Ответы в самом низу встроенного документа
1.1. Кубик (игральная кость) подбрасывается один раз. События: A = {на верхней грани выпало четное число очков}, B = {на верхней грани выпало число очков, кратное 3}. 1.2. Одновременно подбрасываются две монеты. События: A = {герб выпадает на одной монете}, B = {герб выпадает на двух монетах}. 1.3. Из четырех отобранных тузов наугад вытаскивается две карты. События: A = {обе карты черной масти}, B = {карты разного цвета}. 1.4. Монета подбрасывается три раза. События: A = {герб выпал ровно один раз}, B = {ни разу не выпала цифра}, C= {выпало больше гербов, чем цифр}, D = {герб выпал не менее чем два раза подряд}. 1.5. Три изделия проверяются на стандартность. Вводятся события: A = {все изделия стандартны}, B = {хотя бы одно изделие нестандарт- но}. Выяснить смысл событий A + B, AB, AB, A \ B. 1.6. Два шахматиста играют одну партию. Вводятся события: A = {выигрывает первый игрок}, B = {выигрывает второй игрок}. Описать события AB, A \ B, AB, A + B + (A \ B). 1.7. Из колоды в 36 карт наугад вытаскивается карта. Вводятся собы- тия: A = {вытащен туз}, B = {вытащена карта красной масти}, C= {вы- тащена карта масти "пик"}. Выяснить смысл событий: AB, AC, BC, A \ B, B \ C, B \ A, BC, B + C. 1.8. Одновременно подбрасывается 4 монеты. Вводятся события: A = {гербов выпало больше, чем цифр}, B = {выпали все гербы}, C ={выпали все цифры}. Выяснить смысл событий: A , B , A \ B, A + B, AB, A \С, A⋅C , C \ A. 1.9. Из урны, в которой находятся белые и черные шары, произво- дится последовательное извлечение шаров. Вводятся события Ak = {при k-ом извлечении появится белый шар}, k=1,2,3,... Описать события 1 2 1 2 3 4 1 A2A3 A4 A1A2A3A4 A A , A A A A , A + . 1.10. Двухмоторный самолет терпит аварию, если одновременно от- казывают оба двигателя или выходит из строя системы управления. Вво- 7 дятся события: Ak = {выходит из строя k-ый двигатель}, k=1,2, B = {вы- ходит из строя система управления}, C = {самолет терпит аварию}. Най- ти события C и C . 1.11. Из двух коробок, в каждой из которых красные и синие каран- даши, наугад берется по карандашу. Вводятся события: Ak = {из k-ой ко- робки вытащен красный карандаш}, k=1,2. Построить множество эле- ментарных исходов, выразив каждый элементарный исход через 1 2 A ,A . Представить в алгебре событий следующие события: A = {вытащено два красных карандаша}, B = {вытащено два синих карандаша}, C = {вытащены карандаши одного цвета}, D = {вытащены карандаши раз- ных цветов}. 1.12. Орудие дважды стреляет по цели. Пусть Ak = {попадание в цель при k-ом выстреле}, k=1,2. Построить множество элементарных исходов, выразив каждый элементарный исход через 1 2 A ,A . Представить в алгебре событий следующие события: A = {произойдет ровно одно попадание}, B = {не будет ни одного попадания}, C= {произойдет хотя бы одно попадание}, D = {произойдет хотя бы один промах}. 1.13. Произведено три выстрела из орудия по цели. Пусть Ak = {по- падание в цель при k-ом выстреле}, k=1,2,3. Построить множество эле- ментарных исходов, выразив каждый элементарный исход через собы- тия Ak . Записать в алгебре событий следующие события: A = {произой- дет ровно одно попадание}, B = {произойдет хотя бы одно попада- ние}, C = {произойдет хотя бы один промах}, D = {произойдет не менее двух попаданий}, F = {попадание произойдет только на третьем выстре- ле}. 1.14. Пусть 1 2 3 A , A , A - три события, наблюдаемые в данном экспе- рименте. Выразить в алгебре событий следующие события: А = {про- изойдет ровно одно событие 1 2 или 3 A или A , A }, B = {произойдет хотя бы одно из событий 1 2 3 A , A , A }, C = {произойдет ровно два события из трех}, D = {произойдет не менее двух событий из трех}, F = {не про- изойдет ни одного из событий 1 2 3 A , A , A }, G = {произойдет хотя бы два события из трех}.
1.15. Обозначим события: Ak = {элемент с номером k вышел из строя}, k=1,2,3,4. B = {разрыв цепи}. Выразить событие B через Ak для электрической схемы, приведенной на рис. 1.2. 1.16. Обозначим события: Ak = {элемент с номером k вышел из строя}, k=1,2,..,5, B = {разрыв цепи}. Выразить событие B через Ak для электри- ческой схемы, приведенной на рис. 1.3.
2.1. В магазин поступило 30 новых телевизоров, среди которых 5 имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что купленный телеви- зор не имеет скрытых дефектов. 12 2.2. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятности событий: A= {число очков на верхней грани равно 6}, B = {число очков кратно 3}, C = {число очков меньше 5}. 2.3. Из колоды в 36 карт наугад вытаскивается одна. Найти вероят- ности событий: A = {карта имеет масть "пик"}, B = {карта имеет черную масть}, C= {вытащен туз}, D = {вытащен туз "пик"}. 2.4. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Кубики перемешиваются, а затем наугад вытаски- вается один из них. Найти вероятности событий: A = {кубик имеет три окрашенные грани}, B = {кубик имеет две окрашенные грани}, C = {кубик имеет одну окрашенную грань}. 2.5. На шахматную доску случайным образом ставят две ладьи: бе- лую и черную. Какова вероятность того, что ладьи не бьют друг друга? 2.6. На 9 карточках написаны цифры от 1 до 9. Определить вероят- ность того, что число, составленное из двух наугад взятых карточек, де- лится на 18. 2.7. На 8 карточках написаны числа: 2,4,6,7,8,11,12,13. Из двух нау- гад взятых карточек составлена дробь. Какова вероятность того, что она сократима? 2.8. Одновременно подбрасывается две кости. Найти вероятности событий: A= {количество очков на верхних гранях одинаково}, B = {на верхних гранях выпадет в сумме 8 очков}, C = {сумма очков четна}, D = {хотя бы на одной кости появится цифра 6}. 2.9. Телефонный номер состоит из 6 цифр. Некто забыл номер теле- фона, но помнит, что он состоит из нечетных цифр. Какова вероятность того, что номер будет угадан с первой попытки? 2.10. Поезд метро состоит из 6 вагонов. Какова вероятность того, что 3 пассажира сядут в один вагон? 2.11. Зенитная батарея, состоящая из n орудий, производит залп по группе из m самолетов. Каждое орудие выбирает себе цель наудачу неза- висимо от остальных. Найти вероятность того, что все орудия выстрелят по одному самолету. 2.12. Пяти радиостанциям разрешено вести передачи на шести час- тотах. Каждая радиостанция наудачу выбирает себе частоту. Найти веро- ятности событий: A = {все радиостанции работают на одной частоте}, B = {хотя бы две радиостанции работают на разных частотах}, C = {все ра- диостанции работают на разных частотах}. 2.13. Числа 1,2,...,20 написаны на карточках. Карточки тщательно перетасовываются, а затем вытаскиваются две из них. Какова вероят- ность того, что сумма чисел на вынутых карточках равна 30? 2.14. Цветочница выставила на продажу 15 белых и 10 красных роз. Некто просит подобрать ему букет из 5 роз. Какова вероятность того, что в букете будет 2 белые и 3 красные розы? 13 2.15. В экзаменационный билет включается два теоретических во- проса. Студент из 60 вопросов программы выучил только 40. Найти веро- ятности событий: A = {студент знает оба вопроса билета}, B = {студент знает только один вопрос билета}, C = {студент знает хотя бы один во- прос билета}. 2.16. В пачке из 100 лотерейных билетов 10 выигрышных. Некто по- купает 5 билетов. Найти вероятности событий: A = {все купленные биле- ты выигрышные}, B = {два билета выигрывают}, C = {выигрывает хотя бы один билет}. 2.17. Из колоды в 36 карт наудачу извлекаются две карты. Найти ве- роятности событий: A = {извлечены карты разного цвета}, B = {извле- чены карты одной масти}, C= {извлечен ровно один туз}, D = {среди извлеченных карт есть хотя бы один туз}. 2.18. Из колоды в 52 карты наудачу извлекаются три карты. Найти вероятности событий: A= {извлечены тройка, семерка, туз}, B = {из- влечены две карты бубновой масти}, C = {извлечены два короля}. 2.19. В партии из 30 изделий 5 бракованных. Для контроля наудачу берутся 3 изделия. Найти вероятности событий: A = {все отобранные из- делия бракованы}, B = {два изделия бракованы}, C = {хотя бы одно из- делие браковано}. 2.20. В коробке 6 красных и 4 синих карандаша. Наугад вытаскива- ются три из них. Найти вероятности событий: A = {вытащены карандаши одного цвета}, B = {вытащены хотя бы два красных карандаша}. 2.21. В коробке 10 красных, 8 синих, 2 зеленых карандаша. Наугад берутся 3 из них. Найти вероятности событий: A = {среди взятых нет си- них карандашей}, B = {взяты карандаши разного цвета}, C = {взят хотя бы один зеленый карандаш}. 2.22. В студенческой группе 15 юношей и 10 девушек. Для участия в конференции случайным образом из группы отбирается 6 человек. Найти вероятности событий: A = {среди делегатов одни юноши}, B = {среди делегатов поровну юношей и девушек}, C = {девушки составляют боль- шинство среди делегатов}, D = {среди делегатов хотя бы один юноша}. 2.23. В спортлото "5 из 36" угадываются 5 из 36 чисел. Найти веро- ятности событий: A = {угаданы все 5 чисел}, B = {угаданы 4 числа}, C = {угаданы только 3 числа}. 2.24. Для уменьшения числа игр 2n футбольных команд, среди кото- рых два призера предыдущего чемпионата, путем жеребьевки разбивают- ся на две подгруппы по n команд каждая. Какова вероятность того, что команды-призеры попадут в разные подгруппы? 2.25. Из урны, содержащей m1 белых и m2 черных шара наугад вы- таскивается m шаров ( 1 2 m < m ,m ). Найти вероятности событий: A = {все 14 вытащенные шары белые}, B = {среди вытащенных хотя бы один шар белый}, C = {вытащено не менее двух белых шаров}. 2.26. В урне m1 белых, m2 черных, m3 красных шара. Какова веро- ятность того, что три вынутых шара имеют разные цвета? 2.27. На 10 карточках написаны буквы: А, А, А, А, А, А, М, М, М, М. Ребенок наугад вытаскивает одну за другой 4 карточки и прикладывает их друг к другу слева направо. Какова вероятность того, что он случай- но сложит слово МАМА? 2.28. Слово МАТЕМАТИКА разрезается на буквы. Буквы переме- шиваются и снова складываются слева направо. Найти вероятность того, что снова получится слово МАТЕМАТИКА. 2.29. Числа 1,2,..,9 записываются в случайном порядке. Найти веро- ятности событий: A = {числа записаны в порядке возрастания}, B = {числа 1 и 2 будут записаны рядом и в порядке возрастания}, C= {числа 3,6,9 будут записаны друг за другом и в произвольном поряд- ке}, D = {на четных местах будут стоять четные числа}, F = {сумма равноотстоящих от концов записи чисел равна 10}. 2.30. На пяти карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Случайным об- разом вытаскиваются три карточки и прикладываются в ряд слева напра- во в порядке поступления. Найти вероятности событий: A = {получается число 123}, B = {число не содержит цифры 3}, C = {число состоит из последовательных цифр}, D = {получилось четное число}. 2.31. В машинном зале 10 компьютеров, из которых 3 с черно-белым экраном. Преподаватель произвольным образом рассаживает 10 студен- тов за эти компьютеры. Какова вероятность того, что студенты Иванов, Петров, Сидоров окажутся за компьютерами с черно-белым экраном? 2.32. 12 студентов, среди которых Иванов и Петров, случайным об- разом занимают очередь за учебниками в библиотеку. Какова вероят- ность, что в образовавшейся очереди между Ивановым и Петровым ока- жутся ровно 5 человек? 2.33. Восемь человек садятся за круглый стол в произвольном поряд- ке. Какова вероятность того, что два определенных лица будут сидеть ря- дом? 2.34. Пять юношей и две девушки случайным образом становятся в круг для игры в волейбол. Какова вероятность того, что обе девушки окажутся рядом? 2.35. n мужчин и n женщин случайным образом рассаживаются в ряд на 2n мест. Найти вероятности следующих событий: A = {никакие два мужчины не будут сидеть рядом}, B = {все мужчины будут сидеть ря- дом}. 2.36. Бросается 10 игральных костей. Найти вероятности следующих событий: A= {хотя бы на одной кости выпадет 6 очков}, B = {ровно на трех костях выпадет 6 очков}. 15 2.37. Из телефонной книги, в которой все номера семизначные, нау- гад выбирается номер телефона. Найти вероятности следующих событий: A = {четыре последние цифры номера одинаковы}, B = {все цифры но- мера различны}. 2.38. Шесть человек вошли в лифт на первом этаже семиэтажного дома. Считая, что любой пассажир может с равной вероятностью выйти на любом этаже, найти вероятности событий: A = {пассажиры выходят, начиная с 5 этажа}, B = {трое пассажиров выйдут на 7 этаже}, C = {на каждом этаже выйдет по одному пассажиру}. 2.39. Бросается 6 игральных костей. Найти вероятности событий: A= {выпадут 3 единицы, 2 тройки, 1 шестерка}, B = {выпадут разные цифры}, C= {выпадут одинаковые цифры}. 2.40. 52 карты раздаются четырем игрокам. Найти вероятности со- бытий: A= {каждый игрок получит туз}, B = {один из игроков получит все 13 карт одной масти}, C = {все тузы попадут к одному из игроков}
3.1. В точке C, положение которой на телефонной линии AB длины 0l равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что C удалена от A на расстояние, большее l. 3.2. На отрезок длины l поставлена точка деления. Определить веро- ятность того, что меньший отрезок имеет длину больше, чем l/3. 3.3. Луч локатора перемещается в горизонтальной плоскости с по- стоянной угловой скоростью. Какова вероятность того, что цель будет 18 обнаружена локатором в угловом секторе величины 60°, если появление цели по любому направлению одинаково возможно? 3.4. В окружность вписывается прямоугольник. Какова вероятность, что его высота больше длины основания? При решении задачи использо- вать понятие геометрической вероятности. 3.5. На оси абсцисс графика функции y = sin x наугад берется точка. Какова вероятность того, что ордината графика в этой точке больше 0,5? 3.6. Компьютер случайным образом генерирует число х из проме- жутка [−π;π ]. Какова вероятность того, что sin x < cos x ? 3.7. В окружности радиуса R проводятся вертикальные хорды. Како- ва вероятность того, что длина наудачу взятой хорды окажется меньше радиуса? 3.8. Кусок проволоки длиной 20 см был согнут в наудачу выбранной точке. После этого, перегнув проволоку еще в двух местах (не ломая ее), сделали прямоугольную рамку. Найти вероятность того, что площадь по- лученной рамки не превосходит 21 . 2 см 3.9. В окружность радиуса R вписан правильный треугольник. Внутрь круга бросается точка. Найти вероятность того, что точка попадет внутрь треугольника. 3.10. Какова вероятность, не целясь, попасть бесконечно малой пу- лей в прутья квадратной решетки, если толщина прутьев равна d , рас- стояние между их осями равно a (d < a). 3.11. Монета радиуса r (2r < a) случайным образом бросается на стол, разграфленный на квадраты со стороной a . Найти вероятность то- го, что монета не пересечет ни одной стороны квадрата. 3.12. Из промежутка [0;2] наугад выбирается два числа. Какова веро- ятность того, что их произведение больше 2? 3.13. Какова вероятность того, что сумма двух наудачу взятых отрез- ков, длина каждого из которых не превосходит a , будет больше a ? 3.14. В квадрат 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 наугад бросается точка M (x, y). Найти вероятность того, что min(x, y) ≤ a, если a∈(0;1] . 3.15. Внутри квадрата с вершинами (0;0), (1;0), (1;1), (0;1) наудачу выбирается точка M(x,y). Найти вероятность того, что: a) max (x,y) < a; б) xy < a, если 0 < а ≤ 1. 3.16. Для произвольно взятых чисел a,b∈[0;2] вычисляется опреде- литель a b a D 1 = . Какова вероятность, что D > 0? 3.17. Компьютер сгенерировал два числа из промежутка [-1;2]. Како- ва вероятность, что их сумма больше 1, а произведение меньше 1? 3.18. Параметры a,b могут принимать любые значения из проме- жутка [−1;1]. Найти вероятности следующих событий: A = {корни квад- 19 ратного трехчлена x + 2ax + b 2 действительны}, B = {корни квадратного трехчлена x + 2ax + b 2 положительны}. 3.19. На отрезке длины a поставили две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними меньше a /3? 3.20. Два приятеля договорились встретиться в течение часа. Первый из пришедших ждет 10 минут, а потом уходит. Какова вероятность того, что встреча состоится? 3.21. В любой момент времени из промежутка длительностью Т рав- новозможны поступления в приемник двух сигналов. Определить веро- ятность того, что промежуток времени между сигналами будет меньше t . 3.22. В случайные моменты времени из промежутка длительностью Т включаются передатчик и приемник. Длительность переданного сигна- ла 1t , время работы приемника 2t . Какова вероятность, что переданный сигнал будет обнаружен? 3.23. Два теплохода должны подойти к одному и тому же причалу в течение суток. Определить вероятность того, что одному из теплоходов придется ждать освобождения причала, если время стоянки одного теп- лохода 1час, другого - 2 часа. 3.24. (задача Бюффона) На плоскость, разграфленную параллельны- ми прямыми линиями, отстоящими друг от друга на расстоянии 2a , нау- дачу бросается игла длиной 2b . Какова вероятность того, что игла пере- сечет одну из прямых, если b ≤ a ? 3.25. Из промежутка [0;3] наугад выбираются три числа. Какова ве- роятность того, что их сумма меньше 3? 3.26.Стержень длины a произвольным образом разламывается на три части. Найти вероятность того, что из этих частей можно составить тре- угольник. Замечание: треугольник можно составить из трех отрезков, ес- ли сумма длин двух любых из них больше длины третьего, а разность длин - меньше длины третьего
4.1. Производится стрельба в мишень до первого попадания. Вероят- ность поражения мишени при одном выстреле равна 0,2. Найти вероят- ность того, что будет произведено 6 выстрелов. 4.2. Ведется пристрелка орудия по цели. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,7, при последующих выстрелах эта ве- роятность каждый раз увеличивается на 0,05. Какова вероятность того, что цель будет поражена лишь третьим выстрелом? 4.3. Брошены три игральные кости. Найти вероятность следующих событий: A = {на всех костях выпало по 5 очков}, B = {на всех костях выпало одно и то же число очков.} 4.4. В круг, в который вписан квадрат, бросают две точки. Найти ве- роятность того, что обе они окажутся внутри квадрата. 4.5. Два стрелка, для которых вероятность попадания в цель равна соответственно 0,7 и 0,8, производят по выстрелу. Определить вероятно- сти событий: A ={цель поражена двумя пулями}, B = {цель поражена одной пулей}, C = {цель поражена хотя бы одной пулей}. 4.6. Три студента делают некоторый расчет. Вероятность ошибиться для первого студента составляет 0,1, для второго - 0,15, для третьего - 0,2. Найти вероятности следующих событий: A = {все студенты выполнили расчет верно}, B = {только два студента выполнили верно расчет}, C = {хотя бы один студент допустил ошибку в расчете}. 25 4.7. По рации передаются три закодированных сообщения. Вероят- ность ошибки при расшифровке каждого сообщения составляет 0,3. Най- ти вероятности следующих событий: A = {все сообщения расшифрованы верно}, B = {одно сообщение расшифровано с ошибкой}, C= {с ошибкой расшифровано не менее двух сообщений}. 4.8. ОТК отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти веро- ятность того, что из трех взятых изделий: а) только одно высшего сорта; б) два высшего сорта; в) хотя бы одно высшего сорта. 4.9. Отрезок длины a разделен в отношении 2:1. Внутрь отрезка бросаются две точки. Какова вероятность, что на каждую часть отрезка попадет по точке? 4.10. На участке АВ для гонщика имеется 6 препятствий, вероят- ность остановки на каждом равна 0,1. Вероятность того, что от В до С гонщик проедет без остановки, равна 0,7. Какова вероятность того, что на АС у гонщика не будет ни одной остановки? 4.11. Наудачу подбрасываются две игральные кости. Найти вероят- ности следующих событий: A = {сумма выпавших очков четна}, B = {произведение выпавших очков четно}, C = {на одной кости число оч- ков четно, а на другой нечетно}. 4.12. В гирлянду последовательно включено 10 лампочек. Вероят- ность перегорания лампочки при повышении напряжения составляет 0,1. Определить вероятность безотказной работы гирлянды при повышении напряжения. 4.13. Вероятность выхода из строя каждого двигателя трех моторно- го самолета равна p . Самолет может продолжать полет, если работает хотя бы один двигатель. Какова вероятность аварии? 4.14. Для изготовления микросхемы требуется n технологических операций; вероятность брака на каждой операции равна p . Какова веро- ятность изготовления бракованной микросхемы? 4.15. Сколько надо взять игральных костей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,7, можно было ожидать выпадения 6 очков хотя бы на од- ной кости? 4.16. Вероятность попадания стрелком в мишень равна p . Сколько нужно сделать выстрелов, чтобы с вероятностью, не меньшей p1, было зарегистрировано хотя бы одно попадание? 4.17. Самолет терпит аварию, если отказали оба двигателя, или вы- шла из строя система управления, или вышли из строя системы навига- ции. Найти вероятность аварии самолета, если вероятность выхода из строя каждого двигателя составляет 0,005, системы управления - 0,001, систем навигации - 0,0002.
4.24. По самолету выпущена ракета, самолет может уничтожить ее с вероятностью 0,7. Если самолет не уничтожит ракету, то она поражает самолет с вероятностью 0,9. Какова вероятность поражения самолета ра- кетой? 3 6 2 5 1 4 1 2 3 4 1 2 3 1 3 5 2 4 1 5 3 2 4 2 3 1 4 27 4.25. Коля с Мишей по одному разу пробивают футбольный "пеналь- ти", игру начинает Коля. Первый забивший мяч считается выигравшим. Вероятность забить мяч в ворота для обоих мальчиков составляет 0,6. Найти вероятности: а) ничьей; б) выигрыша Коли; в) выигрыша Ми- ши. 4.26. Происходит воздушный бой между двумя самолетами: истре- бителем и бомбардировщиком. Стрельбу начинает истребитель, он дает очередь по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью . p1 Если бомбардировщик этой очередью не сбит, он стреляет по истребителю и сбивает его с вероятностью . p2 Если истребитель не сбит, то он снова стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью . p1 Найти вероятности следующих исходов боя: A = {сбит бомбардировщик}, B = ={сбит истребитель}, C = {ни один из самолетов не оказался сбитым}. 4.27. Два школьника играют в следующую игру: один задумывает некоторое число в пределах от 1 до 9, а другой его угадывает. Какова ве- роятность того, что число будет угадано с третьей попытки? 4.28. Абонент забыл последнюю цифру телефонного номера и наби- рает ее наугад. Какова вероятность, что ему придется набирать номер не более трех раз? 4.29. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу и по- следовательно извлекают по одному шару до появления черного шара. Найти вероятность того, что придется производить четвертое извлечение, если выборка производится: а) с возвращением; б) без возвращения. 4.30. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых, 10 синих шаров. Наудачу вынимается два шара. Найти вероятность того, что будут вынуты шары разного цвета. 4.31. Студент знает 40 из 60 вопросов программы. Экзаменационный билет состоит из 3 вопросов, отобранных случайным образом. Какова ве- роятность того, что студент знает не менее двух вопросов билета? 4.32. На 10 карточках написаны буквы: А, А, А, А, А, А, М, М, М, М. Ребенок наугад вытаскивает одну за другой 4 карточки и прикладывает их друг к другу слева направо. Какова вероятность того, что он случайно сложит слово МАМА? 4.33. Слово МАТЕМАТИКА разрезается на буквы. Буквы переме- шиваются и снова складываются слева направо. Найти вероятность того, что снова получится слово МАТЕМАТИКА. 4.34. Слово АККЛИМАТИЗАЦИЯ разрезается на буквы, которые тщательно перемешиваются. Вытаскиваются наугад 5 букв и приклады- ваются одна к другой слева направо. Какова вероятность сложить слова: а) акция; б) клика; в) казак? 4.35. Коля с Мишей вынимают поочередно по одной кости из полно- го набора домино. Каждый имеет право вынуть не более трех костей. 28 Выигравшим считается тот, кто первым вынет "дубль". Первым игру на- чинает Коля. Найти вероятности выигрыша каждого мальчика. 4.36. Покупателю предлагается 50 лотерейных билетов, из которых 4 выигрышных. Покупатель покупает наугад три билета. Найти вероятно- сти следующих событий: A = {куплены все выигрышные билеты}, B = {большая часть купленных билетов не выигрывает}. 4.37. Из колоды в 36 карт наудачу извлекается одна карта. Вводятся события: A = {извлеченная карта является тузом}, B = {извлечена карта черной масти}, C = {извлеченная карта является фигурой (т.е. ва- летом, дамой, королем, тузом)}. Установить, зависимы или независимы следующие пары событий: АиВ, АиС, B и С. Определить, используя формулу вероятности произведения, вероятность события ABС. 4.38. Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50 человек знают английский язык, 40 - французский, 35 - немецкий. Английский и фран- цузский языки знают 20 студентов, английский и немецкий 8 человек, французский и немецкий - 10 человек. Все три языка знают 5 человек. Один из студентов вышел из аудитории. Введем события: A= {вышед- ший знает английский язык}, B = {вышедший знает французский язык}, C = {вышедший знает немецкий язык}. Указать все пары незави- симых событий. Установить, являются ли события A,B,C независи- мыми в совокупности. 4.39. Коля с Мишей поочередно бросают монету, выигрывает тот, у кого раньше появится герб. Найти вероятности выигрыша каждого игро- ка, считая, что бросание монеты может продолжаться бесконечно долго, а Коля бросает первым. 4.40. Два стрелка поочередно стреляют по цели, вероятности их по- падания равны соответственно 0,8 и 0,6. Соревнования продолжаются до первого попадания в мишень какого-либо стрелка. Найти вероятность выигрыша для каждого стрелка.
5.1. В цехе 14 установок с автоматическим контролем и 6 с ручным. Вероятность изготовления некондиционной продукции для установок с автоматическим контролем составляет 0,001, с ручным контролем - 0,002. Какова вероятность того, что взятая на лабораторный анализ продукция цеха оказалась кондиционной? 5.2. На конвейер поступают детали с двух станков с ЧПУ. Произво- дительность первого станка в 2 раза больше производительности второго. Вероятность брака на первом станке 0,01, на втором станке 0,02. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь стандартна. 5.3. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция пер- вого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом, второго - 10%, третьего 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30 телевизоров первого завода, 20 второго, 50 третьего. 32 5.4. В бригаде 8 рабочих и 2 ученика. Вероятность изготовить брако- ванное изделие для рабочего составляет 0,05, для ученика 0,2. Произво- дительность рабочего в два раза выше, чем у ученика. Какова вероят- ность, что некоторое изделие, изготовленное бригадой, окажется брако- ванным? 5.5. В студенческой группе 3 отличника, 5 хорошо успевающих, 12 слабо успевающих студента. Отличник с равной вероятностью может по- лучить на экзамене 5 или 4; хорошо успевающий студент - с равной веро- ятностью 5 или 4, или 3; слабо успевающий - с равной вероятностью 3 или 2. Какова вероятность, что наугад вызванный сдавать экзамен сту- дент получит оценку 4? 5.6. Вероятность попадания в танк при одном выстреле составляет 0,2. При одном попадании танк загорается с вероятностью 0,3, при двух - с вероятностью 0,5, при трех - с вероятностью 0,9. По танку сделано три выстрела. Какова вероятность его загорания? 5.7. Производится n независимых выстрелов по резервуару с горю- чим. Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью p . Если в ре- зервуар попал один снаряд, то горючее воспламеняется с вероятностью p1, если два и более, то с вероятностью 1. Найти вероятность того, что при n выстрелах горючее воспламенится. 5.8. Имеется 15 экзаменационных билетов, каждый из которых со- держит по 2 вопроса. Студент Иванов знает ответ только на 15 вопросов. Определить вероятность того, что он сдаст экзамен, если для этого нужно ответить либо на оба вопроса, либо на один вопрос билета и один допол- нительный вопрос. 5.9. Студент Иванов знает только 10 экзаменационных билетов из 25. В каком случае шансы Иванова сдать экзамены выше: когда он берет би- лет первым или вторым? 5.10. В первой урне лежат 8 белых и 12 черных шаров, во второй ур- не - 4 белых и 15 черных шаров. Из первой урны во вторую перекладыва- ется один шар, затем из второй урны извлекается шар. Какова вероят- ность того, что извлеченный шар белый? 5.11. В первой урне находится 3 белых и 7 черных шаров, во второй урне- 5 белых и 3 черных шара. Из первой урны во вторую перекладыва- ются 2 шара, а затем из второй урны извлекается шар. Какова вероят- ность того, что он белый? 5.12. В ящике лежат 15 новых и 5 игранных теннисных мячей. Для игры наудачу выбираются два мяча, и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры также наудачу отбираются еще два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами? 5.13. В первой урне лежат 8 белых и 12 черных шаров, во второй ур- не - 4 белых и 16 черных шара. Из каждой урны берется по шару и пере- 33 кладывается в третью урну, затем из третьей урны вытаскивается шар. Какова вероятность того, что вытащен белый шар? 5.14. Для поиска пропавшего самолета выделено 10 вертолетов, каж- дый из которых может быть использован в одном из двух районов, где самолет может находиться с вероятностями 0,8 и 0,2. Как следует распре- делить вертолеты, чтобы вероятность обнаружения самолета была наи- большей. Найти вероятность обнаружения самолета при оптимальной процедуре поиска. Считается, что каждый вертолет обнаруживает нахо- дящийся в районе самолет с вероятностью 0,2, и поиски осуществляются каждым вертолетом независимо от других. 5.15. В пирамиде 10 винтовок с оптическим прицелом и 20 без опти- ческого прицела. Вероятность попадания в мишень из винтовки с оптиче- ским прицелом равна 0,9 , из винтовки без оптического прицела - 0,6. Наугад берется винтовка, и из нее делается выстрел; при этом мишень оказывается пораженной. Найти вероятность того, что выстрел сделан: а) из винтовки с оптическим прицелом; б) из винтовки без оптического прицела. 5.16. На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,8 по- ступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,2 - только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство реги- стрирует наличие сигнала с вероятностью 0,7, если только помеха, то с вероятностью 0,3. Известно, что устройство зарегистрировало наличие сигнала. Найти вероятность того, что в его составе есть полезный сиг- нал. 5.17. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в количест- венном отношении: 1 2 3 n : n : n ; вероятности брака для этих заводов соот- ветственно равны , , . p1 p2 p3 Прибор, купленный лабораторией, оказался бракованным. Какова вероятность того, что этот прибор изготовлен пер- вым заводом? 5.18. В урне лежит шар неизвестного цвета: с равной вероятностью белый или черный. В урну опускается белый шар и после тщательного перемешивания один шар извлекается. Он оказался белым. Какова веро- ятность того, что в урне остался белый шар? 5.19. Прибор состоит из двух последовательно включенных узлов. Надежность первого узла равна 0,9, второго - 0,8. За время испытания прибора зарегистрирован его отказ. Найти вероятности следующих собы- тий: а) отказал только первый узел; б) отказали оба узла. 5.20. В условиях задачи 5.5 студент получил на экзамене оценку 4. Какова вероятность, что он хорошо учился в семестре? 5.21. Три стрелка стреляют по мишени, которая оказывается пора- женной одной пулей. Найти вероятность того, что попал первый стрелок, если вероятности попадания стрелков равны соответственно 0,6, 0,7, 0,8. 34 5.22. Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда по- пали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие попало в цель, если вероятности попадания для орудий равны соответственно 0,4, 0,3, 0,5. 5.23. Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрел- ков равны соответственно 4/5, 3/4, 2/3. При одновременном выстреле всех трех стрелков имеется два попадания. Определить вероятность того, что промахнулся первый стрелок. 5.24. Трое охотников одновременно выстрелили по вепрю, который был убит одной пулей. Определить вероятности того, что вепрь убит пер- вым, вторым, третьим охотником, если вероятности попадания для них равны соответственно 0,2, 0,4, 0,6.
6.1. Монета бросается 5 раз. Найти вероятность того, что герб поя- вится: а) 1 раз; б) 2 раза; в) 3 раза. 6.2. Игральная кость бросается 5 раз. Найти вероятность того, что 2 раза появится число очков, кратное трем. 37 6.3. На цель сбрасывается 6 бомб, вероятность попадания каждой в цель составляет 0,3. Найти вероятность поражения цели: а) 4 бомбами; б) 3 бомбами. 6.4. Вероятность попадания бомбы в цель составляет 0,25. Сбрасыва- ется 8 бомб. Найти вероятность того, что будет: а) не менее 7 попаданий; б) не менее 1 попадания. 6.5. Вероятность попадания стрелком в мишень при каждом выстре- ле не зависит от результатов предыдущих выстрелов и равна 0,8. Стре- лок сделал 5 выстрелов. Найти вероятности следующих событий: а) ми- шень поражена одной пулей; б) мишень поражена двумя пулями; в) заре- гистрировано хотя бы одно попадание; г) зарегистрировано не менее трех попаданий. 6.6. В семье 5 детей; вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятности событий: A = {в семье два мальчика}, B = {в семье не более двух мальчиков}, C = {в семье более двух мальчиков}, D = {в семье не менее 2 и не более 3 мальчиков}. 6.7. Играют две равносильные команды в футбол. В ходе матча заби- то 4 мяча. Какова вероятность того, что счет будет равным? 6.8. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероят- нее: а) выиграть одну партию из двух или две из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех из пяти? Ничьи во вни- мание не принимаются. 6.9. При вращении антенны локатора за время облучения самолета успевают отразиться 8 импульсов. Найти вероятность обнаружения цели за один оборот антенны, если для этого необходимо прохождение через приемник не менее 5 импульсов, а вероятность подавления импульса по- мехой равна 0,1. 6.10. В круг радиуса R вписан правильный шестиугольник. Внутрь круга брошены наудачу четыре точки. Найти вероятность того, что три из них попадут внутрь шестиугольника. 6.11. Отрезок АВ точкой С разделен в отношении 2:1, считая от точ- ки А. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две правее. 6.12. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:3, считая от точ- ки А. На этот отрезок брошено 6 точек. Найти вероятность того, что не менее трех точек окажутся левее С. 6.13. При раздаче колоды в 52 карты четырем игрокам один из них три раза подряд не получал тузов. Есть ли у него основания жаловаться на невезение? 6.14. ОТК проверяет партию изделий из 10 деталей. Вероятность то- го, что деталь стандартна, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число де- талей, которые будут признаны стандартными. 38 6.15. Игральная кость подбрасывается 16 раз. Найти наивероятней- шее число выпадений очков, кратных 3. 6.16. На цель противника сбрасывается 10 бомб, вероятность попа- дания в цель для каждой составляет 0,2. Найти: а) наиболее вероятное число попаданий и соответствующую вероятность; б) вероятность того, что число попаданий колеблется в пределах от 2 до 4. 6.17. Технологический процесс контролируется по 14 параметрам. Вероятность выхода каждого параметра за границы технических допус- ков составляет 0,2. Найти: а) наивероятнейшее число параметров, выхо- дящих за границы технических допусков и соответствующую вероят- ность; б) вероятность выхода за границы технических не менее 4 пара- метров. 6.18. Из трех орудий произведен залп по цели. Вероятность попада- ния в цель для первого орудия равна 0,8, для второго - 0,85, для третьего - 0,9. Найти вероятность того, что в цель попали: а) все три орудия; б) два орудия; в) одно орудие; г) ни одного орудия. 6.19. Ведется пристрелка орудия по цели. Вероятность попадания в цель при первом выстреле равна 0,6, при последующих выстрелах эта ве- роятность увеличивается каждый раз на 0,1. Какова вероятность того, что при 4 выстрелах орудие попадает в цель: а) все 4 раза; б) ровно 3 раза; в) не более двух раз. 6.20. На трассе гонок имеется 4 препятствия. Первое препятствие гонщик успешно преодолевает с вероятностью 0,9, второе - с вероятно- стью 0,95, третье - с вероятностью 0,8, четвертое - с вероятностью 0,85. Найти вероятность того, что гонщик успешно преодолеет: а) все 4 пре- пятствия; б) ровно два препятствия; в) не менее двух препятствий из че- тырех. 6.21. Экспериментально установлено, что при подбрасывании спи- чечного коробка количества его падений на меньшую, среднюю и боль- шую грани относятся как 1:4:15. Какова вероятность того, что при 6 под- брасываниях коробка он 1 раз упадет на меньшую грань, 1 раз - на сред- нюю, 4 раза - на большую? 6.22. Отрезок разделен на три равные части. На отрезок наудачу бро- саются три точки. Найти вероятность того, что на каждую из трех частей отрезка попадет по одной точки. 6.23. Отрезок разделен на 4 равные части. На отрезок наудачу бро- саются 8 точек. Найти вероятность того, что на каждую из четырех час- тей отрезка попадет ровно по две точки. 6.24. В квадрат со стороной a вписана окружность, в которую впи- сан правильный треугольник. Внутрь квадрата бросается 5 точек. Найти вероятность того, что три точки попадут внутрь круга, причем две из них - внутрь треугольника, а две остальные вообще не попадут в круг. 39 6.25. Для новогодних подарков школой закуплено 8 кг яблочной, 20 кг вишневой, 12 кг сливовой и 10 кг апельсиновой карамели. Все конфеты перемешаны, и в каждый подарочный пакет кладется по 6 кара- мелек. Какова вероятность того, что школьник Ваня обнаружит в своем пакете две вишневых, две сливовых и по одной яблочной и апельсиновой карамельке.
7.1. Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0,002. Сверла укладываются в коробки по 100 штук. Найти вероят- ность того, что: а) в коробке не окажется бракованных сверл; б) число 42 бракованных сверл окажется не более 3. 7.2. Магазин получил 1000 стеклянных бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка будет разбита, равна 0,003. Найти вероятность того, что при перевозке будут разбиты: а) ровно две бутылки; б) не более двух бутылок; в) не менее двух бутылок; г) хотя бы одна бутылка. 7.3. Если левши составляют в среднем 1% населения, каковы шансы на то, что среди 200 человек: а) окажутся ровно четверо левшей; б) ока- жутся не менее четырех левшей. 7.4. Известно, что в среднем 5% студентов носят очки. Какова веро- ятность того, что из 200 студентов, сидящих в аудитории, не менее 5 но- сят очки? 7.5. Система связи состоит из 1000 элементов, каждый из которых независимо от остальных выходит из строя за время Т с вероятностью 0,0005. Найти вероятности следующих событий: А= {за время Т откажет хотя бы один элемент}, В= {за время Т откажут ровно 3 элемента}, С={за время Т откажут не более 3 элементов}. 7.6. Корректура в 500 страниц содержит 1300 опечаток. Найти наи- более вероятное число опечаток на одной странице текста и вероятность этого числа опечаток. 7.7. На факультете 500 студентов. Найти наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 сентября, и вероятность этого числа рождений. Вероятность рождения 1 сентября принять равной 0,0027. 7.8. Вероятность изготовления консервной банки с недостаточной герметизацией равна 0,002. Среди скольких банок, отобранных случайно, можно с вероятностью 0,9 ожидать отсутствие бракованных? 7.9. На АТС поступают в среднем 12 заказов в минуту. Найти веро- ятность того, что за 20 с поступят: а) ровно 2 заказа; б) не менее 2 зака- зов. 7.10. Среднее число заказов, поступающих на АТС в минуту, равно 120. Найти вероятности следующих событий: А={за 2 с на АТС не посту- пит ни одного заказа}, В={за 2 с на АТС поступят менее 2 заказов}, С={за 1 сек. на АТС поступит хотя бы один вызов}, D={за 3 сек. на АТС поступят не менее 6 заказов}. 7.11. С нагретого катода электронной лампы в течение 1 секунды вылетает a электронов. Найти вероятность того, что за t секунд: а) выле- тит ровно m электронов; б) не менее m электронов. 7.12. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз. 7.13. Школа принимает в первые классы 200 детей. Определить ве- роятность того, что среди них одинаковое количество мальчиков и дево- чек, если вероятность рождения мальчика равна 0,515. 43 7.14. Вероятность изготовления обуви первого сорта равна 0,4. Како- ва вероятность того, что среди 600 пар обуви, поступивших на контроль, количество пар первосортной обуви колеблется в пределах от 228 до 252? 7.15. Орудия обстреливают ДОТ. Вероятность попадания при каж- дом выстреле равна 0,2. ДОТ окажется пораженным, если в него попадут не менее 30 снарядов. Какова вероятность поражения ДОТа, если по нему выпущены 100 снарядов? 7.16. Вероятность пошива костюма 1 сорта равна 0,8. В магазин по- ступили 400 костюмов. Найти вероятности следующих событий: А={число первосортных костюмов равно 310}, В={число первосортных костюмов не превысит 310}. 7.17. Вероятность изготовления на заводе первосортного холодиль- ника составляет 0,9. В магазин поступили 100 холодильников. Какова ве- роятность, что среди них: а) ровно 92 первосортных; б) число перво- сортных холодильников колеблется в пределах от 80 до 90. 7.18. Лабораторным путем установлена всхожесть зерен в 80%. Чему равна вероятность того, что среди отобранных 1000 зерен прорастут: а) не менее 800 зерен; б) от 820 до 840 зерен; в) от 880 до 920 зерен? Оп- ределить вероятность того, что среди отобранных 1000 зерен число про- росших отличается от наиболее вероятного числа их не более чем на 30 зерен в ту или другую сторону. 7.19. В некоторой местности в среднем на каждые 100 выращенных арбузов приходится один весом не менее 10 кг. Найти вероятность того, что в партии арбузов из этой местности, содержащей 400 штук, будут: а) ровно 3 арбуза весом не менее 10 кг каждый; б) не менее трех таких арбузов. 7.20. Французский естествоиспытатель Бюффон подбросил монету 4040 раз, причем герб появился 2048 раз. Найти вероятность того, что при повторении опыта Бюффона относительная частота появления герба отклонится по модулю от вероятности его появления не более чем в опы- те Бюффона. 7.21. Вероятность появления события в каждом из независимых ис- пытаний равна 0,5. Найти число испытаний, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события от- клонится по модулю от его вероятности не более чем на 0,02. 7.22. В урне содержатся черные и белые шары в отношении 4:1. По- сле извлечения шара регистрируется его цвет, и шар возвращается в урну. Чему равно наименьшее число извлечений, при котором с вероятностью 0,95 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения относитель- ной частоты появления белого шара от его вероятности будет не более чем 0,01? 7.23. Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число ε , 44 чтобы с вероятностью 0,99 абсолютная величина отклонения относитель- ной частоты появления события от его вероятности не превышала ε . 7.24. ОТК проверяет на стандартность 900 деталей. Вероятность то- го, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число стандартных деталей среди проверен- ных. 7.25. Игральную кость бросают 80 раз. Найти с вероятностью 0,99 границы, в которых будет заключено число выпадений шести очков.
8.1. Составить закон распределения случайной величины Х - числа появления герба при двух бросаниях монеты. 53 8.2. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента при включении равна 0,1. Соста- вить закон распределения числа элементов, отказавших при включении. 8.3. Три стрелка стреляют по одной мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,2, для второго - 0,4, для третьего - 0,5. Пусть Х - число попаданий в мишень при одном залпе. Составить закон распределения Х, записать функцию распределе- ния F(x). 8.4. В партии из 6 деталей стандартны 4 детали. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения случайной величины Х - числа стандартных деталей среди отобранных. 8.5. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном вы- стреле, равна 0,8. Стрелку выдаются патроны до тех пор, пока он не про- махнется. Составить закон распределения Х - числа патронов, выданных стрелку. 8.6. Испытывается 5 однотипных приборов; вероятность отказа каж- дого не зависит от отказов остальных и составляет 0,2. Пусть Х - число отказавших за время испытаний приборов. Составить закон распределе- ния Х, найти моду, вычислить вероятности событий: a) X = 0; б) X < 3; в) X ≥ 4. 8.7. Случайная величина Х задана на всей числовой оси функцией распределения F(x)= 0,5+ 1/π⋅arctg x. Найти вероятность того, что в ре- зультате испытания Х примет значение: а) заключенное в промежут- ке [0; 1); б) заключенное в промежутке [-1; 3 ).
9.1. Для равномерно распределенной на [a; b] случайной величины Х найти функцию распределения. 9.2. Автобусы маршрута № 5 идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут. 9.3. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 с. 9.4. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округ- ляются до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая по модулю 0,02А. 9.5. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показа- ния прибора округляются до ближайшего целого деления. Найти вероят- ность того, что при отсчете будет сделана абсолютная ошибка: а) мень- шая 0,04; б) большая 0,05. 9.6. Из банки, содержащей 2 л воды, отлили произвольное ее количе- ство. Какова вероятность того, что в банке останется не более 0,5 л воды? 9.7. Написать плотность распределения нормально распределенной случайной величины Х, зная, что М[Х] = 3, D[X] = 16. 9.8. Математическое ожидание нормально распределенной случай- ной величины равно 5, дисперсия равна 4. Записать ее плотность распре- деления и функцию распределения. Определить квантили порядков 0,7 и 0,99. 9.9. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервал (12, 14). 9.10. Процент содержания золы в угле является нормально распреде- ленной случайной величиной с математическим ожиданием 16% и сред- ним квадратическим отклонением 4%. Определить вероятность того, что в наудачу взятой пробе угля будет от 12 до 24% золы. 9.11. Производится измерение диаметра вала двигателя без система- тических ошибок. Случайные ошибки измерения Х подчинены нормаль- ному закону со средним квадратическим отклонением, равным 10 мкм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мкм. 9.12. Бомбардировщик, пролетевший вдоль моста, длина которого 60 30 м, сбросил бомбу. Случайная величина Х (расстояние от центра моста до места падения бомбы) распределена нормально с математическим ожиданием, равным нулю, и средним квадратическим отклонением, рав- ным 6 м. Найти вероятность попадания бомбы в мост. Считается, что мост имеет ширину, достаточную для попадания в него бомбы. 9.13. Случайная величина Х распределена нормально с математиче- ским ожиданием 25. Вероятность попадания Х в интервал (10; 15) равна 0,2. Найти вероятность попадания Х в интервал (35; 40). 9.14. Случайная величина Х распределена нормально с математиче- ским ожиданием 10 и средним квадратическим отклонением 5. Найти ин- тервал, симметричный относительно математического ожидания, в кото- рый с вероятностью 0,9973 попадет в результате эксперимента величина Х. 9.15. Станок-автомат изготовляет шарики для подшипников, причем контролируется их диаметр Х. Считая Х нормально распределенной слу- чайной величиной с математическим ожиданием 10 мм и средним квад- ратическим отклонением 0,1 мм, найти интервал, симметричный относи- тельно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,9973 бу- дут заключены диаметры изготовленных шариков. 9.16. Математическое ожидание и дисперсия нормально распреде- ленной случайной величины Х соответственно равны 10 и 9. Найти веро- ятности того, что в результате трех испытаний: а) Х трижды попадет в интервал (9; 12); б) Х дважды попадет в интервал (7; 19). 9.17. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид ( ) exp( 2 3). 2 f x = γ −x + x − Установить тип распределения, найти пара- метр γ, математическое ожидание и дисперсию, вероятность выполнения неравенства: -1/3 < X < 4/3. 9.18. Найти плотность и функцию распределения показательного распределения, если его математическое ожидание равно 0,2. Для данно- го распределения найти квантили порядка 0,7 и 0,85. 9.19. Непрерывная случайная величина Х распределена по показа- тельному закону, заданному плотностью распределения f (x) = 0,04exp(−0,04x) при x ≥ 0; f (x) = 0 при x < 0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (1; 2). 9.20. Время ожидания в очереди имеет показательный закон распре- деления со средним временем ожидания 20 мин. Какова вероятность то- го, что покупатель потратит на покупку не менее 10 и не более 15 мин? 9.21. Время исполнения заказа на ремонт радиоаппаратуры имеет показательный закон распределения со средним временем исполнения в 5 суток. Какова вероятность того, что сданный Вами в мастерскую магни- тофон починят не ранее чем через 4 суток? 61 9.22. Длительность времени безотказной работы элемента имеет по- казательное распределение F(t) =1− exp(−0,01t), t > 0 − время в часах. Найти вероятность того, что за время длительностью 50 ч: а) элемент откажет; б) элемент не откажет. 9.23. Испытываются два независимо работающих элемента. Дли- тельность времени безотказной работы первого элемента имеет показа- тельное распределение ( ) 1 exp( 0,02 ), 1F t = − − t второго F2 (t) =1− exp(−0,05t), t − время в часах. Найти вероятность того, что за 6 часов: а) оба элемента откажут; б) оба элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет. 9.24. Устройство состоит из трех независимо работающих блоков; его функциональная схема изображена на рис. 9.2. Зная, что среднее вре- мя безотказной работы 1, 2, 3 блоков соответственно равны 500 ч, 800 ч, 1000 ч, найти вероятность безотказной работы устройства в тече- ние 1500 часов. 9.25. Устройство состоит из четырех независимо работающих бло- ков; его функциональная схема изображена на рис. 9.3. Зная, что среднее время безотказной работы 1, 2, 3, 4 блоков соответственно равны 100 ч, 200 ч, 300 ч, 50 ч, найти вероятность безотказной работы устройства в те- чение 120 часов.