 — чётное число. 5 Ответ: Ч + Ч = Ч Ч · Ч = Ч Ч + Н = Н Ч · Н = Ч Н + Ч = Н Н · Ч = Ч Н + Н = Ч Н · Н = Н 6 Ответ: чётное. Решение. После каждого хода коня меняется цвет клетки, на ко- торой он стоит (с чёрной клетки он переходит на белую, с белой — на чёрную). В итоге конь вернулся на клетку того же клетку, что и был изначально. Значит, он сделал чётное число ходов. 7 Ответ: нельзя. Решение. Среди чисел от 1 до 10 нечётное количество нечётных. 8 Решение. Посмотрим на общее количество депутатов в обеих палатах. Оно чётно, так как весь парламент состоит из двух одина- ковых по численности палат. Обозначим количество депутатов, голосовавших против, за x. Тогда тех, кто голосовал за, было x + 25. Общее число депутатов
тогда должно быть равно 2x+ 25 — нечётному числу. Но мы знаем, что оно чётно. Значит, голоса были посчитаны неправильно. 9 Ответ: 4 · 7 · 4 · 5 · 4 = 2240 или 4 · 5 · 4 · 7 · 4 = 2240. Решение. Наличие любого из трёх множителей 4 в левой части ра- венства приводит к тому, что в правой части должно стоять чётное число, которое оканчиваться на нечётную цифру 7 не может. Так как все три этих множителя мы изменить не можем, значит, чтобы получить изначальное равенство, точно нужно поменять цифру 7. Кроме этого, остаётся поменять ещё только одну цифру. В ле- вой части равенства есть два множителя 5. Наличие любого из них означает, что число в правой части оканчивается на 5 или на 0. Так как хотя бы одна из этих пятёрок точно была изначально, то по- лучается, что на месте 7 было 5 или 0. Слева точно были четвёрки (так как их целых три), поэтому последняя цифра правого числа точно была чётной, т.е. 0. Осталось определить ещё одну изменённую цифру. Если ничего не менять слева, то справа должно быть 4 · 5 · 4 · 5 · 4 = 1600. Но 1600 из 2240 заменой одной цифры не получается. Значит, второе изменение точно было слева, а справа было 2240. 2240 содержит только один простой множитель 5. Значит, од- ну из пятёрок слева нужно заменить на другую цифру так, чтобы произведение было равно 2240. Эта цифра 2240 : 4 : 4 : 4 : 5 = 7. Т.е. одну из пятёрок надо заменить на 7.
Работа 3. Логические задачи 1 В три банки с надписями «малиновое», «клубничное» и «малино- вое или клубничное» налили смородиновое, малиновое и клубнич- ное варенье. Все надписи оказались неправильными. Какое варенье налили в банку «клубничное»? 2 Когда учительница ругала Дениса за плохой почерк, он сказал: «У всех великих людей был плохой почерк, значит, я великий че- ловек». Прав ли он? 3 У императора украли перец. Как известно, те, кто крадут перец, всегда лгут. Пресс-секретарь заявил, что знает, кто украл перец. Виновен ли он? 4 Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или фамилия, или отчество. Может ли такое быть? 5 Ковбой Джо приобрел в салуне несколько бутылок Кока-Колы по 40 центов за штуку, несколько сэндвичей по 24 цента и 2 биф- штекса. Бармен сказал, что с него 20 долларов 5 центов. Ковбой Джо высказал бармену всё, что он думает о его умении считать. Действительно ли бармен ошибся? 6 Кто-то подарил Златовласке подарок, положив его на крыльцо её дома. Златовласка подозревает, что это был один из её друзей: Стрекоза, Огонёк или Ушастик. Но как это узнать? Каждый из них указывает на одного из двух других. Правду сказала только Стрекоза. Если бы каждый указывал не на того, на кого указывает, а на второго, то Ушастик был бы единственным, кто сказал правду. Кто же подарил подарок? 7 Кто-то из трёх друзей таким же образом подарил подарок Сине- глазке. На вопросы Синеглазки Огонёк отвечал, что это Ушастик, а что сказали Ушастик и Стрекоза, Синеглазка забыла. Златовласка взяла дело в свои руки и выяснила, что только один из троих сказал правду, и именно он и сделал подарок. Кто подарил подарок? 8 Клоуны Бам, Бим и Бом вышли на арену в красной, синей и зелёной рубашках. Их туфли были тех же трёх цветов. Туфли и рубашка Бима были одного цвета. На Боме не было ничего красно- го. Туфли Бама были зелёные, а рубашка нет. Каких цветов были туфли и рубашка у Бома и Бима?
Ответы и решения 1 Ответ: малиновое. Решение. Так как все надписи неправильные, то в третьей банке не может быть ни малиновое, ни клубничное варенье. Значит, там смородиновое варенье. Тогда клубничное и малиновое должны быть в первых двух банках. А так как надписи неправильные, то в банке «клубничное» на самом деле малиновое варенье. 2 Ответ: нет, он неправ. Решение. Первым утверждением он говорит, что если человек ве- ликий, то у него плохой почерк. Но из этого совершенно не следует, что обратное утверждение тоже верно: то есть, что человек с пло- хим почерком великий. Таким образом, его вывод неверен. Можно привести много верных математических утверждений, обратные к которым неверны. Например: если два числа чётны, то их сумма тоже чётна. Но совсем не обязательно, что если сумма двух чисел чётна, то оба они тоже чётны (3 + 5 = 8). 3 Ответ: нет. Решение. Предположим, что он виновен. Значит, он должен всегда лгать. Кроме того, так как это он украл перец, то он должен знать, кто его украл — это он сам. Но тогда получается, что он сказал правду. Противоречие. Значит, наше предположение неверно, и виновным он быть не может. 4 Ответ: может. Решение. Например: Иванов Александр Сергеевич Иванов Павел Васильевич Гусев Александр Васильевич Гусев Павел Сергеевич 5 Ответ: действительно. Решение. Выразим цены всех товаров в центах. Так как 40 — чёт- ное число, то несколько бутылок Кока-Колы, купленные Джо, стоят чётное число центов. Аналогично сэндвичи стоят чётное число цен- тов. Так как бифштекса два, то оба они вместе также стоят чётное число центов. Получается, что каждый товар стоит чётное число центов, поэтому стоимость всего заказа должна тоже выражаться чётным количеством центов. Но 20 долларов 5 центов= 2005 центов — нечётное число. Значит, бармен ошибся. 6 Ответ: Огонёк. Решение. Это не могла быть Стрекоза, так как если бы это она по- дарила подарок, то указала бы на себя, так как она сказала правду. Из таких же соображений следует, что это не мог быть Ушастик. Значит, это был Огонёк. 7 Ответ: Стрекоза. Решение. Так как тот, кто подарил подарок, сказал правду, то он должен был указать на себя. Поэтому подарок подарил не Огонёк (он указал на Ушастика). Кроме того, отсюда следует, что он сказал неправду. Значит, подарок подарил не Ушастик. Получается, что это была Стрекоза. 8 Ответ: у Бома зелёная рубашка и синие туфли. У Бима красная рубашка и красные туфли. Решение. Составим таблицу: Бам Бим Бом рубашка не зел. одинак. не кр. туфли зел. одинак. не кр. У Бама зелёные туфли, поэтому двум другим клоунам остают- ся синие и красные. У Бама не красные. Значит, у него синие, а красные у Бима. Тогда рубашка у Бима тоже красная. Бам Бим Бом рубашка не зел. кр. не кр. туфли зел. кр. син. Баму и Бому остаются зелёная и синяя рубашки. У Бама не зелёная. Значит, у него синяя, а зелёная у Бома. Бам Бим Бом рубашка син. кр. зел. туфли зел. кр. син.
Работа 4. Затруднительные ситуации 1 В двух кошельках всего лежит два рубля. При этом в одном кошельке денег в два раза больше, чем в другом. Как такое может быть? 2 Замок окружён рвом, имеющим форму прямоугольной рамки. Ширина рва всюду одинакова. Есть две доски, длины которых рав- ны ширине рва. Можно ли переправиться через ров? 3 Можно ли погрузить на три грузовика семь бочек с квасом, семь пустых бочек и семь бочек, заполненных наполовину, чтобы на каждом грузовике было по семь бочек и поровну кваса? 4 Два поезда движутся навстречу друг другу по одной железнодо- рожной ветке. От неё отходит тупик, длина которого меньше длины поезда, но больше длины одного вагона. Как поездам разминуться? 5 Три котёнка и три щенка съели двадцать сосисок. Рыжий ко- тёнок съел больше всех, а серый — не меньше всех. Может ли так быть, что щенки съели не меньше сосисок, чем котята? 6 Можно ли пять бумажных колец склеить так, чтобы при разре- зании только одного звена получалось пять отдельных звеньев? 7 В баке не менее десяти литров воды. Можно ли набрать шесть литров с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона? 8 Крестьянину нужно переправить через реку волка, козу и капу- сту. Но лодка такова, что в ней может поместиться только крестья- нин, а с ним или только волк, или только коза, или только капуста. Но если оставить волка с козой без крестьянина, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Как быть? 14 Ответы и решения 1 Решение. В каждом из кошельков лежит по монете 1 руб., и один из кошельков лежит внутри другого. 2 Решение. Первую доску нужно положить «на угол» внешнего прямоугольника, а вторую так, чтобы её первый конец лежал на первой доске, а второй на углу внутреннего прямоугольника. 3 Ответ: можно. Решение. Приведём пример. Пусть 1 — полная бочка, 1 2 — бочка, заполненная наполовину, 0 — пустая. I: 1 1 1 1 2 0 0 0 II: 1 1 1 1 2 0 0 0 III: 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 4 Решение. Перегоним поезда так, чтобы оба они оказались слева от тупика. От крайнего (правого) поезда отцепим последний вагон и загоним его в тупик. Потом перегоним поезда так, чтобы они оба оказались справа от тупика. Вагон из тупика вытащим и прицепим в конец левого поезда. Проделаем эту операцию несколько раз. В итоге весь поезд, который был раньше справа, окажется полностью слева от другого поезда (который был слева). Расцепим поезда, и они смогут ехать дальше. 5 Ответ: может. Решение. Пусть первый котёнок будет рыжим, а второй — серым. Котята: 5, 2, 1; Щенки: 4, 4, 4. 6 Ответ: можно. Решение. К одному из колец прицепляем четыре остальных коль- ца. При его разрезании получится пять отдельных частей. 7 Ответ: можно. Решение. бак ведро (9 л) бидон (5 л) ≥ 10 0 0 ≥ 5 0 5 ≥ 5 5 0 ≥ 0 5 5 ≥ 0 9 1 ≥ 9 0 1 ≥ 9 1 0 ≥ 4 1 5 ≥ 4 6 0 8 Решение. Крестьянин, Капуста, Коза, Волк Капуста, Волк Крестьянин, Коза Крестьянин, Капуста, Волк Коза Волк Крестьянин, Капуста, Коза Крестьянин, Коза, Волк Капуста Коза Крестьянин, Капуста, Волк Крестьянин, Коза Капуста, Волк Крестьянин, Капуста, Коза, Волк
Работа 5. Обратный ход 1 а) Ваня задумал число, умножил его на 2, прибавил 3 и получил 17. Какое число задумал Ваня? б) На этот раз Гоша задумал число. Потом прибавил к нему 5, разделил на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил 2. Какое число задумано? 2 Женщина собрала в саду яблоки. Чтобы выйти из сада, ей при- шлось пройти через четыре двери, каждую из которых охранял сви- репый стражник, отбиравший половину яблок. Домой она принесла 10 яблок. Сколько яблок досталось стражникам? 3 В парке посадили в ряд аллею деревьев. Через год между любы- ми двумя соседними деревьями посадили ещё по одному. Ещё через год проделали то же самое. Стало 1197 деревьев. Сколько их было изначально? 4 Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиг- рал половину своих монет и отдал их второму, потом второй проиг- рал первому половину своих монет, затем опять первый проиграл половину монет. В результате у первого оказалось 15 монет, а у вто- рого 33. Сколько монет было у каждого из пиратов перед началом игры? 5 На озере расцвела одна лилия. Каждый день количество цветов на озере удваивалось, и на 20-й день все озеро покрылось цветами. На какой день озеро покрылось цветами наполовину? 6 С числами можно выполнять следующие операции: умножать на два или произвольным образом переставлять цифры (нельзя только ставить нуль на первое место). Можно ли с помощью таких опера- ций из 1 получить 74? 7 Все натуральные числа от 1 до 1000 записали в следующем по- рядке: сначала были выписаны в порядке возрастания числа, сумма цифр которых равна 1, затем, также в порядке возрастания, числа с суммой цифр 2, потом — числа, сумма цифр которых равна 3 и т.д. На каком месте оказалось число 996? 8 На Малом Мехмате в комнату 12-04 всем заходившим туда де- тям давали шоколадки. Первому зашедшему дали одну шоколад- ку и десятую часть всех оставшихся, второму зашедшему дали две шоколадки и десятую часть оставшихся, . . . , девятому зашедшему дали девять шоколадок и десятую часть оставшихся. После это- го прибежал Гоша, но, к сожалению, шоколадки уже закончились. Сколько шоколадок получили дети? Ответы и решения 1 Ответ: а) 7; б) 10. Решение. а) Так как после прибавления 3 получилось 17, значит, до этого было 17 − 3 = 14. Число 14 получилось после умножения на 2, значит, до этого было 14 : 2 = 7. б) Аналогично проделаем все действия в обратном порядке: 2 · 7 = 14 14 + 6 = 20 20 : 4 = 5 5 · 3 = 15 15 − 5 = 10. Таким образом, задумано было число 10. 2 Ответ: 150. Решение. После прохождения каждой двери количество яблок умень- шалось в 2 раза. Так как дверей было четыре, то яблок сначала было 10 · 2 · 2 · 2 · 2 = 160. Тогда стражники забрали 160 − 10 = 150 яблок. 3 Ответ: 300. Решение. Если в ряд растут несколько деревьев, то мест между ними для посадки новых на 1 меньше, чем деревьев в ряду. Пусть перед тем, как деревья сажали третий раз, их уже было x. Значит, добавилось ещё x − 1 дерево. Так как их стало 1197, то x + x − 1 = 1197. Тогда 2x − 1 = 1197, 2x = 1198, x = 599. То есть, за год до того, как деревьев стало 1197, их было 599. Дальше будем рассуждать аналогично. Пусть сначала (то есть за год до того, как деревьев стало 599) их было y. Получаем, что 2y − 1 = 599. Тогда y = 300. Значит, изначально деревьев было 300. 4 Ответ: по 24 монеты. Решение. В конце игры у первого пирата стало 15 монет. До этого он проиграл половину своих монет второму, значит, перед послед- ней партией у него было 15 · 2 = 30 монет, тогда у второго было 33 − 15 = 18 монет. Перед тем, как у пиратов стало соответствен- но 30 и 18 монет, второй проиграл половину своих первому. Значит, ещё раньше (после первой партии) у второго пирата было 18·2 = 36 монет, а у первого 30 − 18 = 12. Перед этим прошла самая первая партия, после которой первый отдал половину своих монет второму. Значит, в самом начале у первого пирата было 12 · 2 = 24 монеты, а у второго 36 − 12 = 24. 5 Ответ: на 19-й день. Решение. Каждый день количество лилий удваивалось. Значит, перед последним 20-м днём лилий было в два раза меньше, чем после него. Т.е. они покрывали половину озера. 6 Ответ: нельзя. Решение. 74 ← 37 ← 73, 74 ← 47 Число 74 можно получить из числа 37 (умножением на 2) или из числа 47 (перестановкой цифр). Числа 37 и 47 нечётные, поэто- му умножением на 2 их получить нельзя. Перестановкой цифр 37 можно получить из числа 73, а 47 из 74 (начальное число). 73 — нечётное число, поэтому его также можно получить только пере- становкой цифр из числа 37 (тоже уже встречалось). Получается, что 74 применением указанных операций можно получить только из чисел 37, 47 и 73. Таким образом, из 1 нельзя получить 74. 7 Ответ: на 990-м месте. Решение. Сумма цифр числа 996 равна 24. Причём 996 — самое большое из выписанных с такой суммой цифр (так как в первых двух разрядах стоят максимально большие цифры). Значит, перед числом 996 выписаны только числа с суммой цифр 25, 26, 27. (Ни- какое из выписанных чисел не может иметь сумму цифр, большую 27, так как число 999 имеет максимально возможную сумму цифр из всех трёхзначных, а значит, также и из всех двузначных, и одно- значных чисел, а единственное выписанное четырёхзначное число 1000 имеет сумму цифр, равную 1.) Сумму цифр 27 имеет только число 999; сумму цифр 26 — числа 998, 989 и 899; сумму цифр 25 — числа 997, 979, 799, 988, 898, 889. Таким образом, перед числом 996 написано 10 чисел, значит, оно оказалось на 990-м месте. 8 Ответ: 81 шоколадку. Решение. Когда пришёл Гоша, то шоколадок уже не осталось, то есть, можно сказать, что их осталось 0 штук. Перед этим в комна- ту заходил ребёнок (девятый по счёту), которому дали сначала 9 шоколадок, а потом десятую часть оставшихся. Если отдать деся- тую часть шоколадок, то ещё останется девять десятых. Но девять десятых от количества оставшихся шоколадок оказалось равным 0, значит, и одна десятая тоже равна 0. Таким образом, ребёнок №9 (будем называть его так) получил 9 + 0 = 9 шоколадок. До девя- того школьника заходил ребёнок №8. Он получил 8 шоколадок и десятую часть оставшихся. После того, как он ушёл, осталось 9 шо- коладок — «девять десятых оставшихся». Значит, «десятая часть оставшихся» равна 1, а всего ребёнок, пришедший восьмым, полу- чил 8 + 1 = 9 шоколадок. Таким образом, перед его приходом было 18 шоколадок. Аналогично можно получить, что перед приходом ребёнка №7 было 27 шоколадок, перед приходом ребёнка №6 — 36 шоколадок, №5 — 45 шоколадок, №4 — 54 шоколадки, №3 — 63 шо- коладки, №2 — 72 шоколадки и перед приходом первого ребёнка была 81 шоколадка. Таким образом, дети получили 81 шоколадку.
Работа 6. Про деньги 1 В копилке лежит 20 рублёвых монет и 20 двухрублёвых монет. Какое наименьшее число монет нужно достать из копилки, чтобы среди них наверняка оказались а) две одинаковые монеты; б) две двухрублёвые монеты; в) две разные монеты? 2 Две хозяйки покупали молоко каждый день в течение месяца. Цена на молоко ежедневно менялась. Средняя цена молока за месяц оказалась равной 20 рублям. Ежедневно первая хозяйка покупала по одному литру, а вторая — на 20 рублей. Кто из них потратил за этот месяц больше денег и кто купил больше молока? 3 Есть девять монет, среди них одна фальшивая. Все настоящие монеты весят одинаково, а фальшивая весит немного меньше. Как с помощью чашечных весов без стрелок и гирь за два взвешивания гарантированно определить фальшивую монету? 4 Пиноккио посадил денежное дерево, и вместо листьев на нём появлялись каждый день золотые монеты. В первый день на дереве появилась одна монета, во второй день — две, в третий день — три, и так каждый день на нём вырастало монет на одну больше, чем в предыдущий. В ночь с 29-го на 30-й день пришли лиса Алиса и кот Базилио и оборвали все золотые монеты. Сколько монет досталось коварным Алисе и Базилио? 5 Молодой человек согласился работать с условием, что в конце года он получит автомобиль «Запорожец» и 2600$. Но по истечении 8 месяцев уволился и при расчёте получил «Запорожец» и 1000$. Сколько стоил «Запорожец»? 6 Двое играют в такую игру. Они по очереди выкладывают на круглый стол одинаковые монеты. Класть монеты друг на друга нельзя. Проигрывает тот, кому некуда положить очередную монету. Кто из игроков может гарантированно обеспечить себе победу — начинающий или его соперник? Как он должен играть? 7 На столе лежат монеты. 15 из них — орлом вверх, остальные — орлом вниз. Требуется с завязанными глазами разложить эти моне- ты на две кучи так, чтобы в этих кучах число монет, лежащих ор- лом вверх, было одинаково. Количество монет в кучах может быть разным (куча может состоять из любого количества монет, в том числе из одной или еще меньше), монеты можно переворачивать, но определить наощупь, как лежит монета, невозможно. Ответы и решения 1 Ответ: а) 3; б) 22; в) 21. Решение. а) Среди трёх монет всегда найдутся две одного досто- инства, так как в копилке есть только два вида монет. С другой стороны, двух монет хватит не всегда, так как может попасться по одной монете каждого вида. б) Среди 22 монет не может оказаться более 20 рублёвых, поэтому всегда найдутся как минимум две двухрублёвые. Если вытаскивать меньше 22 монет, то гарантировать выполнение указанного условия нельзя. Возможен случай, когда будут попадаться рублёвые монеты до тех пор, пока они не закончатся в копилке. Тогда двухрублёвых монет будет не больше одной (1 для случая, когда вытаскиваем все- го 21 монету и 0 для случая, когда вытаскиваем меньше). в) Если вытащить 21 монету, то все они не могут быть одинако- выми, так как монет каждого вида только 20. Поэтому среди них найдутся две разные. Если вытащить меньше 20 монет, то все они могут быть одинаковыми, поэтому двух монет разного достоинства среди них может и не оказаться. 2 Ответ: хозяйки потратили денег поровну, но вторая купила больше молока. Решение. Так как первая хозяйка покупала ежедневно одинаковое количество молока, то средняя цена купленного ею литра молока равна средней цене молока за месяц. Поскольку ежедневно она по- купала 1 литр, то в среднем она тратила 20 рублей в день — так же, как и вторая хозяйка, следовательно, они потратили одинаковое количество денег. В те дни, когда молоко дешевое (стоит меньше, чем 20 рублей за литр), вторая хозяйка покупала больше молока, чем первая, а в те дни, когда молоко дорогое (стоит больше, чем 20 рублей за литр), вторая хозяйка покупала меньше молока, чем первая. Таким образом, вторая хозяйка действовала более эконом- но. Поскольку денег они потратили одинаково, то вторая хозяйка купила молока больше. 3 Решение. Первое взвешивание: Разделим монеты на три кучки по три монеты. Кладём на первую чашку весов первую кучку, а на вторую чашку — вторую. Если чашки находятся в равновесии, то, значит, на весах фальшивой монеты нет, тогда она в третьей кучке. Если весы не в равновесии, то фальшивая монета в более лёгкой кучке. Таким образом первым взвешиванием мы выделили группу из трёх монет, среди которых находится фальшивая. Второе взвешивание: Из выделенной кучки одну монету кладём на первую чашку весов, вторую монету — на вторую. Третью моне- ту откладываем. Если весы показывают, что одна из монет легче, то эта монета фальшивая. Если весы находятся в равновесии, то фальшивая третья монета. 4 Ответ: 435. Решение. Задача сводится к тому, чтобы посчитать сумму чисел от 1 до 29. Разобьём эти числа на пары: 1 и 29, 2 и 28, 3 и 17 , . . . , 14 и 16. Ещё число 15 останется без пары. Всего есть 14 пар, сумма чисел в каждой из которых равна 30. Тогда сумма всех чисел равна 30 · 14 + 15 = 435. 5 Ответ: 2200$. Решение. За неотработанные 4 месяца молодой человек недополу- чил 1600$. Значит, один месяц его работы стоит 400$. Таким обра- зом, год работы стоит 400$ · 12 = 4800$. Тогда «Запорожец» стоил 4800$ − 2600$ = 2200$. 6 Ответ: начинающий. Решение. Начинающий выиграет, если будет играть следующим образом. Своим первым ходом он кладёт монету так, чтобы её центр сов- пал с центром стола. Далее, каждым своим следующим ходом он кладёт монету так, чтобы она была симметрична относительно цен- тра стола той монете, которую положил второй игрок своим по- следним ходом. Первый всегда может это сделать, так как после каждого его хода расположение монет симметрично относительно центра стола (то есть, если некоторая точка поверхности стола на- крыта монетой, то и симметричная ей точка относительно центра стола накрыта, а если она не накрыта монетой, то и симметричная точка не накрыта). Таким образом, если второй смог найти место, чтобы положить монету, то есть точно такой же свободный участок по форме и по площади. Как видим, следуя такой стратегии, на- чинающий всегда может ответить на ход соперника своим ходом. Рано или поздно класть монеты будет некуда, но так как первый всегда может сделать ход, то проиграет второй игрок. 7 Решение. Кладём в одну кучу 15 монет и все их переворачи- ваем. Тогда если в этой куче изначально было x орлов, то теперь стало 15 − x (орлы стали решками, а решки — орлами). Так как всего орлов было 15, то в другой куче их тоже 15 − x. Работа 7. Разрезания 1 Разрежьте квадрат на а) 4; б) 9; в) 17 квадратов. 2 Четыре гнома получили от дяди в наследство сад, обнесенный 16 спичками, в котором растут 12 плодовых деревьев. Расположение деревьев указано на рисунке. Разделите сад с помощью 12 спичек на четыре равные части, содержащие по равному числу деревьев, при этом деревья не должны касаться ограды. (Равные части должны иметь одинаковую форму и размер.) 3 Арбуз разрезали на 4 части и съели. Получилось пять корок. Как такое могло быть? 4 Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на четыре равные части. 5 Квадратную салфетку сложили пополам, полученный прямо- угольник сложили пополам ещё раз. Получившийся квадратик раз- резали ножницами по прямой. Могла ли салфетка распасться а) на 2 части; б) на 3 части; в) на 4 части; г) на 5 частей? 6 Разрежьте изображенную на рисунке фигуру на четыре оди- наковые части так, чтобы из них можно было сложить квадрат размером 6 × 6 с шахматной раскраской. 7 а) Разрежьте прямоугольник 4 × 9 на две части, из которых можно сложить квадрат 6 × 6. б) Разрежьте прямоугольник 9×16 на две части, из которых можно сложить квадрат. 8 Разрежьте каждую из следующих фигур на две одинаковые части. Ответы и решения 1 Решение. а) Делим каждую сторону квадрата на две равные части и соединяем точки деления, лежащие на противоположных сторонах. б) Делим каждую сторону квадрата на три равные части и соединя- ем соответствующие точки деления, лежащие на противоположных сторонах. в) Берём разбиение из пункта б) и один из квадратов делим ещё на 9 частей. 2 Решение. 3 Решение. Вырезали цилиндрический кусочек с двумя короч- ками, а оставшееся разрезали на три части. 4 Решение. 5 Ответ: Во всех пунктах ответ — да. Решение. 6 Решение. 7 Решение. В пункте б) аналогичное разрезание «лесенкой». 8 Решение.
Работа 8. Принцип Дирихле 1 Восемь кроликов посадили в семь клеток. Докажите, что есть клетка, в которой оказалось по крайней мере два кролика. 2 За победу в математической регате команда из 4 человек получи- ла 10 конфет. Дети поделили конфеты между собой, не разламывая их. Определите, верны ли следующие утверждения: а) «кому-то досталось по крайней мере две конфеты»; б) «кому-то досталось по крайней мере три конфеты»; в) «двум людям досталось по крайней мере две конфеты»; г) «каждому досталась хотя бы одна конфета». 3 а) В темной комнате стоит шкаф, в котором лежат 24 чёрных и 24 синих носка. Какое минимальное количество носков нужно взять из шкафа, чтобы из них заведомо можно было составить по край- ней мере одну пару носков одного цвета? б) Какое минимальное количество носков нужно взять, чтобы за- ведомо можно было составить хотя бы одну пару чёрных носков? в) Как изменится решение задачи, если в ящике лежат 12 пар чёр- ных и 12 пар синих ботинок и требуется составить пару одного цвета (как в пункте а) и пару черного цвета (как в пункте б)? ( Ботинки, в отличие от носков, бывают левыми и правыми.) 4 В лесу растут миллион ёлок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что есть две ёлки с одинаковым количеством иголок. 5 В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в котором не менее 34 учеников. 6 В квадратном ковре со стороной 4 метра моль проела 15 дырок. Докажите, что из этого ковра можно вырезать коврик со стороной 1 метр, в котором дырок не будет. 7 В финале школьного чемпионата по баскетболу команда 5А за- била 9 мячей. Докажите, что найдутся 2 игрока этой команды, за- бившие поровну мячей. (В команде по баскетболу 5 игроков.) 8 Верно ли, что в вашей аудитории есть по крайней мере два чело- века, имеющие одинаковое число друзей в этой аудитории? Верно ли это для любой аудитории Малого мехмата? Ответы и решения 1 Решение. Если бы ни в какой клетке не было двух кроликов, то всего их было бы не больше, чем клеток, то есть, максимум 7. Но кроликов 8, противоречие. 2 Ответ: а) и б) верны, в) и г) нет. Решение. а) Если бы никому не досталось две конфеты, то конфет всего было бы не больше 4. Но их 10, противоречие. б) Если бы никому не досталось три конфеты, то конфет всего бы- ло бы не больше 2 · 4 = 8. Но их 10, противоречие. в, г) Теоретически, все конфеты мог забрать, например, один че- ловек. 3 Ответ: а) 3; б) 26; в) 25 и 37. Решение. а) Если взять только два носка, то они могут оказаться разных цветов, и составить из них пару не получится. А из трёх носков два точно будут одного цвета. б) Если взять 25 носков, то 24 из них могут оказаться синими, и составить чёрную пару не получится. Если же взять 26 носков, то синих среди них не может быть больше 24, поэтому точно будут два чёрных. в) Если взять 24 ботинка, то все они могут оказаться левыми, и составить пару из них не получится. Разобьём все 48 ботинок на пары. Пар будет 24. Если взять 25 ботинок, то два из них точно будут из одной пары. Если взять 36 ботинок, то 24 из них могут оказаться синими, а остальные 12 — левыми чёрными, и составить из них чёрную пару не получится. Если взять 37 ботинок, то хотя бы 13 из них будут чёрными, а значит, будет точно хотя бы один чёрный левый и хотя бы один чёрный правый. 4 Решение. У ёлки может быть 0, 1, 2, . . . , 600000 иголок — всего600001 возможный вариант, а ёлок больше (1000000). Значит, какой-то вариант точно повторяется, т.е. найдутся две ёлки с оди- наковым количеством иголок. 5 Решение. Если такого класса нет, то учеников в школе не может быть больше, чем 33 · 30 = 990 < 1000, противоречие. 32 6 Решение. Разобьём ковёр на 16 маленьких ковриков размером 1 × 1. Так как дырок всего 15, хотя бы один квадратик окажется без дырок. Его и можно вырезать. 7 Решение. Предположим, что такие два игрока не найдутся. То- гда все пять игроков забили разное количество мячей. Пусть пер- вый игрок ничего не забил, второй забил один мяч, третий — два, четвёртый — три, пятый — четыре. Тогда всего игроки забили 10 мячей. Если же кто-то забил больше, чем мы предположили, то и всего мячей было забито больше. Но поскольку по условию игро- ки забили 9 мячей, наше предположение неверно. Значит, есть два игрока, забившие поровну. 8 Решение. Да, верно. Проведём рассуждения сразу для любой аудитории. Пусть в аудитории n человек, и у всех из них разное количество друзей. Друзей может быть 0, 1, 2, . . . , (n − 1). Всего n возможных вариантов. А так как человек тоже n, то все эти варианты исполь- зуются. Значит, есть человек, у которого 0 друзей, т. е. который ни с кем не дружит. И есть человек, у которого (n − 1) друг, т.е. ко- торый дружит со всеми. Однако этого быть не может, т.к. эти два человека должны одновременно и дружить, и не дружить друг с другом. Получаем противоречие. Значит, два человека с одинаковым количеством друзей всегда найдутся.
Работа 9. Переливания 1 Есть два ведра: одно ёмкостью 4 л, другое — 9 л. Можно ли только с их помощью набрать из реки ровно 6 литров воды? 2 а) Можно ли, имея две банки ёмкостью 3 л и 5 л, набрать из водопроводного крана 4 литра воды? б)Тот же вопрос, если есть только банки ёмкостью 6 л и 9 л? 3 Отлейте из цистерны 13 литров воды, пользуясь бидонами в 5 л и 17 л. 4 Можно ли набрать из реки 8 литров воды с помощью двух ведёр, вместимостью 15 л и 16 л? 5 Есть три кастрюли: 8 л — с компотом, 3 л и 5 л — пустые. Как разделить компот пополам? (Компот, в отличие от воды, выливать нельзя.) 6 Можно ли разлить 50 литров бензина по трём бакам так, чтобы в первом баке было на 10 литров больше, чем во втором, а во втором на 21 литр больше, чем в третьем? 7 Есть двое песочных часов: на 7 мин и на 11 мин. Каша варится 15 минут. Как с помощью этих часов отмерить нужное время? 8 Есть две одинаковые чашки: одна с кофе, другая с молоком. Из первой чашки во вторую перелили ложку кофе. Затем ложку получившейся смеси перелили обратно из второй чашки в первую. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке? 9 Есть три сосуда 3л, 4л и 5л, кран с водой и 3 литра сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний полу- чить 6 литров смеси воды с сиропом так, чтобы в каждом сосуде воды и сиропа было поровну? 34 Ответы и решения 1 Ответ: можно. Решение. ведро 4л ведро 9л 9 4 5 0 5 4 1 0 1 1 0 1 9 4 6 2 а) Ответ: можно. Решение. банка 3л банка 5л 5 3 2 0 2 2 0 2 5 3 4 б) Ответ: нельзя. Решение. Так как и 6, и 9 делятся на 3, то после любого количе- ства переливаний объём воды (в литрах) в каждой из банок будет делиться на 3. Но 1 на 3 не делится. 35 3 Решение. бидон 5л бидон 17л 5 0 5 5 5 0 10 5 10 0 15 5 15 3 17 3 0 0 3 5 3 0 8 5 8 0 13 4 Решение. Можно. ведро 15л ведро 16л 15 0 15 15 15 14 16 14 0 0 14 15 14 13 16 13 0 0 13 15 13 12 16 и т.д. 36 5 Решение. кастрюля 8л кастрюля 3л кастрюля 5л 8 0 0 5 3 0 5 0 3 2 3 3 2 1 5 7 1 0 7 0 1 4 3 1 4 0 4 6 Ответ: нельзя. Решение. Если бы это было возможно, то во втором баке должно было бы быть не меньше 21 л бензина (так как иначе в нём не могло бы быть на 21 литр больше, чем в третьем). Значит, в первом баке должно быть не меньше 31 л, так как в нём на 10 литров больше, чем во втором. Но тогда только в первом и втором должно быть не меньше 21 + 31 = 52 литров. Противоречие. 7 Решение. Переворачиваем и те, и другие часы. Когда песок из 7-минутных часов высыпется, переворачиваем их опять. Ещё через 4 минуты закончится песок в 11-минутных часах. В этот момент надо перевернуть 7-минутные часы. Когда песок в них пересыпется обратно, пройдёт ровно 15 минут. 8 Ответ: одинаково. Решение. Во время второго переливания кофе в ложке столько же, сколько молока было взято во время первого переливания. 9 Решение. Можно. сосуд 3л сосуд 4л сосуд 5л 3с 3с 3с 5в 3в 3с 2в 3с 2в 3с 2в 3с 2в 1с 2в+2с 2в+2с 1с 1,5в+1,5с 0,5в+0,5с 1с 0,5в+0,5с 1,5в+2,5с 0,5в+0,5с 2,5в+2,5с Работа 10. Удивительный остров Действие почти во всех задачах происходит на некотором остро- ве, жителями которого являются рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. 1 Человек говорит: «Я лжец». Может ли он быть жителем острова рыцарей и лжецов? 2 Каждый из собравшихся на площади жителей острова заявил остальным: «Вы все лжецы». Сколько рыцарей среди них? 3 На улице встретились два жителя острова. Один из них сказал: «По крайней мере, один из нас рыцарь». Второй ему ответил: «Ты лжец». Кто из них кто? 4 Каждый из а) 7; б) 9 сидящих за круглым столом жителей острова сказал: «Мои соседи лжец и рыцарь». Сколько рыцарей и сколько лжецов сидит за столом? 5 Какой вопрос нужно задать жителю острова, чтобы узнать, жи- вёт ли у него дома ручной крокодил? 6 Племя людоедов поймало Робинзона Крузо. Вождь сказал: «Мы бы рады тебя отпустить, но по нашему закону ты должен произне- сти какое-нибудь утверждение. Если оно окажется истинным, мы тебя съедим. Если оно окажется ложным, тебя съест наш лев». Что нужно сказать Робинзону, чтобы не быть съеденным? 7 Некоторые жители острова заявили, что на острове чётное чис- ло рыцарей, а остальные заявили, что на острове нечётное число лжецов. Может ли число жителей острова быть нечётным? 8 Знайка задумал несколько целых чисел и сообщил их Незнайке. В интервью газете «Жёлтый листок» Незнайка сказал: «Знайка дал мне три числа. Их сумма равна 201, а произведение равно 30030». Докажите, что Незнайка соврал. Ответы и решения 1 Ответ: не может. Решение. Если бы он был рыцарем, то он бы сказал неправду, что он лжец, чего быть не может. Если же он был бы лжецом, то он сказал бы правду, что также невозможно. 2 Ответ: 1. Решение. Среди присутствующих на площади не может быть двух (или более) рыцарей, так как они называли бы друг друга лжецами. Один рыцарь быть может. Он всем остальным говорит, что они лжецы (это правда). А каждый из лжецов, говорит всем остальным, среди которых есть рыцарь, что они лжецы (это неправда). 0 рыцарей быть не может, так тогда все лжецы говорили бы правду. 3 Ответ: первый — рыцарь, второй — лжец. Решение. Предположим, что первый — рыцарь. Тогда его утвер- ждение верно (действительно хотя бы один рыцарь есть). Второй говорит, что первый лжец. При нашем предположении это неправ- да, значит, второй — лжец. Всё подходит, противоречий нет. Разберём другой случай, когда первый — лжец. Тогда его утвер- ждение неверно, значит, и первый, и второй лжецы. Но тогда второй говорит правду, что первый лжец. Такого быть не может, получа- ется противоречие. Значит, возможен только первый случай. 4 а) Ответ: 0 рыцарей, 9 лжецов или 6 рыцарей, 3 лжеца. Решение. Во-первых, возможен случай, когда все лжецы. Предположим, что есть хотя бы один рыцарь. Тогда его соседи лжец и рыцарь: Л—Р—Р. Далее справа должен сидеть лжец, чтобы второй рыцарь говорил правду: Л—Р—Р—Л. Чтобы лжец говорил неправду, справа должен сидеть рыцарь: Л—Р—Р—Л—Р. Продол- жая цепочку, получим: —Л—Р—Р—Л—Р—Р—Л—. Цепочка замыка- ется (то есть самый левый сидит рядом с самым правым). Получа- ется, что крайние на схеме лжецы говорят правду, такого быть не может. б) Ответ: 0 рыцарей, 7 лжецов. Решение. Возможен случай, когда все лжецы. Если есть хотя бы один рыцарь, то проведём рассуждения, пунк- ту а). Получим такое расположение: —Л—Р—Р—Л—Р—Р—Л—Р— Р—. Всё подходит. 5 Решение. «Что ты ответишь, если у тебя спросят, живёт ли у тебя дома ручной крокодил?» 6 Решение. «Меня съест лев». 7 Ответ: не может. Решение. Для начала заметим, что одну и ту же фразу не могут произносить и рыцари, и лжецы, так как иначе они бы противоре- чили друг другу. Поэтому возможны четыре случая: I. первое утверждение сделали рыцари и второе рыцари (то есть, лжецов нет); II. первое — рыцари, второе — лжецы; III. первое — лжецы, второе — рыцари; IV. первое — лжецы, и второе тоже лжецы (то есть, рыцарей нет). На самом деле первый случай невозможен, так как тогда рыцари бы утверждали, что лжецов нечётное число, хотя их ноль (то есть, говорили бы неправду). А второй случай невозможен, так как тогда бы лжецы утверждали, что рыцарей чётное число, а их ноль (то есть, говорили бы правду). Значит, возможны только случаи II и III. Во втором случае по- лучается, что рыцарей чётное число, и лжецов чётное. То есть, все- го чётное число людей. В третьем случае, рыцарей — нечётное, и лжецов — нечётное. Всего чётное число людей. Как видим, нечётного числа людей не может быть ни в одном из случаев. 8 Решение. Чтобы сумма трёх чисел была равна нечётному чис- лу 201, либо они все должны быть нечётными, либо одно из них должно быть нечётным, а два — чётными. Но в первом случае их произведение должно быть тоже нечётным (а 30030 — чётное). А во втором, произведение должно делиться на 4, так как присутствуют два чётных множителя, но 30030 на 4 не делится.