Ответы в самом низу встроенного документа
3461. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла опущена высота CN на гипотенузуАВ. Известно, что ВС = 5, CN — 4. Найдите площадь треугольника АВС. 3462. В остроугольном треугольнике АВС угол В равен 60°, AM и CN — его высоты, a Q — середина стороны АС. Докажите, что треугольник MNQ — равносторонний. 3463. Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности (рис. 140). Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями, равны между собой. 3464. От квадрата отрезан прямоугольный треугольник, сумма катетов которого равна стороне квадрата. Докажите, что сумма трех углов, под которыми видна из трех оставшихся вершин его гипотенуза, равна 90°. 3465. Биссектриса угла, смежного с углом С треугольника АВС, пересекает продолжение стороны АВ за точку В в точке D, а биссектриса угла, смежного с углом А, пересекает продолжение ВС за точку С в точке Е. Известно, что DC = СА = А£. Найдите углы треугольника АВС. 3466. В треугольнике АВС проведена прямая DE, параллельная АС (D и Е — точки пересечения со сторонами АВ и ВС соответственно). Прямая, проходящая через вершину В и точку пересечения диагоналей трапеции ADEC, пересекает сторону АС в точке Р. На отрезке BD взята точка Q. Найдите площадь треугольника QBP, если известно, что площадь треугольника DBE равна 8 и QB : AQ = DE : АС = = 1:7. 3467. В выпуклом четырехугольнике ABCD верны равенстваАВ = ВС = = CD, М — точка пересечения диагоналей, К — точка пересечения биссектрис углов А и D. Докажите, что точки А, М, К и D лежат на одной окружности. 3468. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке D. Прямая касается одной из этих окружностей в точке А и пересекает другую в точках В и С. Докажите, что точка А равноудалена от прямых BD и CD. 3469. Внутри остроугольного треугольника АВС дана точка Р такая, что ААРВ = А АС В + 60°, А ВРС = = А ВАС + 60°, A CPA = А СВА + 60°. Докажите, что точки пересечения продолжений отрезков АР, ВР и СР (за точку Р) с описанной окружностью треугольника АВС лежат в вершинах равностороннего треугольника. 3470. Пусть СМ — медиана тре угольникаАВС. Известно, что А САВ + + А МСВ = 90°. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный или прямоугольный. 3471. Через точку О внутри выпуклого четырехугольника ABCD проведены четыре окружности одинакового радиуса, каждая из которых касается двух смежных сторон четырехугольника. Докажите, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность. 3472. В треугольнике АВС стороны СВ и СА равны соответственно а и Ь. Биссектриса угла АС В пересекает сторону АВ в точке К, а описанную около треугольника АВС окружность — в точке М. Окружность, описанная около треугольника АМК, вторично пересекает прямую СА в точке Р. Найдите АР. 3473. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Докажите, что площадь ограниченного ими шестиугольника равна половине площади треугольника. 3474. Противоположные стороны шестиугольника ABCDEF попарно параллельны. Докажите, что треугольники АСЕ и BDF равновелики. 3475. Точка О, лежащая внутри треугольника АВС, обладает тем свойством, что прямые АО, ВО и СО проходят через центры описанных окружностей треугольников ВСО, АСО и АВО. Докажите, что О — центр вписанной окружности треугольника АВС. 3476. Прямая I пересекает окружность с диаметром АВ в точках С и D, отличных от А и В. Из точек А и В к прямой I проведены перпендикуляры АЕ и BF соответственно. Докажите, что отрезки СЕ и DF равны. 3477. Пусть О — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD {АВ || CD), Ay и Вг — точки, симметричные точкам А и В относительно биссектрисы углаАОВ. Докажите, что ААСАу = A BDBy. 3478. Сторона квадрата ABCD равна 1. На сторонах АВ и AD выбраны точки Р и Q так, что периметр треугольника APQ равен 2. Докажите, что A PCQ = 45°. 3479. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и АС в точках Су, Ау и By соответственно. Известно, что отрезки ААу, ВВу и ССу равны. Докажите, что треугольник АВС — правильный. 3480. Докажите, что если аЬс = = 4Rrry, где о, Ь, с — стороны треугольника, R, г, Гу — радиусы описанной, вписанной и одной из вневписан ных окружностей, то треугольник — прямоугольный. 3481. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Докажите, что круги, построенные на ее боковых сторонах как на диаметрах, касаются друг друга. 3482. Диагонали трапеции с основаниями AD и ВС пересекаются в точке О (рис. 141). Докажите, что окружности, описанные около треугольников AOD и ВОС, касаются друг друга.
3483. В прямоугольном треугольнике АВС угол при вершине А равен 60°, О — середина гипотенузы АВ, Р — центр вписанной окружности. Найдите угол РОС. 3484. Через две вершины треугольника проведены прямые, разбивающие его на три треугольника и четырехугольник. а) Могут ли площади всех четырех частей быть равны? б) Какие три из этих частей могут иметь равные площади? Во сколько раз отличается от них площадь четвертой части? 3485. Каждая сторона выпуклого четырехугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей черных клеток равна сумме площадей белых клеток. 3486. Докажите, что если стороны треугольника связаны неравенством а2 + Ъ2 > 5с2, то с — наименьшая сторона. 3487. Вокруг правильного треугольника APQ описан прямоугольник ABCD, причем точки Р и Q лежат на сторонах ВС и CD соответственно; Pj и Q, — середины сторон АР и AQ. Докажите, что треугольники BQ^C и CP^D подобны. 3488. Через произвольную точку К квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая его противоположные стороны АВ и CD в точках PiiQ. Докажите, что отличная от К точка пересечения окружностей, проходящих через точки К, В, Р и К, D, Q, лежит на диагонали BD. 3489. Точки М и N на сторонах ВС и АВ равностороннего треугольника АВС выбраны так, что площадь треугольника АКС равна площади четырехугольника BMKN (R — точка пересечения отрезков AM и CN). Найдите угол АКС. 3490. По стороне правильного треугольника катится окружность радиуса, равного его высоте. Докажите, что угловая величина дуги, высекаемой на окружности сторонами треугольника, всегда равна 60°. 3491. На сторонах АВ и AD квадрата ABCD взяты точки К и М так, что ЗАК 4АМ = АВ. Докажите, что прямая КМ касается окружности, вписанной в квадрат. 3492. На сторонах АВ, ВС, CD, DA прямоугольника ABCD соответственно взяты точки К, L, М, N, отличные от вершин. Известно, что KL || MN и КМ _L NL. Докажите, что точка пересечения отрезков КМ и LN лежит на диагонали BD прямоугольника. 3493. Докажите, что если в четырехугольнике два какихто угла тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали. 3494. В треугольнике АВС проведены медианы АА1г ВВ1? СС1 и высоты АА2, ВВ2, СС2 Докажите, что длина ломаной A^B2C^А^^С^А^ равна периметру треугольника АВС. 3495. Докажите, что в каждом девятиугольнике есть пара диагоналей, угол между которыми меньше 7°. 3496. В выпуклом четырехугольнике прямая, проходящая через середины двух противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями четырехугольника. Докажите, что диагонали равны. 3497. Докажите, что у выпуклого многоугольника может быть не более трех острых углов. 3498. Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре треугольника. Известно, что радиусы окружностей, описанных около этих четырех треугольников, равны между собой. Докажите, что этот четырехугольник — ромб. 3499°. На сторонах AD и DC ромба ABCD построены правильные треугольники AKD и DMC так, что точка К лежит по ту же сторону от AD, что и прямая ВС, а точка М — по другую сторону от DC, чем АВ (рис. 142). Докажите, что точки В, К и М лежат на одной прямой.
3500. Пусть Н — точка пересечения высот треугольника АВС. Докажите, что расстояние между серединами отрезков ВС и АН равно радиусу описанной окружности треугольника АВС. 3501. Пусть Q — центр вписанной окружности треугольника АВС. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников AQB, BQC и AQC лежат на описанной окружности треугольника АВС. 3502°. Через точку пересечения биссектрисы угла А треугольника АВС и отрезка, соединяющего основания двух других биссектрис, проведена прямая, параллельная стороне ВС. Докажите, что меньшее основание образовавшейся трапеции равно полусумме ее боковых сторон. 3503. Высота, биссектриса и медиана, выходящие из одной вершины треугольника, соответственно равны Л , 2 и Л . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
3504. На сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты точки Clt Ах и ВР Известно, что отрезки ААг, ВВ1 и ССХ пересекаются в точке М. Докажите, что суммаМА! 4 МВ1 + МСг не превосходит наибольшей стороны треугольника АВС. 3505. Внутри треугольника АВС взята точкаМ. Докажите, что AM ■ ВС + ВМ ■ АС + СМ ■ АВ> 4S, где S — площадь треугольника АВС. 3506. Внутри остроугольного треугольника АВС выбрана точка М, являющаяся: а) точкой пересечения медиан; б) точкой пересечения биссектрис; в) точкой пересечения высот. Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники АМВ, ВМС, АМС, равны, то треугольник АВС — правильный. 3507. Продолжения сторон АВ и CD вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке Р, а продолжения ВС и AD — в точке Q (рис. 143). Докажите, что точки пересечения биссектрис углов AQB и ВРС со сторонами четырехугольника являются вершинами ромба. Р
3508. Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами йиг пересекает их общие внешние касательные в точках А и В и касается одной из окружностей в точке С. Докажите, что АС ■ СВ = R г. 3509. На отрезке АВ взята точка С. Прямая, проходящая через точку С, пересекает окружности с диаметрами АС и ВС в точках КиЬ,а также окружность с диаметром АВ — в точках М и N. Докажите, что КМ — LN. 3510. Из точки А проведены касательные АВ и АС к окружности с центром О. Через точку X отрезка ВС проведена прямая KL, перпендикулярная ХО (точки К и L лежат на прямых АВ и АС). Докажите, что КХ — XL. 3511. Из вершины В параллелограмма ABCD проведены его высоты ВК и ВН. Известны отрезки КН = а и BD = Ь. Найдите расстояние от точки В до точки пересечения высот треугольника ВКН. 3512. Опустим из любой точки Р биссектрисы угла А треугольника АВС перпендикуляры РА1; РВ1г РС1 на его стороны ВС, СА и АВ соответственно. Пусть R — точка пересечения прямых BAj и В1С1. Докажите, что прямая АВ делит сторону ВС пополам. 3513. Бумажная прямоугольная полоска помещается внутри данного круга. Полоску согнули (не обязательно пополам). Докажите, что после сгибания полоску можно также разместить в этом круге. 3514. Четыре окружности радиуса В пересекаются по три в точках М и N и по две в точках А, В, С и В. Докажите, что ABCD — параллелограмм. 3515. Вписанная окружность касается сторон АВ и АС треугольникаАВС в точках М и N. Пусть Р — точка пересечения прямой МN и биссектрисы угла В (или ее продолжения). Докажите, что А ВВС = 90°. 3516°. Известно, что в некотором треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из вершины С, делят угол на четыре равные части. Найдите углы этого треугольника. 3517. Докажите, что если в выпуклом пятиугольнике ABCDE имеют место равенства А АВС = AADE и ААЕС = AADB, то АВАС = ADAE. 3518. В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Известно, что центры окружностей, вписанной в треугольник АВК и описанной около треугольникаАВС, совпадают. Найдите углы треугольникаАВС. 3519. Дан треугольник АВС. Окружность проходит через вершины А, В и пересекает стороны АС и ВС в точках В и Q соответственно. На стороне АВ взяты точки R и S так, что QR || СА, PS || СВ. Докажите, что точки В, Q, R, S лежат на одной окружности. 3520. Точка В лежит на биссектрисе угла АСВ. На луче СА выбрали точки Аг и А2, а на луче СВ — точки Вх и В2 так, что четыре точки Аг, С, Bj, В лежат на одной окружности и четыре точки А2, С, В2, В тоже лежат на одной окружности. Докажите, что А:А2 = = BjB2. 3521. Через вершину С квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая диагональ ВВ в точке К, а серединный перпендикуляр к стороне АВ — в точке М (М между С и К). Найдите A DCK, если А АКБ = А АМВ. 3522. Внутри отрезкаАВ взята точка С. По одну сторону от прямой АВ построены равнобедренные треугольникаАВС и СЕВ, причем АВ = ВС = СЕ = = ЕВ. Точка В находится на расстоянии, равном АВ, от вершин В и £ и не совпадает с точкой С. Докажите, что AF=FB. 3523. Точки касания вписанного в данный треугольник круга соединены отрезками и в полученном треугольнике проведены высоты. Докажите, что прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. 3524. В выпуклом четырехугольнике ABCD проведена диагональ АС, AD = 7, ВС = 3, Z. ACD = 60°. Известно, что точки A, B,C,D лежат на одной окружности и перпендикуляр, проведенный из точки А к стороне CD, делит угол A BAD пополам. Найдите диагональ АС. 3525. Внутри выпуклого четырехугольника расположены четыре окружности, каждая из которых касается двух соседних сторон четырехугольника и двух окружностей (внешним образом). Известно, что в четырехугольник можно вписать окружность. Докажите, что по крайней мере две из данных окружностей равны. 3526. Пусть Q — центр вписанной окружности треугольника АВС, прямая AQ пересекает описанную окружность треугольника АВС в точке D. Выразите отрезки AQ и QD через Лиг (радиусы описанной и вписанной окружностей треугольников АВС) и угол А. 3527. Взаимно перпендикулярные прямые I и т пересекаются в точке Р окружности так, что они разбивают окружность на три дуги (рис. 144). Отметим на каждой дуге такую точку, что проведенная через нее касатель
ная к окружности пересекается с прямыми I и т в точках, равноотстоящих от точки касания. Докажите, что три отмеченные точки являются вершинами равностороннего треугольника. 3528. Основания трапеции равны о и Ь. Известно, что через середину одной из ее сторон можно провести прямую, делящую трапецию на два четырехугольника, в каждый из которых можно вписать окружность. Найдите другую боковую сторону трапеции. 3529. Имеются четыре окружности. В первой проведена хорда АВ, при этом расстояние от середины меньшей из двух образовавшихся дуг до АВ равно 1. Вторая, третья и четвертая окружности расположены внутри большего сегмента и касаются хорды АВ. Вторая и четвертая окружности касаются изнутри первой и внешним образом третьей. Сумма радиусов трех последних окружностей равна радиусу первой окружности. Найдите радиус третьей окружности, если известно, что прямая, проходящая через центры первой и третьей окружностей, не параллельна прямой, проходящей через центры двух других окружностей. 3530. Три прямые, параллельные сторонам треугольника АВС и проходящие через одну точку, отсекают от треугольника АВС трапеции. Три диагонали этих трапеций, не имеющие общих концов, делят треугольник на семь частей, из которых четыре — треугольники. Докажите, что сумма площадей трех из этих треугольников, прилегающих к сторонам треугольника АВС, равна площади четвертого. 3531. Шесть кругов расположены на плоскости так, что некоторая точка 0 лежит внутри каждого из них. Докажите, что один из этих кругов содержит центр некоторого другого. 3532. Внутри квадрата со стороной 1 расположено п точек. Докажите, что площадь одного из треугольников с вершинами в этих точках или в вершинах квадрата не превосходит 1 2(п +1)’ 3533. Все биссектрисы треугольника меньше 1. Докажите, что его площадь меньше —. 7з 3534. Даны п точек А1? А2, ..., Ап и окружность радиуса 1. Докажите, что на окружности можно выбрать точку Мтак, что МА1 + МА2 + ... + МАп > п. 3535. Точка М лежит на стороне АС остроугольного треугольника АВС. Вокруг треугольников АВМ и СВМ описываются окружности. При каком положении точки М площадь общей части ограниченных ими кругов будет наименьшей? 3536. Из произвольной точки М окружности, описанной около прямоугольника, опустили перпендикуляры МР и MQ на две его противоположные стороны и перпендикуляры MR и МТ — на продолжения двух других сторон. Докажите, что прямые PR и QT перпендикулярны друг другу, а их точка пересечения принадлежит диагонали прямоугольника. 3537. Внутри треугольника расположены окружности а, Р, у, 5 одинакового радиуса так, что каждая из окружностей а, Р, у касается двух сторон треугольника и окружности 5. Докажите, что центр окружности 8 принадлежит прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей данного треугольника. 3538. О выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что окружность с диаметром АВ касается прямой CD. Докажите, что окружность с диаметром CD касается прямой АВ тогда и только тогда, когда прямые ВС и AD параллельны. 3539. Дан треугольник АВС, который можно накрыть одним пятаком. Постройте с помощью пятака четвертую вершину параллелограмма ABCD (пятак разрешается прикладывать к любым двум точкам и обводить карандашом). 3540. В треугольнике АВС угол С — тупой. На стороне АВ отмечены точки EVLH,HSL сторонах АС и ВС — точки К и М соответственно. Оказалось, что АН =АС, ВЕ = ВС,АЕ =АК, ВН = ВМ. Докажите, что точки Е, Н, К, М лежат на одной окружности. 3541. Дан правильный треугольник АВС. Некоторая прямая, параллельная прямой АС, пересекает прямые АВ и ВС в точках МиР соответственно. Точка D — центр правильного треугольника РМВ, точка Е —середина отрезка АР. Определите углы треугольника DEC. 3542. Биссектриса угла А треугольника АВС пересекает описанную около треугольника окружность в точке К. Докажите, что проекция отрезка АК на прямую АВ равна полусумме сторон АВ и АС. 3543. Три равные окружности Sj, 52, S3 попарно касаются друг друга и вокруг них описана окружность S, которая касается всех трех. Докажите, что для любой точки М окружности S касательная, проведенная из точки М к одной из трех окружностей Sj, S2, 53, равна сумме касательных, проведенных из точки М к двум другим окружностям. 3544. Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольник на два треугольника, в каждый из которых вписана окружность. Найдите углы и площадь треугольника, образованного катетами исходного треугольника и прямой, проходящей через центры этих окружностей, если высота исходного треугольника равна h. 3545. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка М так, что ВМ = = 2МС, причем /LAMB = 60°. Зная, что А ВАС = 60°, найдите углы В и С треугольника АВС. 3546. В прямоугольнике АВСВ опущен перпендикуляр ВК на диагональ АС. Точки Ми N — середины отрезков АК и CD соответственно. Докажите, что угол BMN — прямой. 3547. Из некоторой точки окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС, проведены прямые, параллельные ВС, CAviAB и пересекающие прямые СА, АВ и ВС в точках М, NnQ соответственно. Докажите, что точки М, N и Q лежат на одной прямой. 3548. Окружности и S2 пересекаются в точках А и В. Секущая, проходящая через точку А, пересекает эти окружности вторично в точках М и N. Касательные к окружностям Sj и S2 в точке А пересекаются прямыми BN и ВМ в точках Р и Q соответственно. Докажите, что прямые PQ и MN параллельны. 3549. Пусть А — основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую I (рис. 145). На этой прямой взяты еще две точки В и С так, что АВ =АС. Через точки В иС проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает окружность в точках Q и Р, вторая — в точках М и N. Пусть прямые РМ и QN пересекают прямую I в точках R и S. Докажите, что AR = AS.
3550°. Внутри треугольника имеются две точки. Расстояния от одной из них до сторон треугольника равны 1, 3 и 15, а от другой (в том же порядке) — 4, 5 и 11. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник. 3551. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса CD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно DC, пересекает АС в точке Е. Докажите, что ЕС = 2AD. 3552. Рассмотрим два различных четырехугольника с соответственно равными сторонами. Докажите, что если у одного из них диагонали перпендикулярны, то и у другого тоже. 3553. Вписанная окружность треугольника А1А2А3 касается сторон AgAg, А3А1 ИА1А2 В точках Sj, S2 и S3 соответственно. Пусть 01? Ог и Оэ — центры вписанных окружностей треугольников A1S2S3, A2iS3iS1 и AgSjiSg соответственно. Докажите, что прямые 01S1, OzS2 и OsS3 пересекаются в одной точке. 3554. Центры трех окружностей, попарно касающихся друг друга внешним образом, расположены в вершинах прямоугольного треугольника. Эти окружности касаются изнутри четвертой окружности. Найдите радиус четвертой окружности, если периметр прямоугольного треугольника равен 2р. 3555. Пусть MuN — середины сторон AD и ВС прямоугольника ABCD. На продолжении отрезка DC за точку D взята точка Р; Q — точка пересечения прямых РМ и АС. Докажите, что A QNM = A MNP. 3556. В равнобедренном треугольнике АВС из середины Н основания ВС опущен перпендикуляр НЕ на боковую сторону АС; О — середина отрезка НЕ. Докажите, что прямые АО и BE перпендикулярны. 3557. Расстояния от точки М до трех вершин прямоугольника равны (последовательно) 3, 5, 4. Найдите площадь прямоугольника. 3558. На стороне треугольника взяты четыре точки К, Р, Н и М, являющиеся соответственно серединой этой стороны, основанием биссектрисы противоположного угла треугольника, точкой касания с этой стороной вписанной в треугольник окружности и основанием соответствующей высоты. Найдите КН, если КР = а, КМ = Ъ. 3559. Внутри правильного треугольника имеется точка, удаленная от его вершин на расстояния 5, 6 и 7. Найдите площадь этого правильного треугольника. 3560. В некотором царстве, в некотором государстве есть несколько городов, причем расстояния между ними все попарно различны. В одно прекрасное утро из каждого города вылетает по одному самолету, который приземляется в ближайшем соседнем городе. Может ли в одном городе приземлиться более пяти самолетов?
3561. На диаметре АС некоторой окружности дана точка Е. Проведите через нее хорду BD так, чтобы площадь четырехугольника ABCD была наибольшей. 3562. В треугольнике АВС углы при вершинах В и С равны 40°; BD — биссектриса угла В. Докажите, что BD + DA = ВС. 3563. На сторонах ВС и CD квадрата ABCD взяты точки Е и F так, что Z EAF = 45°. Отрезки АЕ и AF пересекают диагональ BD в точках Р и Q. Докажите, что S(AEF) = 2. ’ S(APQ) 3564. Дан параллелограмм ABCD. Вневписанная окружность треугольника ABD касается продолжений сторон AD и АВ в точках М и N. Докажите, что точки пересечения отрезка MN с ВС и CD лежат на вписанной окружности треугольника BCD. 3565. АВС — данный остроугольный треугольник, Н — точка пересечения высот. Положим АВ = с, ВС = а, СА = Ъ, АН = х, ВН = у, СН = 2. Докажите, что ayz + Ъгх + сху = abc. 3566. В остроугольном треугольнике АВС угол А равен 60°. Докажите, что одна из биссектрис угла, образованного высотами, проведенными из вершин В и С, проходит через центр описанной окружности этого треугольника. 3567. На окружности взяты последовательно точки А, В, С и В, причем АВ = BD. Касательная к окружности в точке А пересекается с прямой ВС в точке Q; R — точка пересечения прямых АВ и CD. Докажите, что прямые QR и AD параллельны. 3568. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны. Через середины сторон АВ и AD проведены прямые, перпендикулярные противоположным сторонам CD и СВ соответственно. Докажите, что эти прямые и прямая АС имеют общую точку. 3569. В окружность вписаны треугольники Ti и Т2, причем вершины треугольника Т2 являются серединами дуг, на которые окружность разбивается вершинами треугольника 7\ (рис. 146). Докажите, что в шестиугольнике, являющемся пересечением треугольников и Т2, диагонали, соединяющие противоположные вер
шины, параллельны сторонам треугольника Ту и пересекаются в одной точке. 3570. Четырехугольник ABCD вписан в окружность; О у, 02, 03, 04 — центры окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CDA и DAB. Докажите, что 01020304 — прямоугольник. 3571. Внутри треугольника АВС, в котором А А = 50°, А В = 60°, А С = 70°, дана такая точка М, что А АМВ = 110°, А ВМС = 130°. Найдите А МВС. 3572. В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссектрисы угловА и В пересекаются в точке Е, лежащей на стороне CD. Известно, что = т. Найдите: ВС 1) отношение расстояний от точки Е до прямых AD и ВС; 2) отношение площадей треугольников ADE и ВСЕ. 3573. Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки М окружности до сторон (или их продолжений) одного многоугольника равно произведению расстояний от этой точки до сторон (или их продолжений) второго. 3574. На стороне AD вписанного в окружность четырехугольника ABCD находится центр окружности, касающейся трех других сторон четырехугольника. Найдите AD, если АВ = 2 и CD = 3. 3575. В равносторонний треугольник АВС вписана полуокружность с центром О на стороне АВ. Некоторая касательная к полуокружности пересекает стороны ВС и СА в точках М iiN соответственно, а прямая, соединяющая точки касания сторон АВ и АС с полуокружностью, пересекает отрезки ОМ и ON в точках Р и Q. Докажите, что MN = 2PQ. 3576. В треугольнике АВС известно, что А В = 50°, А С = 70°. Найдите углы треугольника ОНС, где Н — точка пересечения высот, О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. 3577. Дан квадрат ABCD. Точки Р и Q лежат на сторонах АВ и ВС соответственно, причем BP = BQ. Пусть Н — основание перпендикуляра, опущенного из точки В на отрезок PC. Докажите, что угол DHQ — прямой. 3578. На сторонах АВ и AD квадрата ABCD взяты точки К и N соответственно. При этом АК • AN = 2ВК ■ DN. Отрезки СК и CN пересекают диагональ BD в точках L и М. Докажите, что точки К, L, М, N и А лежат на одной окружности. 3579. Дан треугольник АВС. На прямых АВ, ВС и СА взяты точки Су, Ау и By соответственно, отличные от вершин треугольника. Докажите, что окружности, описанные около треугольников АВуСу, АуВуСу, АуВСу, пересекаются в одной точке. 3580. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС как на гипотенузах построены вне его прямоугольные треугольники АР В и BQC с одинаковыми углами Р при их общей вершине В. Найдите углы треугольника PQK, где К — середина стороны АС. 3581. Пусть в выпуклом четырехугольнике ABCD нет параллельных сторон. Обозначим через Е и F точки пересечения прямых АВ и DC, ВС и AD соответственно (точка А лежит на отрезке BE, а точка С — на отрезке BF). Докажите, что четырехугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда ЕА + AF = ЕС + CF. 3582. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса CD угла С. На прямой АС взята точка Е так, что A EDC = 90°. Найдите ЕС, если AD = 1. 3583. Пусть А£ И CD — биссектрисы треугольника ABC, A BED = 2А AED и A BDE = 2А EDC. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный. 3584. Внутри треугольника АВС с острыми углами при вершинах А и С взята точка К так, что А АКБ = 90°, А СКВ = 180° — А АСВ. В каком отношении прямая ВК делит сторону АС, если высота, опущенная на АС, делит эту сторону в отношении X, считая от вершины А? 3585. В треугольнике АВС проведены биссектрисыААг и BBV Докажите, что расстояние от любой точки М отрезка AJBJ до прямой АВ равно сумме расстояний от М до прямых АС и ВС. 3586. Пусть р — полупериметр остроугольного треугольника ABC, q — полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот. Докажите, что р : q = R : г, где R и г — радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника АВС. 3587. На доске была начерчена трапеция, в ней была проведена средняя линия EF и опущен перпендикуляр ОК из точки О пересечения диагоналей на большее основание. Затем трапецию стерли. Как восстановить чертеж по сохранившимся отрезкам EF и ОК? 3588. Острый угол при вершине А ромба ABCD равен 40°. Через вершину А и середину М стороны CD проведена прямая, на которую опущен перпендикуляр ВН из вершины В. Найдите угол АН В. 3589. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке С, а вторую — в точке D. Пусть М и N — середины дуг ВС и BD, не содержащих точку А, а К — середина отрезка CD (рис. 147). Докажите, что A MKN = 90°. (Можно считать, что точки Сий лежат по разные стороны от точки А.)
3590. Каждая диагональ выпуклого пятиугольника ABCDE отсекает от него треугольник единичной площади. Вычислите площадь пятиугольника ABCDE. 3591. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС выбрана точка D так, что окружность, вписанная в треугольник BCD, имеет тот же радиус, что и окружность, касающаяся продолжений отрезков СА и CD и отрезка AD (вневписанная окружность треугольника ACD). Докажите, что этот радиус равен | высоты треугольника, опущенной на ее боковую сторону. 3592. Найдите углы остроугольного треугольника АВС, если известно, что его биссектриса AD равна стороне АС и перпендикулярна отрезку ОН, где О — центр описанной окружности, Н — точка пересечения высот треугольника АВ С. 3593. Известно, что АЕ и CD — биссектрисы треугольника ABC, A CDE = = 30°. Докажите, что один из углов треугольника АВС равен 60° или 120°. 3594. Из вершины С прямого угла прямоугольного треугольника АВС проведена высота CD, и в треугольники ACD и BCD вписаны окружности с центрами Р и Q. Общая внешняя касательная к этим окружностям пересекает катеты АС и ВС в точках М и N, а высоту CD — в точке К. Докажите, что: а) треугольники CMN и СВА подобны; б) точки С, М, N,PVLQ лежат на одной окружности с центром К, радиус которой равен радиусу вписанной окружности треугольника АВС. 3595. В треугольнике АВС проведены высота АН и биссектриса BE. Докажите, что если Z BE А = 45°, то и Z ЕНС = 45°. 3596. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е внутри окружности. Пусть М — внутренняя точка отрезка BE. Касательная в точке Е к окружности, проходящей через точки D, Е и М, пересекает прямые ВС и АС в точках F и G соответственно. Пусть = t. Най J АВ дите —— как функцию от t. EF ^ 3597. Через вершину А квадрата ABCD проведены прямые 1у и 12, пересекающие его стороны. Из точек В и D опущены перпендикуляры ВВу, ВВ2, DDy, DD2 на эти прямые. Докажите, что отрезки ВуВ2 и D1D2 равны и перпендикулярны . 3598. В треугольнике АВС с углом А, равным 120°, биссектрисы ААу, ВВг и ССу пересекаются в точке О. Докажите, что Z. АуСуО = 30°. 3599. Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке А. Хорда ВС в большей окружности касается меньшей в точке D. Прямая AD вторично пересекает большую окружность в точке М. Найдите МВ, если МА = a, MD = Ъ. 3600. На сторонах ВС, СА и АВ треугольника взяты точки Ay, By, Су соответственно так, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники АуВСу, АВуСу и AJBJC, равны между собой и равны г. Радиус окружности, вписанной в треугольник АуВуСу, равен гу. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС. 3601. Докажите, что во всяком описанном четырехугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой (прямая Ньютона). 3602. Прямые PC и PD касаются окружности с диаметром АВ (С и D — точки касания). Докажите, что прямая, соединяющая точку Р с точкой пересечения прямых АС и ВВ, перпендикулярна АВ. 3603. Для данной хорды MN окружности рассматриваются треугольники АВС, основаниями которых являются диаметры АВ этой окружности, не пересекающие MN, а стороны АС и ВС проходят через концы М и N хорды MN. Докажите, что высоты всех таких треугольников АВС, опущенные из вершины С на сторону АВ, пересекаются в одной точке. 3604. Пусть М — точка пересечения биссектрис внутреннего угла В и внешнего угла С треугольника АВС, а N — точка пересечения биссектрис внешнего угла В и внутреннего угла С (рис. 148). Докажите, что середина от резка MN лежит на окружности, описанной около треугольника АВС.
3605. В треугольнике АВС через середину М стороны ВС и центр О вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая МО, которая пересекает высоту АН в точке Е. Докажите, что отрезок АЕ равен радиусу вписанной окружности. 3606°. Даны две непересекающиеся окружности, к которым проведены две общие внешние касательные. Рассмотрим равнобедренный треугольник, основание которого лежит на одной касательной, противоположная вершина — на другой, а каждая из боковых сторон касается одной из данных окружностей. Докажите, что высота треугольника равна сумме радиусов окружностей. 3607. Пусть АЕ и CD — биссектрисы треугольника АВС. Докажите, что если Z BDE : Z EDC = Z BED: Z DEA, то треугольник АВС — равнобедренный. 3608. Три пары противоположных сторон шестиугольника параллельны. Докажите, что отрезки, соединяющие их середины, пересекаются в одной точке. 3609. Продолжение биссектрисы AD остроугольного треугольника АВС пересекает описанную окружность в точке Е. Из точки D на стороны АВ и АС опущены перпендикуляры DP и DQ. Докажите, что S(ABC) = S(APEQ). 3610. Пусть А1А2..~А„ — правильный многоугольник с нечетным числом сторон, М — произвольная точка на дуге АхАп окружности, описанной около многоугольника. Докажите, что сумма расстояний от точки М до вершин с нечетными номерами равна сумме расстояний от М до вершин с четными номерами. 3611. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника АВС зеленой краской отметили соответственно точки Cj, Aj и Blt отличные от вершин треугольника. Оказалось, чтоACt : Сф = ВАу: AtC = = СВг : ВгА, a Z ВАС = Z В^С^ Докажите, что треугольник с зелеными вершинами подобен треугольнику АВС. 3612. Дан вписанный четырехугольник ABCD. Противоположные стороны АВ и CD при продолжении пересекаются в точке К, стороны ВС и AD — в точке L. Докажите, что биссектрисы углов ВКС и BLA пересекаются на прямой, соединяющей середины АС и BD. 3613. Противоположные стороны четырехугольника, вписанного в окружность, пересекаются в точках Р и Q. Найдите PQ, если касательные к окружности, проведенные из точек Р и Q, равны аиЬ. 3614. Около остроугольного треугольника АВС описана окружность. Касательные к окружности, проведенные в точках А и С, пересекают касательную, проведенную в точке В, соответственно в точках М и N. В треугольнике АВС проведена высота ВР. Докажите, что прямая ВР является биссектрисой угла MPN. 3615. НасторонахАВ, ВС и СА треугольника АВС взяты соответственно точки Су,Ау иВг так, что прямыеAAlt ВВ± и СС1 пересекаются в точке М. Докажите, что если а) два из этих четырехугольников являются вписанными, то и третий также является вписанным; б) два из этих четырехугольников являются описанными, то и третий также является описанным. 3616. На плоскости даны п красных и п синих точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что можно провести п отрезков с разноцветными концами, не имеющих общих точек. 3617. (Задача о бабочке.) Через середину С произвольной хорды АВ окружности (рис. 149) проведены две хорды KL и MN (точки К и М лежат по одну сторону от АВ). Отрезок KN пересекает АВ в точке Р. Отрезок LM пересекает АВ в точке Q. Докажите, что PC = QC. 3618. На основании АС равнобедренного треугольника АВС взята точка D, а на отрезке BD — точка К так, что AD : DC = AAKD : Z DKC = 2:1. Докажите, что Z AKD = Z АВС. 3619. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, DC = т, DA = п. На стороне ВА взяты точки А1 и К, а на стороне ВС — точки С^ и М. Известно, что ВАХ = a, BCi = с, ВК = ВМ и что отрезки АуМ и С^К пересекаются на диагонали BD. Найдите ВК и ВМ. 3620. В равнобедренном треугольнике АВС угол при вершине В равен 20°. На боковых сторонах АВ и СВ взяты соответственно точки Q и Р так, что Z QCA = 60°, a Z РАС = 50°. Найдите Z QPA. 3621. Окружность, построенная на высоте AD прямоугольного треугольника АВС как на диаметре, пересекает катет АВ в точке К, а катет АС — в точке М. Отрезок КМ пересекает высоту AD в точке L. Известно, то отрезкиАК, AL и AM составляют геометрическую прогрессию (т. е. АК : AL ~ AL : AM). Найдите острые углы треугольника АВС. 3622. Докажите, что если ABCD вписанный четырехугольник, то сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABC VLACD, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники BCD и BDA.