Самостоятельная работа N 1 Вариант 1 1. Изобразите прямую a и точки A, B и C, не принадлежащие данной прямой. Сделайте необходимые записи. 2. Изобразите плоскость b, точки E, F, принадлежащие ей, и точку G, ей не принадлежащую. Сделайте необходимые записи. 3. Изобразите прямую a, лежащую в плоскости a. Сделайте необходимую запись. 4. Изобразите две пересекающиеся плоскости a и b. Сделайте необходимую запись. Вариант 2 1. Изобразите две пересекающиеся в точке O прямые a и b и точки A, B, C, причем точка A принадлежит прямой a, B принадлежит прямой b, точка C не принадлежит данным прямым. 2. Изобразите плоскость g, не принадлежащие ей точки K, L и принадлежащую ей точку M. Сделайте необходимые записи. 3. Изобразите прямую b, пересекающую плоскость b в точке O. Сделайте необходимую запись. 4. Изобразите три пересекающиеся по прямой a плоскости a, b и g. Сделайте необходимую запись. Самостоятельная работа N 2 Вариант 1 1. Из следующих предложений укажите аксиомы, определения, теоремы: 1) Углы при основании равнобедренного треугольника равны. 2) Через две точки пространства проходит единственная прямая. 3) Вертикальные углы равны. 4) Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. 2. Определите взаимное расположение плоскостей a и b, если в них лежит треугольник ABC. Ответ обоснуйте. 3. Сколько плоскостей может проходить через три точки? 4. Найдите наибольшее число прямых, проходящих через различные пары из четырех точек. Вариант 2 1. Из следующих предложений укажите аксиомы, определения, теоремы: 1) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. 2) Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. 3) Для прямых и плоскостей в пространстве выполняются аксиомы планиметрии. 4) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. 2. Определите взаимное расположение двух плоскостей b и g, если им принадлежат точки B и C. Ответ обоснуйте. 3. Найдите наибольшее число прямых, проходящих через различные пары из 5 точек. 4. Найдите наибольшее число плоскостей, проходящих через различные тройки из четырех точек. 2. Следствия из аксиом стереометрии Вариант 1 1. В плоскости двух пересекающихся прямых a и b задана точка C, не принадлежащая этим прямым. Прямая c, лежащая в данной плоскости, проходит через точку C. Как может быть расположена прямая c относительно данных прямых? 2. Даны три точки, не принадлежащие одной прямой. Докажите, что все прямые, пересекающие два из трех отрезков, соединяющих данные точки, лежат в одной плоскости. 3. Плоскость задана прямой c и не принадлежащей ей точкой C. Постройте в этой плоскости прямую a, отличную от данной прямой и не проходящую через данную точку. 4. Плоскость задана двумя пересекающимися в точке O прямыми a и b. Нарисуйте прямую c, которая пересекает данные прямые и не лежит в данной плоскости. Вариант 2 1. Прямая d, лежащая в плоскости треугольника ABC, пересекает его сторону AB. Каким может быть взаимное расположение прямых d и BC? 2. В плоскости a проведены две параллельные прямые a и b. Докажите, что все прямые, пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. 3. Плоскость задана двумя пересекающимися в точке O прямыми m и n. Постройте в этой плоскости прямую k, отличную от данных прямых и не проходящую через точку O. 4. Плоскость задана тремя точками D, E, F, не принадлежащими одной прямой. Нарисуйте прямую a, которая пересекает стороны DE и DF треугольника DEF и не лежит в данной плоскости. 3. Пространственные фигуры Вариант 1 1. Нарисуйте пятиугольную призму и разделите ее на тетраэдры. 2. Определите число вершин, ребер и граней: а) куба; б) 7-угольной призмы; в) n-угольной пирамиды. 3. Определите вид призмы, если она имеет: а) 10 вершин; б) 21 ребро; в) 5 граней. 4. Каким образом можно окрасить грани 4-угольной призмы, чтобы соседние (имеющие общее ребро) грани были окрашены в разные цвета? Какое наименьшее число цветов потребуется? Вариант 2 1. Нарисуйте пятиугольную пирамиду и разделите ее на тетраэдры. 2. Определите число вершин, ребер и граней: а) прямоугольного параллелепипеда; б) 6-угольнойной пирамиды; в) n-угольной призмы. 3. Определите вид пирамиды, если она имеет: а) 5 вершин; б) 14 ребер; в) 9 граней. 4. Каким образом можно окрасить грани октаэдра, чтобы соседние (имеющие общее ребро) грани были окрашены в разные цвета. Какое наименьшее число цветов потребуется? 4. Моделирование многогранников Вариант 1 1. Нарисуйте несколько разверток куба. 2. Нарисуйте фигуру, состоящую из четырех равных равносторонних треугольников, не являющуюся разверткой правильного тетраэдра. 3. Нарисуйте развертку правильной четырехугольной пирамиды и раскрасьте ее таким образом, чтобы при склеивании соседние грани имели разные цвета. Какое наименьшее число цветов нужно взять? 4. Нарисуйте развертку прямоугольного параллелепипеда и раскрасьте ее таким образом, чтобы при склеивании соседние грани имели разные цвета. Какое наименьшее число цветов нужно взять? Вариант 2 1. Нарисуйте несколько разверток правильного тетраэдра. 2. Нарисуйте фигуру, состоящую из шести квадратов, не являющуюся разверткой куба. 3. Нарисуйте развертку куба и раскрасьте ее таким образом, чтобы при склеивании соседние грани имели разные цвета. Какое наименьшее число цветов нужно взять? 4. Нарисуйте развертку правильной 6-угольной пирамиды и раскрасьте ее таким образом, чтобы при склеивании соседние грани имели разные цвета. Какое наименьшее число цветов нужно взять? 5. Параллельность прямых в пространстве Вариант 1 1. Запишите в правильной 4-угольнойой пирамиде SABCD все пары параллельных ребер. 2. В плоскости двух параллельных прямых a и b дана точка C, не принадлежащая этим прямым. Через точку C проведена прямая c. Как может быть расположена прямая c относительно прямых a и b. 3. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проведите прямую, параллельную данной. 4. Найдите геометрическое место прямых, пересекающих две данные параллельные прямые. Вариант 2 1. Запишите четыре пары параллельных ребер куба A…D1. 2. Даны три прямые a, b и с. Как могут располагаться эти прямые, чтобы можно было провести плоскость, содержащую все данные прямые. 3. Даны две параллельные прямые a и b. Докажите, что любая плоскость, пересекающая одну из них, пересечет и другую. 4. Найдите геометрическое место прямых, параллельных данной прямой и пересекающих другую прямую, пересекающуюся с первой. 6. Скрещивающиеся прямые Вариант 1 1. В кубе A…D1 запишите ребра, скрещивающиеся с ребром AB. 2. Запишите пары скрещивающихся ребер 4-угольной пирамиды SABCD. 3. Как расположены относительно друг друга прямые a и b на рисунке 1? Ответ обоснуйте. 4. Даны две скрещивающиеся прямые a и b и не принадлежащая им точка C. Постройте прямую c, проходящую через точку C и пересекающую прямые a и b. Вариант 2 1. Запишите ребра, скрещивающиеся с ребром SA правильной 4-угольной пирамиды SABCD. 2. Запишите ребра, скрещивающиеся с диагональю B1D куба A…D1. 3. Плоскости a и b пересекаются по прямой c (рис. 1). Прямая a лежит в плоскости a и пересекает прямую c. Можно ли в плоскости b провести прямую, параллельную прямой a? Ответ обоснуйте. 4. Существуют ли две параллельные прямые, каждая из которых пересекает две данные скрещивающиеся прямые? Ответ обоснуйте. 7. Параллельность прямой и плоскости Вариант 1 1. Запишите ребра, параллельные плоскости грани CC1D1D правильной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1. 2. Прямая a параллельна плоскости a; прямая b пересекает плоскость a в точке B; прямая c, пересекающая прямые a и b соответственно в точках E и F, пересекает плоскость a в точке C. Сделайте рисунок. Как могут располагаться относительно друг друга прямые a и b? 3. Плоскости a и b пересекаются по прямой c. Точка A принадлежит плоскости a, точка B – плоскости b. Постройте: а) прямую a, лежащую в плоскости a, проходящую через точку A и параллельную плоскости b; б) прямую b, лежащую в плоскости b, проходящую через точку B и параллельную плоскости a. Как будут располагаться относительно друг друга прямые a и b? 4. Точки A и B принадлежат смежным боковым граням пирамиды. Проведите в этих гранях через данные точки два отрезка, параллельные между собой. Вариант 2 1. Запишите плоскости граней, параллельных ребру CC1 параллелепипеда A…D1. 2. Прямая a параллельна плоскости a; прямые b и c, пересекающие прямую a соответственно в точках B и C, пересекают плоскость a соответственно в точках D и E. Сделайте рисунок. Как могут располагаться относительно друг друга прямые a и b? 3. Плоскости a и b пересекаются по прямой c. Прямая a лежит в плоскости a. Докажите, что если: а) a пересекает плоскость b в точке A, то A принадлежит прямой c; б) a параллельна плоскости b, то она параллельна прямой c. 4. Точки A и B принадлежат смежным боковым граням призмы. Проведите в этих гранях через данные точки два отрезка, параллельные между собой. 8. Параллельность двух плоскостей Вариант 1 1. Запишите параллельные плоскости параллелепипеда A…D1. 2. Верны ли утверждения: 1) Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной. 2) Если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны. 3) Существует бесконечно много прямых, параллельных данной плоскости и проходящих через точку, не принадлежащую этой плоскости. 4) Если одна из двух данных плоскостей параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны. 3. Докажите, что две плоскости, параллельные одной и той же третьей плоскости, параллельны между собой. 4. Отрезки AB и CD лежат соответственно в параллельных плоскостях a и b (рис. 2). Как могут располагаться относительно друг друга прямые AC и BD? Могут ли они быть параллельными? Вариант 2 1. В треугольной пирамиде SABC проведите плоскость, параллельную ее основанию ABC. 2. Верны ли утверждения: 1) Если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой, лежащей в другой плоскости, то эти плоскости параллельны. 2) Если плоскость пересекает две данные плоскости по параллельным прямым, то эти плоскости параллельны. 3) Существует бесконечно много плоскостей, параллельных данной прямой и проходящих через точку, не принадлежащую этой прямой. 4) Если две плоскости параллельны одной и той же прямой, то они параллельны. 3. Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую. 4. Отрезки AB и CD лежат соответственно в параллельных плоскостях a и b (рис. 3). Как могут располагаться относительно друг друга прямые AD и BC? Могут ли они пересекаться? 9. Векторы в пространстве Вариант 1 1. Для данного вектора постройте векторы: а) -; б) 2; в) -. 2. Сколько векторов задают всевозможные пары точек, составленные из вершин правильной четырехугольной пирамиды? 3. Изобразите правильный тетраэдр ABCD и нарисуйте вектор: а) ; б) ; в) . 4. Дан параллелепипед A…D1. Найдите сумму векторов: а) ; б) ; в) . Вариант 2 1. Для данного вектора постройте векторы: а) 3; б) -2; в) . 2. Сколько векторов задают всевозможные пары точек, составленные из вершин треугольной призмы? 3. Изобразите правильный тетраэдр ABCD и нарисуйте вектор: а) ; б) ; в) . 4. Дан параллелепипед A…D1. Найдите сумму векторов: а) ; б) ; в) . 10. Коллинеарные и компланарные векторы Вариант 1 1. На какое число нужно умножить ненулевой вектор , чтобы получить вектор , одинаково направленный с и ||=1. 2. Даны два противоположно направленных вектора и , причем || > ||. Найдите направление и длину вектора + . 3. Дан тетраэдр ABCD. Запишите три пары его вершин, задающие компланарные векторы. 4. Дан куб A…D1. Запишите тройки некомпланарных векторов с началами и концами в его вершинах. Вариант 2 1. На какое число нужно умножить ненулевой вектор , чтобы получить вектор , противоположно направленный с и ||=2. 2. Даны два противоположно направленных вектора и , причем || < ||. Найдите направление и длину вектора + . 3. Дан тетраэдр ABCD. Запишите три пары его вершин, задающие некомпланарные векторы. 4. Дан куб A…D1. Запишите тройки компланарных векторов с началами и концами в его вершинах. 11. Параллельный перенос Вариант 1 1. Постройте фигуру, которая получается параллельным переносом прямой a на вектор , если: а) E принадлежит a, F не принадлежит a; б) точки E и F не принадлежат a. 2. Задайте параллельный перенос, который середину отрезка GH переводит в некоторую точку M. 3. Постройте фигуру, которая получается из квадрата ABCD параллельным переносом на вектор: а) ; б) . 4. Постройте фигуру, которая получается из тетраэдра ABCD параллельным переносом на вектор . Вариант 2 1. Постройте фигуру, которая получается параллельным переносом окружности с центром в точке O на вектор , если: а) точка K принадлежит окружности; б) точка K не принадлежит окружности. 2. Задайте параллельный перенос, который точку пересечения O двух прямых a и b переводит в некоторую точку N. 3. Постройте фигуру, которая получается из правильного треугольника ABC параллельным переносом на вектор: а) ; б) , где точка M – середина стороны BC. 4. Постройте фигуру, которая получается из тетраэдра ABCD параллельным переносом на вектор . 12. Параллельное проектирование Вариант 1 1. Сколько точек получится при параллельном проектировании двух различных точек пространства? Сделайте соответствующие рисунки и обоснование. 2. Перечислите свойства прямоугольника, которые сохраняются при параллельном проектировании. 3. Как должны быть расположены две прямые, чтобы они проектировались на плоскость в прямую и точку, не принадлежащую этой прямой? 4. Параллельные прямые a и b пересекают параллельные плоскости a и b в четырех точках. Три из них A, B и C изображены на рисунке 4. Изобразите четвертую точку D. Ответ обоснуйте. Вариант 2 1. Сколько точек получится при проектировании трех различных точек пространства? Сделайте соответствующие рисунки и обоснование. 2. Перечислите свойства ромба, которые сохраняются при параллельном проектировании. 3. Как должны быть расположены прямая и точка, чтобы они проектировались на плоскость в прямую и точку, принадлежащую этой прямой? 4. Пересекающиеся прямые a и b пересекают параллельные плоскости a и b в четырех точках. Три из них A, B и C изображены на рисунке 5. Изобразите четвертую точку D. Ответ обоснуйте. 13. Параллельные проекции плоских фигур Вариант 1 1. Изобразите параллельную проекцию прямоугольного равнобедренного треугольника, лежащего в плоскости, параллельной плоскости проектирования. 2. Изобразите параллельную проекцию равностороннего треугольника ABC и на ней постройте изображения перпендикуляров, опущенных из точки M – середины стороны AB на стороны AC и BC. 3. Изобразите параллельную проекцию правильного шестиугольника ABCDEF, взяв за исходную фигуру прямоугольник ABDE. 4. Изобразите параллельную проекцию равностороннего треугольника ABC и постройте на ней изображение перпендикуляра, опущенного из точки K – середины отрезка BO (O – центр треугольника) на сторону AB. Вариант 2 1. Изобразите параллельную проекцию равностороннего треугольника, лежащего в плоскости, параллельной плоскости проектирования. 2. Изобразите параллельную проекцию квадрата ABCD и на ней постройте изображение перпендикуляров, опущенных из точки E – середины стороны BC на прямые BD и AC. 3. Изобразите параллельную проекцию правильного шестиугольника ABCDEF, взяв за исходную фигуру равносторонний треугольник ACE. 4. Изобразите параллельную проекцию прямоугольника ABCD, у которого AD = 2AB. Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из вершины C на диагональ BD. 14. Изображение пространственных фигур Вариант 1 1. Изобразите правильную четырехугольную пирамиду и ее высоту. 2. Изобразите куб, две грани которого параллельны плоскости проектирования. 3. На рисунке 6 изображена параллельная проекция куба A…D1. Как расположен куб относительно плоскости проектирования? 4. Дан тетраэдр ABCD. Площадь его грани ADC равна S. Найдите площадь проекции его грани BDC на плоскость ADC в направлении прямой AB. Вариант 2 1. Изобразите правильную треугольную пирамиду и ее высоту. 2. Изобразите куб, грани которого не параллельны плоскости проектирования. 3. На рисунке 7 изображена параллельная проекция куба A…D1. Как расположен куб относительно плоскости проектирования? 4. Дан тетраэдр ABCD. Площадь его грани ABD равна Q. Найдите площадь проекции его грани BDC на плоскость ADB в направлении прямой CM, где M – середина ребра AB. 15. Сечения многогранников Вариант 1 1. В шестиугольной призме A…F1 (рис. 8) постройте точку пересечения прямой PQ с плоскостью ABC, где точки Q и P принадлежат соответственно боковым ребрам призмы BB1 и DD1. 2. На боковых ребрах четырехугольной призмы A…D1 заданы три точки K, L, M (рис. 9). Постройте линию пересечения плоскости KLM с плоскостью ABC. 3. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки X, Y, Z, принадлежащие соответственно ребрам AD, AA1, BB1 и такие, что AX:XD = 1:2, A1Y:YA = 2:1, B1Z:ZB = 1:2. 4. В правильной пирамиде SABCD постройте сечение, проходящее через сторону основания AD и точку M, принадлежащую боковому ребру SB. Вариант 2 1. На боковых ребрах BB1 и EE1 призмы ABCDEA1B1C1D1E1 заданы соответственно точки F и G (рис. 10). Постройте точку пересечения прямой FG с плоскостью ABC. 2. Дан куб A…D1. На его ребрах AA1, CC1 и DD1 заданы соответственно три точки X, Y, Z (рис. 11). Постройте линию пересечения плоскостей XYZ и ABC. 3. В правильной треугольной призме A…C1 постройте сечение, проходящее через точки K, L и M, принадлежащие соответственно ребрам AA1, AC и BB1 и такие, что: AK = KA1; AL:LC = 1:2 и BM = MB1. 4. В правильной пирамиде SABCD постройте сечение, проходящее через диагональ AC основания и параллельное боковому ребру SD. 16. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых Вариант 1 1. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: а) AB и BB1; б) BD и ВВ1; в) AB1 и CC1; г) AB1 и CD1. 2. В правильной треугольной призме A…C1 отрезок CD перпендикулярен ребру AB. Найдите угол между прямыми: а) CD и AA1; б) CD и A1B1. 3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с равными ребрами найдите угол между диагональю AC основания и боковым ребром SC. 4. Найдите угол между скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра. Вариант 2 1. В кубе A…D1 найдите угол между прямыми: а) BC и BB1; б) A1C1 и AD; в) BB1 и BD; г) A1D и BC1. 2. В правильной треугольной призме A…C1 AM – медиана основания ABC. Найдите угол между прямыми: а) AM и C1B1; б) AM и A1C1. 3. В правильном тетраэдре ABCD точка M – середина ребра CB. Найдите угол между прямыми AM и DC. 4. Найдите угол между непересекающимися ребрами правильной треугольной пирамиды. 17. Перпендикулярность прямой и плоскости Вариант 1 1. Докажите, что прямая, перпендикулярная плоскости, пересекает эту плоскость. 2. Через центр O квадрата ABCD проведена прямая OK, перпендикулярная плоскости этого квадрата. Докажите, что прямая AK перпендикулярна прямой BD. 3. Найдите геометрическое место точек, принадлежащих прямым, проходящим через данную точку и перпендикулярным данной прямой. 4. Точка M принадлежит боковой грани ABD треугольной пирамиды ABCD, у которой AB = BD и AC = CD. Постройте сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через точку M и перпендикулярной прямой AD. Вариант 2 1. Прямая a, перпендикулярная плоскости a, пересекает эту плоскость в точке A. Докажите, что прямая b, проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a, лежит в плоскости a. 2. Через точку M – середину стороны AB равностороннего треугольника ABC проведена прямая MH, перпендикулярная плоскости этого треугольника. Докажите перпендикулярность прямых AB и HC. 3. Даны прямая a и не принадлежащая ей точка A. Найдите геометрическое место прямых, проходящих через точку A и перпендикулярных прямой a. 4. В прямоугольном параллелепипеде A…D1 постройте сечение, проходящее через точку K, внутреннюю точку диагонального сечения AA1C1C, и перпендикулярное прямой BB1. 18. Перпендикуляр и наклонная Вариант 1 1. Дана плоскость a. Из точки A проведены к ней две наклонные AB = 20 см и AC = 15 см. Проекция первой наклонной на эту плоскость равна 16 см. Найдите проекцию второй наклонной. 2. Из точки M, не принадлежащей плоскости g, проведены к ней равные наклонные MA, MB и MC. Докажите, что основания наклонных принадлежат одной окружности. Найдите ее центр. 3. Из точки B проведены к плоскости b две равные по 2 см наклонные. Угол между ними равен 600, а между их проекциями – 900. Найдите перпендикуляр, опущенный из точки B на плоскость b. 4. Дан треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Точка M, не принадлежащая плоскости этого треугольника, удалена от сторон треугольника на 5 см. Найдите перпендикуляр, опущенный из точки M на плоскость данного треугольника. Вариант 2 1. Из точки A проведены к плоскости a наклонная AB = 9 см и перпендикуляр AO = 6 см. Найдите проекцию этого перпендикуляра на данную наклонную. 2. Найдите геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от всех точек данной окружности. 3. Из данной точки проведены к данной плоскости две равные наклонные, образующие между собой угол 600. Угол между их проекциями – прямой. Найдите угол между каждой наклонной и ее проекцией. 4. Точка M удалена от каждой вершины правильного треугольника на см, а от каждой его стороны – на 2 см. Найдите перпендикуляр, опущенный из точки M на плоскость треугольника. 19. Угол между прямой и плоскостью Вариант 1 1. В пирамиде боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания. В какую точку проектируется вершина пирамиды? 2. В кубе A…D1 найдите косинус угла между ребром AA1 и плоскостью AB1D1. 3. К плоскости a проведена наклонная MH (H принадлежит плоскости a). Докажите, что если проекция наклонной MH образует равные углы с прямыми AH и BH, лежащими в плоскости a, то и сама наклонная MH образует с ними равные углы. 4. Проведите к данной плоскости через данную на ней точку прямую, образующую с плоскостью угол 900. Вариант 2 1. Докажите, что в правильной пирамиде боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания. 2. В кубе A…D1 найдите косинус угла между ребром A1D1 и плоскостью AB1D1. 3. К плоскости b проведена наклонная BP (P принадлежит плоскости b), которая образует равные углы с прямыми PE и PF, лежащими в плоскости b. Докажите, что углы, образованные прямыми PE и PF с проекцией наклонной BP на плоскость b, равны. 4. Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проведите прямую, образующую с плоскостью угол 900. 20. Расстояние между точками, прямыми и плоскостями Вариант 1 1. В прямоугольном треугольнике ABC (C = 900) катет AC равен 8 см. Из вершины B к плоскости данного треугольника проведен перпендикуляр BD. Расстояние между точками A и D равно 10 см. Найдите расстояние от точки D до катета AC. 2. В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между вершиной A и: а) вершиной C1; б) ребром CC1; в) гранью BB1C1C. 3. Точка M удалена от всех вершин прямоугольного треугольника на расстояние a. Гипотенуза треугольника равна c. Найдите расстояние от точки M до плоскости данного треугольника. 4. В кубе A…D1 с ребром a найдите расстояние между скрещивающимися ребрами AB и B1C1. Вариант 2 1. Катеты прямоугольного треугольника ABC (C = 900) равны 15 см и 20 см. Из вершины C к плоскости треугольника проведен перпендикуляр CD, равный 5 см. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы AB. 2. В единичном кубе A…D1 найдите расстояние между вершиной D1 и: а) вершиной B; б) ребром AB; в) гранью BB1C1C. 3. Из точки K на плоскость b опущен перпендикуляр длиной d и проведены две наклонные, углы которых с перпендикуляром составляют 300. Угол между наклонными равен 600. Найдите расстояние между основаниями наклонных. 4. В кубе A…D1 с ребром a найдите расстояние между скрещивающимися ребрами DC и BB1. 21. Двугранный угол Вариант 1 1. Наклонная, проведенная к плоскости, равна a. Найдите ортогональную проекцию этой наклонной на плоскость, если угол между наклонной и плоскостью равен 300. 2. На одной грани двугранного угла взяты две точки A и B. Из них опущены перпендикуляры AA1, BB1 на другую грань и AA2, BB2 на ребро двугранного угла. Найдите BB2, если AA1 = 6 см, BB1 = 3 см, AA2 = 24 см. 3. Два равных прямоугольника имеют общую сторону и их плоскости образуют угол 450. Найдите отношение площадей двух фигур, на которые ортогональная проекция стороны одного прямоугольника разбивает другой. 4. Докажите, что перпендикуляры, проведенные из точек данной прямой на плоскость, лежат в одной плоскости и геометрическим местом оснований этих перпендикуляров является линия пересечения этих плоскостей. Вариант 2 1. Наклонная, проведенная к плоскости, равна a. Найдите ортогональную проекцию этой наклонной на плоскость, если угол между наклонной и плоскостью равен 600. 2. На одной грани двугранного угла взяты две точки, отстоящие от его ребра на 9 см и 12 см. Расстояние от первой точки до другой грани двугранного угла равно 20 см. Найдите расстояние от этой грани до второй точки. 3. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол 600. Общее основание равно 16 см, боковая сторона одного треугольника равна 17 см, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников, лежащими против общего основания. 4. Докажите, что точка пересечения ортогональных проекций двух прямых на плоскость является ортогональной проекцией точки пересечения данных прямых на ту же плоскость. 22. Перпендикулярность плоскостей Вариант 1 1. Дан куб A…D1. Докажите перпендикулярность плоскостей: а) ABD и DCC1; б) AB1C1 и ABB1. 2. Через данную прямую, лежащую в данной плоскости, проведите плоскость, перпендикулярную этой плоскости. 3. Две перпендикулярные плоскости a и b пересекаются по прямой AB. Прямая CD лежит в плоскости a, параллельна AB и находится на расстоянии 60 см от нее. Точка E принадлежит плоскости b и находится на расстоянии 91 см от AB. Найдите расстояние от точки E до прямой CD. 4. Докажите, что прямая a и плоскость a, перпендикулярные одной и той же плоскости b, параллельны, если прямая a не лежит в плоскости a. Вариант 2 1. Дан куб A…D1. Докажите перпендикулярность плоскостей: а) AA1D1 и D1B1C1; б) A1B1D и BB1C1. 2. Через наклонную к плоскости проведите плоскость, перпендикулярную этой плоскости. 3. Отрезок MN имеет концы на двух перпендикулярных плоскостях и составляет с ними равные углы. Докажите, что точки M и N одинаково удалены от линии пересечения данных плоскостей. 4. Докажите, что две плоскости a и b параллельны, если они перпендикулярны плоскости g и пересекают ее по параллельным прямым. 23*. Центральное проектирование Самостоятельная работа N 1 Вариант 1 1. Куда при центральном проектировании переходит прямая, параллельная плоскости проектирования? 2. Плоская фигура лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования, и находится между центром и плоскостью проектирования. Как при этом определяется коэффициент подобия фигуры и ее проекции? 3. Радиус основания конуса равен R. Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите площадь сечения. 4. В треугольной пирамиде ABCD (рис. 12) через точки M и N, принадлежащие соответственно граням ABD и BCD, проведите сечение, параллельное ребру AC. Вариант 2 1. В каком случае центральной проекцией двух прямых будут две параллельные прямые? 2. Плоская фигура лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования. Плоскость проектирования расположена между центром проектирования и плоскостью данной фигуры. Как при этом определяется коэффициент подобия фигуры и ее проекции? 3. Радиус основания конуса равен R. Он пересечен плоскостью, параллельной основанию и делящей высоту конуса в отношении m:n, считая от вершины. Найдите площадь сечения. 4. В треугольной пирамиде ABCD (рис. 13) через точку M, принадлежащую высоте пирамиды DO, проведите сечение, параллельное грани BCD. Самостоятельная работа N 2 Вариант 1 1. Прямая m пересекает плоскость проектирования p и не проходит через центр проектирования S. Изобразите центральную проекцию части данной прямой, расположенной в одном полупространстве с точкой S относительно плоскости p. 2. Изобразите центральную проекцию куба A…D1 на плоскость, параллельную плоскости AA1C1. 3. Изобразите центральную проекцию правильной шестиугольной призмы на плоскость, параллельную ее основаниям. 4. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, у которой двугранный угол при основании равен 600. Найдите расстояние между прямыми AB и SC, если AB = 1. Вариант 2 1. Прямая m пересекает плоскость проектирования p и не проходит через центр проектирования S. Изобразите центральную проекцию части данной прямой, расположенной в разных полупространствах с точкой S относительно плоскости p. 2. Изобразите центральную проекцию куба A…D1 на плоскость, параллельную плоскости AB1C1. 3. Изобразите центральную проекцию правильной шестиугольной призмы на плоскость, не параллельную ее основаниям. 4. Дана правильная треугольная призма A…C1, все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми AA1 и BC1. 24. Многогранные углы Вариант 1 1. Запишите, при каких условиях углы a, b и g могут быть плоскими углами трехгранного угла. 2. В трехгранном угле все плоские углы прямые. На его ребрах от вершины отложены отрезки 2 см, 4 см, 6 см и через их концы проведена плоскость. Найдите площадь получившегося сечения. 3. По скольким прямым попарно пересекаются плоскости всех граней четырехгранного угла? Вариант 2 1. Два плоских угла трехгранного угла равны a и b, причем a > b. Запишите, в каких границах возможны значения третьего плоского угла g данного трехгранного угла. 2. В трехгранном угле все двугранные углы – прямые. Из вершины этого угла в его внутренней области проведен отрезок, проекции которого на ребра равны a, b и c. Найдите данный отрезок. 3. По скольким прямым попарно пересекаются плоскости всех граней пятигранного угла? 25*. Выпуклые многогранники Вариант 1 1. Определите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) n-угольной призмы: а) выпуклой; б) невыпуклой. 2. Нарисуйте выпуклый многогранник с 5 вершинами. 3. В выпуклом многограннике известно число граней Г, причем каждая грань имеет одно и то же число сторон n. Найдите число: а) плоских углов (); б) ребер (Р) данного многогранника. Как связаны между собой числа и Р? 4. Выпуклый многогранник имеет В вершин, Р ребер и Г граней. От него отсекли m-гранный угол. Найдите число вершин, ребер и граней полученного многогранника. Вариант 2 1. Определите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) n-угольной пирамиды: а) выпуклой; б) невыпуклой. 2. Нарисуйте выпуклый многогранник с 6 вершинами. 3. В выпуклом многограннике известно число вершин В, причем в каждой вершине сходится одно и то же число ребер m. Найдите число: а) плоских углов (); б) ребер данного многогранника (Р). Как связаны между собой числа и Р? 4. Выпуклый многогранник имеет В вершин, Р ребер и Г граней. К его n-угольной грани пристроили пирамиду. Найдите число вершин, ребер и граней нового многогранника. 26*. Теорема Эйлера Вариант 1 1. Нарисуйте невыпуклый многогранник, для которого выполняется теорема Эйлера. 2. Докажите, что для всякого выпуклого многогранника справедливо соотношение <3, где Р – число ребер, Г – число граней многогранника. 3. Докажите, что в любом выпуклом многограннике с В вершинами, Р ребрами и Г гранями выполняется неравенство: 3В – 6 Р. 4. Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды с высотой h и боковым ребром b. Вариант 2 1. Нарисуйте невыпуклый многогранник, для которого не выполняется теорема Эйлера. 2. Докажите, что для всякого выпуклого многогранника справедливо соотношение <3, где Р – число ребер, В – число вершин многогранника. 3. Докажите, что в любом выпуклом многограннике с В вершинами, Р ребрами и Г гранями выполняется неравенство: 3Г – 6 Р. 4. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды со стороной основания a и высотой боковой грани h. 27. Правильные многогранники Вариант 1 1. Нарисуйте: а) развертку тетраэдра; б) многогранник, двойственный гексаэдру. 2. Постройте сечение октаэдра плоскостью, проходящей через одну из его вершин и середины двух параллельных ребер, которым не принадлежит данная вершина. Определите вид сечения. 3. В тетраэдр ABCD вписана правильная треугольная призма с равными ребрами таким образом, что вершины одного ее основания находятся на боковых ребрах AD, BD, CD, а другого – в плоскости ABC. Ребро тетраэдра равно a. Найдите ребро призмы. 4. В тетраэдре ABCD проведите сечение плоскостью, проходящей через точку M – середину высоты DO тетраэдра, параллельно плоскости грани ADC. Определите вид сечения. Вариант 2 1. Нарисуйте: а) развертку куба; б) многогранник, двойственный тетраэдру. 2. Постройте сечение октаэдра плоскостью, проходящей через два его параллельных ребра. Определите вид сечения. 3. В октаэдр вписан куб таким образом, что его вершины находятся на ребрах октаэдра. Ребро октаэдра равно a. Найдите ребро куба. 4. В тетраэдре ABCD проведите сечение плоскостью, проходящей через точку M, принадлежащую грани ABC параллельно плоскости грани BCD. Определите вид сечения. 28*. Полуправильные многогранники Вариант 1 1. Найдите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) усеченного гексаэдра. 2. Как можно получить 5-угольную антипризму? 3. Нарисуйте многогранник, двойственный правильной 6-угольной призме. 4. Правильный треугольник ABC и другой треугольник ADC имеют общую сторону AC и расположены в разных плоскостях, угол между которыми равен 300. Вершина D ортогонально проектируется на плоскость треугольника ABC в его центр. Высота правильного треугольника равна h. Найдите сторону AD треугольника ADC. Вариант 2 1. Найдите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) усеченного октаэдра. 2. Как можно получить 8-угольную антипризму? 3. Нарисуйте многогранник, двойственный 6-угольной антипризме. 4. Квадрат ABCD и треугольник ABE имеют общую сторону AB и расположены в разных плоскостях, угол между которыми равен 450. Вершина E треугольника ортогонально проектируется на плоскость квадрата в его центр O. Высота EH треугольника равна h. Найдите площадь ортогональной проекции треугольника на плоскость квадрата и ортогональную проекцию отрезка OE на плоскость треугольника. 29*. Звездчатые многогранники Вариант 1 1. Как получить звезду Кеплера из октаэдра? 2. Найдите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) малого звездчатого додекаэдра. 3. Каким образом из куба получается усеченный куб? Чему равно его ребро, если ребро куба равно a? 4. Докажите, что если плоскость пересекает треугольную пирамиду и параллельна двум ее скрещивающимся ребрам, то в сечении будет параллелограмм. Вариант 2 1. Как получить звезду Кеплера из гексаэдра? 2. Найдите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) большого додекаэдра. 3. Каким образом из куба получается кубооктаэдр? Чему равно его ребро, если ребро куба равно a? 4. Докажите, что правильный тетраэдр можно пересечь плоскостью таким образом, чтобы в сечении получился квадрат. 30*. Кристаллы – природные многогранники Вариант 1 1. Нарисуйте кристалл горного хрусталя. 2. Нарисуйте ромбододекаэдр. Чему равно число его вершин, ребер и граней. 3. Найдите сумму всех плоских углов кристалла исландского шпата. 4. Найдите сумму площадей всех граней кристалла алмаза (в виде кубооктаэдра), если его ребро равно a. Вариант 2 1. Нарисуйте кристалл исландского шпата. 2. Нарисуйте ромбододекаэдр. Определите число его плоских углов, двугранных углов; многогранных углов и их тип. 3. Найдите сумму всех плоских углов кристалла граната. 4. Найдите сумму площадей всех граней кристалла алмаза (в виде усеченного октаэдра), если его ребро равно a. 31. Сфера и шар. Взаимное расположение сферы и плоскости Вариант 1 1. Шар, радиус которого равен 10 см, пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 см от центра. Найдите площадь сечения. 2. Сечения шара радиуса R двумя параллельными плоскостями имеют радиусы r1 и r2. Найдите расстояние между этими плоскостями, если они расположены по разные стороны от центра. 3. Стороны треугольника касаются сферы. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус сферы равен 5 см, а стороны треугольника равны 12 см, 10 см, 10 см. 4. Каждая сторона ромба касается сферы радиуса 10 см. Плоскость ромба удалена от центра сферы на 8 см. Найдите площадь ромба, если его сторона равна 12,5 см. Вариант 2 1. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярно к нему плоскость. Как относится площадь большого круга данного шара к площади получившегося сечения? 2. Сечения шара радиуса R двумя параллельными плоскостями имеют радиусы r1 и r2. Найдите расстояние между этими плоскостями, если они расположены по одну сторону от центра. 3. Стороны ромба касаются сферы радиуса 13 см. Найдите расстояние от плоскости ромба до центра сферы, если диагонали ромба равны 30 см и 40 см. 4. Через конец радиуса шара проведена плоскость, составляющая с ним 300. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью, если радиус шара равен 6 см. 32. Многогранники, вписанные в сферу Вариант 1 1. Перечислите свойства, которым должна удовлетворять призма, чтобы около нее можно было описать сферу. 2. На рисунке 14 изображена треугольная пирамида ABCD, у которой ребро DB перпендикулярно плоскости ABC и угол ACB равен 900. Найдите центр сферы, описанной около данной пирамиды. 3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания ABCD равна 4 см, двугранный угол при основании 450. Найдите радиус описанной сферы. Где будет находиться ее центр? 4. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной призмы, равен R. Найдите высоту этой призмы, зная, что ее диагональ образует с боковой гранью угол a. Вариант 2 1. Перечислите свойства, которым должна удовлетворять пирамида, чтобы около нее можно было описать сферу. 2. На рисунке 15 изображена пирамида ABCD, у которой углы ADB, ADC и BDC прямые. Найдите центр сферы, описанной около данной пирамиды. 3. В правильной треугольной пирамиде SABC центр описанной сферы делит высоту на части, равные 6 см и 3 см. Найдите сторону основания ABC пирамиды. 4. В правильной 4-угольной призме диагональ основания и диагональ боковой грани равны соответственно 16 см и 14 см. Найдите радиус описанной сферы. 33. Многогранники, описанные около сферы Вариант 1 1. Можно ли вписать сферу в пирамиду, у которой равны двугранные углы при основании? Ответ поясните. 2. Около сферы описана прямая призма, основанием которой является ромб с диагоналями 6 см и 8 см. Найдите площадь основания и высоту призмы. 3. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна a, двугранный угол при основании равен 600. Найдите радиус вписанного шара. 4. Стороны оснований правильной 4-угольной усеченной пирамиды равны 1 см и 7 см. Боковое ребро наклонено к основанию под углом 450. Найдите радиус описанного шара. Вариант 2 1. Каким свойством должна обладать прямая треугольная призма, чтобы в нее можно было вписать сферу? 2. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник, каждый из равных углов которого равен a и основание которого равно a. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом b. Найдите радиус сферы, вписанной в эту пирамиду. 3. Найдите радиус шара, вписанного в правильную пирамиду, у которой высота равна h, а двугранный угол при основании равен 450. 4. В правильной треугольной усеченной пирамиде высота равна 17 см, радиусы окружностей, описанных около оснований, равны 5 см и 12 см. Найдите радиус описанного шара. 34. Цилиндр. Конус Вариант 1 1. В цилиндре, радиус основания которого равен 4 см и высота 6 см, проведено сечение, параллельное оси. Расстояние между диагональю сечения и осью цилиндра равно 2 см. Найдите площадь сечения. 2. Через вершину конуса проведено сечение под углом 600 к его основанию. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения, если высота конуса равна 12 см. 3. Точка M принадлежит высоте конуса. Точка N принадлежит плоскости основания конуса, но находится вне этого основания. Постройте точку пересечения прямой MN с поверхностью конуса. 4. Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны, высота равна 2 см. Найдите площадь сечения усеченного конуса, проведенного через середину высоты параллельно основаниям.