1. Сколько существует делящихся на 9 десятизначных натуральных чисел, в десятичной записи которых участвуют только цифры 0 и 5? 2. На математическом конкурсе было предложено несколько простых и несколько сложных задач. Участнику давали 3 очка за решение сложной и 2 очка за решение простой задачи. Кроме того, за каждую нерешенную простую задачу списывалось одно очко. Рома решил 10 задач и набрал 14 очков. Сколько было простых задач? 3. Баба-Яга и Кощей собрали некоторое количество мухоморов. Количество крапинок на мухоморах Бабы-Яги в 13 раз больше, чем на мухоморах Кощея, но после того, как Баба-Яга отдала Кощею свой мухомор с наименьшим числом крапинок, на ее мухоморах стало крапинок только в 8 раз больше, чем у Кощея. Докажите, что вначале у Бабы-Яги было не более 23 мухоморов. 604. На доске выписали в порядке возрастания все числа от 1 до 10000, а потом стерли те, которые не делятся ни на 4, ни на 11. Какое число окажется 1994м? 5.В турнире по олимпийской системе (то есть в каждом туре оставшиеся игроки разбиваются на пары, и проигравшие выбывают) играли 512 человек. Каждому присвоили квалификационный номер – от 1 до 512. Партия называется неинтересной, если разность номеров участников больше 30. Может ли в турнире не быть неинтересных партий? 6. Есть пять монет достоинством 1, 2, 3, 5 и 10 пиастров. Одна из них фальшивая, то есть ее вес в граммах не равен ее достоинству. Как при помощи чашечных весов без гирь определить фальшивую монету? 7. При дворе принца Лимона служили герцоги, графы и бароны. В начале правления принца придворных было 2009, но каждый день один из них убивал другого на дуэли, причем герцоги убивали только графов, графы – только баронов, а бароны – только герцогов. При этом никто не выиграл дуэль дважды. В конце концов, остался в живых лишь барон Апельсин. Какой титул был у первого погибшего придворного? 8. Три двузначных числа таковы, что сумма любых двух из них равна числу, отличающемуся от третьего лишь порядком цифр. Какой может быть сумма этих трех чисел? 9.В марсианском алфавите k букв, и два слова называются похожими, если в них одинаковое количество букв, и они отличаются лишь в одном месте (например, ТРИКС и ТРУКС). Докажите, что все слова в языке можно разбить на k групп, в каждой из которых все слова не похожи друг на друга. 10. Представим, что 25 школьников стоят в ряд. Самый левый школьник выше самого правого. Докажите, что найдется школьник, у которого левый сосед выше правого. 11. На доске написано число 12. В течение каждой минуты число либо умножают, либо делят либо на 2, либо на 3, и результат записывают на доску вместо исходного числа. Докажите, что число, которое будет написано на доске ровно через час, не будет равно 54. 12. Утром в луже плавало 19 синих и 95 красных амеб. Иногда они сливались: если сливаются две красные, то получается одна синяя амеба, если сливаются две синие, то получившаяся амеба тут же делится, и в итоге образуются четыре красные амебы, наконец, если 61 сливаются красная и синяя амебы, то это приводит к появлению трех красных амеб. Вечером в луже оказалось 100 амеб. Сколько среди них синих? 13.В таблице 2 х 2 стоят четыре натуральных числа. При этом соседние по вертикали числа отличаются на 6, а соседние по горизонтали – в два раза. Что за числа стоят в таблице? 14. Пятизначное число, в записи которого нет нулей, делится на 54. Из него вычеркнули одну цифру, и получилось четырехзначное число, делящееся на 54. Из этого четырехзначного числа тоже вычеркнули одну цифру – получилось трехзначное число, делящееся на 54. Наконец, после вычеркивания еще одной цифры, получилось число 54. Найдите исходное число. 15. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде частного от деления квадрата некоторого натурального числа на куб некоторого натурального числа. 16. Сумма трех натуральных чисел (не обязательно различных) равна 100. Из этих чисел можно составить три попарные разности (при вычислении разности из большего числа вычитают меньшее). Какое наибольшее значение может принимать сумма этих попарных разностей? 17. Тома задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3,6 и 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15. Найдите остаток от деления задуманного числа на 18. 18.В 2009 году каждый из президентов пятнадцати «Обществ защиты чего-то особенного» послал в подарок на день рождения каждому из остальных президентов торт с таким числом свечек, сколько лет исполнилось юбиляру. Могло ли так случиться, что всего было послано 2009 свечек? 19. Можно ли так расставить по кругу натуральные числа от 1 до 10 таким образом, чтобы сумма любых двух чисел, стоящих через одно, делилась на три? 20. На поле брани встретились армии Толстых и Тонких по 1000 человек в каждой. Сначала каждый толстый солдат выстрелил в одного из тонких, затем каждый уцелевший тонкий солдат выстрелил в одного из толстых. Докажите, что в живых осталось не менее 1000 солдат. 21. На поле брани встретились армии Толстых и Тонких по 1000 человек в каждой. Сначала каждый толстый солдат выстрелил в одного из тонких, затем каждый уцелевший тонкий солдат вы стрелил в одного из толстых. После этого каждый уцелевший толстый еще раз выстрелил в одного из тонких. Докажите, что в живых осталось не менее 500 солдат. 22.В Море Дождей живут осьминожки, у каждого один или два друга. Когда взошло солнце, те, у кого двое друзей, посинели, а те, у кого один друг – покраснели. Оказалось, что любые два друга – разноцветные. Тогда 10 синих осьминожек перекрасились в красный цвет, а 12 красных – в синий; теперь любые два друга одного цвета. Сколько осьминожек в Море Дождей? 23. На доске написано число 23. Каждую минуту число стирают с доски и записывают на его место произведение его цифр, увеличенное на 12. Что окажется на доске через час? 24. Можно ли так расставить по кругу все целые числа от −7 до 7 (включая 0), чтобы у каждого числа произведение двух его соседей было неотрицательным? Если да – приведите пример, если нет – объясните, почему. 25. Докажите, что в любом шестидесятизначном числе, десятичная запись которого не содержит нулей, можно зачеркнуть несколько цифр так, что получившееся в результате число будет делиться на 1001. 26. Можно ли подобрать такие четыре различных натуральных числа, чтобы сумма любых двух из них была степенью числа 5? 27. Дети, построенные парами, выходят из лесу, где они собирали орехи. В каждой паре идут мальчик и девочка, причем у мальчика орехов либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех 1 000 орехов? 28. На пальме сидело много мартышек. Двадцать из них получили по пинку. Пнутая мартышка срывает с пальмы три финика и раздает подружкам. Мартышка, получившая два финика, съедает их и пинает другую мартышку. После того, как произошло 30 новых пинков, мартышки упокоились. Сколько фиников осталось у мартышек? 29. Несколько государственных служащих получили одинаковую зарплату. После этого время от времени кто-нибудь из них брал часть своих денег и раздавал их поровну остальным. Через несколько таких операций у одного из служащих оказалось 24 копейки, а еще у одного – 17 копеек. Сколько было служащих? 63 30. По окружности расставлены 20 единиц и 30 двоек так, что никакие три одинаковые цифры не стоят подряд. Найдите сумму произведений всех троек подряд идущих цифр. 31. Можно ли расставить в клетках квадрата 4 х 4 числа от 1 до 16 так, чтобы в каждой клетке было или меньше всех чисел, стоящих в соседних по стороне клетках, или больше всех этих чисел? 32. Аня, Ваня и Саня рисовали чертиков на чистых тетрадных листочках. Экономная Аня нарисовала больше чертиков, чем Ваня и Саня вместе, и израсходовала на это меньше всего листочков, а расточительный Ваня нарисовал меньше всего чертиков, но извел больше листочков, чем Аня вместе с Саней. Больше пяти чертиков на листочек не влезает. Докажите, что Аня изрисовала не меньше шести листочков. 33. Под куполом цирка летают красные, синие и зеленые воздушные шары – по 150 каждого цвета. Внутри каждого синего шара находится ровно 13 зеленых, внутри каждого красного – ровно 5 синих и ровно 19 зеленых. Докажите, что какой-то зеленый шарик не содержится ни в одном из 449 остальных шаров.