Ответы в самом низу встроенного документа
Контрольная работа № 8 Тема. Обобщение и систематизация знаний учащихся 1. ° Прямая р не параллельна прямой q, принадлежащей плоскости у. Может ли прямая р быть параллельной плоскости у? 2. ° Прямая а перпендикулярна плоскости а и параллельна плоскос ти р. Каково взаимное расположение плоскостей а и р? 1 3. ° Через вершину С треугольника АВС, в котором А С = В С , про веден перпендикуляр К С к плоскости треугольника. Найдите угол между плоскостями А В С и АВК, если АВ = 12см, А К = \0 с м , К С = 4 см. 4. " Точка F равноудалена от всех вершин прямоугольника со сторонами 12 см и 16 см и находится на расстоянии 5 см от плоскости прямоугольника. Найдите расстояние от точки F до вершин прямоугольника. 5. * Точка К находится на расстоянии 4 см от плоскости а. Наклонные К А и К В образуют с плоскостью а углы 45° и 30° соответственно, а угол между наклонными равен 135°. Найдите расстояние между точками А и В. 6 . '* Через сторону правильного треугольника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 30°. Найдите углы, которые образуют две другие стороны треугольника с этой плоскостью. 108 Контрольные раооты Ответ на вопрос задачи не требует обоснования. I Вариант 1 109 ИТОГОВЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ Итоговая контрольная работа № 1 Тема. Введение в стереометрию. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве Вариант 1 Часть первая Задания 1-10 содержа! но четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ П РА ВИ ЛЬН Ы Й . Выберите правильный ответ и отметьте его в бланке ответов. 1. Сколько плоскостей можно провести через три точки? А) одну; В) одну или бесконечно много; Б) бесконечно много; Г) одну или ни одной. 2. Две прямые не параллельны и не пересекаются. Сколько плоскостей можно провести через эти прямые? А) одну; Б) две; В) ни одной; Г) бесконечно много. 3. Точка М лежит вне плоскости треугольника АВС. Каково взаимное расположение прямых AM и ВС? А) пересекаются; В) скрещивающиеся; Б) параллельны; Г) определить невозможно. 4. На рисунке изображен куб ABC'D Ai B l C ] L \ . Среди данных пар прямых укажите пару параллельных прямых. А ) А В н А хС х; Б) AD и ВВ]; B ) B C n A ]Dx ; Г) 5. Боковые стороны трапеции параллельны плоскости а. Каково взаимное расположение плоскости а и плоскости трапеции? А) параллельны; В) совпадают; Б) пересекаются; Г) определить невозможно. 6 . Прямые а и Ъ параллельны. Сколько существует плоскостей, ко торые проходят через прямую а и параллельны прямой Ы А) одна; Б) две; В) бесконечно много; Г) ни одной. 7. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой А В , пере секает сторону А С в точке М, а сторону В С — в точке К. Какова длина отрезка М К , если точка М — середина стороны А С и А В = 12 см? 2е ЗПс' -А 5Ь — D А, В, и BD. А С А) 12 см; Б) 6 см; В) 4 см; Г) определить невозможно. 8 . На рисунке изображены точка А. лежащая вне плоскости а, и точки В, С и D. принадлежащие этой плоскости. Укажите линию пересечения плоскостей АВС и ACD. А) ВС; Б) CD; В) AD; Г) АС. 7\N / в / / а / С V А\ п о Итоговая контрольная работа № 1 9. Какая из данных фигур не может быть параллельной проекцией на плоскость прямоугольника? А) отрезок; В) трапеция; Б) квадрат; Г) произвольный параллелограмм. 10. Какое из утверждений верно? A) если прямая а не параллельна прямой Ъ, лежащей в плоскос ти а, то прямая а обязательно не параллельна плоскости а; Б1 если прямая а, не лежащая в плоскости а, параллельна пря мой Ъ этой плоскости, то прямая а обязательно параллельна плоскости а; B) если прямая а пересекает плоскость а, а прямая Ъ принадлежит плоскости а, то прямая а обязательно пересекает прямую b; Г) если две прямые в пространст ве не имеют общих точек, то они параллельны. — • *1 Часть вторая Реш ите задания 11 - 1 4 . Запиш ите ответ в бланк ответов. 11. Отрезок А В не пересекает плоскость а, точки А и В удалены от этой плоскости на 9 см и 13 см. Чему равно расстояние от середины отрезка А В до плоскости а ? 12. Точки А, В, С и D , изображенные на рисунке, не лежат в одной плоскости. Точки М. N. Р и Q — середины отрезков ВС, BD, A D и А С соответственно, АВ = 14 см, C D -18 см. Вы числите периметр четырехугольника MNPQ. 13. Через точку пересечения медиан треуголь ника А В С параллельно прямой А В проведена плоскость, пересекающая стороны А С и В С в точках D и Е соответственно. Найдите длину отрезка DE, если А В = 18 см. 14. Плоскости аи(3 параллельны. Нз точки О, не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости а и Р в точках С, и D ], а другой — в точках С, и D 2 соответственно. Найдите длину отрезка С,С2, если он на 5 см меньше отрезка D XD 2 , ОС, =4 см, С,£>, = 10 см. Часть третья Реш ение задач 15 и 16 должно содержать обоснование, в нем надо записать последовательны е логические действия и объяснения. 15. Точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, являются парал лельными проекциями трех последовательных вершин правиль ного шестиугольника. Постройте проекции остальных трех вер шин этого шестиугольника. 16. Постройте сечение пирамиды SABC плоскостью, проходящей через точки D, Е и F, которые принадлежат соответственно ребрам АВ, ВС и SC, причем прямые DE и АС не параллельны. Вариант 1____________________________________________________ 111 112 Итоговая контрольная работа №1 Вариант 2 Часть первая Задания 1-10 содержат по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИ ЛЬНЫ Й. Выберите правильный ответ и отметьте его в бланке ответов. 1. Сколько плоскостей можно провести через две прямые? А) одну; В) одну или ни одной; Б) бесконечно много; Г) одну или бесконечно много. 2 . Прямые а и Ь параллельны плоскости ос. Каково взаимное рас положение прямых а и />? А) обязательно параллельны; В) обязательно скрещивающиеся; Б) обязательно пересекаются; Г) определить невозможно. 3. Точка М лежит вне плоскости квадрата ABCD. Каково взаимное расположение прямых МВ и АС? А) определить невозможно; В) параллельны; Б) пересекаются; Г) скрещивающиеся. 4 .На рисунке изображен куб A B C D A lB [C lD ]. Среди данных пар прямых укажите пару параллельных А, А 7 прямых. A) A }D и ВХСХ\ В) А 1В ] и А ХС Х\ > / 1 _ 1__ Б» А Л| uB D ; Г) ОС и А \В \ . А D С С 5. Диагонали параллелограмма' параллельны плоскости а. Каково взаимное расположение плоскости а и плоскости параллело грамма? А) совпадают; В) параллельны; Б) пересекаются; Г) определить невозможно. 6 . Прямые и и b скрещивающиеся. Сколько существует плоскостей, которые проходят через прямую а и параллельны прямой Ь"? А) одна; Б) две; В) бесконечно много; Г) ни одной. 7. Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная прямой ВС, пере секает сторону АВ в точке D, а сторону АС — в точке Е. Какова длина стороны ВС, если точка D - середина отрезка АВ и DE - 8 см? А) 8 см; Б) 12 см; В) 16 см; Г) определить невозможно. 8 . На рисунке изображены точка А, лежащая вне плоскости а, и точки В. С и D, принадлежащие этой плоскости. Укажите линию пересечения плоскостей ACD и ABD. А) ВС: Б) CD: В) AD: Г) АС. Вариант 2 113 9. Какое из утверждений верно? A) если прямая в пространстве пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую прямую: Б) если прямая параллельна плоскости, то она параллельна любой прямой этой плоскости; B) если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскос тей, то она пересекает и вторую плоскость; Г) если две прямые в пространстве не пересекаются, то они не лежат в одной плоскости. 10. Какая из данных фигур не может быть параллельной проекцией на плоскость равнобокой трапеции? А) прямоугольная трапеция, В) отрезок; Б) равнобокая трапеция; Г) параллелограмм, Чисть вторая Реш ите задания 11 - 14. Запиш ите ответ и бланк ответов. И. Через концы отрезка D P и его середину А проведены па раллельные прямые, которые пересекают некоторую плоскость ф в точках D , , Рх и Ах соответственно. Найдите длину отрезка РРХ, если отрезок D P не пересекает плоскость ф и D D y = 25 см, ААХ= 13 см. 12. Точки А, В, D и S, изображенные на рисунке, не лежат в одной плоскости. Точки F, Q , N, С — середины отрезков BS, DB, A D и A S соответственно, SD = АВ = 30 см. Вычислите периметр четырехугольника FQNC. 13. Точка М лежит вне плоскости паралле лограмма ABCD . Через прямую А В проведена плоскость а, пересекающая прямые М С и МО в точках Е и F соответственно. Чему равна длина отрезка EF. если M E ; Е С = 3:2 и А В = 20 см? 14. Плоскости а и (3 параллельны. Через точку О, находящуюся между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости а и (3 в точках М, и /V,, а вторая — в точках М 2 и N 2 соответственно. Найдите длину отрезка М ,М 2 , если он на 8 см больше отрезка N XN 2 , N XM X= 30 см, DNy = 5 см. /К •4 У D 114 Итоговая контрольная работа №1 Часть третья Реш ение задач 15 и 16 долж но содержать обоснование, в нем надо записать последовательны е логические действия и объяснения. 15. Точки А, В и О. не лежащие на одной прямой, являются соответственно параллельными проекциями двух соседних вершин квадрата и его центра. Постройте изображение квадрата. 16. Постройте сечение прямой призмы АВСА{В{СХ плоскостью, про ходящей через точки М, К и N. которые принадлежат соот ветственно ребрам АВ, ВС и СС,, причем прямые МК и АС не параллельны.
Вариант 3 Часть первая Задания 1 10 содерж ат по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРА ВИ ЛЬН Ы Й . Выберите правильный ответ и отметьте его в бланке ответов. 1. Сколько плоскостей можно провести через две точки? ♦ А) одну; Б) две; В) бесконечно много; Г) ни одной. 2. Точки D, Е и F таковы, что £>£ = 10 см, DF - в см, £ £ = 4см. Сколько плоскостей можно провести через точки D, Е и £? А) одну; Б) две; В) ни одной; 3. На рисунке изображен прямоугольный па раллелепипед ABCDA\B\C\D\. Какая из данных пар прямых является парой скре щивающихся прямых? А) .4,41 и CC'il В).4£>ий,С,; Б)ДСиО£>,; ГМ|/?| и ВВ\. 4. Прямая т проходит через вершину А треугольника АВС и не лежит в его плоскости. Каково взаимное расположение прямых т и ВС? Г)бесконечно много. х--------71С| л ' £ ----------6 в'. D А) скрещивающиеся; В) параллельны; Б) пересекаются; Г) определить невозможно. 5. Сторона АС треугольника АВС, изображенного на рисунке, принадлежит плоскости а, точ ки М и К - середины сторон АВ и ВС треугольника соответственно, точка В нахо дится вне плоскости а. Каково взаимное расположение прямой МК и плоскости а? A) прямая и плоскость пересекаются; Б) прямая и плоскость параллельны; B) прямая принадлежит плоскости; Г) определить невозможно. 6 . Треугольник АВС и плоскость а расположены так, что прямые АВ и ВС параллельны плоскости а. Каково взаимное расположение прямой АС и плоскости а? A) прямая пересекает плоскость; Б) прямая параллельна плоскости; B) прямая принадлежит плоскости; Г) определить невозможно. 116 Итоговая контрольная работа №1 7. Прямые а и Ь скрещивающиеся, точки А и А, принадлежат пря мой а, точки В и В ] — прямой />. Каково взаимное расположение прямых А В и А]В[ ? А) пересекаются; В) параллельны; Б) скрещивающиеся; Г) определить невозможно. 8 . На рисунке изображена точка А, лежащая вне плоскости а, и точки В, С и D , принадлежащие этой плоскости. Укажите линию пересечения плоскостей а и АВС. А ) ВС; Б) ГО; В)AD; Г) И С. 9. Прямая а и плоскость а параллельны. Сколько плоскостей, параллельных плоскости а, можно провести через прямую о? А) одну; Б) две; В) бесконечно много; Г) ни одной. 10. Какая из данных фигур не может быть параллельной проекцией на плоскость пары параллельных прямых? / К__ / а / ( /в/V / \ А) пара точек; В) две пересекающиеся прямые: Б) прямая; Г) две параллельные прямые. *1 Часть вторая Решите задания 11 - 14. Запиш ите ответ в бланк ответов. 11. Точки А и С принадлежат плоскости а, точки В и D — плоскос ти р. Какова длина отрезка B D , если А С = 14 см, А В || CD, a j| Р? 12. Точки А, В , D и F, изображенные на рисунке, не лежат в одной плоскости. Точки N, М, С, К — середины отрезков BD, DF\ FA и А В соответственно, B F = 24 см, A D = 18 см. Вы числите периметр четырехугольника NMCK. 13. Плоскость а пересекает стороны M F и М К треугольника M FK в точках А и В соответственно и параллельна стороне FK, АВ = 12 см, A M : A F = 3:5. Найдите длину сторо ны F K треугольника. 14. Даны треугольник А В С и плоскость а, не пересекающая его. Через вершины треугольника А В С и середину М его медианы B D проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках А { , 5,. Г, и М, соответственно. Найдите длину отрез ка М М Х, если АА-. =9 см, ВВ, = 12 см, СС( =19 см. Вариант 3 117 Часть третья Реш ение задач 15 и 16 долж но содержать обоснование, в нем надо записать последовательны е логические действия и объяснения. 15. Точки А, В к О, не лежащие на одной прямой, являются соответственно параллельными проекциями двух вершин пра вильного треугольника и его центра. Постройте изображение этого треугольника. 16. Постройте сечение куба ABCDA[BlCiD] плоскостью, которая про ходит через точку М, принадлежащую ребру AD, и параллельна плоскости At АС. 118 Итоговая контрольная работа №1 Вариант 4 Часть первая Задания ! - 10 содержат по четы ре варианта ответов, ич которых только ОДИН ответ ПРАВИ ЛЬНЫ Й. Выберите правильный ответ и отметьте его в бланке ответов. 1. Сколько плоскостей можно провести через одну прямую? А) одну; В) ни одной; Б) бесконечно много; Г) бесконечно много или ни одной. 2. Точки М, N и К таковы, что Д-/А = 8 см, KN = 9 см, MN = 6 см. Сколько плоскостей можно провести через точки М, К и N? А) одну; Б) две; В) бесконечно много; Г) ни одной. 3. На рисунке изображен прямоугольный па раллелепипед ABCDA\B]C]Di. Какая из данных пар прямых является парой парал лельных прямых? А) АА1 и АВ: В) А {В\ и CD: b )B B y iiCD; D D D iuA B . V А, ' х 71 D, С, С D 4. Прямая п параллельна стороне ВС треугольника АВС и не лежит в его плоскости. Каково взаимное расположение прямых п и АВ? А) пересекаются; В) скрещивающиеся; Б) параллельны; Г) определить невозможно. 5. Основание AD трапеции ABCD, изображен ной на рисунке, принадлежит плоскос ти а, а основание ВС не принадлежит этой плоскости. Точки М и N - середины боковых сторон трапеции. Каково взаим ное расположение прямой MN и плос кости а? A) прямая и плоскость пересекаются; Б) прямая и плоскость параллельны; B) прямая принадлежит плоскости; Г) определить невозможно. 6 . Параллелограмм ABCD и плоскость а расположены так, что прямые АС и BD параллельны плоскости а. Каково взаимное распо ложение прямой АВ и плоскости а? AJ прямая пересекает плоскость; Б) прямая принадлежит плоскости; В) прямая параллельна плоскости; Г) установить невозможно. Вариант 4 119 7. На рисунке изображена пирамида SABCDEF, основанием которой является правильный шестиугольник ABCDEF. Плоскость какой из боковых граней параллельна прямой АВ'.’ A) CSD; В) ESF; Б) DSE; Г) такая грань не существует. 8 . На рисунке изображена точка А, лежащая вне плоскости а, и точки В, С и D, принадлежащие этой плоскости. Укажите линию пересечения плоскостей а и ACD. А) ВС\ Б) CD; В) AD; Г) АС. 9. Точка А не принадлежит плоскости а. Сколько существует прямых, проходящих через точку А и параллельных плоскости а? А) одна; Б) две; В) бесконечно много; Г) ни одной. 10. Какая из данных фигур не мож.ет быть параллельной проекцией на плоскость пары скрещивающихся прямых? А) прямая; В) две пересекающиеся прямые; Б) прямая и точка вне ее; Г) две параллельные прямые. *1 Часть «тории Реш ите задания 11-14 Запиш ите отвез в бланк ответов. 11. Отрезки А В и CD параллельных прямых содержатся между параллельными плоскостями. Какова длина отрезка CD, если АВ = 5 см? 12. Точки М, N, Р и F, изображенные на рисунке, не лежат в одной плоскости. Точки А, В, Q, Т .... середины отрезков MF, PF, PN и MN соответственно, А1Р = FN = 10 см. Вычис лите периметр четырехугольника ABQT. 13. Плоскость Р пересекает стороны CF и CD треугольника CDF в точках М и Q соответственно и параллельна стороне FD, М О ~ 6 ш , /rD = 25 см, МС = 1 0 см. Найдите длину стороны FC треугольника, 14. Даны параллелограмм ABCD и плоскость а, не пересекающая его. Через вершины параллелограмма проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках .4,, Вх , С\ и Dx соответственно. Найдите длину отрезка СС) , если ААХ =10 см, ВВ, = 16см. DD. = 14см. Л/ 120 Итоговая контрольная работа №1 Часть третья Реш ение задач 15 и 16 долж но содержать обоснование, в нем надо записать последовательные логические действия и объяснения. 15. Точки А, В и М, не лежащие на одной прямой, являются параллельными проекциями двух соседних вершин квадрата и середины . его противоположной стороны соответственно. Постройте изображение этого квадрата. 16. Постройте сечение пирамиды SABCD плоскостью, которая про ходит через точку М, принадлежащую ребру CD, и параллельна плоскости BSD.
Итоговая контрольная работа № 2 Тема. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве Вариант 1 Часть первая Задания 1 10 содерж ат по четыре варианта ответов, иэ которых только ОДИН ответ П РА ВИ ЛЬН Ы Й . Выберите правильный ответ и отметьте его в бланке ответов. 1. Точка А лежит вне плоскости а. Сколько можно провести через точк> А прямых, перпендикулярных плоскости а? А) одну; Б) две; В) бесконечно много; Г) ни одной. 2. Точка А удалена от плоскости а на 8 см. Из этой точки проведена к плоскости а наклонная АВ длиной 10 см. Найдите длину проекции наклонной АВ на плоскость а. А) 2 см; Б) 8 см; В) 6 см; Г) 5 см. 3. Из точки М. лежащей вне плоскости а, проведены к ней пер пендикуляр МА и наклонные МВ и МС. Известно, что АВ<АС. Сравните длины наклонных МВ и МС. А) МВ > МС, В) МВ < МС\ Б) МВ = МС\ Г) сравнить невозможно. 4. На рисунке изображен куб ABCDAiBlCxDl с ребром а. Найдите расстояние между прямыми j АС и DD,. А) СП Б) й .; В) ах/2 ; Г) 3 ^ - 5. Даны три плоскости а, (3 и у такие, что а 1 (3, (3 утверждение. A) плоскости а и у параллельны; Б) плоскости а и у перпендикулярны; B) угол между плоскостями а и у равен 45°; Г) ни одно из' утверждений А}--В) не является 6. Прямая МВ перпендикулярна плоскости парал лелограмма ABCD, изображенного на рисун ке. Укажите угол между прямой MD и плос костью параллелограмма. . A) Z.MDA-, Б) ZMBD\ В) ZMDB\ Г) ZMDC. 7. Из точки В к плоскости а проведена наклон ная ВС, образующая с плоскостью а угол 30°. от точки В до плоскости а. если проекция наклонной ВС на эту плоскость равна 1 2 см. А) 6 см; Б) 4х/-3 см; В)12л/3см; Г) 24 см. 1 у. Укажите верное верным. М С Найдите расстояние А / С, г-9 с 122 Итоговая контрольная работа №2, 8 . Прямая DA перпендикулярна плоскости равно бедренного треугольника АВС с основанием ВС, изображенного на рисунке, точка М — середина By стороны ВС. Укажите угол между плоскостями А/ -4 АВС и DBC. С" A) /.DBA: Б) ZDMA; В) ZDCA\ Г) ZD AM. 9. Площадь многоугольника равна 16 см2, а площадь его ортого нальной проекции на некоторую плоскость — 8л/2 см2. Чему равен угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции? А) 0°; Б) 30°; В) 45°; Г) 60°. 10. На рисунке изображен куб ABCDA^B^C^D]. * 11 Найдите угол между прямыми ABt и CD,. А) 60°; Б) 45°; В) 0°; Г) 90°. » В, Т7\ • LВ \ /. Часть вторая Реш ите задания 11 14. Запиш ите ответ в бланк ответов. 11. Точка D находится на расстоянии 4 см от каждой из вершин правильного треугольника АВС, сторона которого равна 6 см. Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС. 12. Из точки А к плоскости а проведены перпендикуляр AD и наклон ные АВ и АС, АВ = 2 5ш , ЛС = 17см, проекции наклонных на плоскость а относятся как 5 : 2. Найдите расстояние от точки А до плоскости а. 13. Концы отрезка, длина которого равна 5у5 см, принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Расстояния от концов этого отрезка до линии пересечения плоскостей равны 5 см и 8 см. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей. 14. Точка А/ равноудалена от сторон квадрата ABCD и находится на расстоянии 2-Уз см от плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки М до стороны квадрата, если сторона квадрата равна 4 см. Вариант 1 123 Часть третья Реш ение задач 15 и 16 долж но содержать обоснование, в нем надо записать последовательны е логические действия и объяснения. 15. Через вершину С ромба ABCD к его плоскости проведен перпендикуляр CF. Точка F удалена от диагонали BD на 25 см. Найдите расстояние от точки F до плоскости ромба, если BD = 20 см, АВ = I Ол/5 см. 16. Через катет прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 60°. Найдите углы, которые образуют две другие стороны треугольника с этой плоскостью. 124 Итоговая контрольная работа №2 Вариант 2 Часть первая Задания I - 10 содержат по четыре варианта ответов, из которы х только ОДИН ответ ПРАВИ ЛЬНЫ Й. Выберите правильный ответ и отметьте его в бланке ответов. 1. Точка А лежит вне плоскости а. Сколько можно провести через точку А плоскостей, перпендикулярных плоскости а? А) одну; Б) две; В) бесконечно много; Г) ни одной. 2. Точка В удалена от плоскости Р на 12 см. Из этой точки проведена к плоскости р наклонная ВС. Найдите длину наклонной, если длина ее проекции на плоскость Р равна 5 см. А) 17 см; Б) 15 см; В) 13 см; Г') 11 см. 3. Из точки М, лежащей вне плоскости а, проведены к ней перпендикуляр МК и наклонные ME и MF, причем ME > MF. Сравните проекции этих наклонных на плоскость а. A )KE>KF\ В )KE<KF: Б) КЕ = KF; Г) сравнить невозможно. 4. На рисунке изображен куб ABCDA]BlCiDl с реб ром а. Найдите расстояние между прямыми BD и Л, С ,. А) а; Б) a j l ; В) 2а; Г) . С, IВ D С А 5. Даны прямая типи плоскость а такие, что т || п, т Т а . Укажите верное утверждение. A) прямая п параллельна плоскости а; Б) прямая п перпендикулярна плоскости а; B) прямая п лежит в плоскости а; Г) прямая п пересекает плоскость а под углом 60°. 6 . Прямая КО перпендикулярна плоскости ром ба ABCD, изображенного на рисунке. Укажите угол между прямой ВК и плоскостью ромба. А) КВОК; Б) Z.ABK; В) Z.OBK: Г) ZCBK. 7. Из точки К к плоскости ф проведена наклонная КЕ длиной 18 см. Чему равен угол между наклонной КЕ и плоскостью ф, если точ ка К удалена от данной плоскости на 9 см? А) 30°; Б) 45°; В) 60°; Г) определить невозможно. Вариант 2 125 8 . Прямая МВ перпендикулярна плоскости ква драта ABCD, изображенного на рисунке, точ ка К ■— середина стороны CD. Укажите угол между плоскостью квадрата и плоскос тью CMD. A) ZMAB: Б) ZMDB. В) ZMKB\ Г) ZMCB. 9. Площадь многоугольника равна 24 см". Найдите площадь ортого нальной проекции зтого многоугольника на плоскость, образую щую угол 60° с плоскостью многоугольника. В, А) 12 см2; Б) 24 см2; В) 36 см2; Г) 48 см2. 10. На рисунке изображен куб ABCDA[B[CiDl . Найдите угол между прямыми A{D{ и АС. А) 30°; Б) 45°; В) 60°; Г) 90°. А *1 D / Я - С, С D Часть вторая Решите задания II 14. Запиш ите ответ в бланк ответов. 11. Точка К находится на расстоянии 4 см от каждой из вершин пра вильного треугольника АВС. Найдите длину стороны треуголь ника, если точка К удалена от плоскости АВС на 2 см. 12. Из точки В к плоскости у проведены перпендикуляр ВО и наклонные ВА и ВС. Известно, что ВА = 12 см, #С = 30см. проекции наклонных на плоскость у относятся как 10 : 17. Найдите длину проекции наклонной ВА на плоскость у. 13. Концы отрезка АВ принадлежат двум перпендикулярным плоскос тям а и [3. Проекция отрезка АВ на плоскость о. равна 5 см, а его проекция на плоскость Р — 2л/ю см. Расстояние между осно ваниями перпендикуляров, опушенных из концов отрезка АВ на линию пересечения плоскостей, равно 4см. Найдите длину отрезка АВ. 14. Точка Р равноудалена от сторон ромба ABCD и находится на расстоянии 8 см от его плоскости. Найдите расстояние от точки Р до сторон ромба, если высота ромба равна 1 2 см. 126 Итоговая контрольная работа №2 Часть третья Реш ение задач 15 и 16 долж но содержать обоснование, в нем надо записать последовательны е логические действия и объяснения. 15. Через вершину А прямоугольника ABCD к его плоскости проведен перпендикуляр АК. Точка К удалена от стороны ВС на 15 см. Найдите расстояние от точки К до стороны CD, если 5£> = 7337 см, АК =12см. 16. Через сторону правильного треугольника проведена плоскость, образующая с двумя другими сторонами треугольника углы по 60°. Найдите угол между плоскостью данного треугольника и проведенной плоскостью. вариант 3 127 Вариант 3 Часть первая Золения 1 10 содержа! по четы ре варианта ответов, из которы х только ОДИН ответ П РАВИ ЛЬНЫ Й. Выберите правильный ответ и отметьте его в бланке ответов. 1. Плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых. Как расположена вторая из этих прямых относительно данной плоскости? А) параллельна плоскости, В) лежит в плоскости; Ь) перпендикулярна плоскости; Г) определить невозможно. 2. Из точки С к плоскости у проведена наклонная длиной 17 см. Найдите расстояние от точки С до плоскости у, если проекция проведенной наклонной на эту плоскость равна 8 см. А) 8 см; Б) 9 см; В) 12 см; Г) 15 см. 3. В пространстве даны прямая а и точка А вне ее. Сколько можно провести через точку А прямых, перпендикулярных прямой а! А) одну; В) ни одной; Б) две; Г) бесконечно много. 4. На рисунке изображен куб ABCDA]B]ClDl с реб ром а. Найдите расстояние между прямыми АБ и СО ,. А) а- Б) — ; В) a-Jl ; Г) ^ 5. Через вершину А правильного треугольника АВС, изображенного на рисунке, провели прямую МА, перпендикулярную плоскости треугольника, отрезок АК — высота треугольника АВС. Какая из данных плоскостей перпендикулярна плос кости МАК‘1 А) плоскость ВМС; В) плоскость .-ШС; Б) плоскость АМВ\ Г) ни одна из данных плоскостей. 6 . Через середину О стороны АС треугольника АВС, изображенного на рисунке, провели пря мую МО, перпендикулярную плоскости тре угольника. Укажите угол между прямой МВ и плоскостью АВС. A) ZABM: Б) ZOBM; В) ZCBM; Г) ZBOM. 7. Из точки Р, удаленной от плоскости а на 4-Уз см, к этой плоскости проведена наклонная. Найдите длину наклонной, если угол между ней и плоскостью а равен 60°. А) 8 см; Б) б см: В) 8 -Уз см, Г) 6 л/з см. 128 Итоговая контрольная работа №2 8 . Прямая МВ перпендикулярна плоскости прямо угольника ABCD, изображенного на рисунке, точка К — середина стороны AD. Укажите угол между плоскостью прямоугольника и плоскостью AMD. A) Z.MAB-, Б) ZMKB; В) ZMDB: Г) ZABM. 9. Площадь многоугольника равна площади ортогональной проекции этого многоугольника на некоторую плоскость. Чему равен угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции? А) 0°; Б) 45°; В) 90е; Г) такой случай невозможен. 10. На рисунке изображен куб ABCDAiBiCl Dl . Найдите угол между прямыми ААХ и CD, А) 30°; Б) 45°; В) 60°: Г) 90°. 5, А. л ~ \ Ч с Часть вторая Решите задания II - 14. Запиш ите ответ в бланк ответов. 11. Точка М находится на расстоянии 8 см от каждой из вершин ква драта ABCD. Найдите длину стороны квадрата, если точка М удалена от его плоскости на 4-Уз см. 12. Из точки А к плоскости а проведены перпендикуляр АО и наклон ные АВ и АС. причем наклонная АВ на 4 см меньше наклонной АС. Проекции данных наклонных на плоскость а равны I см и 7 см. Найдите расстояние от точки А до плоскости а. 13. Концы отрезка, длина которого равна 10 см, принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Углы между данным отрезком и этими плоскостями равны 45° и 30°. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей. 14. Точка S равноудалена от сторон трапеции и находится на расстоянии y[l см от ее плоскости. Найдите расстояние от точки S до сторон трапеции, если ее высота равна 6 \/2 см. Пуриант 3 129 Чисть третьи Реш ение задач 15 н 16 долж но содержать обоснование, в нем надо записать последовательны е логические действия и объяснения. 15. Треугольник АВС равнобедренный прямоугольный с прямым углом С и гипотенузой 4 см. Отрезок СМ перпендикулярен плоскости треугольника и равен 2 см. Найдите расстояние от точки А/до прямой АВ. 16. Через вершину А прямоугольника ABCD проведен перпендику ляр МА к плоскости прямоугольника. Угол между прямой МС и плоскостью прямоугольника равен 30°, AD = J 2 см, CD = 2 см. Найдите угол между плоскостями АВС и MDC. 130 Итоговая контрольная работа №2 Вариант 4 Часть первая Задания 1-10 содержат по четы ре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ П РАВИ ЛЬНЫ Й. Выберите правильный ответ и отм етьте его в бланке ответов. 1. Прямые а и b перпендикулярны одной плоскости. Каково взаимное расположение прямых а и //? А) пересекаются; В) скрещивающиеся; Б) параллельны; Г) определить невозможно. 2. Из точки А, удаленной от плоскости а на 20 см, проведена к этой плоскости наклонная АС длиной 25 см. Найдите длину проекции наклонной АС на плоскость а. А) 10 см; Б) 15 см; В) 20 см; Г) 5 см. 3. В пространстве даны прямая а и точка А, принадлежащая ей. Сколько можно провести через точку А прямых, перпендику лярных прямой а! А) одну; Б) две; В) ни одной; 4. На рисунке изображен куб ABCDAiBiClD^ с ребром а. Найдите расстояние между пря- Г)бесконечно много. мыми A\D\ и С,£>. А) а; Б ) - |; В) a 4 l ; Г) . 5. Через точку О пересечения диагоналей квадрата ABCD, изображенного на рисунке, проведена прямая МО, перпендикулярная плоскости квадрата, точка К — середина отрезка CD. Какая из данных плоскостей перпендикулярна плоскости МОК1 А) плоскость МОС\ В) плоскость CMD-, Б) плоскость MOD\ Г) ни одна из данных плоскостей. 6 . Через точку О, лежащую внутри треугольника АВС, Ч изображенного на рисунке, проведена прямая МО, А \ перпендикулярная плоскости треугольника. Ука жите угол между прямой МС и плоскостью \ / треугольника. ч} A) ZMCA- Б) ZMCB- В) ZCMO\ Г) ZMCO. 7. Из точки М к плоскости а проведена наклонная MN под углом 45° к плоскости. Найдите расстояние от точки М до плоскости, если длина наклонной равна 14 см. A) 7-Jl см; Б) 7 см; В) 28л/2 см; Г) 14 см. Вариант 4 131 8 . Через вершину С квадрата ABCD, изобра женного на рисунке, проведена прямая МС, перпендикулярная плоскости квадрата. Укажите угол между плоскостью квадрата и плоскостью BMD. A) ZBMD- Б) ZMBC: В) ZMOD: Г) ZMOC. 9. Площадь ортогональной проекции многоугольника равна 6 >/з см2, а угол между плоскостями многоугольника и его проекции равен 30°. Найдите площадь данного многоугольника. А) 12>/3 см2; Б) 12 см2; В) 9л/з см2; Г) 9 см2. 10. На рисунке изображен куб ABCDAjB^C^D,. Найдите угол между прямыми АС и CtD . А) 30°; Б) 45°; В) 60°; Г) 90° *1 Часть вторая Решите задания II 14. Запиши ie ответ в бланк ответов. 11. Точка F находится на расстоянии 9 см от каждой из вершин квадрата ABCD, сторона которого равна 8 см. Найдите расстояние от точки F a о плоскости квадрата. 12. Из точки М к плоскости а проведены перпендикуляр МО и наклонные МА и МВ, разность которых равна 2 см. Проекции наклонных на плоскость а равны 9 см и 5 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости а. 13. Концы отрезка, длина которого равна 25 см, принадлежат двум перпендикулярным плоскостям, а расстояния от его концов до линии пересечения плоскостей равны 16 см и 15 см. Найдите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов отрезка на линию пересечения плоскостей. 14. Сторона правильного треугольника равна 6 -Уз см. Точка М равноудалена от сторон треугольника и находится на расстоянии 6i/2 см от его плоскости. Найдите расстояние от точки М до сторон треугольника. 132 Итоговая контрольная работа №2 Часть третья Реш ение задач 15 и 16 долж но содержать обоснование, в нем надо записать последовательны е логические действия и объяснения. 15. Треугольник АВС - равнобедренный прямоугольный с прямым углом С и гипотенузой 6 см. Отрезок СК перпендикулярен плоскости треугольника. Расстояние от точки К до прямой АВ равно 5 см. Найдите длину отрезка СК. 16. Через вершину С прямоугольника ABCD проведен перпендику ляр МС к плоскости прямоугольника. Угол между прямой МА и плоскостью прямоугольника равен 45°, A D - 2 см, DC - 2-Jl см. Найдите угол между плоскостями АВС и АВМ.