1.1. Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие A={выбранное число делится на 5}; событие B={данное число оканчивается нулем}. Что означают события: , ? 1.2. Два шахматиста играют одну партию. Событие A={выиграет первый игрок}, B={выиграет второй игрок}. Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий? 1.3. Совместны ли события и ? 1.4. События A={хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное}, событие B={бракованных изделий среди них не менее двух}. Что означают противоположные события и? 1.5. Из корзины, содержащей красные, желтые и белые розы, выбирается один цветок. Пусть события A={выбрана красная роза}, B={выбрана желтая роза}, C={выбрана белая роза}. Что означают события: а); б) A+B; в) AC; г) ; д) +; е) AB+C? 1.6. Пусть - попадание в мишень соответственно первым, вторым и третьим стрелком при одном выстреле. События - промахи этих стрелков. Найти выражения для событий: а) A={ни одного попадания в мишень}, б) B={только одно попадание}, в) C={только два попадания}, г) E={три попадания}, д) F={хотя бы одно попадание}; е) K={хотя бы два попадания в результате этих трех выстрелов}. 1.7. Выделить полную группу несовместных событий в опыте с вбрасыванием одного игрального кубика. Выразить через события этой группы события: A={выпадение четного числа очков}; B={выпадение числа очков, кратного трем}. 1.8. Пусть A, B, C – три произвольных события. Найти выражения для событий, которые состоятся в следующих случаях: 1) произошло только событие A; 2) произошло одно и только одно событие; 3) произошло два и только два события; 4) все три события произошли; 5) произошло по крайней мере одно событие; 6) произошло не более двух событий.
2.1. Из четырех одинаковых карточек, на которых написаны буквы А, Б, В, Г, наугад взяты две. Определить вероятность того, что буквы на этих карточках будут соседними по алфавиту. 2.2. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность следующих событий: а) сумма выпавших очков равна 8; б) произведение выпавших очков равно 8; в) сумма выпавших очков больше, чем их произведение. 2.3. Даны 9 карточек с числами от 1 до 9. Наудачу берут 5 карточек и располагают их в строку, в результате получается пятизначное число. Найти вероятность того что: а) полученное число будет четным; б) число делится на 5; в) число делится на 25. 2.4. Из 20 акционерных обществ (АО) 4 являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями банкротов. 2.5. В лифт на 1-м этаже девятиэтажного дома вошли 4 человека, каждый из которых может выйти независимо друг от друга на любом этаже со 2-го по 9-й. Какова вероятность того, что все пассажиры выйдут: а) на 6-м этаже; б) на одном этаже? 2.6. На восьми одинаковых карточках написаны соответственно числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12 и 13. Наугад берутся две карточки. Определить вероятность того, что образованная из двух полученных чисел дробь сократима. 2.7. Из десяти лотерейных билетов выигрышными являются два. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов: а) один выигрышный; б) оба выигрышных; в) хотя бы один выигрышный. 2.8. В магазине было продано 21 из 25 холодильников трех марок, имеющихся в количествах 5,7 и 13 штук. Полагая, что вероятность быть проданным для холодильника каждой марки одна и та же, найти вероятность того, что остались нераспроданными холодильники одной марки. 2.9. На полке стоят 10 книг, среди которых 3 книги по теории вероятностей. Наудачу берутся три книги. Какова вероятность, что среди отобранных хотя бы одна книга по теории вероятностей? 2.10. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются четыре билета, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся: а) четыре девушки; б) четыре юноши; в) три юноши и одна девушка? 2.11. Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется в черте города: а) 3 сбербанка; б) хотя бы один? 2.12. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на 3 из 4 поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент: а) сдает зачет; б) не сдает зачет? 2.13. В магазине имеются 30 телевизоров, причем 20 из них импортных. Найти вероятность того, что среди 5 проданных в течение дня телевизоров окажется не менее 3 импортных телевизоров, предполагая, что вероятности покупки телевизоров разных марок одинаковы. 2.14. В партии, состоящей из k изделий, имеется l дефектных. Из партии выбирается для контроля r изделий. Найти вероятность того, что из них ровно s изделий будут дефектными. 2.15. Из 40 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 30. Найти вероятность того, что среди трех наугад выбранных вопросов студент знает: а) 3 вопроса; б) 2 вопроса; в) 1 вопрос. 2.16. На 5 карточках написано по одной цифре из набора 1, 2, 3, 4, 5. Наугад выбираются две карточки. Какова вероятность того, что число на второй карточке больше, чем на первой? 2.17. Из 100 изготовленных деталей 10 имеют дефект. Для проверки были отобраны 5 деталей. Какова вероятность того, что среди отобранных деталей две окажутся бракованными? 2.18. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что: а) все они одного цвета; б) все они разных цветов; в) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш? 2.19. Восемь шахматистов, среди которых три гроссмейстера, путем жеребьевки делятся на две команды по 4 человека. Какова вероятность того, что два гроссмейстера попадут в одну команду, а еще один - в другую? 2.20. Наудачу выбирают 5 военнослужащих из группы, состоящей из 4 офицеров и 12 солдат. Какова вероятность того, что в группе будет не более двух офицеров?
3.1. На плоскости проведены параллельные линии, расстояния между которыми попеременно равны 1,5 и 8 см. Определить вероятность того, что наудачу брошенный на эту плоскость круг радиуса 2,5 см не будет пересечен ни одной линией.
3.2. Из последовательности чисел 1, 2, 3, 4, …, 600 наудачу выбираются 2 числа. Какова вероятность того, что одно из них меньше 126, а другое больше 126?
3.3. На отрезке [0,5] случайно выбирается точка. Найти вероятность того, что расстояние от нее до правого конца отрезка не превосходит 1,6 единиц.
3.4. В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная в этот круг, попадет в данный треугольник.
3.5. Стержень длины разломан в двух наугад выбранных точках. Найти вероятность того, что из полученных отрезков можно составить треугольник.
3.6. На отрезке AB длиной наудачу поставлены две точки L и M. Найти вероятность того, что точка L будет ближе к точке M, чем к точке A.
3.7. Какова вероятность того, что сумма двух наугад взятых положительных чисел, каждое из которых не больше единицы, не превзойдет единицы, а их произведение будет не больше ?
3.8. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода один час, а второго – два часа.
3.9. Два лица условились встретиться в определенном месте между 18 и 19 часами и договорились, что пришедший первым ждет другого в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность их встречи, если приход каждого в течение указанного часа может произойти в любое время и моменты прихода независимы.
3.10. На отрезке длиной наудачу выбраны две точки. Какова вероятность того, что расстояние между ними меньше , где ?
3.11. Какова вероятность того, что корни уравнения будут действительными, если коэффициенты и уравнения выбираются наудачу из отрезка [0,1]?
3.12. На отрезке [0,3] наудачу выбраны два числа x и y. Найти вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам .
3.13. В шар вписан куб. Найти вероятность того, что выбранная наудачу внутри шара точка окажется внутри куба.
3.14. На отрезке AB длины наудачу нанесена точка . Найти вероятность того что меньший из отрезков AC и CB имеет длину, большую, чем .
3.15. Между 12 и 13 часами дня должен произойти в случайный момент звонок квартирного телефона, причем вызывающий ждет 10 минут. В течение того же часа хозяин квартиры заходит домой в случайный момент и остается дома в течение 30 мин. Определить вероятность того, что разговор состоится.
3.16. Расстояние от пункта A до пункта B пешеход проходит за 20 минут, а автобус – за 2 минуты. Интервал движения автобусов 30 минут. Пешеход в случайный момент времени отправляется из A в B. Какова вероятность того, что его в пути догонит автобус?
3.17. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов не зависит друг от друга и равновозможно в любой промежуток времени длительностью 3 часа. Сигнализатор срабатывает, еcли интервал между моментами поступления сигналов менее 0,15 часа. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает в течение 3 часов, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
3.18. Наудачу выбирают два числа из промежутка [0,1]. Какова вероятность того, что их сумма заключена между и 1?
3.19. На плоскости нарисованы две концентрические окружности, радиусы которых 3 см и 5 см. Какова вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное этими окружностями?
3.20. На окружности радиуса R наудачу поставлены три точки A, B, C. Найти вероятность того, что треугольник ABC – остроугольный.
4.1. Из полной колоды карт (52 карты) вынимают одновременно четыре карты. Рассмотрим события: A – среди вынутых карт хотя бы одна бубновая, B – среди вынутых карт хотя бы одна червонная. Найти вероятность события C = A + B. 4.2. При одном цикле обзора радиолокационной станции, следящей за космическим объектом, объект обнаруживается с вероятностью p. Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от других. Найти вероятность того, что при n – циклах объект будет обнаружен. 4.3. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что получится слово “Москва”. 4.4. Вероятность выхода изделия из строя при эксплуатации сроком до одного года равна 0,13, а при эксплуатации сроком до 3 лет – 0,36. Найти вероятность выхода изделия из строя при эксплуатации сроком от 1 года до 3 лет. 4.5. В ящике находится 3 белых и 4 черных шара. Из него последовательно вынимают два шара. Обозначая события = {первый шар белый}, = {второй шар белый}, B = {хотя бы один из вынутых шаров белый}, вычислить условные вероятности: , . 4.6. Дана популяция плодовой мушки с двумя мутациями: 25 % особей имеют мутацию крыльев, 15 % - мутацию глаз и 10 % - обе мутации. Выбирают наудачу одну муху. 1) Если у нее оказывается мутация крыльев, то какова вероятность того, что у нее есть и мутация глаз? 2) Если у нее оказывается мутация глаз, то какова вероятность того, что у нее мутация крыльев? 4.7. В группе 25 % студентов имеют темный цвет волос, 15 % - голубые глаза, 10 % - темный цвет волос и голубые глаза. Преподаватель наугад вызывает к доске одного студента. Какова вероятность того, что у студента есть хотя бы темные волосы или хотя бы голубые глаза? 4.8. Бросают две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки? 4.9. Ведется стрельба по самолету. Уязвимы два двигателя и кабина пилота. Чтобы вывести из строя самолет достаточно поразить оба двигателя или кабину пилота. Вероятность поражения первого двигателя равна , второго двигателя , кабины самолета . Найти вероятность поражения самолета, если его агрегаты поражаются независимо друг от друга. 4.10. В магазине продаются 10 телевизоров, 3 из них имеют дефекты. Какова вероятность того, что посетитель купит телевизор, если для выбора телевизора без дефекта понадобится не более трех попыток. 4.11. В урне находятся 3 белых, 4 желтых и 2 черных шара. Из нее наугад вынимают (без возвращения) один за другим по одному шару. Какова вероятность того, что белый шар появится раньше желтого. 4.12. Два стрелка по очереди стреляют в мишень. Если не попадает один, то начинает стрелять другой. Найти вероятность того, что после трех выстрелов в мишени будет две пробоины, сели вероятность попадания в мишень для первого стрелка, начинающего стрельбу – 0,7; для второго – 0,8. 4.13. Студент может добраться до института или автобусом, который ходит через каждые 20 мин., или троллейбусом, который ходит через каждые 10 мин. Найти вероятность того, что студент, подошедший к остановке, уедет в течение ближайших 15 мин.? 4.14. В группе 8 человек, говорящих только на немецком языке, 6 человек – только на финском. Какова вероятность того, что из двух выбранных наудачу людей оба говорят на одном языке?
4.15. Вероятность обнаружения туберкулезного заболевания при одной рентгеноскопии . Чему равна вероятность, что заболевание будет раскрыто при трех рентгеноскопиях? 4.16. Один студент выучил 20 из 25 вопросов программы, а второй – только 15. Каждому из них задают по одному вопросу. Найти вероятность того, что правильно ответят: а) оба студента; б) только первый студент; в) только один из них; г) хотя бы один из студентов. 4.17. Достаточным условием сдачи коллоквиума является ответ на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем студенту. Студент не знает ответов на 8 вопросов из 40 вопросов, которые могут быть предложены. Какова вероятность, что студент сдаст коллоквиум? 4.18. Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других, может в течение времени t отказать. Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. Вероятность безотказной работы первого узла равна 0,7, второго – 0,8, третьего – 0,9. Найти вероятность безотказной работы прибора в целом. 4.19. Электрическая цепь состоит из двух последовательно соединенных элементов. Различные элементы цепи выходят из строя независимо друг от друга. Вероятности выхода из строя элементов соответственно равны , . Определить вероятность перерыва питания. 4.20. Разыскивая определенную книгу, студент обходит три библиотеки. Вероятность того, что книга есть в каждой из трех библиотек, равна , а вероятность того, что имеющаяся книга не выдана, равна для каждой библиотеки. Какова вероятность, что студент достанет книгу в одной из библиотек? 4.21. Вероятности того, что каждый из трех друзей придет в условленное место, соответственно равны: , , . Определить вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трех друзей. 4.22. Вероятности своевременного выполнения задания тремя независимо работающими предприятиями соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность своевременного выполнения задания хотя бы одним предприятием. 4.23. Студент знает 30 из 40 вопросов программы. Экзаменатор задает ему вопросы до тех пор, пока не обнаружит пробел в знаниях студента. Найти вероятность того, что будут заданы: а) два вопроса; б) более двух вопросов; в) менее пяти вопросов. 4.24. Покупатель ищет необходимую ему вещь, обходя три магазина. Вероятность наличия ее в каждом магазине 0,2. Что вероятнее – найдет он искомую вещь или нет? 4.25. Группе студентов для прохождения производственной практики выделено 30 мест: 15 – в Туле, 8 – во Владимире, 7 – в Калуге. Какова вероятность того, что студент и студентка, которые в скором времени собираются справить свадьбу, будут посланы для прохождения практики в один и тот же город, если декан ничего не знает об их “семейных делах”? 4.26. Студент разыскивает нужную ему формулу в 3-х справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, во втором, в третьем справочниках равна соответственно 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что эта формула содержится не менее, чем в двух справочниках. 4.27. Вероятность своевременного выполнения студентом контрольной работы по каждой из трех дисциплин равна соответственно 0,6; 0,5; 0,8. Найти вероятность своевременного выполнения контрольной работы студентом: а) по двум дисциплинам; б) хотя бы по двум дисциплинам. 4.28. Из букв разрезной азбуки составлено слово “статистика”. Какова вероятность того, что, перемешав буквы и укладывая их в ряд по одной (наудачу), получим слово: а) тиски, б) киска, в) кит, г) статистика. 4.29. Три орудия стреляют в цель независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель каждого равна 0,7. Найти вероятность попадания в цель: а) только одного из орудий; б) хотя бы одного. 4.30. Рабочий обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что за смену первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9, второй – 0,8, третий – 0,75. Найти вероятность того, что за смену: а) только один станок потребует внимания; б) хотя бы один станок потребует внимания; в) только третий станок потребует внимания рабочего.
5.1. Двадцать пять экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 45 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета. 5.2. Охотник сделал три выстрела по кабану. Вероятность попадания первым выстрелом 0,4, вторым – 0,5, третьим – 0,7. Одним попаданием кабана можно убить с вероятностью 0,2, двумя попаданиями – с вероятностью 0,6, а тремя – наверняка. Найти вероятность того, что кабан будет убит. 5.3. На автозавод поступили двигатели от трех моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6, от третьего – 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантированного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока? 5.4. На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит в среднем продукции с процентом брака 4 %, вторая - продукции с процентом брака 6 %. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие окажется бракованным? 5.5. Студент знает 24 билета из 30. В каком случае вероятность вытащить счастливый билет для него больше, если он идет сдавать экзамен первым или если вторым? 5.6. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника – 0,9, для велосипедиста – 0,8 и для бегуна – 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму. 5.7. Для участия в студенческих отборных спортивных соревнованиях выделено из первой группы 4, из второй – 6, из третьей – 5 студентов. Вероятности того, что студент первый, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно, равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент? 5.8. В тире имеются пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Определить вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берет одно из ружей наудачу. 5.9. В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки A, 6 марки B и 4 марки C. Вероятность того, что качество детали окажется отличным, для этих станков соответственно равна: 0,9; 0,8 и 0,7. Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом? 5.10. На предприятии, изготавливающем болты, первая машина производит 25 %, вторая – 35 %, третья – 40 % всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5, 4 и 2 %. а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный? б) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен первой, второй, третьей машиной? 5.11. Турист, заблудившись в лесу, вышел на поляну, откуда вело 5 дорог. Известно, что вероятности выхода из леса за час для различных дорог равны соответственно 0,6; 0,3; 0,2; 0,1; 0,1. Чему равна вероятность того, что заблудившийся турист пошел по первой дороге, если известно, что он вышел из леса через час? 5.12. Группа студентов состоит из a - отличников, b – хорошо успевающих и c – занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку. 5.13. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 - подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – посредственно и 1 – плохо.. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный - на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо. 5.14. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местонахождения и равны соответственно , , . Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна для первой кассы , для второй - , для третьей - . Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса. 5.15. У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом месте, рыба клюет с вероятностью ; на втором месте – с вероятностью ; на третьем – с вероятностью . Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку, и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте. 5.16. При разрыве снаряда образуются осколки трех весовых категорий: крупные, средние и мелкие, причем число крупных, средних и мелких осколков составляет соответственно 0,1; 0,3; 0,6 общего числа осколков. При попадании в броню крупный осколок пробивает ее с вероятностью 0,9, средний – с вероятностью 0,2 и мелкий – с вероятностью 0,05. В броню попал один осколок и пробил ее. Найдите вероятности того, что эта пробоина причинена крупным, средним и мелким осколком. 5.17. В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель – 0,85. Проведена проверка качества одной пары обуви. Оказалось, что эта пара обуви отремонтирована качественно. Какова вероятность того, что это а) сапоги, б) туфли? 5.18. На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 25 %, второй - 35 %, третий – 40 % всех замков. Брак составляет соответственно 5 %, 4 %, 2%. а) Найти вероятность того, что случайно выбранный замок является дефектным; б) Случайно выбранный замок является дефектным. Какова вероятность того, что он был изготовлен в первом, втором, третьем цехе? 5.19. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90 %, второй – 85 %, третьей – 75 %. Найти вероятность того, что: а) приобретенное изделие окажется нестандартным; б) приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность, что оно изготовлено третьей фирмой? 5.20. В студенческой группе 70 % - юноши. 20 % юношей и 40 % девушек имеют сотовый телефон. После занятий в аудитории был найден кем – то забытый телефон. Какова вероятность того, что он принадлежал: а) юноше; б) девушке? 5.21. Два стрелка независимо друг от друга сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятности их попадания в мишень соответственно равны 0,75 (1-й стрелок) и 0,80 (2-й стрелок). После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что в мишень попал 2-й стрелок? 5.22. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что 1-й автомат дает 0,25 % брака; 2-й – 0,40 %, 3-й – 0,60 %. Какова вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с 1-го автомата поступило 2000, со 2-го - 1500 и с 3-го – 1300 деталей? 5.23. В 1-й урне находится 7 белых и 5 синих шаров, а во 2-й – 4 белых и 8 синих. Из первой урны наудачу перекладывают во вторую 2 шара, а затем из 2-й урны извлекают один шар. Какова вероятность того, что он окажется белым? 5.24. В коробке находится 4 новых и 2 уже использованных теннисных мяча. Для первой игры берут из коробки 2 мяча, а затем их возвращают после игры в коробку. Найти вероятность того, что для второй игры будут вынуты два новых мяча. 5.25. В торговую фирму поставляются телевизоры тремя фирмами в соотношении 5:2:3. Телевизоры, поступающие от этих фирм, не требуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 96 %, 92 % и 94 % случаев. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока. Какая фирма вероятнее всего поставила данный телевизор? 5.26. На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,7 поступает полезный сигнал с помехами, а с вероятностью 0,3 – только одни помехи. Если поступает полезный сигнал с помехами, то устройство регистрирует наличие сигнала с вероятностью ; если только помехи – с вероятностью . Какова вероятность того, что устройство зарегистрирует какой-то сигнал? 5.27. Семь студентов, получив билеты, готовятся к ответу экзаменатору. Знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,9, незнание – с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что вызванный наудачу студент сдаст экзамен, если Иванов знает 20 билетов из 30, Петров – лишь 15, а остальные студенты знают все билеты? 5.28. В альбоме 7 негашеных и 6 гашеных марок. Из них наудачу извлекаются 2 марки, подвергаются гашению и возвращаются в альбом. После чего вновь извлекаются 3 марки. Определить вероятность того, что все 3 марки чистые? 5.29. При перевозке ящика, в котором находилось 21 стандартных и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь. 5.30. Банк выдал два долгосрочных, десять среднесрочных и восемь краткосрочных кредитов. Известно, что один кредит не был погашен в срок. Найти вероятность того, что им оказался долгосрочный кредит, если вероятность погашения в срок долгосрочного кредита 0,9; среднесрочного – 0,8; краткосрочного – 0,7. 5.31. Прибор содержит две микросхемы. Вероятность выхода из строя в течение 10 лет первой микросхемы равна 0,07, а второй – 0,10. Известно, что из строя вышла одна микросхема. Какова вероятность того, что из строя вышла первая микросхема? 5.32. Известно, что 90 % изделий, выпускаемых данным предприятием, отвечает стандарту. Упрощенная схема проверки качества продукции признает пригодной стандартную деталь с вероятностью 0,96 и нестандартную с вероятностью 0,06. Определить вероятность того, что: а) взятое наудачу изделие пройдет контроль; б) изделие, прошедшее контроль качества, отвечает стандарту. 5.33. В отборочный цех завода поступает 40 % деталей из I цеха и 60 % - из II цеха. В I цехе производится 90 % стандартных деталей, а во II – 95 %. Найти вероятность того, что: а) наудачу взятая сборщиком деталь окажется стандартной; б) стандартная деталь изготовлена II цехом.
6.1. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна p=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы. 6.2. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью, равной 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех. 6.3. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51. 6.4. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет (появится): а) 4 раза; б) ни разу; в) хотя бы один раз. 6.5. Что вероятнее выиграть у равносильного противника – шахматиста две партии из четырех или три из шести? Ничьи во внимание не принимаются. 6.6. За один цикл автомат изготовляет 10 деталей. За какое количество циклов вероятность изготовления хотя бы одной бракованной детали будет не менее 0,8, если вероятность того, что любая деталь бракованная, равна 0,01? 6.7. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна 0,4. Произведено 10 бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность. 6.8. Среди деталей, вырабатываемых рабочим, бывает в среднем 3 % нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 6 деталей две детали будут нестандартными. Каково наивероятнейшее число нестандартных деталей в данной выборке из шести изделий, и какова эта вероятность? 6.9. Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t равна 0,2. Найти вероятность того, что из шести малых предприятий за время t сохранятся: а) два; б) более двух. 6.10. Производится залп из шести орудий по некоторому объекту. Вероятность попадания в объект из каждого орудия равна 0,6. Найти вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее четырех попаданий. 6.11. Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число годных деталей было равно 50, если вероятность того, что наудачу взятая деталь будет бракованной, равна 0,1? 6.12. Найти наивероятнейшее число наступлений ясных дней в течение первой декады сентября, если по данным многолетних наблюдений известно, что в сентябре в среднем бывает 11 ненастных дней. 6.13. Пусть вероятность того, что студент опоздает на лекцию, равна 0,08. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 96 студентов. 6.14. В помещении 6 электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года, равна 0,7. Найти: а) вероятность того, что в течение года придется заменить 2 лампочки; б) наивероятнейшее число лампочек, которые будут работать в течение года. 6.15. Определить наиболее вероятное число пораженных самолетов в группе из 13 бомбардировщиков, если самолеты поражаются независимо друг от друга и вероятность поражения одного самолета равна . 6.16. В урне 100 белых и 80 синих шаров. Из урны извлекают n шаров (с возвратом каждого вынутого шара). Наивероятнейшее число появлений белого шара равно 11. Найти n. 6.17. Сколько следует провести повторных независимых испытаний, чтобы наивероятнейшее число появлений некоторого события оказалось равным 51, если вероятность появления этого события в отдельном испытании p=0,64? 6.18. Число коротких волокон в партии хлопка составляет 25 % всего количества волокон. Сколько волокон должно быть в отдельно взятом пучке, если наивероятнейшее число коротких волокон в нем равно 114? 6.19. Каждая из 6 палок разламывается на две части – длинную и короткую. Затем 12 полученных обломков n раз объединяются в 6 пар, каждая из которых образует новую палку. Чему равно n, если наивероятнейшее число объединений обломков в первоначальном порядке равно 6? 6.20. Было посажено 28 семян ячменя с одной и той же вероятностью всхожести для каждого. Как велика эта вероятность, сели наиболее вероятные числа положительных результатов 17 и 18? 6.21. На станке-автомате изготовили 90 деталей. Чему равна вероятность изготовления на этом станке детали первого сорта, если наивероятнейшее число таких деталей в данной партии равно 82? 6.22. Каждый из девяти шаров с одинаковой вероятностью может быть помещен в один из трех первоначально пустых ящиков. Определить вероятность того, что: а) в каждый ящик попало по три шара; б) в один ящик попало четыре шара, в другой – три, а в оставшийся – два шара. 6.23. Студент рассматриваемого вуза по уровню подготовленности с вероятностью 0,3 является “слабым”, с вероятностью 0,5 – “средним”, с вероятностью 0,2 – “сильным”. Какова вероятность того, что из наудачу выбранных шести студентов вуза число “слабых”, “средних” и “сильных” окажется одинаковым. 6.24. По мишени, состоящей из внутреннего круга и двух концентрических колец, производится десять выстрелов из спортивного пистолета. Вероятности попадания в указанные области при каждом выстреле равны соответственно 0,15; 0,22 и 0,13. Определить вероятность того, что при этом будет шесть попаданий в круг, три – в первое кольцо и одно попадание во второе кольцо. 6.25. В электропоезд, состоящий из шести вагонов, садится двенадцать человек, причем выбор каждым пассажиром вагона равновозможен. Определить вероятность того, что: а) в каждый вагон вошло по два человека; б) в один вагон никто не вошел, в другой – вошел один человек, в два вагона – по два человека, а в оставшиеся два вагона соответственно три и четыре человека.
Ответы
§1. Соотношения между случайными событиями
1.1. Выбранное число оканчивается цифрой 5.
1.2. C = {ничейный исход}.
1.3. Нет, так как .
1.4. = {все изделия доброкачественные}; = {бракованных изделий одно или нет ни одного}.
1.5. а) желтая или белая роза; б) красная или желтая роза; в) ; г) белая роза; д) любой цветок; е) белая роза.
1.6. а) ; б) ; в) +
+; г) ; д) ; е) .
1.7. ; , где {выпадение i очков} (i=1, 2, 3, 4, 5, 6).
1.8. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
§2. Вероятность случайного события
2.1. . 2.2. а) ; б) ; в) . 2.3. а) ; б) ; в) . 2.4. 0,28. 2.5. а)0,00024; б)0,00195. 2.6. . 2.7. а) ; б) ; в) . 2.8. 0,06. 2.9. 0,708. 2.10. а) 0,108; б) 0,0166; в) 0,142. 2.11. а) 0,348; б) 0,984. 2.12. а) 0,901; б) 0,099. 2.13. 0,809. 2.14. . 2.15. а) ; б) ; в) . 2.16. . 2.17. 0,07. 2.18. а) ; б) ; в) . 2.19. . 2.20. .
§3. Геометрическая вероятность
3.1. . 3.2. . 3.3. 0,32. 3.4. . 3.5. 0,25. 3.6. 0,75. 3.7. 0,487.
3.8. 0,121. 3.9.. 3.10. k(2-k). 3.11.. 3.12. . 3.13. . 3.14. . 3.15. .
3.16. 0,6. 3.17. . 3.18. . 3.19. 0,64. 3.20. 0,25.
§4. Теоремы умножения и сложения вероятностей
4.1. . 4.2. . 4.3. . 4.4. 0,23. 4.5. ; . 4.6. ; . 4.7. 0,3.
4.8. . 4.9. . 4.10. 0,992. 4.11. . 4.12. 0,507.
4.13. 0,625. 4.14. . 4.15. . 4.16. а) 0,48; б) 0,32; в) 0,44; г) 0,92. 4.17. 0,96. 4.18. 0,504. 4.19. 0,28. 4.20. . 4.21. 0,712. 4.22. 0,94. 4.23. а) ; б) ; в) . 4.24. не найдет. 4.25. . 4.26. 0,788. 4.27. а) 0,46; б) 0,7. 4.28. а) ; б) ; в) ; г) . 4.29. а) 0,189; б) 0,973. 4.30. а) 0,375; б) 0,46; в) 0,18.
§5. Формула полной вероятности. Формула Бейеса
5.1. . 5.2. . 5.3. 0,83. 5.4. 0,045. 5.5. . 5.6. 0,86. 5.7. Вероятности того, что выбран студент первой, второй и третьей групп соответственно равны: ; ; . 5.8. 0,7. 5.9. 83 %. 5.10. а) 0,0345; б) ; в) ; г) . 5.11. . 5.12. . 5.13. а) ; б) . 5.14. . 5.15. 0,358. 5.16. 0,5; 0,333; 0,167. 5.17. а) 0,41; б) 0,59. 5.18. 0,0345; 0,362; 0,408. 5.19. а) 0,1725; б) 0,317. 5.20. а) ; б) . 5.21. . 5.22. . 5.23. . 5.24. 0,16. 5.25. 0,946; первая. 5.26. . 5.27. . 5.28. . 5.29. ; . 5.30. . 5.31. . 5.32. а) 0,87; б) 0,993. 5.33. а) 0,93; б) . §6. Схема испытаний Бернулли
6.1. 0,3. 6.2. . 6.3. а) 0,31; б) 0,48; в) 0,52; г) 0,62. 6.4. а) ; б) ; в) . 6.5. Вероятнее выиграть две партии из четырех. 6.6. . 6.7. , . 6.8. ; ; . 6.9. а) 0,015; б) 0,999. 6.10. 0,544. 6.11. . 6.12. . 6.13. 7. 6.14. а) ; б) 4. 6.15. ; . 6.16. ; . 6.17. 79; 80. 6.18. . 6.19. ; . 6.20. . 6.21. . 6.22. а) 0,085; б) 0,385. 6.23. 0,213. 6.24. . 6.25.. а) 0,00344; б) 0,138.