Ответы в самом низу встроенного документа
261. Точки А и В принадлежат двум перпендикулярным плоскостям а и р соответственно, и — линия пересечения этих плоскостей. AD и ВС — перпендикуляры, проведенные из точек А и В к прямой а. Найдите длину отрезка АВ, если AD = 5см, В С - 6 см, DC = 12 см. 262. Отрезок лежит в одной из двух перпендикулярных плоскостей и не пересекает другую. Один из концов отрезка удален от прямой а пересечения плоскостей на 12 см. Во второй плоскости проведена прямая Ь, параллельная а. Концы данного отрезка удалены от прямой b на 13 см и ViT см. Найдите расстояние от середины отрезка до прямой а. 263. Прямоугольник ABCD перегнули по диагонали так, что плоскости ABD и CBD оказались перпендикулярными. Найдите расстояние между точками А и С, если А В = 30 см, BD = 50 см. Вариант 2_________________________________________________________ 61 264. Докажите, что если прямые пересечения плоскостей а, (3 и у по парно перпендикулярны, то плоскости попарно перпендикулярны. Расстояние между скрещивающимися прямыми 265. На рисунке 8 6 изображен куб с ребром а. Найдите расстояние между прямыми АВ и CD. 62______________________________________ Тренировочные упражнения а) б) Рис. 86 266. Через вершину острого угла А прямоугольного треугольника АВС (А В = 90°) проведена прямая а. перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояние между прямыми ВС и а, если ВС = 7 см, АС = 25 см. 267. Через вершину А треугольника АВС проведена прямая /, перпен дикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояние между прямыми / и ВС. если /45 = 13 см, В С - 14см, ЛС = 15см. 268. Через середину хорды АВ окружности радиусом 5 см проведена прямая и, перпендикулярная плоскости окружности. Найдите рас стояние между прямой п и диаметром ВС. если АС =8 см. 269. Через точку А окружности проведены хорды АВ и АС. Через точ ку В проведена прямая т, перпендикулярная плоскости окружно сти, а через точку С прямая к — касательная к окружности. Найдите расстояние межд> прямыми т и к, если АВ = 6 см, АС =8 см, Z ВАС = 60°. 270. Через вершину А равнобедренного треугольника АВС ( АВ = АС ) проведена плоскость, перпендикулярная плоскости АВС. и в этой плоскости через точку А проведена прямая т. Найдите расстояние между прямыми т и ВС. если ВС - 8 см, ABAC = 120°. 271. Через основание ВС равнобедренного треугольника АВС прове дена плоскость а. Расстояние от точки А до плоскости а равно 4 см. Найдите расстояние между прямой ВС и прямой, прохо дящей через точку А перпендикулярно плоскости а, если ВС = 12см, АВ = 10 см. Париант 2 63 Рис. Л 7 Рис. 88 Рис. 89 272. Скрещивающиеся прямые а и b принадлежат параллельным плоскостям а и [3 соответственно. Докажите, что расстояние между прямыми и и b равно расстоянию между плоскостями а и р. 273. Плоскость а проведена через сторону CD прямоугольника ABCD перпендикулярно его плоскости (рис. 87). Из точки А к плоскос ти а проведена наклонная АК длиной 15 см Найдите расстояние между прямыми ВС и АК, если АВ = 8 см, AD = 9 см, КС = 12 см. 274. Плоскости квадратов ABCD и ABC^D^ перпендикулярны (рис. 8 8 ). Найдите расстояние между прямыми CDX и АВ, если АВ =6 см. 275. Длина ребра куба ABCDA]B]C]Di равна 4 см. Найдите расстоя ние между прямыми АС\ и ВВХ. Угол между скрещивающимися прямыми 276. Отрезок AM — медиана треугольника АВС, прямая МК перпенди кулярна прямым AM и ВС. Найдите угол между прямыми А В и МК. 277. Через центр О квадрата ABCD к его плоскости проведен пер пендикуляр ЕО (рис. 89). Найдите угол между прямыми ED и АС. 278. Через центр О правильного шестиугольника ABCDEF к его плоскости проведена перпендикулярная прямая. На этой прямой выбрали точку К и соединили ее серединой Р стороны АВ. Дока жите, что прямые КР и FC перпендикулярны. 279. На рисунке 90 изображен куб АВСОАхВхС ^ \. Найдите угол между прямыми: 1) АВ и СС,: 2) Я, С, и А С; 3) A}D и АС. 280. Через вершину В прямоугольника ABCD к его плоскости проведен перпендикуляр FB длиной 6 см. Найдите угол между прямыми АВ и FD, если АВ = 9 см, ВС - 12 см. /1 , X -------- 71С' X' л / D Рис. 90 64 Т ренировочные упражнения Угол между прямой и плоскостью 281. Наклонная образует с плоскостью угол 60°. Найдите длину наклонной, если длина ее проекции 9 см. 282. Найдите угол между наклонной и плоскостью, если длина наклонной равна 15 см, а расстояние от конца наклонной до плоскости - — 3 см. 283. Дан куб ABCDAlBtC]Dt . Найдите угол между прямой АС, и плоскостью .1 ВС. 284. Докажите, что боковые стороны равнобедренного треугольника образуют равные углы с плоскостью, проходящей через его осно вание. 285. Точка Л/ лежит вне плоскости правильного треугольника АВС. а наклонные МА, МВ и МС образуют равные углы с плоскос тью АВС. Докажите, что проекция точки V/ на плоскость треуголь ника — центр этого треугольника. 286. Т очка К находится на расстоянии 6 см от плоскости а. Наклон ные КА и КВ образуют с плоскостью а углы 45° и 30°. а угол между проекциями наклонных равен 135°. Найдите расстояние между точками А и В. 287. В треугольнике АВС известно, что АВ--АС, ВС = 12см, пло щадь треугольника равна 18 см'. Через вершину А проведен к плоскости треугольника перпендикуляр DA такой, что DE = Зл/2 см, где точка Е — середина ВС. Найдите угол между прямой DE и плоскостью треугольника. 288. Концы отрезка АВ. длина которого равна 2л/2 см, лежат в двух перпендикулярных плоскостях а и (3 соответственно. Из точек А и В опущены перпендикуляры АА, и ВВ] на линию пересечения плоскостей. АВ, - %/б см. А А, =■ 2 см. Найдите утлы, которые образует отрезок АВ с плоскостями а и (3 289. Точки А и В лежат в двух перпендикулярных плоскостях. С одной из плоскостей отрезок АВ образует угол 30°. Точка А находится на расстоянии 4 см от этой плоскости. а расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных из точек А и В к линии пересечения плоскостей, равно 4х/2см. Найдите угол между отрезком АВ н второй плоскостью. Вариант 2 65 290. Через вершину А прямоугольного треугольника АВС ( /. АВС = 90°) к плоскости треугольника проведен перпендикуляр DA. Найдите расстояние от точки D до прямой ВС, если прямая DB образует с плоскостью АВС угол (3. АС = с. Z ВАС = а. 291. Треугольники АВС и Л DC лежат в разных плоскостях. Найдите углы, которые образуют прямые АВ и СВ с плоскостью ADC, если АВ = ВС = АС . AD = DC , Z ADC = 90°, прямая BD перпендику лярна плоскости ADC. 292. Через вершину угла, равного 60°, проведена прямая, образующая с его сторонами углы по 60°. Найдите угол, который образует эта прямая с плоскостью данного угла. Угол между плоскостями 293. Угол между двумя плоскостями равен 30°. В каждой из плоскос тей проведена прямая, параллельная линии их пересечения. Расстояние от одной из этих прямых до линии пересечения плоскостей равно 8 см, а от другой 2л/3 см. Найдите расстояние между проведенными прямыми. 294. Плоскости ос и (3, угол между которыми равен 60°, пересекаются по прямой /. Плоскость у пересекает плоскости а и (3 соответ ственно по прямым а и Ь. параллельным прямой /. Расстояние между прямыми а и h равно 2л/Т9 см, между прямыми а и / — 6 см. Найдите расстояние от прямой b до плоскости а. 295. Квадрат и прямоугольник, плошади которых соответственно равны 36 см2 и 96 см2, имеют общую сторону, а расстояние между их параллельными сторонами равно 14 см. Найдите угол между плоскостями квадрата и прямоугольника. 296. Сторона АВ равностороннего треугольника АВС принадлежит плоскости ос. Из точки С к плоскости а проведен перпендику ляр СО. Расстояние от точки О до прямой АВ равно 3-Уз см. плошадь треугольника АВС равна 36V3 см2. Найдите угол между плоскостями АВС и а. 297. Через сторону АВ треугольника АВС проведена плоскость, обра зующая с плоскостью треугольника угол 45°. Найдите расстояние 0 1 вершины С до этой плоскости, если АВ = 14 см. ВС = 13 см, ЛС - 15 см. 66 Тренировочные упражнения 298. Равнобедренные треугольники АВС и ADC имеют общее основание АС. Угол между их плоскостями равен 60°, А С - 12 см, Z АВС = 60°, Z ADC = 120°. Найдите длину отрезка BD. 299. Два равнобедренных треугольника MNK и МЕК имеют общее основание МК. Найдите угол между плоскостями MNK и МЕК, если MN = 5-\/3 см, ЕК = 13 см, EN - \ll4 см, МК - 10 см. 300. Прямоугольники ABCD и AMKD имеют общую сторону AD. Най дите угол между плоскостями прямоугольников, если AD = 6 см, DK =16 см, DC = 12 см, МС = 10 см. 301. На рисунке 91 изображен куб ABCDAXB\CXD,. Найдите угол между плоскостями АВС и Л Я, С,. 302. Через сторону правильного треугольника про ведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 30°. Найдите углы, которые образуют две другие стороны треугольника с этой плоскостью. А Рис. 91 303. Угол между плоскостями а и |3, которые пересекаются по пря мой а, равен 45°. В плоскостях а и р выбраны точки С и D соот ветственно и из них проведены перпендикуляры DA и СВ к пря мой а. Найдите длину отрезка АВ, если AD = 6V2 см, СВ - 8 см, £>С = 11см. 304. Плоскости а и р пересекаются по прямой /. Из точек А и В, лежащих в плоскостях а и Р соответственно, проведены перпен дикуляры AM и BN к прямой /. Найдите угол между плоскостями аир, если AM = 12 см, BN - 8 -ч/з см, AN = 4 VlO см, АВ - 8 см. 305. Через центр О правильного треугольника АВС проведена пря мая /, перпендикулярная плоскости треугольника. Плоскость, проведенная через сторону АВ, пересекает прямую / в точке М. Угол между плоскостями АВС и АВМ равен 60°. Найдите длину стороны треугольника АВС. если длина проекции отрезка МО на ' з [Ч плоскость АВМ равна - у - см. 306. Из точки М, лежащей вне плоскости а. проведены к ней две наклонные МА и МВ, образующие с плоскостью а углы 45° и 60° соответственно. Найдите угол между плоскостями а и МЛ В. если угол между проекциями наклонных МА и МВ равен 150°. . Вариант 2 b7 307. Угол между двумя плоскостями равен 60°. В одной из плоскостей проведена прямая, образующая со второй плоскостью угол 30°. Найдите угол, образованный этой прямой с линией пересечения плоскостей. 308. Точка М равноудалена от вершин правильного шестиугольни ка ABCDEF. Угол между прямой МА и плоскостью АВС равен а. Найдите угол между плоскостями МАВ и АВС. 309. Точка К равноудалена от вершин квадрата ABCD. Угол между прямой КА и плоскостью АВС равен (3. Найдите угол между плоскостями АВК и ADK. Площадь ортогональной проекции многоугольника 310. Может ли площадь ортогональной проекции многоугольника быть больше, чем площадь самого многоугольника? 311. Найдите площадь многоугольника, если площадь его ортогональ ной проекции на некоторую плоскость равна 32л/2 см2, а угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции ра вен 45°. 312. Площадь многоугольника равна 24 см2, а площадь его ортого нальной проекции — 16см‘. Найдите угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. 313. Ортогональной проекцией треугольника АВС на некоторую плоскость является прямоугольный треугольник А]В]С] такой, что катет А\С\ равен 30 см, медиана, проведенная к гипотенузе А\В\, - 17 см. Найдите угол между плоскостями АВС и AVB\C], если площадь треугольника АВС равна 160л/з см*1. 314. Площадь четырехугольника равна 56-\/2 см2. Его ортогональной проекцией на некоторую плоскость является ромб, одна из диаго налей которого равна 14 см. Найдите вторую диагональ ромба, если угол между плоскостью четырехугольника и плоскостью ромба равен 45°. 315. Площадь треугольника А\ВуС{ равна 22,5 см2. Он является орто гональной проекцией треугольника АВС со сторонами 6 см, 10 см и 14 см. Найдите угол между плоскостями АВС и /4, В] С ,. 316. Ортогональной проекцией трапеции является равнобокая трапе ция, основания которой равны 4 см и 8 см, а диагонали перпен дикулярны. Найдите площадь данной трапеции, если угол между ее плоскостью и плоскостью проекции равен 60°. 6В Тренировочные упражнения Вариант 3 Систематизация и обобщение фактов и методов планиметрии 1. Углы ЛОВ и АОС равны между собой, а точки В, О и С лежат на одной прямой. Докажите, что углы ЛОВ и АОС прямые. 2. Докажите равенство остроугольных треугольников по высоте и углам, которые она образует со сторонами угла, из вершины которого она проведена. 3. Докажите равенство равнобедренных треугольников по высоте, проведенной к боковой стороне, и углу, который она образует с основанием. 4. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне. 5. Докажите от противного, что если два луча делят развернутый угол на три угла, то среди этих углов хотя бы один не больше, чем 60°. 6 . Докажите от противного, что если разность двух углов равна 3°, то они не могут быть вертикальными. 7. Прямая с параллельна стороне CD треугольника CDE. Может ли прямая с быть параллельной сторонам СЕ и DE1 Ответ обоснуйте. 8 . Докажите от противного, что если прямые а и Ъ параллельны и прямая с не пересекает прямую а, то она не пересекает и пря мую Ь. 9. На рисунке 92 СЕ = ЕК , PM II КЕ. Дока жите, что СМ = Р М . 10. Отрезки DH и DK — высота и биссектриса треугольника DME соответ ственно, Z.DME = 123 °, /.DEM = 19°. Найдите угол HDK. 11. В треугольнике АВС / С =126°, отрезки AD и AN — высота и биссектриса треугольника соответственно, /D A N = 48°. Найдите неизвестные углы треугольника АВС. 12. В прямоугольном треугольнике один из острых углов меньше угла между биссектрисой и высотой, проведенными к гипотенузе, на 29°. Найдите острые углы треугольника. 13. В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD перпендикулярны. Точки М, F. К и Р — середины сторон А В, ВС, CD и DA соответственно. Докажите, что МК — FP. Вариант 3 69 D С с А С ь Рис. 93 Рис. 94 Рис. 95 14. Определите вид четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон: 1 ) квадрата; 2 ) четырехугольника с перпендикулярными диагоналями. 15. Отрезок BE — медиана треугольника АВС, /.А В С = 90°, АС = 24 см (рис. 93). Известно, что MN || АС, DK || АС, ВМ = МА, MD = DA. Найдите LP. 16. Расстояния от точек А, В и С до прямой / (рис. 94) равны со ответственно а, Ь и с (а < Ь < г). Известно, что середины отрезков АВ и ВС равноудалены от прямой I. Докажите, что 2Ь = а + с. 17. Параллельные прямые А и / пересекают стороны угла MDP (рис. 95). Найдите длину отрезка ААХ, если D A - 8 см, ВВ, = 9 см, АА{ = 2DB. 18. Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD пересе каются в точке М, AM = 20 см. Найдите АВ, если DC : СМ= 3 : 2. 19. В треугольник АВС вписан ромб DKFC так, что угол Г у них общий, а вершина К принадлежит стороне АВ. Сторона ромба равна 4 см, BF = 3 см. Найдите АС 20. Основания трапеции равны 6 см и 14 см. а диагонали — 15 см и 20 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ. 21. В прямоугольном треугольнике АВС ( / В - 90°) АС =52 см, АВ = 20 см. Найдите медиану AM треугольника. 22. В остроугольном треугольнике АВС известно, что АВ = 17 см, ВС = 25 см, а высота BD делит сторону АС на отрезки AD и DC такие, что AD : DC = 2:5. Найдите АС. 23. Из точки к прямой проведены две наклонные. Одна из них равна 22 см и образует с прямой угол 45°. Найдите длину второй наклонной, если ее проекция на эту прямую равна л/82 см. 70 Тренировочные упражнения 24. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на эту прямую равны 5 см и 9 см. Найдите длины наклонных, если их сумма равна 28 см. 25. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины которых равны 15 см и 2 0 см, а длины их проекций на эту прямую относят ся как 9:16. Найдите расстояние от точки до данной прямой. 26. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 25 см и 20 см. Найдите стороны треугольника. 27. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит высоту, проведенную к основанию, на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите стороны треугольника. 28. В равнобокой трапеции ABCD известно, что АВ = CD = 7 см, ВС = 2 см, AD = 8 см. Найдите синус и косинус угла CAD. 29. Из точки, находящейся на расстоянии 16 см от прямой, проведены к ней две наклонные, образующие с прямой углы 30° и 60°. Найдите длины наклонных и их проекций на прямую. 30. Из точки, находящейся на расстоянии 20 см от прямой, проведены к ней две наклонные, образующие с прямой углы 60° и 45°. Найдите расстояние между основаниями наклонных. Сколько решений имеет задача? 31. Найдите площадь равнобедренного треугольника, основание которого равно 16 см, а боковая сторона — 1 0 см. 32. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к гипотенузе. 33. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 см и 5 см, а угол между ними равен: I) 60°; 2) 135°. 34. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 3 см, 7 см и 8 см. 35. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите площадь треугольника, если большая из двух остальных сторон равна 25 см. 36. Одна сторона треугольника на 4 см меньше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если третья его сторона равна л/ 79 СМ. 37. Две стороны треугольника относятся как Зл/2 : 7, а угол между ними равен 45°. Найдите эти стороны, если третья сторона тре угольника равна 30 см. Вариант 3 71 38. В треугольнике ЛВС известно, что AC = b, Z A - a , ZB = (3. Найдите стороны ЛВ и ВС. 39. Биссектриса прямоугольного треугольника, проведенная из вер шины его прямого угла, равна /, а острый угол равен а. Найдите катеты треугольника. 40. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне ВС. Найдите стороны параллело грамма, если его периметр равен 30 см. 41. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 25 см и 7 см, а одна их диагоналей перпендикулярна его стороне. 42. Найдите площадь ромба, если его сторона равна 20 см, а разность диагоналей — 8 см. 43. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, делит ее на отрезки длиной 16 см и 25 см. Найдите площадь ромба. 44. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 8 см и 14 см, а угол между ними — 45°. 45. Высоты параллелограмма равны 14 см и 12 см, а угол между ни ми — 45°. Найдите площадь параллелограмма. 46. Диагональ равнобокой трапеции образует с боковой стороной прямой угол. Известно, что боковая сторона в два раза меньше большего основания. Найдите углы трапеции. 47. В трапеции ABCD ( АВ = CD ) угол В — гупой, его биссектриса пересекает основание AD в точке К, ВК = ,1В = 13 см. Найдите разность оснований трапеции. 48. В прямоугольной трапеции ABCD (BC\\AD) диагональ А С равна 14 см, перпендикулярна боковой стороне CD и делит угол А в отношении 2:1, считая от большего основания. Найдите среднюю линию трапеции. 49. Найдите площадь равнобокой трапеции, меньшее основание которой равно 7 см, боковая сторона — 10 см, а угол при большем основании — 60°. 50. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 4 см и 10 см, а диагонали деля г ее тупые углы пополам. 51. Около треугольника АВС описана окружность»с центром в точ ке О. Найдите угол ЛОВ. если: 1) Z С = 54°; 2), Z С = 136°. 72 Т рен и ро воч ны е у п ражн ен ия 52. Найдите углы равнобедренного треугольника, вписанного в окружность, основание которого стягивает дугу, градусная мера которой равна 1 0 0 °. 53. Точки М и N окружности лежат по одну сторону от диаметра АВ (рис. 96). Найдите угол BMN, если ZAM N - I 10°. 54. Три угла четырехугольника, вписанного в окружность, взятые в порядке следо вания, относятся как 4:8:11. Найдите углы четырехугольника. Л Рис 98 55. Боковые стороны тралении, в которую можно вписать окружность, равны 5 см и 11 см. Найдите пери метр трапеции. 56. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит ее боковую сторону на отрезки длиной 9 см и 16 см. Найдите площадь трапеции. 57. В треугольнике АВС известно, что АС = 5-J2 см. Z B - 45°. Най дите радиус окружности, описанной около этого треугольника. 58. Основание равнобедренного треугольника равно 70 см, а боковая сторона — 37 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника. 59. Длина дуги окружности равна 20 см, а ее градусная мера — 15°. Найдите радиус окружности. 60. Длина окружности, радиус которой 12 см,. равна длине дуги второй окружности, содержащей 135°. Найдите радиус второй окружности. 61. Площадь сектора составляет ^ площади круга. Найдите градус ную меру центрального угла, соответствующего данному сектору. 62. Стороны треугольника равны 20 см, 34 см и 42 см. Найдите отно шение площадей описанного и вписанного в этот треугольник кругов. 63. Стороны двух правильных шестиугольников относятся как 3 : 5, а площадь меньшего из них равна 72 см2. Найдите площадь большего шестиугольника. 64. Сторона правильного треугольника равна 6 см. Найдите радиусы его вписанной и описанной окружностей. Вариант 3 73 65. Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен 8 см. Нащутге сторону квадрата и радиус описанной около него окружности. 6 6 . Радиус окружности, описанной около правильного шестиуголь ника, равен 5л/з см. Найдите сторону шестиугольника и радиус вписанной в него окружности. 67. Вычислите площадь правильного шестиугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 4 см. 6 8 . Вершинами треугольника являются точки' Л(-3; 1), Д(2;-5), С(3; 6 ). Докажите, что треугольник АВС— равнобедренный. 69. На прямой, содержащей биссектрисы первого и третьего коор динатных углов, найдите точку, равноудаленную от точек А{ 1; 1) и 5(3; 5). 70. Составьте уравнение окружности, радиусом которой является отрезок Л'/Л/, если М (-3;1), Л7( 1:6). Сколько решений имеет задача? 71. Четырехугольник ABCD — прямоугольник (рис. 97). Укажите вектор, равный вектору: 1) ~4В\2)ВА\5)Ш\А)ОС\5) ОА \ 6 ) 7 ю 72. Четырехугольник ABCD — параллело грамм. Найдите: А Рис 97 С D 1) B A -B C + A D , 2) BC + BA+DB 73. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О (рис. 98). Выразите векторы ВС и DC через векторы АО - а и OB = b . 74. Даны точки .4(-2;3) и 5(5; 0). Найдите координаты точки С такой, что ВА + СА - 6. 3) АВ + ВС + C B -D A . С Рис 98 75. Найдите модуль вектора т -= 5а - 3 Ь , где а (5; 6 ); b {1; -4). 76. На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD отмечены точки Р и Q соответственно, причем АР = j A D , CQ = -у CD (рис. 99). Выразите векторы ВР и ВО че рез векторы АВ = т и ВС = п . г „„ Рис. 99 74 1 реиировочные упражнения 77. На сторонах АВ и НС треугольника АВС выбрали такие точки К и М соответственно, что АК : КВ = 2:5. AM: МС = 4:3. Выразите векторы А В . АС, ВС, СК и МВ через векторы ЛК = а и СМ =с . 78. Найдите значение т, при котором векторы а (/н; 3) и Ь (5; - 8 ) коллинеарны. 79. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, /5 BAD-- 60е, AD = 10 см. Найдите скалярное произведение векторов: 1) СВ и CD ; 3) АВ п ВС ; 5) ВО и ОС , 2) DC и DA ; 4) АО и АВ ; 6 ) DO и ОВ 80. Найдите косинус угла между векторами ы(5;-1) и /> (2; 6 ). 81. Даны векторы а ( 6 ; — 1) и Ь(х:1). При каком значении ,v векторы а и h перпендикулярны? 82. Даны векторы а и b , |о | = 5, |/>j = 4, Д(с/, b ) = 120°. Найдите: 1) | а — b [; 2) | a + 4/т j. Аксиомы стереометрии и следствия из них 83. Можно ли утверждать, что: • 1 ) существуют две точки, не лежащие на одной прямой; 2 ) любые две точки всегда лежат в одной плоскости? 84. Сколько различных плоскостей можно провести через две точки? 85. Можно ли утверждать, что любая прямая, пересекающая две стороны треугольника, лежит в плоскости этого треу гольника? 8 6 . Может ли прямая пересекать хорду окружности, но не пересекать саму окружность? 87. Верно ли утверждение, что если через две прямые можно провести плоскость, го эти прямые пересекаются? 8 8 . Плоскости а и р пересекаются по прямой а. В плоскости а прове дена прямая т, пересекающая прямую а в точке М. В какой точке прямая т пересекает плоскость р? 89. Плоскости а и р пересекаются по прямой т. Плоскость у, пе ресекая прямую т пересекает плоскости и и Р по прямым а и Ь соответственно. Докажите, что прямые а и b пересекаются. Вариант 3 75 90. Точка А принадлежит прямой а, а точка В — не принадлежит. Сколько плоскостей можно провести через прямую а и точки А и В‘> 91. Прямая а принадлежит плоскости а. Докажите, что через пря мую а можно провести плоскость, отличную от плоскости а. 92. Среди точек А, В, С и D есть три. лежащие на одной прямой. Верно ли утверждение, что через данные четыре точки проходит единственная плоскость? 93. Даны прямая а и точка 4 вне ее. Докажите, что существует плос кость, которая проходит через точку А и пересекает прямую а. 94. Плоскости а и Р пересекаются по прямой а Докажите, что су ществует плоскость у, отличная от плоскостей аир, содержащая прямую а. 95. Прямая а принадлежит плоскости а. Прямая Ь пересекает плос кость а в точке, не принадлежащей прямой а. Докажите, что прямые о и Л не лежат в одной плоскости. 96. Точки А, В, С и D расположены в пространстве так, что пря мые АВ и CD не пересекаются. Следует ли из этого, что указанные точки не лежат в одной плоскости? 97. Прямые а и Ь не пересекаются. Можно ли утверждать, что все прямые, пересекающие прямые а и Ь, лежат в одной плоскости? 98. Прямые а и Ъ, b и с, а и с пересекаются, и точки их пересечения не совпадают. Лежат ли прямые а, Ъ и с в одной плоскости? 99. Точки А и В принадлежат прямой а, точки D и С принадлежат прямой Ь. Прямые а и b не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые АС и BD не пересекаются. 100. Лучи МА, МВ, МС пересекают плоскость а в точках А. В, С. Прямая 1 пересекает эти лучи в трех различных точках. Докажите, что точки А, В, С лежат на одной прямой. 101. Вершина А треугольника АВС принадлежит плоскости а, а вер шины В и С ей не принадлежат. Прямая ВС пересекает плос кость а в точке D, а продолжение медианы СМ — в точке N. Докажите, что точки A, D и /V лежат на одной прямой. 102. Вершины А и С треугольника АВС принадлежат плоскости a, a вершина В ей не принадлежит. В плоскости а выбрана точка D, не принадлежащая прямой АС. Внутри треугольника АВС отметили точку О. Постройте линию пересечения плоскости BOD с плоскостью а. 76 Тренировочные упражнения 103. Две соседние вершины и точка пересечения диагоналей трапеции принадлежат плоскости а. Принадлежат ли плоскости а две остальные вершины трапеции? 104. Можно ли утверждать, что все точки окружности принадлежат плоскости, если: 1) две точки окружности и ее центр принадлежат плоскости; 2 ) диаметр окружности принадлежит плоскости? 105. Каждая из двух плоскостей а и Р проходит через точки А, В и С. Следует ли из этого, что плоскости а и р совпадают? 106. Среди данных п точек любые четыре принадлежат одной плос кости. Докажите, что все п точек лежат в одной плоскости. 107. Основания высот треугольника принадлежат плоскости а. При надлежат ли плоскости а вершины треугольника? 108. Вершины А и В плоского четырехугольника ABCD лежат по одну сторону от плоскости а, а вершины С и D — по другую сторону. Докажите, что точки пересечения диагоналей и сторон ВС и AD четырехугольника с плоскостью а лежат на одной прямой. Построение сечений многогранников 109. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDAlBlC]Di плоскостью, проходящей через точки: 1) В, D и С ,; 2) А, С и середину ребра DD]. 110. Точки М и К — середины ребер АС и ВС пирамиды SABC соответственно. Постройте сечение пирамиды плоскостью SMK. 111. В пирамиде SABC известно, что SB = 26 см, 5С = 28см, ВС = 30 см. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходя щей через середины ребер SA, АС и АВ, и вычислите его периметр и площадь. 112. Постройте точку пересечения прямой с плоскостью нижнего ос нования треугольной призмы, если эта прямая проходит через две точки, принадлежащие: 1) двум боковым ребрам; 2 ) боковому ребру и ребру верхнего основания, не имеющего общих точек с данным боковым ребром; 3) боковому ребру S и боковой грани, которой это ребро не при- i > / \ \ надлежит; 4) боковой грани и ребру верхнего / \ \ основания, которой этой грани не принад- / М \ лежит; 5) двум боковым граням. 1 г - у (’ 113. Постройте сечение треугольной пирами ды SABC (рис. 100) плоскостью, проходящей через точки D, Е и F, принадлежащие ребрам ^мс. МО SA, SB и ВС соответственно. Вариант 3 77 114. Постройте сечение прямой призмы ABCDAXBXCXDX плоскостью, проходящей через точку А и точки М и К, которые принадлежат соответственно ребрам ВВ] и DDX. 115. Постройте сечение прямой призмы ABCAiB^C] (рис. 101) плос костью, которая проходит через точку Вх и точки М и К, лежащие на ребрах АС и ААХ соответственно. 116. Постройте сечение прямой призмы ABCDA]BlCxD] (рис. 102) плоскостью, проходящей через вершины А и D, и точку М на ре бре ВВХ * 117. В треугольной пирамиде SABC (рис. 103) точка М принадлежит грани ASC. точка N — грани ASB, точка К - грани CSB. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей «рез точки М, N а К. Параллельные прямые в пространстве. Скрещивающиеся прямые 118. Прямые а и b параллельны, прямая с не пересекает прямую а. Можно ли утверждать, что прямая с не пересекает прямую Ь: I) на плоскости; 2 ) в пространстве? 119. Точки А и В принадлежат прямой а, точки С и D — прямой Л, причем а || Ь. Докажите, что прямые ВС и AD не являются скрещивающимися. 120. Прямые АВ и CD — скрещивающиеся. Докажите, что прямые АС и BD также скрещивающиеся. 121. Через точки А и В прямой / проведены перпендикулярные ей прямые. На них отметили соответственно такие точки Ах и Вх, что ААХ - ВВХ. Верно ли утверждение, что прямые АВ и АХВХ параллельны: 1 ) на плоскости; 2 ) в пространстве? 78 Тренировочные упражнения 122. На одной из двух параллельных прямых выбрали точку и через нее провели прямую, которая пересекает другую. Докажите, что эти три прямые лежат в одной плоскости. 123. Может ли каждая из двух параллельных прямых пересекать каждую из двух скрещивающихся прямых? 124. Прямые а и Ь и прямые Ь и с пересекаются. Верно ли утвер ждение, что прямые а и с также пересекаются? 125. Точка D не принадлежит плоскости треугольника АВС, точки М, N, Р, Q — середины отрезков АС, DC, DB. АВ соответственно. Докажите, что MN j| P Q . 126. Две пересекающиеся прямые а и b соответственно параллельны прямым т и п. Верно ли утверждение, что прямые т и п пере секаются? 127. Через вершину В треугольника АВС проведена прямая Ъ, не при надлежащая плоскости треугольника. Докажите, что прямая Ъ и прямая, содержащая медиану треугольника АВС, проведенную из вершины А, — скрещивающиеся. 128. Через пересекающиеся прямые а и b проведены две плоскости, которые пересекаются по прямой с. Может ли какая-либо из прямых а и b быть параллельной прямой с? 129. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Докажите, что отрезки, соединяющие середины отрезков АВ и CD, AD и ВС, АС и BD, пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. 130. Треугольник АВС не пересекает пло скость а (рис. 104). Через его верши ны, середины М и N сторон АС и АВ соответственно и середину К отрезка MN проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках А1, В{, С], М], 7V], К | соот ветственно. Найдите длину отрез ка ККХ, если АА\ = 7 см, ВВ} = 9 см, СС1 = 15см. Параллельность примой и плоскости 131. Прямая а параллельна прямой Ь, лежащей в плоскости а. Верно ли утверждение, что прямая а параллельна плоскости а? Вариант 3 79 132. Прямые a a b параллельны плоскости а. Верно ли утверждение, что а || Л? 133. Прямые а ч b пересекаются. Как может быть расположена пря мая b относительно плоскости а, если прямая а: 1 ) принадлежит плоскости а, 2 ) пересекает плоскость а: 3 ) параллельна плоскости а? 134. Точка М не принадлежит плоскости параллелограмма ABCD. Докажите, что прямая AD параллельна плоскости МСВ. 135. Точки А. б, С и D не лежат в одной плоскости. Точка М — сере дина отрезка AD, точка К - середина отрезка CD. Докажите, что прямая АС параллельна плоскости ВКМ. 136. Прямая а пересекает плоскость а, прямая b параллельна пря мой а. Докажите, что прямая b пересекает плоскость а. 137. Прямые о и Л — скрещивающиеся. Существует ли плоскость, параллельная каждой из данных скрещивающихся прямых? 138. Плоскости а. и |3 пересекаются по прямой с. В плоскости а прове дена прямая о, параллельная прямой с. Через прямую а проведена плоскость у, пересекающая плоскость Р по прямой Ь. Докажите, что прямые b и с параллельны. 139. Через середину М боковой стороны АВ трапеции ABCD прове дена плоскость, параллельная основаниям ВС и AD и пересекаю щая боковую сторону CD в точке N. Докажите, что отрезок M N— средняя линия трапеции, 140. Плоскость, параллельная стороне ВС треугольника АВС, пересе кает стороны АВ и АС в точках В] и С, соответственно, причем АВ1 : бб, =5:3. Найдите б. С ,, если ВС = 6 см. 141. Сколько существует плоскостей, которые проходят через одну из двух данных скрещивающихся прямых и параллельны другой? 142. Отрезок MN — средняя линия тре угольника АВС (рис. 105). Вне плос кости треугольника выбрали точку D. На отрезке MD отметили точку Е так, что ME : ED = 5:2. Постройте точку F пересечения плоскости ВЕС и пря мой DN и найдите длину отрезка ЕЕ. если ВС = 30 см. 80 Тренировочные упражнения 143. Постройте сечение треугольной пирамиды SABC плоскостью, которая проходит через вершину В, точку на ребре SA и параллельна прямой А С. 144. Постройте сечение пирамиды SABC (рис. 106) плоскостью, которая проходит через точку D на ребре ВС и параллельна прямым АС и SB. 145. Постройте сечение пирамиды SABC плос костью, которая проходит через гонки D и Е, принадлежащие соответственно ребрам 5,4 и 5С, и параллельна прямой ВС. Параллельные плоскости. С войства параллельных плоскостей 146. Две прямые плоскости а параллельны плоскости р. Следует ли из этого, что плоскости а и Р параллельны? 147. Каждая из двух данных плоскостей параллельна каждой из двух данных прямых. Параллельны ли данные плоскости? 148. Боковые стороны трапеции параллельны плоскости а. Парал лельны ли плоскость трапеции и плоскость а? 149. Вне плоскости треугольника АВС лежит точка D. На отрезках АВ. АС. AD выбраны соответственно точки М. N и Р так, т о AM : МВ = AN : NC - А Р : PD Докажите, что плоскости MNP и DBC параллельны. 150. Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку 5, пересекают плоскость о. в вершинах трапеции, то они пересекают любую плоскость, которая параллельна а. и не проходит через точку 5, также в вершинах трапеции. 151. Одна из двух параллельных прямых пересекает плоскости а и р в точках А и Ах соответственно, а другая - соответственно в точ ках В и Л,, АВ = А\В\. Можно ли утверждать, что плоскости а и |) параллельны? 152. Через точку С, не принадлежащую двум параллельным плос костям а и р, проведены два луча, один из которых пересекает плоскости а и Р в точках А} и Д, соответственно, а другой — соответственно в точках А2 и В2. Известно, что СА} - 4 см, В}В2 =9 см, А\ 42 - СВ]. Найдите AtA2 и .4,5, . 153. Можно ли через боковые стороны трапеции провести парал лельные плоскости? Рис. W6 Кариант3 81 154. Плоскость а параллельна плоскости р, шюскость у параллельна плоскости ф. Плоскости а и у пересекаются по прямой а, плоскости р и ф — по прямой Ь. Докажите, что а || Ь. 155. Прямая а параллельна плоскости а. Докажите, что если плоскость Р пересекает прямую а, то она пересекает и плоскость а. 156. Прямая а параллельна плоскости а. Плоскость а пересекает плос кость р. Верно ли утверждение, что прямая а пересекает плос кость р? 157. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку' параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости. 158. Ребро куба ABCDAIBICID} равно 4 см. На отрезке АС отметили точку М так, что AM: М С- 3 :'1. Постройте сечение куба плос костью, которая проходит через точку М и параллельна плос кости SC|D, и вычислите периметр сечения. 159. Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда АВСПА]В Л \П ] плоскостью, которая проходит через точки К. Е и F, принадлежащие соответственно ребрам AD, АА] и ClDl . 160. Постройте сечение прямой призмы ABCDAlBlClDl плоскостью, которая проходит через точки Е, F и К. принадлежащие ребрам АА}, ВС и C\D] соответственно. 161. Постройте сечение прямой призмы ABCDA\B\CXDX (рис. 107) плоскостью, которая проходит через точки М и К, принадлежащие граням АА,ВХВ и ВВ\С\С соответственно, и точку N на Рис 107 ребре Г, /3,. Параллельное проектирование. Изображение фигур в стереометрии 162. Какие геометрические фигуры могут быть параллельными про екциями: 1 ) луча. 2 ) двух скрещивающихся прямых; 3) трапеции? 163. Могут ти две скрещивающиеся прямые проектироваться: 1) в две пересекающиеся прямые; 2) в параллельные прямые; 3)в одну прямую; 4) в прямую и точку, принадлежащую нон прямой; 5) в две точки? 164. Как должны быть расположены относительно направления проектирования две скрещивающиеся прямые, чтобы они про- ектировались в прямую и точку, ей не принадлежащую? 165. Можно ли при параллельном проектировании квадрата получить: 1 ) ромб; 2 ) прямоугольник? 166. Можно ли при параллельном проектировании прямоугольника получить четырехугольник с углами 90°, 90°, 40°, 140°? 167. Может ли параллельная проекция отрезка быть больше, чем отрезок, который проектируется? 168. Может ли параллельной проекцией прямой быть: 1) отрезок; 2 ) луч; 3) точка? 169. Может ли параллельной проекцией угла быть: 1) отрезок; 2 ) равный ему угол? 170. При каких условиях прямоугольник проектируется в прямо угольник? 171. Параллелограмм ABCD — изображение квадрата (рис. 108). Постройте изображение перпендикуляра, проведенного из точки пересечения диагоналей квадрата к его стороне. 172. Треугольник АВС является параллельной проекцией равносто роннего треугольника (рис. 109). Постройте изображение высоты треугольника, проведенной из вершины В, и перпендикуляра, опущенного из точки F на сторону АС. 173. Треугольник АХВХСХ (рис. 110) — изображение прямоугольного треугольника АВС, у которого Z C = 90°, АС : СВ = 3 :4. По стройте изображение центра вписанной окружности треугольни ка АВС. 174. Точки Ах, Вх, Ох, не лежащие на одной прямой, являются парал лельными проекциями двух вершин и точки пересечения диаго налей параллелограмма. Постройте изображение параллело грамма. Сколько решений имеет задача? 175. Параллелограмм ABCD является параллельной проекцией ква драта, на сторонах которого во внешнюю сторону как на гипоте нузах построены равнобедренные прямоугольные треугольники (треугольники лежат в плоскости квадрата). Построите параллельные проекции этих треугольников. 82 Тренировочные упражнения Рис. 108 Рис. 109 Рис. П О Вариант 3 83 176. На изображении окружности с центром О (рис.1 1 1 ) постройте изображения двух перпен дикулярных диаметров. 177. Дана параллельная проекция окружности с Рис. 111 центром в точке О. Постройте параллельную проекцию вписанного в нее правильного шестиугольника. 178. Точки А, В, О, не лежащие на одной прямой, являются парал лельными проекциями двух вершин правильного треугольника и его центра. Постройте изображение правильного треугольника. Сколько решений имеет задача? 179. На изображении ромба постройте изо бражение его высоты, проведенной из вершины тупого угла, если одна из диагоналей ромба равна его стороне. 180. На изображении ромба ABCD построй те изображение высоты, проведенной из вершины А, если Z АВС = 120°. 181. Точки Ai , б, и С( — параллельные Л • М С т .. У Рис 112 проекции точек А, В и С на плоскость а (рис. 112). Постройте проекцию на плоскость а точки М, лежащей в плоскости АВС. Перпендикулярность прямой и плоскости 182. Верно ли утверждение, что прямая, перпендикулярная двум прямым плоскости, перпендикулярна этой плоскости? 183. Через вершину С прямоугольника ABCD проведена прямая Л/С, перпендикулярная прямым ВС и АС. Докажите, что МС _L CD. 184. Как расположена относительно плоскости треугольника прямая, перпендикулярная двум его сторонам? 185. На рисунке 113 изображен квадрат ABCD, V/C ± ВС. Укажите прямую и плоскость, которые перпендикулярны между собой. 186. Четырехугольник ABCD — прямоугольник (рис. 114). Прямая МА перпендикулярна плоскости АВС. Докажите, что MD _L CD. М М- В С Рис. 113 Рис. 114 84 Тренировочные упражнения Рис. 115 Рис. 116 Рис. 117 187. На рисунке 115 изображен куб ABCDA\BXCXD\. Докажите, что четырехугольник AAtC\C — прямоугольник. 188. Через одну сторону параллелограмма проходит плоскость, пер пендикулярная соседней стороне. Докажите, что этот паралле лограмм — прямоугольник. 189. Точка М лежит вне плоскости прямоугольника ABCD (рис. 116), МА = МВ = МС = M D, О — точка пересечения диагоналей прямо угольника. Докажите, что прямая МО перпендикулярна плоскос ти АВС. 190. Точка М лежит вне плоскости квадрата ABCD и равноудалена от его вершин. Докажите, что прямая АС перпендикулярна плос кости BMD. 191. Прямая АО перпендикулярна плоскости окружности с центром в точке О. Точка В лежит на окружности. Найдите расстояние от точки А до плоскости окружности, если радиус окружности равен 6 см, ZABO = 45°. 192. Прямая СМ перпендикулярна плоскости прямоугольника ABCD (рис. 117). Найдите МС, если АВ = 3 см, AD = 4 см, AM = 13 см. 193. Через вершину В равнобедренного треуголь ника АВС (АВ = ВС) к его плоскости проведен перпендикуляр МВ (рис. 118). Точка М соединена с серединой F стороны АС. Найдите длину отрезка MF, если МВ = 10 см, Z ВМС - 60°, Z FMC = 45°. 194. Сторона правильного треугольника АВС равна 8 см. Через центр О треугольника АВС проведен перпендикуляр SO к его плоскости. Найдите длину отрезка SO, если Z SAO = 30°. 195. Точка М лежит вне плоскости треугольника АВС и равноудалена от его вершин. Как расположена точка О — проекция точки М на плоскость АВС — относительно треугольника АВС, если этот треугольник тупоугольный? Иариант 3 85 196. Из точек А и В, лежащих вне плоскости а, проведены к ней пер пендикуляры АА] и ВВХ. Докажите, что если отрезки АВ и А1В] равны, то четырехугольник АА^В^В — прямоугольник. 197. Докажите, что если прямая перпендикулярна двум плоскостям, то эти плоскости параллельны. 198. Через вершину В ромба ABCD проведен перпендикуляр SB к плоскости ромба. Найдите SD, если S B - 4 см, сторона ромба — 3 см, а угол АВС равен 120°. 199. В прямоугольнике ABCD известно, что ВС -■ 1 см, CD = л/з см. Через вершину А проведен перпендикуляр МА к плоскости прямоугольника. Найдите угол MCA, если М4 = 2 см. 200. В равнобедренном треугольнике АВС известно, что АВ = ВС = 15 см, Z A B C - 120°. Точка М находится на расстоянии 39 см от всех его вершин. Найдите расстояние от точки М до плоскости треугольника АВС. 201. В треугольнике АВС известно, что Z A = 48°, ZC = 42° (рис. 119). Через вершину А прове ден перпендикуляр DA к плоскости треуголь ника. Докажите, что DB 1 ВС. 202. Точка S равноудалена от всех вершин пря моугольника ABCD. Найдите угол BSD, если АВ = 3 см, AD - 4 см, SB = 5 см. 203. Из точки М, не принадлежащей плоскости квадрата ABCD, проведен перпендикуляр ВМ к его плоскости. Через центр О квад рата проведена прямая N 0 параллельно ВМ. Найдите расстояние от точки N до вершин квадрата, если АВ = 4-^2 см, NO = 3 см. 204. Концы отрезка расположены по разные стороны от плоскости и удалены от нее на 5 см и 7 см. Найдите расстояние от середины этого отрезка до плоскости. 205. Через вершину С прямоугольника ABCD проведена прямая МС перпендикулярно прямой CD. Докажите, что прямая АВ перпенди кулярна плоскости МСВ. 206. Через вершины В и D трапеции ABCD (ВС || AD) проведены пер пендикуляры МВ и ND к плоскости трапеции. Докажите, что плоскости ВМС и NDA параллельны. Г Рис. 119 86 Тренировочные упражнения Перпендикуляр и наклонная 207. На рисунке 120 изображен куб A B C D A XB SC XD X. Укажите проекции отрезка A tC на плоскости граней куба. 208. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр длиной 10 см и наклонная. Найдите длину наклонной, если длина ее проекции равна 6 см. Рис. 120 209. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр длиной 8 см и наклонная. Угол между наклонной и ее проекцией на плоскость равен 60°. Найдите длины наклонной и ее проекции. 210. В прямоугольном треугольнике A B C (ZC ’ = 90°) известно, что А С - 24 см, 5С = 10см. Из точки D к плоскости треугольника проведен перпендикуляр A D такой, что A D = 18 см. Найдите длины наклонных D B и DC. 211. Из точки F к плоскости а проведены две наклонные F M и F N и перпендикуляр FK. Найдите длины наклонных, если М К = 4 см, Z FM K - 30°, Z N FK = 60°. 212. Из точки М к плоскости проведены две наклонные М В и Л/Т, длины которых относятся как 5 : 7. Найдите расстояние от точ ки М до плоскости, если проекции наклонных равны 12 см и 12д/5 см. 213. Две точки находятся на разных расстояниях от - плоскости. Из этих точек к плоскости проведе ны две равные наклонные. Докажите, что большая из проекций соответствует наклонной, проведенной из точки, расположенной ближе к плоскости. 214. В четырехугольнике A B C D известно, что A B - A D , СВ = C D (рис. 121). Прямая МЛ перпендикулярна плоскости четырехугольника. Докажите, что Z .D M C = Z B M C . 215. Из точки D к плоскости А В С проведен пер пендикуляр D A, DA = d (рис. 122). Наклонные D B и D C образуют со своими проекциями углы, равные 30°, а их проекции образуют угол 120°. Найдите длину отрезка ВС. Рис. 122 Вариант 3 87 216. Биссектрисы треугольника А В С пересекаются в точке О. Прямая М О перпендикулярна плоскости треугольника. Точка М равноудалена от вершин треугольника. Докажите, что треугольник А В С равносторонний. 217. Точка К находится на расстоянии 17 см от вершин квадрата и на расстоянии 8 см от его плоскости. Найдите сторону квадрата. 218. В ромбе A B C D известно, что ,45 = 10 см. ВО 12 см. Прямая М С перпендикулярна плоскости ромба. Найдите длину наклон ной М/1, если точка Мудалена от плоскости ромба на 16 см. 219. Из точки, не принадлежащей плоскости, проведены к ней две наклонные, длины проекций которых равны 1 2 см и 16 см, а сумма длин наклонных — 56 см. Найдите длины наклонных. 220. Два отрезка длиной 10 см и 17 см упираются своими концами в параллельные плоскости. Найдите’ расстояние между этими плоскостями, если сумма проекций этих отрезков на одну из плоскостей равна 2 1 см. 221. Из данной точки к плоскости проведены две равные наклонные, угол между которыми 60°, а их проекции перпендикулярны. Найдите длины наклонных, если расстояние от данной точки до плоскости равно 4 см. 222. Из точки М к плоскости а проведены две равные наклонные М 4 и М В и перпендикуляр МО, А В = 12 см, Z M A B - 60°, Z A B O - 30°. Найдите длину отрезка МО. 223. Сторона ромба равна 6 см, а острый угол — 30°, Через вершину острого угла проведена плоскость, параллельная меньшей диагонали ромба, на расстоянии 4 см от нее. Найдите проекции диагоналей на эту плоскость. 224. Из точки S к плоскости а проведены перпендикуляр S D и наклонные S K и SF. причем S D 2 = D F ■ D K . Докажите, что Z FSD ----- Z SKD.
Теорема о трех перпендикулярах 225. На рисунке 123 изображен куб ABCDAiBlClDl . Докажите, что прямые 5,0 и АС перпендикулярны. Рис. 123 88 Тренировочные упражнения D М А -с---------—-г С А к ~ т — г — ‘ О / 'С Рис. 124 226. На рисунке основанием В ' ' В Рис. 125 Рис. 126 24 изображен равнобедренный треугольник АВС с АС. Прямая ВО перпендикулярна плоскости треугольника, DM JL АС. Докажите, что точка М — середина АС. 227. К плоскости прямоугольного треугольника АВС ( Z В - 90° ) проведен перпендикуляр МС (рис. 125). Найдите расстояние от точки М до прямой А В, если МС a .A C - b . Z АСВ = 30°. 228. Через вершину А ромба ABCD проведена прямая SA, перпендику лярная плоскости ромба. Докажите, что точка S' равноудалена от прямых СВ и CD. 229. Через вершину В треугольника АВС к его плоскости проведен перпендикуляр МВ. Прямая, проходящая через точку М и сере дину АС, делит угол А МС пополам. Докажите, что треугольник АВС— равнобедренный. 230. Через вершину С равнобедренного треугольника АВС к его плос кости проведен перпендикуляр FC (рис. 126). Найдите расстояние от точки F до прямой АВ. если ЛС = ВС = т, Z A C B -u ., FC = b.