Ответы в самом низу встроенного документа
324. Пусть сумма трех целых чисел — число четное. Сфор мулируйте предложение о произведении этих чисел. 325. Верно ли утверждение: «Если каждый из множителей не делится на данное число, то и произведение их не делится на это число»? 326. Докажите, что если произведение некоторого двузнач ного числа и числа 5 является двузначным числом, то первая (слева) цифра двузначного множителя равна 1. 327. Произведение двух натуральных чисел оказалось не четным числом. Четным или нечетным числом будет сумма этих чисел? А если взять не два числа, а три? 328. Докажите, что если произведение двух натуральных чисел больше 82, то хотя бы одно из этих чисел больше 9. Сформулируйте обратное предложение. Будет ли оно верным? 329. Какое равенство может получиться при почленном сложении (вычитании, умножении, делении) двух неверных равенств? Приведите примеры. ЗАДАЧИ 330. В одном доме живут 13 учеников одной и той же школы. В этой школе 12 классов. Докажите, что хотя бы два ученика, живущие в этом доме, учатся в одном и том же классе. 331 В школе 370 учащихся. Докажите, что среди учащих ся этой школы обязательно найдутся хотя бы два ученика, отмечающие свое рождение в один и тот же день. 332 В одном хвойном лесу 550 000 елей. Ни на одной из них нет более 500 000 игл. Докажите, что по крайней мере у двух елей в этом лесу игл одинаковое число. 333 В корзине лежат яблоки двух сортов. Наугад берут из этой корзины несколько яблок. Какое наименьшее число яблок нужно взять, чтобы среди них оказались хотя бы два яблока одного сорта? 60 334 В коробке лежат 4 цветных карандаша и 10 простых. Из этой коробки берут наугад несколько карандашей. Какое наименьшее число карандашей надо взять из коробки, чтобы среди них обязательно оказалось не менее: 1) двух цветных; 2) трех простых? 335 Докажите, что любое число рублей можно уплатить, если покупатель и кассир имеют лишь трехрублевые и пяти рублевые денежные знаки. 336, Докажите, что если даны какие-нибудь три натураль ных числа, не делящиеся на 3, то либо сумма этих трех чисел делится на 3, либо сумма двух из них делится на 3. 337, О некотором числе известно, что оно нечетно, не де лится на 5 и что квадрат его оканчивается той же цифрой, что и само число. Выясните, какая цифра стоит в конце этого числа. 338, Ученица хотела купить в магазине 9 тетрадей, не сколько блокнотов, по 6 к. каждый, и 3 карандаша. Продавец выписал ей чек на 58 к. Взглянув на чек, ученица сразу же сказала продавцу, что он ошибся. Продавец удивился, как могла ученица так быстро обнаружить ошибку. Пересчитав снова, продавец действительно нашел ошибку. Как могла ученица, только взглянув на чек, заметить ошибку? 339, Всем членам одной семьи сейчас 73 года. Состав семьи таков: муж, жена, дочь и сын. Муж старше жены на 3 го да, дочь старше сына на 2 года. Четыре года тому назад всем членам семьи было 58 лет. Сколько лет сейчас каждому члену этой семьи? 340, Два школьника, живущие в одном доме, одновременно вышли из дома в школу. Первый из них половину всего вре мени, затраченного на дорогу, шел со скоростью 5 км/ч, а за тем шел со скоростью 4 км/ч. Второй же первую половину всего пути от дома до школы шел со скоростью 4 км/ч, а вто рую — со скоростью 5 км/ч. Который из школьников пришел в школу раньше? 341, Произведение четырех последовательных натуральных чисел равно 3024. Найдите эти числа. ЗАТРУДНИТЕЛЬНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 342 Из пяти гирь одна должна быть в 10 кг. Какими должны быть остальные гири, чтобы на чашечных весах мож но было определить массу грузов от 1 кг до 85 кг? 343 На складе имеются гвозди в ящиках по 24, 23, 17 и 16 кг. Может ли кладовщик отпустить со склада 100 кг гвоздей, не распечатывая ящики? 344 Имеется линейка без делений. Длина ее 13 см. Сколь- 61 ко промежуточных делений и какие нужно нанести на линейку, чтобы ею можно было измерить расстояния от 1 до 13 см (с точ ностью до 1 см)? Число делений должно быть минимальным. 345. Как, имея 22 спички, сложить контур прямоуголь ника с наибольшей площадью? Ломать спички нельзя. 346. На рисунке 12 изображены канал, бухта, 6 теплохо дов и стрелками показаны направления движения теплохо дов. Как могут разойтись теплоходы, если в бухте может за держаться, не мешая движению остальных, лишь один теп лоход? 347. Требуется разделить 7 одинаковых яблок поровну меж ду 8 приятелями. Как сделать так, чтобы разрезов пришлось произвести возможно меньше? А если бы эти яблоки пришлось разделить между 12 приятелями? 348. Четырем колхозникам нужно было переправиться че рез реку. Подойдя к ней, они увидели небольшую лодку, в ко торой плыли два мальчика. Колхозники попросили мальчиков перевезти их через реку, но оказалось, что в лодку могут сесть только два мальчика или же один взрослый. Мальчикам очень хотелось помочь колхозникам, и они придумали, как это можно сделать. Через некоторое время колхозники на этой лодке переправились через реку. Что же придумали маль чики? 349 Можно ли расставить на столе 4 пустые молочные бу тылки так, чтобы горлышки их находились на одном и том же расстоянии друг от друга? (Бутылки можно ставить и вверх дном.) 350 Можно ли изготовить каркасную (проволочную) мо дель куба из одного куска проволоки (не разрезая проволоку на куски и не делая ребра двойными)? Как каркасную модель куба сделать из проволоки возможно проще? Сколько спаек при дется сделать? От сделанной из фанеры (или картона) шахматной 62 доски в 64 клетки отрезаны две клетки, находившиеся в про тивоположных углах. Можно ли все клетки оставшейся части покрыть 31 костью домино, каждая из которых покрывает ровно 2 клетки? 352. (Старинная китайская задача.) Крестьянин пришел на базар продавать бобы. Принес он их в очень просторном мешке, в котором было понемногу бобов и риса; бобы внизу, рис вверху, мешок был перевязан. После продажи бобов крестья нин должен разыскать родственников и подарить им рис. На базаре у крестьянина под руками была только веревочка. Ножа и иголки с ниткой у него не было. Как крестьянину продать бобы и унести рис в своем мешке родственникам? 353 Как с помощью масштабной линейки измерить диаго наль кирпича? 354 Вот что рассказал один человек: «Проснувшись сегод ня утром, я посмотрел на свои стенные часы. Они стояли. Дру гих часов у меня не было. Радио молчало. Я подумал, как мне правильно поставить свои часы, и вот что я сделал. Встав, я от правился к приятелю, живущему через два квартала от меня. Придя к нему, я сразу же посмотрел на часы, которые шли пра вильно. Побеседовав немного с приятелем, я простился с ним, посмотрел на его часы еще раз и пошел домой. Как только при шел домой, я немедленно поставил свои часы и поставил их почти точно. Как я это сделал? Догадайтесь». 355 В старинных задачниках по арифметике можно встре тить такую задачу: «Отец завещал трем своим сыновьям 19 ло шадей. Старший сын должен получить -i-, средний---- ^ и младший — 4- всех лошадей. Когда отец умер, его сыновья никак не могли поделить между собой завещанных им лоша дей и решили обратиться за помощью к приятелю отца. Тот, подумав, решил помочь братьям. Для этого он привел свою лошадь, так что оказалось всего 20 лошадей. Из них 10 лошадей получил старший брат, 5 — средний, 4 — младший. Остав шуюся лошадь приятель отца отвел домой. Какая и кем до пущена ошибка при разделе этого наследства? 356. Перед входом в парк культуры и отдыха продавали в киосках букетики цветов. В первом киоске было 33 букетика, во втором — 29, а в третьем — 27. Букетики были проданы одновременно по одной и той же цене. Распродав цветы, под считали полученные деньги. Оказалось, что в каждом киоске продано цветов на одну и ту же сумму. Как это могло слу читься? 357. Кузнецу принесли 5 обрывков цепи, по 3 звена в каж дом, и попросили соединить их в одну цепь. Кузнец задумался, как выполнить этот заказ проще. Сколько же звеньев нужно разъединить, а затем вновь соединить, чтобы все обрывки обра 63 зовали одну цепь? Подумав, кузнец приступил к делу и, рас крыв только три звена, выполнил заказ. Как это сделал кузнеп? 358 Из 5 кусков цепи, состоящих соответственно из 10, 9, V, 4 и 3 звеньев, нужно составить одну цепь в 33 звена. Как это сделать так, чтобы пришлось возможно меньше сделать разрезов и последующих сварок? 359 На постоялый двор приехал путешественник. Денег у него с собой не было, но была серебряная цепочка из шести звеньев. Хозяин гостиницы согласился принять в оплату номера за каждый день одно звено этой цепочки, но так, чтобы распи ленных звеньев он получил не более одного. Как путешествен нику следует распилить цепочку, чтобы можно было распла титься с хозяином постоялого двора в течение пяти дней? 360 В детский сад, где было 50 детей, прислали яблоки: 60 крупных и 60 помельче. Было решено распределить их так: крупные раздать 30 детям, по 2 штуки каждому, а мелкие — остальным 20, по 3 штуки. При таком способе распределения яблок хватило бы всем детям. Но при перевозке оба сорта яблок смешались. Тогда дежурный решил поступить так: раздавать по 5 яблок из общей кучи на каждых двух детей. К его удив лению, для последних двух ребят яблок не осталось. Почему же так получилось? 361 Пионеру одного звена, который умел рисовать, вожа тый дал задание — нарисовать всех тех пионеров звена, кото рые не могут себя нарисовать. Пионер нарисовал всех, кроме себя, и задумался, как ему быть с самим собой. Если он себя нарисует, то этого он не должен делать, но если он себя не на рисует, то должен себя нарисовать. В самом деле, как же быть пионеру-художнику? 362. На сборе одного пионерского отряда затейники взяли пять одинаковых по размерам квадратиков бумаги: два из них белого цвета, а три — красного. Затем поставили рядом трех пионеров: Васю, Колю и Петю, — попросили каждого из них отвести одну руку за спину, и каждому так, чтобы он не видел, вложили в эту руку квадратик красного цвета, а остальные два квадратика убрали. После этого каждому из трех пионеров раз решили посмотреть, какого цвета квадратики в руках у двух остальных, а затем каждому было предложено быстро сооб разить, не отводя руки из-за спины, какого цвета у них квад ратик. Коля первым догадался. Как он рассуждал? 363. Из квадрата бумаги, сторона которого равна 3 едини цам длины, нужно вырезать фигуру, представляющую собой развертку полной поверхности куба, длина ребра которого рав на 1 единице длины. Как это можно сделать? 364. В классе 30 учащихся. Из них 18 занимаются в сек ции легкой атлетики, 10 — в секции плавания и 3 — в обеих секциях. Сколько учащихся этого класса не занимаются ни в одной из этих секций? 64 365 В одном украинском городё все жители говорят на рус ском или украинском языке. По-украински говорят 85% всех жителей, а по-русски — 75%. Сколько процентов всех жителей этого города говорят на обоих языках? 366 Из 100 туристов, выехавших в заграничное путешест вие, владеют немецким языком 30 человек, английским — 28, французским — 42, английским и немецким — 8, английским и французским — 10, немецким и французским — 5, тремя этими языками — 3. Сколько туристов не владеют ни одним из этих языков, владеют одним английским, одним фран цузским, одним немецким? 367 В одной семье было много детей. Семеро из них любили капусту, шестеро любили морковь, пятеро — горох. Четверо из детей любили капусту и морковь, трое любили капусту и горох, двое — морковь и горох, а один — и капусту, и морковь, и горох. Сколько было детей в этой семье? 368. В отчете об изучении иностранных языков студентами некоторой специальности говорилось, что всех студентов 100 че ловек, из них 5 человек изучают английский, немецкий и французский языки, 10 — английский и немецкий, 8 — фран цузский и английский, 20 — немецкий и французский, 30 — английский, 23 — немецкий, 50 — французский. Тому, кто составил этот отчет, было указано на ошибки. Верно ли это?
415. Требуется поджарить 3 ломтика хлеба. На сковороде умещаются лишь два ломтика. На поджаривание ломтика с одной стороны требуется 1 мин. За какое кратчайшее время можно поджарить с двух сторон все 3 ломтика? (Время на пере вертывание и перекладывание ломтиков можно в расчет не принимать.) 416. Исследователю-путешественнику необходимо совер шить шестидневный переход через бесплодную пустыню. Сам путешественник и сопровождающий его носильщик могут взять с собой каждый лишь четырехдневный запас пищи и воды для одного человека. Какое наименьшее число носильщиков потре буется для этого перехода? 417. Имеются неверные (неравноплечие) чашечные весы. Пользуясь ими, весовщик должен определить массу некоторого груза. Может ли весовщик достаточно точно найти массу этого груза с помощью двух измерений: кладя сначала груз на одну чашку весов и гири на другую, а затем груз на вторую чашку и гири на первую? (Массой чашек по сравнению с массой груза можно пренебречь.) 418. Чтобы отвесить 2 кг крупы на неверных чашечных весах, хозяйка поступила так: сначала гирю в 1 кг она положи ла на одну чашку весов и отвесила крупу, затем эту гирю по ложила на другую чашку и отвесила крупу. Ссыпав вместе отвешенную крупу, она решила, что масса ее в точности равна 2 кг. Так ли это? 80 419. Шины на задних колесах грузовика изнашиваются после 25 000 км пробега, а на передних — после 15 000 км. Сколько километров может пройти грузовик без замены шин, если в нужный момент поменять местами передние и задние шины? Когда нужно произвести смену шин? 420. В селении А живут 300 школьников, в селении В — 200 и в С — 100. Расстояние между селениями таковы: | АВ | = 4 км, | ВС | = 3 км, | АС | = 5 км. Где надо построить школу, чтобы общее число километров, проходимых всеми школьниками, было наименьшим? 421. Три промышленных предприятия расположены в пунк тах А, В и С, являющихся вершинами треугольника АВС. Стороны этого треугольника удовлетворяют неравенствам: I ВС | > | АС | > I АВ |. Квартиры рабочих этих предприятий находятся в пункте О, равноудаленном от сторон этого треуголь ника. Любые два из пунктов А, В, С и О соединены прямолиней ными шоссе. Рабочих развозит автобус. Отбыв из О, он достав ляет их в А, С, В и возвращается в О, двигаясь по упомянутым шоссейным дорогам. Найдите кратчайший маршрут автобуса. 422. Типографии поручили набрать и напечатать 3 книги: А, В и С. В распоряжении имеются два автомата: один для набора, другой для печатания. На набор текста каждой кни ги уходит 3 ч. На печатание книги А нужно 2 ч, книги В — 4 ч и книги С — 1 ч . Как следует организовать работу, чтобы закончить изготовление книг возможно скорее? 423. На втулку диаметром 30 мм требуется намотать пру жинную ленту толщиной 0,25 мм так, чтобы общий диаметр втулки с намотанной на нее лентой был равен 130 мм. Какой длины должна быть лента? 424. Завод должен переслать заказчику 1100 деталей, кото рые для пересылки упаковываются в ящики трех типов. Один ящик первого типа вмещает 70 деталей, второго типа — 40 де талей, третьего типа — 25 деталей. Стоимость пересылки одного ящика первого, второго и третьего типов равна соответственно 20, 10 и 7 р. Какие ящики должен использовать завод, чтобы стоимость пересылки была наименьшей? Недогрузка ящиков не допускается. 425. Предполагается использовать 2000 р. на путевки в до ма отдыха. Путевки имеются на 15, 27 и 45 дней, стоимость их соответственно 21, 40 и 60 р. Сколько и каких путевок нужно купить, чтобы общее число дней отдыха было наибольшим?
426. Для экскурсии нужно было собрать определен ную сумму денег. Если каждый участник экскурсии вне сет по 7 р. 50 к., то на расходы не хватит 44 р., а если же каждый внесет по 8 р., то останется 44 р. Сколько всего было экскурсантов?
427. У мальчика столько сестер, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сес тер, чем братьев. Сколько братьев и сколько сестер в этой семье? 428. Некий человек нанял работника на год, обещал ему дати 12 р. и кафтан, но тот, проработав 7 месяцев, восхо тел уйти и просил достойные платы с кафтаном; он же даде ему по достоинству расчет 5 р. и кафтан, и ведательно есть, коликой цены оный кафтан был. (Магницкий.) 429. Автобус выполнял рейс между двумя городами: от А до Б со скоростью 60 км/ч, а от Б до А со скоростью 40 км/ч. Какова была сред няя скорость рейса? 430. Летели галки и сели на ветки. Если на каждую вет ку сядет по галке, то одной галке не хватит ветки, а если на каждую ветку сядут по две галки, то одна ветка останется без галок. Сколько было веток и сколько галок?
431. На памятнике древнегреческому математику Диофанту имеется надпись: «Прохожий! Под этим камнем покоится прах Диофанта, умершего в старости. Шестую часть его жизни за няло детство, двенадцатую — отрочество, седьмую — юность. Затем протекла половина его жизни, после чего он женился. Через 5 лет у него родился сын, а когда сыну минуло 4 года, Диофант скончался». Сколько лет жил Диофант? 432. У четырех братьев 45 р. Если деньги первого увели чить на 2 р., деньги второго уменьшить на 2 р., у третьего уве личить вдвое, а у четвертого уменьшить вдвое, то у всех денег окажется поровну. Сколько денег было у каждого? 433. Из множества чистейших цветков лотоса третья была принесена в дар Шиве, пятая — Вишну, шестая часть — Солнцу. Одну четвертую часть всех цветков получил Бхавани, а оставшиеся шесть цветков были даны высокочтимому учи телю. Скажи, сколько было цветков лотоса. (Индусская задача.) 83 434. Из некоего роя пчел одна третья опустилась на цветы кадамба, одна пятая — на цветы шилиндха. Утроенная раз ность этих двух чисел полетела, чтобы сесть на цветы кутайи, и осталась одна пчела, которая носилась в воздухе, привле каемая одновременно очаровательным благоуханием жасмина и пандануса. Скажи, сколько было пчел? (Индусская задача.) 435. Отец сказал сыну: «10 лет тому назад я был в 10 раз старше тебя, а через 22 года я буду только в два раза старше тебя». Сколько лет теперь отцу и сколько сыну? 436. Марии 24 года. Она вдвое старше, чем была Анна тогда, когда Марии было столько лет, сколько теперь Анне. Сколько лет Анне? 437 В 12 ч дня часовая и минутная стрелки часов совпа дают. Через сколько минут после этого они снова совпадут? 438 Через сколько минут после того, как часы показывали 4 ч, минутная стрелка догонит часовую стрелку? 439. Представим себе состязание в беге между быстроногим Ахиллесом (героем древнегреческих мифов) и черепахой. Пусть вначале расстояние между ними 1 км, и они перемещаются в одном направлении по прямой так, что Ахиллес догоняет чере паху. Скорость бега Ахиллеса в 10 раз больше скорости дви жения черепахи. Как будто бы Ахиллесу не догнать черепаху, так как пока Ахиллес пробежит 1 км, черепаха продвинется вперед на 100 м; когда Ахиллес пробежит эти 100 м, черепаха продвинется вперед на 10 м; пока Ахиллес пробежит эти 10 м, черепаха продвинется вперед на 1 м и так без конца — чере паха все время будет впереди Ахиллеса. Подсчитайте, какой путь пробежит Ахиллес, чтобы догнать черепаху? 440. Мне было задано пятизначное число. К этому числу нужно было прибавить 200 000 и сумму умножить на 3. Вместо этого я приписал к заданному мне числу в конце его справа цифру 2 и получил правильный результат. Какое число было мне задано? 441. Решая некоторую задачу, один ученик должен был данное ему число умножить на 0,5 и к тому, что получится, прибавить 3. Вместо этого ученик по случайности данное чис ло разделил на 0,5 и от получившегося частного отнял 3. Результат получился такой, какой и должен был получиться. Найдите то число, которое ученик должен был умножить. 442. Предложи товарищу задумать число. Чтобы угадать, какое число он задумает, попроси его удвоить задуманное число, прибавить к результату 4, разделить то, что получится, на 2, к частному прибавить 7, результат умножить на 8, вы честь из произведения 12, разделить разность на 4 и, наконец, вычесть 11. Пусть товарищ скажет, какое число у него получи лось. Как по результату вычислений твоего товарища узнать, какое число он задумал? 84 443. Задумай какое-нибудь трехзначное число, отбрось по следнюю цифру его, затем отбрось последнюю цифру получив шегося числа, сложи три эти числа, сумму умножь на 9, при бавь к произведению сумму цифр задуманного числа и резуль тат раздели на 10. У тебя получится задуманное число. Почему? 444 Несколько пионеров собирали макулатуру. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а каждая девочка — по 15 кг. Всего пионеры собрали 174 кг макулатуры. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали макулатуру? 445 Нужно разменять 100 р. денежными знаками достоин ством в 3, 5 и 25 р. так, чтобы всего было 20 денежных знаков. Как это можно сделать? 446 Куплены тетради по 7 к. и по 4 к. за тетрадь, всего на сумму 53 коп. Сколько куплено тех и других тетрадей? 447 Пункты А и В расположены на берегу реки. Из А в В одновременно отправились пешеход по берегу реки и лодка по реке. Собственная скорость лодки (в стоячей воде) равна ско рости пешехода. Достигнув В, пешеход и лодка сразу же по ворачивают обратно и возвращаются в А. Кто из них раньше окажется в А? 448 Несколько девочек (все разного возраста) ходили в лес по грибы. Собранные ими грибы они решили разделить по ровну. Самой младшей дали 20 грибов и еще 0,04 остатка. Следующей за ней по возрасту дали 21 гриб и еще 0,04 остатка. Третьей — 22 гриба и 0,04 остатка и так далее. Сколько было девочек? Сколько грибов получила каждая? 449 Теплоход прошел 9 км по озеру и 20 км по течению реки за 1 ч. Какова собственная скорость теплохода, если скорость течения реки равна 3 км/ч? 450 Как далеко мог видеть горизонт первый летчик-кос монавт Ю. А. Гагарин, находясь на высоте 250 км над поверх ностью Земли? (Считать Землю шаром диаметром ^ 12 800 км, а расстояние от корабля-спутника до горизонта — отрезком касательной.) 451 От листа железа квадратной формы отрезали полосу шириной 25 см. Вычислить первоначальные размеры листа, если площадь оставшейся части оказалась равной 4400 см2. 452 Как известно, свободно падающее тело проходит в пер вую секунду примерно 4,9 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше, чем в предыдущую. 1) Какое расстояние проходит тело за первые 12 с? 2) Вычислить время падения тела с вы соты 1980 м. 453 Начальник цеха пригласил на совещание несколько человек. Каждый участник совещания, входя в кабинет на чальника цеха, обменивался рукопожатием со всеми присут ствующими. Сколько было участников совещания, если было зафиксировано 78 рукопожатий? 85 454. Амфитеатр, состоящий из п рядов, в нижнем ряду име ет а мест, а в верхнем — b мест. Сколько зрителей может вмес тить амфитеатр, если каждый следующий ряд имеет на одно и то же число мест больше предыдущего? 455. За одно качание воздушный насос откачивает из ре зервуара 0,1 воздуха. Сколько процентов воздуха останется пос ле 5 качаний? 456. Трава на лугу растет одинаково густо и быстро. 70 ко ров могут поесть ее за 24 дня, а 30 коров — за 60 дней. Сколь ко коров поели бы всю траву за 96 дней? 457 Сумма номеров домов по одной стороне квартала равна 3 33. Требуется узнать номер пятого дома от угла квартала.
584 Какое трехзначное число равно кубу цифр его единиц, а также квадрату числа, составленного из его второй и первой цифр? 585 Найдите двузначное число, первая цифра которого рав на разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. 586 Найдите двузначное число, равное сумме числа десят ков и квадрата числа единиц. 587 В трехзначном числе зачеркнули среднюю цифру. По лученное двузначное число оказалось в 6 раз меньше исход ного трехзначного. Найдите такое трехзначное число. 588 Тане в 1979 г. исполнилось столько лет, какова сумма цифр года ее рождения. В каком году она родилась? 589 Есть ли в вашей школе ученики, которым в этом году исполнится столько лет, какова сумма цифр их года рождения? 590 Сколько существует способов составить отрезок длиной 1 м из отрезков длиной 7 и 12 см? 591 Павел с сыном и Семен с сыном были на рыбалке. Павел поймал столько же рыб, сколько его сын Игорь, а Семен — втрое больше, чем его сын. Всего же они пой мали 35 рыб. Как зовут сына Семена? Кто сколько поймал рыб? 592 При делении некоторого числа на 13 и 15 получились одинаковые частные, но при делении на 13 получился остаток 8, а деление на 15 выполнено без остатка. Найдите это число. 593. В комнате, в которой заседал совет дружины, были стулья на 4 ножках и табуретки на 3 ножках. Когда все пионе ры уселись, то свободных мест не осталось, а сумма числа ног у сидящих и ножек у сидений оказалась равной 39. Сколько в комнате было стульев и сколько табуреток? 594. Из 36 счетных палочек построили треугольники, квад раты и домики (рис. 31) — всего 10 фигур. Найдите число фигур каждого вида. 595. Если первую цифру трехзначного числа увеличить на л, а вторую и третью цифру уменьшить на л, то получится число в п раз больше исходного. Найдите п и исходное число. 596 Докажите, что если а, b и ce Q и | а-\-с | = | Ъ |, то уравнение ах1 Ьх с — 0 имеет рациональные корни. 597. Сколько слагаемых суммы 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... надо взять, чтобы получить трехзначное число, состоящее из оди наковых цифр? 598. Известно, что число а больше числа b в п раз, а сумма чисел а и b больше их разности в т раз. Найдите сумму чисел т и п , если N и п 599. В трех ящиках лежат орехи. В первом на 6 орехов меньше, чем в двух других вместе, а во втором — на 10 мень ше, чем в первом и третьем. Сколько орехов в третьем ящике? )0. В трехзначном числе зачеркнули цифру сотен, затем полученное двузначное число умножили на 7 и получили вновь исходное трехзначное число. Какое это число? 601. Хозяйка купила арбуз, дыню и гранат. Если бы дыня стоила в 3 раза дороже, а гранат в 5 раз дороже, то хозяйка уплатила бы 1 р. 25 к. А если бы арбуз стоил в два раза, дыня в 2,5 раза, а гранат в 3 раза дороже, то пришлось бы заплатить 1 р. 10 к. Что дороже: арбуз или гранат?
649. Около окружности описан пятиугольник, длины сторон которого равны a, b, с, d, е. Найдите длины отрезков, на кото рые точка касания делит сторону, имеющую длину а. 650. Измерьте длину минутной стрелки ваших часов. Какой путь опишет конец ее за сутки, за месяц (30 дней), за год (365 дней)? 651. Диаметр вала колодезного ворота равен 0,24 м. Чтобы вытянуть ведро со дна колодца, приходится делать 10 оборо тов. Какова глубина колодца? 652. Эйфелева башня в Париже, высота которой около 300 м, сделана из железа и имеет массу около 8000 т. Какую высоту будет иметь железная модель ее массой 1 кг? 653. Две чугунные отливки массой 26,2 и 29,7 кг имеют наружные объемы 3,77 и 4,24 дм3. Какая из этих отливок имеет внутри раковины (пустоты) и каков общий объем этих раковин, если плотность чугуна равна 7,8 г/см3? 654. На никелирование чайника с поверхностью 7,5 дм2
израсходовано 13,2 г никеля. Какова толщина слоя нике ля, покрывающего чайник? (Плотность никеля 8,8 г/см3.) 655. Масса Большого Тун гусского метеорита, по под счетам ученых, достигала 50 000 т. Какой длины ребро имел бы железный куб той же массы? (1 м3 железа имеет массу 7,8 т.) 656. Как изменится объем прямоугольного ящика, если длину его увеличить на 50%, ширину оставить без измене ния, а высоту уменьшить в 1-i- раза? 657. Масса кирпича 4 кг. Какую массу имеет игрушеч ный кирпичик, сделанный из того же материала, если все размеры его в 4 раза меньше? 658. Что больше — пло щадь трех внутренних кругов или заштрихованной части по лукруга (рис. 39)?