241.Определить вес автомобиля в высшей точке выпуклого моста с радиусом кривизны 100 м, если масса автомобиля равна 2,0 т и скорость его движения 54 км/ч. (Ответ: 15,1 кН.) 242.Самолет делает "мертвую петлю" с радиусом 100 м и движется по ней со скоростью 360 км/ч. С какой силой летчик массой 80 кг будет давить на сидение самолета в верхней и нижней точках петли? (Ответ: 7,2 кН, 8,8 кН.) 243.По выпуклому мосту, радиус кривизны которого 90 м, со скоростью 54 км/ч движется автомобиль массой 2 т. В точке моста, направление на которую из центра кривизны мос- та составляет с направлением на вершину моста угол α, автомобиль давит с силой 1440 H. Определить угол α. (Ответ: 71°.) 244.С какой скоростью едет автомобиль по выпуклому мосту, радиус кривизны которого 250 м, если давление автомобиля на мост в верхней точке моста в 3 раза больше, чем в точке, направление на которую из центра кривизны моста составляет угол 60° с направлением из центра кривизны на вершину моста? (Ответ: 90 км/ч.) 245.Определить радиус горбатого моста, имеющего вид дуги окружности, при условии, что давление автомобиля, движущегося со скоростью 90 км/ч, в верхней точке моста умень- шается вдвое по сравнению с горизонтальным участком дороги. (Ответ: 125 м.) 246.Какой продолжительности должны быть сутки на Земле, чтобы тела на экваторе были невесомы? Радиус Земли 6400 км. (Ответ: 1ч 23 мин 44с.) 247.Вес некоторого тела на полюсе на 0,314 Н больше, чем его вес на экваторе. Чему равна масса этого тела? Радиус Земли 6400 км. (Ответ: 9,3 кг.) 248.Гоночный автомобиль массой 600 кг движется вдоль экватора с востока на запад, а затем с той же скоростью 60 км/ч относительно Земли в направлении с запада на восток. Найти разность сил действия автомобиля на шоссе в этих случаях. (Ответ: 2,9 Н.) 249.Человек сидит на краю круглой горизонтальной платформы радиусом 4 м. С какой час- тотой должна вращаться платформа вокруг вертикальной оси, чтобы человек не мог удержаться на ней при коэффициенте трения 0,27? (Ответ: 0,13 с -1.) 25 250.Мотоциклист едет по шоссе со скоростью 72 км/ч. Коэффициент трения равен 0,314. За какое минимальное время мотоциклист может развернуться, не снижая скорости? (От- вет: 20 с.) 251.С какой максимальной скоростью может проходить автомобиль закругление дороги ра- диусом 400 м, если коэффициент трения между шинами автомобиля и дорогой равен 0,1? (Ответ: 20 м/с.) 252.На диске, который может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, лежит малень- кая шайба массой 0,1 кг. Шайба соединена горизонтальной пружиной с осью диска. Если число оборотов диска не превышает 1 об/с, пружина находится в недеформированном состоянии. Если число оборотов диска медленно увеличивается до 5 об/с, то пружина удлиняется вдвое. Определить жесткость пружины. (Ответ: 195 Н/м.) 253.На горизонтальной вращающейся платформе на расстоянии 10 см от оси вращения ле- жит груз. Коэффициент трения между грузом и платформой равен 0,01. При какой угло- вой скорости вращения платформы груз начнет скользить? (Ответ: 1 рад/с.) 254.Невесомый стержень вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью 30 рад/с. На расстояниях 0,4 м и 0,3 м от оси вращения закреплены грузы, имеющие массы 0,2 и 0,1 кг соответственно. Какая горизонтальная сила действует на ось вращения, если ось находится между грузами? (Ответ: 45 Н.) 255.Диск вращается в горизонтальной плоскости с частотой 15 об/мин. На расстоянии 12 см от оси вращения на диске лежит тело. Каким должен быть коэффициент трения, чтобы тело не соскользнуло с диска? (Ответ: 0,03.) 256.Гладкий горизонтальный диск вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью 10 рад/с. На поверхности диска лежит шар массой 1 кг, прикрепленный к центру диска пружиной, жесткость которой равна 2 кН/м. Какую длину будет иметь пружина при вращении диска, если ее длина в недеформированном состоянии равна 19 см? (Ответ: 20 см.) 257.Небольшой груз массой 0,5 кг может перемещаться без трения по горизонтальному стержню, прикрепленному к вертикальной оси. Груз связан с осью пружиной. Каков ко- эффициент упругости пружины, если при вращении стержня вокруг вертикальной оси со скоростью 4 рад/с пружина растягивается в 2 раза? (Ответ: 16 Н/м.) 258.Резиновый шнур растягивается на 1 см под действием силы 1 Н. На сколько сантиметров удлинится шнур, если к его концу прикрепить шарик массой 50 г и вращать шнур с ша- риком в горизонтальной плоскости с угловой скоростью 20 рад/с? Первоначальная длина шнура 40 см. (Ответ: 10 см.) 259.Груз массой 500 г прикреплен к концу стержня длиной 1 м, который вращают в верти- кальной плоскости с частотой 3 об/с. Какова сила натяжения стержня, когда груз прохо- дит самую высокую и самую низкую точки траектории? (Ответ: 175 Н, 185 Н.) 260.При каком соотношении масс два тела, связанные нитью, могут вращаться с одинаковы- ми угловыми скоростями на гладкой горизонтальной поверхности, если ось вращения делит нить в соотношении 1:3? (Ответ: 3:1.) 26 261.Велосипедист при повороте по кругу радиусом 40 м наклоняется внутрь закругления так, что угол между плоскостью велосипеда и землей равен 45°.Определить скорость велоси- педиста. (Ответ: 20 м/с.) 262.Чаша в форме полусферы радиусом 0,8 м вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси. Вместе с чашей вращается шарик, лежащий на ее внутренней поверхности. Расстояние от шарика до нижней точки чаши равно ее радиусу. Определи- те угловую скорость вращения чаши. (Ответ: 5 рад/с.) 263.С какой скоростью должен вращаться шарик внутри гладкой сферы радиусом 28 см, чтобы все время оставаться в горизонтальной плоскости на высоте 20 см от нижней точ- ки сферы? (Ответ: 3 м/с.) 264.Какова максимально допустимая скорость движения мотоцикла на повороте наклонного трека с углом наклона к горизонту 45°, если радиус закругления 30 м, а коэффициент трения 0,5? (Ответ: 30 м/с.) 265.Материальная точка, начав двигаться равноускоренно по окружности радиусом 1 м, прошла за 10 с 50 м. С каким центростремительным ускорением двигалась точка спустя 5 с после начала движения? (Ответ: 25 м/с 2 .) 266.Груз массой 500 г описывает окружность в горизонтальной плоскости, при этом шнур длиной 50 см, на котором подвешен груз, описывает боковую поверхность конуса и об- разует с вертикалью угол 60°. Определить скорость вращения груза и силу натяжения шнура. Растяжением шнура пренебречь. (Ответ: 2,7 м/с; 9,8 Н.) 267.Шарик массой 4 кг, подвешенный на нерастяжимой нити длиной 1 м, совершает колеба- ния в вертикальной плоскости. Найти силу натяжения в тот момент времени, когда нить образует с вертикалью угол 60°. В этот момент скорость шарика 1,5 м/с. (Ответ: 29 Н.) 268.Шарик, подвешенный на легкой нити к потолку, вращается по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости. Расстояние между центром окружности и точкой подвеса 2,5 м. Найти угловую скорость вращения шарика. (Ответ: 2 рад/с.) 269.Небольшой груз, подвешенный к потолку на легкой нерастяжимой нити, движется рав- номерно по окружности в горизонтальной плоскости. Какой угол образует нить с верти- калью, если радиус окружности 40 см, а угловая скорость вращения груза 5 рад/с? (От- вет: 45°.) 270.С какой минимальной скоростью нужно вращать ведро в вертикальной плоскости, чтобы из него не выливалась вода? Расстояние от поверхности воды до центра вращения равно 2,5 м. (Ответ: 5 м/с.) 271.Тяжелый шарик, подвешенный на нити длиной 0,1 м, описывает окружность в горизон- тальной плоскости. Найдите угловую скорость вращения шарика, если маятник находит- ся в лифте, движущемся с постоянным ускорением 5 м/с 2 , направленным вниз. Нить со- ставляет с вертикалью угол 60°. (Ответ: 10 рад/с.) 272.Гирька массой 0,1 кг, привязанная к резиновому шнуру, вращается с угловой скоростью 10 рад/с по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости. Угол отклонения шнура 27 от вертикали 60°. Найти длину нерастянутого шнура, если известно, что для растяжения его до длины 60 см требуется сила 10 Н. (Ответ: 10 см.) 273.Тело массой 0,1 кг вращается в вертикальной плоскости на нити длиной 1 м. Ось враще- ния расположена над полом на высоте 2 м. При прохождении нижнего положения нить обрывается, и тело падает на пол на расстоянии 4 м (по горизонтали) от точки отрыва нити. Определить силу натяжения нити в момент ее обрыва. Сопротивление воздуха не учитывать. (Ответ: 9 Н.) 7. Закон всемирного тяготения 274.Среднее расстояние между центрами Луны и Земли равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке прямой соединяющей их центры, тело будет притягиваться к Земле и Луне с одинаковыми силами? (Ответ: 6RЗ от центра Лу- ны.) 275.Два однородных шара диаметром 40 см и 60 см соприкасаются друг с другом. Во сколь- ко раз уменьшится сила тяготения между шарами, если шары развести на расстояние 100 см, отсчитываемое от поверхности шаров по линии, соединяющей их центры? (Ответ: 9.) 276.Во сколько раз уменьшится сила тяготения тела к Земле при удалении его от поверхно- сти Земли на расстояние, равное трем радиусам Земли? (Ответ: 16.) 277.Во сколько больше радиуса Земли расстояние от поверхности Земли до точки, где сила притяжения космического корабля к Земле в 100 раз меньше, чем на поверхности Зем- ли?(Ответ: 9.) 278.Найти вес космонавта массой 90 кг на поверхности Венеры, если ее средняя плотность 5200 кг/м3 , а радиус планеты 6100 км. (Ответ: 798 Н.) 279.Во сколько раз ускорение свободного падения будет больше у поверхности Земли, чем в точке, находящейся на расстоянии от поверхности Земли, равном ее радиусу? (Ответ: 4.) 280.Определить ускорение силы тяжести на высоте 2000 км над поверхностью Земли, считая известным ускорение свободного падения на поверхности Земли – 10 м/с 2 и радиус Зем- ли – 6400 км. (Ответ: 5,8 м/с 2 .) 281.Радиус некоторой планеты в два раза больше радиуса Земли, а ускорение силы тяжести на поверхности планеты в 6 раз больше, чем на поверхности Земли. Во сколько раз масса планеты больше массы Земли? (Ответ: 24.) 282.Радиус некоторой планеты в 4 раза меньше радиуса Земли, а ее масса в 80 раз меньше массы Земли. Чему равно ускорение силы тяжести на поверхности планеты? (Ответ: 2 м/с 2 .) 283.Определить ускорение свободного падения на поверхности планеты, масса которой в 2 раза меньше массы Земли, а радиус в 3 раза меньше радиуса Земли. (Ответ: 45 м/с 2 .) 28 284.На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения в 6,25 раза меньше, чем на земной поверхности? (Ответ: 9600 км.) 285.Сколько процентов составляет ускорение свободного падения на поверхности Марса от ускорения свободного падения на Земле, если радиус Марса составляет 0,5 радиуса Зем- ли, а масса Марса – 0,1 массы Земли? (Ответ: 40%.) 286.Каково ускорение свободного падения на поверхности планеты с такой же, как у Земли, плотностью, но вдвое меньшим радиусом? (Ответ: 4,9 м/с 2 .) 287.Во сколько раз больше радиуса Земли должен быть радиус планеты, имеющей плотность вещества в два раза меньше, чем Земля, чтобы ускорение свободного падения на поверх- ности планеты было в 6 раз больше, чем на поверхности Земли? (Ответ: 12.) 288.Вычислить первую космическую скорость спутника, движущегося по круговой орбите, на высоте, равной земному радиусу от поверхности Земли. Радиус Земли равен 6400 км. (Ответ: 5,6 км/с.) 289.Спутник движется по круговой орбите в плоскости экватора на высоте от поверхности планеты, равной ее радиусу. Найти линейную скорость спутника. Радиус планеты 7200 км. Ускорение свободного падения на поверхности планеты 10 м/с 2 . (Ответ: 6 км/с.) 290.Два искусственных спутника вращаются по круговым орбитам вокруг некоторой плане- ты. Радиус орбиты первого спутника 6500 км, второго – 13000 км. Во сколько раз ско- рость первого спутника больше скорости второго? (Ответ: 1,4.) 291.Радиус планеты Марс составляет 0,53 радиуса Земли, а масса – 0,11 массы Земли. Какова минимальная скорость запуска искусственного спутника на Марсе? (Ответ: 3,6 км/с.) 292.Какова первая космическая скорость для планеты, масса и радиус которой в два раза больше, чем у Земли? (Ответ: 8 км/с.) 293.Космический корабль движется по круговой орбите радиусом 11000 км около некоторой планеты со скоростью 8 км/с. Каково ускорение силы тяжести на поверхности этой пла- неты, если ее радиус 8000 км? (Ответ: 11 м/с 2 .) 294.Во сколько раз период обращения искусственного спутника, совершающего движение по круговой орбите на высоте h R = 3 от поверхности Земли (R – радиус Земли), превыша- ет период обращения на околоземной орбите ( h = 0)? (Ответ: 8.) 295.Период обращения некоторой планеты вокруг Солнца равен 27 годам. Определить, во сколько раз расстояние от этой планеты до Солнца больше, чем расстояние от Земли до Солнца. (Ответ: 9.) 296.Определить минимальный период обращения спутника нейтронной звезды. Ее плотность равна 1017 кг/м3 . (Ответ: 1,2⋅10-3 с.) 297.Найти среднюю плотность планеты, у которой на экваторе пружинные весы показывают вес тела на 10% меньше, чем на полюсе. Сутки на планете составляют 24 часа. (Ответ: 180 кг/м3 .) 300. Спутник движется вокруг Земли на расстоянии h от ее поверхности. Радиус Земли R. Считая орбиту спутника круговой, выразить скорость движения и период обращения 29 спутника через h, R и ускорение силы тяжести g на поверхности Земли. (Ответ: v RgR h = + ( ) ; 3 2 T = 2π (R + h) gR .) 301. На экваторе некоторой планеты тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Плотность планеты 3000 кг/м3 . Определить период обращения планеты вокруг собственной оси. (Ответ: 9700 с.) 302. Искусственный спутник Земли запущен с экватора и движется по круговой орбите в плоскости экватора в направлении вращения Земли. Найти отношение радиуса орбиты спутника к радиусу Земли, при котором он периодически проходит над точкой запуска ровно через двое суток. Радиус Земли 6400 км. (Ответ: 1,6.) 303. Два спутника движутся вокруг Земли по круговым орбитам, расположенным в одной плоскости, со скоростями 7,8 км/с и 7,7 км/с. Определить интервал времени, через кото- рый оба спутника регулярно сближаются на минимальное расстояние друг от друга. Найти это расстояние, если радиус Земли 6400 км. (Ответ: 39 ч, 170 км.) Тема 3. Законы сохранения в механике 8. Импульс тела. Изменение импульса тела. Импульс силы 304. Два одинаковых шара массами 2 кг движутся в одной плоскости с одинаковыми скоро- стями 4 м/с под углом 120° друг к другу. Чему равен суммарный импульс этих шаров? (Ответ: 8 кг⋅м/с.) 305. Тело массой 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью 5 м/с. Найти мо- дуль вектора изменения импульса тела при повороте на 60°, 180° и 360°. (Ответ: 5; 10; 0 кг⋅м/с.) 306. Мяч массой 1 кг, двигавшийся со скоростью 6,5 м/с перпендикулярно к стенке, ударяет- ся о стенку и отскакивает от нее в противоположном направлении со скоростью 4,5 м/с. Чему равен импульс, переданный мячом стенке? (Ответ: 11 кг⋅м/с.) 307. Тело массой 2 кг двигалось по окружности, причем в некоторой точке А оно имело ско- рость 4 м/с, а пройдя четверть окружности, в точке В имело скорость 3 м/с. Определить модуль вектора изменения импульса тела. (Ответ: 10 кг⋅м/с.) 308. Пуля массой 10 г пробила стенку, и при этом скорость ее уменьшилась от 800 м/с до 300 м/с. Найти импульс, переданный пулей стенке. (Ответ: 5 кг⋅м/с.) 309. Пожарный направляет струю воды из брандспойта на огонь. Скорость истечения воды 16 м/с. Площадь отверстия брандспойта 5 см2 . Найти силу, с которой пожарный удержи- вает брандспойт. Плотность воды 1000 кг/м3 . (Ответ: 128 Н.) 310. Какова средняя сила давления на плечо при стрельбе из автомата, если масса пули 10 г, скорость пули при вылете из канала ствола 300 м/с? Автомат делает 300 выстрелов в минуту. (Ответ: 15 Н.) 30 311. Молот массой 1,0 т падает с высоты 1,8 м на наковальню. Длительность удара 0,01 с. Удар неупругий. Определить среднее значение силы удара. (Ответ: 600 кН.)
9. Закон сохранения импульса 312. Два неупругих шарика массами 5 кг и 10 кг двигались со скоростями 4 м/с и 1 м/с. Оп- ределить скорость шаров после удара. Удар центральный. До удара более легкий шар догоняет более тяжелый. (Ответ: 2 м/с.) 313. Пуля вылетает из винтовки со скоростью 860 м/с. Масса пули 9,6 г, масса винтовки 4,8 кг. Определить абсолютное значение скорости винтовки при отдаче. (Ответ: 1,72 м/с.) 314. С железнодорожной платформы, которая движется со скоростью 9 км/ч, выстрелили из пушки в горизонтальном направлении. Масса платформы с пушкой 20 т, масса снаряда 20 кг, его начальная скорость 700 м/с. Определить скорость платформы после выстрела, если направление выстрела противоположно направлению движения платформы. (От- вет: 3,2 м/с.) 315. Вагон неизвестной массы, движущийся со скоростью 0,3 м/с, нагоняет другой вагон массой 30 т, движущийся со скоростью 0,2 м/с. Определить массу первого вагона, если скорости их совместного движения после неупругого соударения равны 0,24 м/с. (От- вет: 20 т.) 316. С какой скоростью двигались навстречу друг другу два тела массами 6 кг и 2 кг, если после неупругого взаимодействия их общая скорость стала равной 2 м/с, а до столкно- вения скорости были одинаковы? (Ответ: 4 м/с.) 317. Снаряд массой 10 кг, летевший горизонтально со скоростью 500 м/с, попадает в плат- форму с песком массой 125 т и застревает в песке. С какой скоростью начинает двигать- ся платформа? (Ответ: 4 см/с.) 318. Ядро, летящее со скоростью 20 м/с, разорвалось на две части массами 10 кг и 5 кг. Ско- рость меньшей части равна 90 м/с и направлена так же, как скорость ядра до разрыва. Определить скорость (по абсолютной величине) первой части ядра. (Ответ: 15 м/с.) 319. Человек бежит навстречу тележке. Скорость человека 2 м/с, скорость тележки 1 м/с. Че- ловек вскакивает на тележку и остается на ней. Какова будет величина скорости тележ- ки после этого, если масса человека в 2 раза больше массы тележки? (Ответ: 1 м/с в сто- рону человека.) 320. Два тела, двигаясь навстречу друг другу со скоростью 3 м/с каждое, после соударения стали двигаться вместе со скоростью 1,5 м/с. Определить отношение масс этих тел. Трение не учитывать. (Ответ: 3) 321. Человек вскакивает на движущуюся тележку, вследствие чего тележка останавливается. Во сколько раз скорость человека была больше скорости тележки, если его масса в 2 раза меньше массы тележки? (Ответ: 2.) 31 322. Два тела движутся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, равными 4 м/с. Масса меньшего тела 3 кг. Какова масса другого тела, если после неупругого столкно- вения скорость их совместного движения стала равной 1 м/с? (Ответ: 5 кг.) 323. Под каким углом к горизонту был произведен выстрел из пушки, установленной на не- подвижной железнодорожной платформе общей массой 50 т, если начальная скорость снаряда, имеющего массу 500 кг, равна 200 м/с, а скорость отдачи платформы 1 м/с? Изменением общей массы платформы после выстрела пренебречь. (Ответ: 60°.) 324. Стальная пуля массой 4 г, летящая горизонтально со скоростью 500 м/с, попадает в центр боковой грани неподвижного стального бруска, масса которого 1 кг. После столкновения пуля отскакивает в противоположную сторону со скоростью 400 м/с. Че- му равна скорость бруска после столкновения? (Ответ: 3,6 м/с.) 325. На подножку вагонетки, движущейся по рельсам со скоростью 5 м/с, прыгает человек в направлении, перпендикулярном ходу вагонетки. Определить скорость вагонетки вме- сте с человеком, если масса человека 60 кг, а вагонетки – 240 кг. (Ответ: 4 м/с.) 326. Снаряд, летящий в горизонтальном направлении, разорвался в воздухе на два равных осколка, один из которых начал падать с нулевой начальной скоростью, а второй про- должал двигаться горизонтально. Во сколько раз скорость второго осколка больше ско- рости снаряда? (Ответ: 2.) 327. Снаряд, летящий с некоторой скоростью, распадается на два осколка. Скорость больше- го осколка по величине равна первоначальной и направлена перпендикулярно к ней. Скорость другого осколка в 5 раз больше первоначальной. Во сколько раз масса одного осколка больше, чем другого? (Ответ: 3.) 328. Легкий шарик свободно падает и, пролетев 1,25 м, сталкивается абсолютно упруго с тя- желой плитой, движущейся вверх со скоростью 2,5 м/с. На какую высоту подпрыгнет шарик после удара? (Ответ: 5 м.) 329. Снаряд, выпущенный из пушки под углом к горизонту, разрывается в наивысшей точке траектории (на расстоянии l от пушки по горизонтали) на два одинаковых осколка. Один из осколков движется обратно по траектории снаряда и падает возле пушки. На каком расстоянии от пушки упадет второй осколок? (Ответ: 4l.) 330. Три лодки одинаковой массы M идут в кильватер (друг за другом) с одинаковой скоро- стью v. Из средней лодки одновременно в переднюю и заднюю бросают со скоростью u относительно лодки грузы массой m. Каковы будут скорости лодок после переброски грузов? Сопротивлением воды пренебречь. (Ответ: v v mu m M 1 = + ( ) + , v v 2 = , v v mu m M 3 =− + ( ).) 331. Импульсы налетающих друг на друга тел равны p1 и p2. Угол между скоростями тел α. При ударе тела слипаются. Масса слипшегося тела M. Определите скорость этого тела. (Ответ: v p p pp M = ++ 1 2 2 2 2 cos 1 2 α .) 332. Лыжник без начального скачка начал скатываться с горы. На расстоянии L от начала спуска он выстрелил вертикально вверх сигнальной ракетой. Определить скорость 32 лыжника сразу после выстрела. Масса лыжника с ракетницей M, масса ракеты m, угол наклона горы α. Ракета вылетела со скоростью 0 v относительно земли. Трением пре- небречь. (Ответ: ( 2 sin sin ) ( ) v = M gL α + mv 0 α M − m .) 10. Работа, мощность, энергия 333. На какую высоту можно поднять груз массой 2 кг с ускорением 3 м/с 2 , совершив работу 26 Дж. (Ответ: 1 м.) 334. Сплавщик, стоя на берегу, передвигает багром плот, прилагая к багру силу 200 Н. Ка- кую работу проделает сплавщик, переместив плот на расстояние 10 м, если угол между направлением силы и направлением перемещения 60°? (Ответ: 1 кДж.) 335. Какая работа произведена при сжатии буферной пружины железнодорожной платфор- мы на 5 см, если для сжатия пружины на 1 см требуется сила 30 кН? (Ответ: 3,75 кДж.) 336. Башенный кран поднимает равномерно расположенную горизонтально стальную балку длиной 5 м и сечением 0,01 м 2 на высоту 12 м. Найти работу, совершаемую краном. Плотность материала балки 7800 кг/м3 . (Ответ: 46,8 кДж.) 337. Груз начинают поднимать вертикально вверх с постоянным ускорением. Во сколько раз работа, совершенная за первую секунду движения, будет меньше работы, совершенной за следующую, вторую секунду движения? (Ответ: 3.) 338. Определить минимальную работу, которую нужно совершить, чтобы поднять на высоту 5 м груз массой 2 т, двигая его по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 30°. Коэффициент трения 0,5. Сила действует вдоль плоскости. (Ответ: 183 кДж.) 339. Какую работу совершает сила 20 Н, подняв по наклонной плоскости груз массой 2 кг на высоту 2,5 м с ускорением 5 м/с 2 ? Сила действует параллельно наклонной плоскости. Трением пренебречь. (Ответ: 100 Дж.) 340. Груз поднимают вдоль наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом, на ее вершину. Один раз – с постоянной скоростью, второй раз – с ускорением 5 м/с 2 . Во сколько раз работа, совершенная при подъеме груза во втором случае больше, чем в первом? Трение не учитывать. (Ответ: 2.) 341. Какой массы груз может поднимать с постоянной скоростью 90 м/мин подъемный кран с двигателем мощностью 12 кВт? (Ответ: 800 кг.) 342. Автомобиль массой 2 т движется по горизонтальной дороге со скоростью 72 км/ч. Сила сопротивления движению составляет 1/20 от силы тяжести. Определить мощность, раз- виваемую при этом двигателем автомобиля. (Ответ: 20 кВт.) 343. Подъемный кран поднимает груз массой 1 т с ускорением 1 м/с 2 за время 10 с на неко- торую высоту. Найти среднюю мощность, развиваемую силой натяжения канатов. (От- вет: 55 кВт.) 33 344. Какую среднюю мощность развивает человек массой 75 кг, если он по лестнице на вы- соту 10 м забрался за 15 с? Изменение кинетической энергии не учитывать. (Ответ: 500 Вт.) 345. Найдите среднюю мощность, развиваемую силой тяжести за первые две секунды сво- бодного падения тела массой 6 кг без начальной скорости. (Ответ: 600 Вт.) 346. Гребец движется на лодке со средней скоростью 0,5 м/с. Определите силу сопротивле- ния воды, если развиваемая гребцом средняя мощность равна 15 Вт. (Ответ: 30 Н.) 347. Трамвай весом 105 Н после того, как тронулся с остановки, приобрел скорость 18 км/ч за 5 с. Какова средняя мощность развиваемая мотором трамвая за это время? (Ответ: 25 кВт.) 348. Баскетбольный мяч массой 800 г летит со скоростью 10 м/с. Игрок ловит мяч и за время 0.1 с останавливает его. Какую среднюю мощность развивает игрок, ловя мяч? (Ответ: 400 Вт.) 349. Автомобиль массой 1 т трогается с места и, двигаясь равноускоренно, проходит путь 50 м за 5 с. Какую мощность развивает автомобиль в конце пятой секунды своего движе- ния? (Ответ: 80 кВт.) 350. Два автомобиля одинаковой массы одновременно трогаются с места и движутся равно- ускоренно. Во сколько раз средняя мощность первого автомобиля больше, чем второго, если за одно и то же время первый автомобиль достигает вдвое большей скорости, чем второй? (Ответ: 4.) 351. Автомобиль массой 1 т начинает тормозить, скользя колесами по асфальту, и останав- ливается. Средняя тепловая мощность, выделяемая при трении, равна 10 кВт. Найти на- чальную скорость торможения автомобиля. Коэффициент трения равен 0,2. (Ответ: 10 м/с.) 352. Тело массой 4,2 кг начинает скользить по горизонтальной плоскости с ускорением 2 м/с 2 . Коэффициент трения скольжения тела о плоскость 0,1. Определить среднюю мощ- ность, выделяемую в виде тепла, на пути в 25 м. (Ответ: 21 Вт.) 353. Трактор массой 10 т, развивающий мощность 200 л.с., поднимается в гору со скоростью 5 м/с. Определите угол наклона горы. Сопротивлением движению пренебречь. В 1 л.с. 736 Вт. (Ответ: 18°.) 354. Теплоход тянет баржу со скоростью 9 км/ч, при этом натяжение буксирного каната 120 кН, а мощность двигателя 400 кВт. Какова будет скорость буксира, если он будет плыть без баржи при такой же мощности и том же КПД двигателя? Сила сопротивления воды пропорциональна скорости движения. (Ответ: 18 км/ч.) 355. Аэросани без начальной скорости равноускоренно поднимаются в гору с углом наклона 30° и в конце подъема на высоте 10 м достигают скорости 10 м/с. Определить среднюю мощность двигателя. Масса саней 1000 кг, коэффициент трения 0,1. (Ответ: 42 кВт.) 356. На катер действует сила сопротивления, пропорциональная квадрату скорости катера. Во сколько раз нужно увеличить мощность двигателя, чтобы скорость катера возросла в два раза? (Ответ: 8.) 34 357. Нефть откачивают из скважины глубиной 500 м с помощью насоса, потребляющего мощность 10 кВт. Каков К.П.Д. насоса, если за 1 мин его работы на поверхность земли подается 96 кг нефти? (Ответ: 80%.) 358. Мотор электропоезда при движении со скоростью 60 км/ч развивает силу тяги 50 кН. Коэффициент полезного действия мотора и предыдущих механизмов равен 0,8. Опреде- лите мощность, потребляемую мотором электропоезда. (Ответ: 1,04 МВт.) 359. Водяной насос равномерно подает 300 кг воды в минуту на высоту 80 м. Определите мощность мотора, которым приводится в действие насос, если его КПД равен 80%. (От- вет: 5 кВт.) 360. Автомобиль едет со стоянки равноускоренно. Во сколько раз увеличение кинетической энергии автомобиля за первые 5 с движения меньше, чем за последующие 5 с? (Ответ:3) 361. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы лежащую на земле однородную тонкую балку длиной 2 м и массой 100 кг поставить вертикально на землю? (Ответ: 1 кДж.) 362. Тонкий лом длиной 1,5 м и массой 10 кг лежит на горизонтальной поверхности. На сколько изменится потенциальная энергия лома, если его поставить на Землю в верти- кальное положение? (Ответ: 75 Дж.) 363. Тело брошено с некоторой высоты горизонтально со скоростью 10 м/с. Через сколько секунд кинетическая энергия тела возрастет вдвое? Сопротивление воздуха не учиты- вать. (Ответ: 1 с.) 364. Тело массой 3 кг брошено с некоторой высоты горизонтально со скоростью 20 м/с. Най- ти его кинетическую энергию в конце четвертой секунды движения. Сопротивление воздуха не учитывать. (Ответ: 3 кДж.) 365. Камень массой 100 г брошен с горизонтальной поверхности под углом к горизонту и упал на нее снова на расстоянии 40 м через 4 с. Чему равна работа, затраченная на этот бросок? Сопротивление воздуха не учитывать. (Ответ: 25 Дж.) 366. Математический маятник длиной 1,25 м и массой 2 кг раскачивают так, что каждый раз, когда маятник проходит положение равновесия, на него в течение короткого промежут- ка времени 0,01 с действует сила 200 Н, направленная параллельно скорости. Через сколько полных колебаний маятник отклонится на 90°? (Ответ: 5.) 367. Сила 20 Н, действующая в течение короткого промежутка времени 0,01 с на покоящееся тело, сообщает ему кинетическую энергию 3 Дж. Какую дополнительную энергию со- общает эта сила тому же телу за то же время, если начальная скорость тела 10 м/с, а си- ла действует в направлении скорости. (Ответ: 5 Дж.) 368. Во сколько раз работа по выводу спутника на круговую орбиту у поверхности Луны меньше, чем работа по выводу такого же спутника на круговую орбиту у поверхности Земли? Считать массу Луны в 80 раз меньше массы Земли, а радиус Луны в 4 раза меньше радиуса Земли. Сопротивлением воздуха пренебречь. (Ответ: 20.) 35 369. Под каким углом к горизонту брошено тело с поверхности земли, если в наивысшей точке траектории его кинетическая энергия равна потенциальной? Сопротивление воз- духа не учитывать. (Ответ: 45°.) 11. Законы сохранения в механике 370. С какой высоты падает тело массой 10 кг на невесомую вертикальную пружину жестко- стью 1000 Н/м, если максимальная сила давления пружины на пол равна 1,0 кН? Длина пружины в ненагруженном состоянии равна 1 м. Ускорение силы тяжести 10 м/с 2 . (От- вет: 5 м.) 371. Камень брошен с поверхности земли вертикально вверх со скоростью 10 м/с. На какой высоте кинетическая энергия камня уменьшится в 5 раз? Сопротивление воздуха не учитывать. (Ответ: 4 м.) 372. Какую минимальную горизонтальную скорость надо сообщить шарику, чтобы он сде- лал полный оборот в вертикальной плоскости, если он висит на жестком невесомом стержне длиной 2,5 м? (Ответ: 10 м/с.) 373. С какой высоты падает без начальной скорости камень, если его скорость при падении на землю 18 м/с, а работа по преодолению силы сопротивления воздуха равна 38 Дж? Масса камня 1 кг. (Ответ: 20 м.) 374. На сколько миллиметров сожмется каждая буферная пружина при столкновении двух вагонов массами 20 т и 60 т, движущихся навстречу друг другу со скоростями 0,3 м/с и 0,2 м/с соответственно? При столкновении в каждом вагоне работают по две пружины жесткостью 60 кН/м. Тепловыми потерями пренебречь. (Ответ: 112 мм.) 375. Шарик подбросили вертикально вверх, сообщив ему кинетическую энергию 11 Дж. Че- рез некоторое время он вернулся в точку бросания, имея кинетическую энергию 9 Дж. Определите, во сколько раз сила тяготения, действующая на шарик, больше силы со- противления со стороны воздуха. Силу сопротивления за все время движения считать постоянной. (Ответ: 10.) 376. Пуля массой 5 г, летящая горизонтально со скоростью 800 м/с, пробивает доску и выле- тает из нее со скоростью 400 м/с. Найдите абсолютную величину работы, совершенной пулей по преодолению силы сопротивления доски. (Ответ: 1,2 кДж.) 377. Тело массой 10 кг соскальзывает под действием силы тяжести с высоты 10 м по поверх- ности произвольного профиля и вследствие трения останавливается. Какую работу надо совершить, чтобы втащить тело обратно? (Ответ: 2 кДж.) 378. По наклонной доске, образующей угол 30° с горизонтом, начинает скользить тело мас- сой 2 кг. Сколько теплоты выделится при трении тела о доску, если тело, пройдя путь 3,4 м, приобретает скорость 5 м/с? (Ответ: 9 Дж.) 379. Тело массой 2 кг соскальзывает по наклонной доске с высоты 50 см. Какое количество теплоты выделяется при трении тела о доску, если начальная скорость тела равна нулю, а скорость его у основания доски 3 м/с? (Ответ: 1 Дж.) 36 380. Тело массой 500 г, имеющее у основания наклонной плоскости кинетическую энергию 6 Дж, поднялось на высоту 1 м. Какой угол составляет плоскость с горизонтом, если ко- эффициент трения тела о плоскость 0,2? (Ответ: 45°.) 381. Ящик массой 50 кг за веревку, направленную вдоль наклонного помоста, с постоянной скоростью поднимают вверх по наклонному помосту. При этом затрачивается работа 10,5кДж. В верхней точке помоста веревка обрывается, и ящик скользит вниз. В нижней точке помоста его скорость составляет 10 м/с. Найдите высоту помоста. (Ответ: 13 м.) 382. Какой кинетической энергией обладает тело массой 500 г у основания наклонной плос- кости, если оно поднимается вверх по наклонной плоскости за счет этой энергии на вы- соту 1 м? Коэффициент трения тела о плоскость 0,2. Угол наклона плоскости к горизон- ту 45°.(Ответ: 6 Дж.) 383. С горки высотой 2 м и длиной основания 5 м съезжают санки. Какой путь пройдут сан- ки от основания горы до полной остановки, если коэффициент трения на всем пути ра- вен 0,05? (Ответ: 35 м.) 384. Брусок массой 5 кг втягивают за привязанную к нему веревку на высоту 1 м по доске, угол наклона которой к горизонту составляет 45°. Веревка расположена параллельно доске. Коэффициент трения бруска о доску 0,2. Найти энергию, которая идет на нагре- вание доски и бруска. (Ответ: 10 Дж.) 385. Автомобиль двигался с постоянной скоростью 72 км/ч. У подножья горы мотор был вы- ключен, а автомобиль поднялся по горе на высоту 5 м и остановился. Какая часть пер- воначальной кинетической энергии автомобиля была израсходована на преодоление сил трения? (Ответ: 3/4.) 386. При подъеме тела с постоянной скоростью по наклонной плоскости с углом наклона α и коэффициентом трения между телом и плоскостью 0,25 в тепло перешло 25% совер- шенной работы. Найти угол α. (Ответ: tgα = 3/4.) 387. Масса снаряда 10 кг, масса ствола орудия 600 кг, при выстреле снаряд вылетает из ство- ла со скоростью 600 м/с. Какую кинетическую энергию получит ствол орудия вследст- вие отдачи? (Ответ:30 кДж.) 388. Человек массой 80 кг стоит на льду рядом с санками массой 8 кг. Человек толкает сан- ки, сообщая им скорость 10 м/с, а сам откатывается в противоположную сторону. Ка- кую работу совершает при этом человек? (Ответ: 440 Дж.) 389. Мальчик, опираясь о барьер, бросил камень с горизонтальной скоростью 14 м/с. Какую скорость относительно поверхности Земли он сообщит камню, если будет бросать с прежней силой, стоя на коньках на гладком льду? Какое расстояние при этом проедет мальчик до остановки, если коэффициент трения о лед равен 0,02? Масса камня 1 кг, масса мальчика 36 кг. (Ответ: 13,8 м/с, 38 см.) 390. Человек массой 60 кг, стоя на коньках на льду, бросает горизонтально перед собой груз массой 2 кг со скоростью 3 м/с, а сам откатывается назад. Через сколько секунд после 37 броска человек остановится, если коэффициент трения коньков о лед равен 0,01? (От- вет: 1 с.) 391. Человек, сидя в неподвижной лодке, бросает вдоль лодки груз массой 4 кг со скоростью 10 м/с относительно неподвижной воды. Определите массу лодки с человеком, если лодка отплыла на 2 м и сила сопротивления движения лодки со стороны воды 2 Н. (От- вет: 200 кг.) 392. Мимо наблюдателя проезжает тележка массой 100 кг, движущаяся равномерно и пря- молинейно со скоростью 2 м/с. В момент, когда тележка сравняется с наблюдателем, тот, кладет на тележку ящик массой 5 кг. Определите энергию, которая при этом про- цессе переходит в тепло. (Ответ: 9,5 Дж.) 393. На тележку массой 18 кг, движущуюся со скоростью 10 м/с, опускают с небольшой вы- соты кирпич массой 2 кг. Найти изменение кинетической энергии тележки. (Ответ: уменьшится на 90 Дж.) 394. Два одинаковых шара массой 4 кг каждый сталкиваются и начинают двигаться вместе. Какое количество теплоты выделится при ударе шаров, если один из них имел до удара скорость 5 м/с, а второй был неподвижен? (Ответ: 25 Дж.) 395. Гладкий клин стоит на гладком столе. На какую высоту от поверхности стола подни- мется брусок, наезжающий на клин со скоростью 12 м/с? Масса клина 10 кг, масса бру- ска 2 кг. (Ответ: 6 м.) 396. Груз массой 200 г соскальзывает без трения с наклонной плоскости доски на неподвиж- ную платформу массой 400 г. С какой скоростью начнет двигаться горизонтально плат- форма, когда груз упадет на нее? Угол наклона доски к горизонту 60°, высота начально- го положения груза над уровнем платформы 45 см. (Ответ: 0,5 м/с.) 397. Мяч массой m опустили (без начальной скорости) на высоте h над полом. Чему равно количество теплоты, выделившееся при первом ударе мяча о пол, если время между первым и вторым ударом мяча о пол составляет ∆t? (Ответ: mg h g t ( ) 8 8 2 − ∆ .) 398. Горизонтально летящая пуля попадает в неподвижный деревянный шар с массой в 5 раз больше, чем у пули, и пробивает его по диаметру. После вылета из шара скорость пули стала в 2 раза меньше первоначальной. Сколько процентов первоначальной энергии пе- решло при этом в тепло? (Ответ: 70%.) 399. Какая часть энергии, выделяющейся при взрыве, расходуется на откат орудия 98 кг, а масса снаряда 2 кг. Снаряд вылетает горизонтально. Потери на нагревание не учиты- вать. (Ответ: 1/50.) 400. Шар массой 50 г движется со скоростью 10 м/с и сталкивается с неподвижным шаром массой 110 г. Какова скорость обоих шаров после столкновения? Считать, что движение происходит вдоль линии, соединяющей центры обоих шаров, а удар абсолютно упру- гий. (Ответ: 3,75 м/с, 6,25 м/с.) 38 401. Движущийся снаряд разорвался на два осколка, угол между скоростями которых соста- вил 60°. Один осколок имеет массу 20 кг и скорость 100 м/с, другой – массу 80 кг и ско- рость 25 м/с. Чему равна энергия, выделенная при разрыве снаряда? (Ответ: 65 кДж.) 402. Тело после абсолютно неупругого удара о неподвижное тело стало двигаться в 4 раза медленнее. Определите долю энергии, перешедшей в тепло. (Ответ: 3/4.) 403. Летящий горизонтально шарик упруго ударяется о поверхность клина и отскакивает вертикально вверх. На сколько метров поднимется шарик, если скорость клина после удара равна 2 м/с? Отношение массы клина к массе шарика равно 10. (Ответ: 18 м.) 404. α-частица после столкновения с неподвижным ядром гелия движется в направлении, образующем угол 30° с первоначальным направлением. Определите отношение кинети- ческих энергий частиц после столкновения. Столкновение считать абсолютно упругим. (Ответ: 3.) 405. На гладкой горизонтальной поверхности на расстоянии 3 м от вертикальной стенки на- ходится шар массой m1. Другой шар массой m2 скользит с некоторой скоростью по на- правлению от стенки к шару m1. После абсолютно упругого ударов шаров шар m2 дос- тигает стенки и, упруго отразившись от нее, догоняет шар m1. Определить, на каком расстоянии от стенки произошло второе соударение, если m1/m2=5. (Ответ: 9 м.) 406. Тело массой 3 кг, двигающееся со скоростью v , налетает на покоящееся тело и после абсолютно упругого соударения отскакивает от него под углом 90° к первоначальному направлению своего движения со скоростью v /2. Определить массу второго тела. (От- вет: 5 кг.) 407. В шар массой 700 г, висящий на легком стержне, попадает пуля массой 10 г, летевшая горизонтально. Пуля застревает в шаре, и шар поднимается на высоту 20 см относи- тельно своего первоначального положения. Найдите скорость пули. (Ответ: 142 м/с.) 408. Пуля, летевшая горизонтально со скоростью 400 м/с, попадает в брусок, подвешенный на нити длиной 4 м, и застревает в нем. Определить угол, на который отклонится бру- сок, если масса пули 20 г, а бруска - 5 кг. (Ответ: 15°.) 409. Летящая горизонтально пуля попадает в тяжелый шар, подвешенный на нити длиной 5 м, и застревает в нем. Определите, на какой угол отклоняется нить, если масса шара в 100 раз больше массы пули, а скорость пули равна 700 м/с. g = 9 8, м/с 2 . (Ответ: 60°.) 410. Два одинаковых по массе шара подвешены на одинаковых стержнях так, что они сопри- касаются. Первый шар отводят так, что он поднимается на высоту 0,76 м от первона- чального положения, а затем его отпускают. На сколько сантиметров от первоначально- го положения поднимутся шары после абсолютно неупругого удара? (Ответ: 19 см.) 411. Два небольших тела соскальзывают без начальной скорости в канаву, имеющую сече- нием полуокружность радиуса 2,5 м с очень гладкими стенками. Масса одного тела в 4 раза больше массы другого. В нижней точке канавы происходит неупругое соударение, после чего слившиеся тела поднимаются на некоторую высоту вдоль стенки канавы. На сколько сантиметров над нижней точкой канавы поднимутся тела? (Ответ: 90 см.) 39 412. На тонкой пластинке лежит шар массой 1кг. Снизу вертикально вверх в шар стреляют из пистолета пулей массой 10 г. Пробив пластинку, пуля пробивает шар, который под- скакивает на высоту 0,2 м. На какую высоту поднимется пуля, если известно, что в мо- мент удара о шар она имела скорость 300 м/с, направленную по оси шара, и пробила шар насквозь? (Ответ: 500 м.) 413. Шарик массой 100 г подвешен на нити. В натянутом положении нить расположили го- ризонтально и отпустили шарик. Какой прочностью на разрыв должна обладать нить, чтобы она не оборвалась в данном опыте? (Ответ: 3 Н.) 414. Нить длиной 63 см с привязанным к ней шариком отклонили на угол 90° от вертикали и отпустили. На каком наименьшем расстоянии под точкой подвеса по вертикаль нужно установить гвоздь, чтобы нить, налетев на него, порвалась? В состоянии покоя нить вы- держивает восьмикратный вес шарика. (Ответ: 45 см.) 415. На тонкой нити подвешен шарик. Нить приводят в горизонтальное положение и отпус- кают. В каких точках траектории полное ускорение шарика направлено горизонтально? В начальный момент нить не растянута. (Ответ: tgα=1,4.) 416. На легкой нерастяжимой нити подвешен тяжелый шарик. На какой угол надо отвести нить от положения равновесия, чтобы при последующих качаниях максимальная сила натяжения нити была бы в 4 раза больше минимальной? (Ответ: 60°.) 417. Небольшое тело скользит без трения с вершины полусферы радиуса 75 см. На какой вы- соте тело оторвется от поверхности полусферы? Высота отсчитывается от нижней по- верхности полусферы. (Ответ: 50 см) 418. Небольшое тело соскальзывает по наклонной плоскости, плавно переходящей в «мерт- вую петлю», с высоты 6 м. Радиус «петли» 3 м. На какой высоте тело оторвется от по- верхности «петли»? Высота отсчитывается от нижней точки «петли». Трением пренеб- речь. (Ответ: 5 м.) Тема 4 12. Статика 419. Как удержать в равновесии лодку, на которую действует сила течения реки 150 Н и сила ветра 100 Н, дующего от берега? (Ответ: 180 Н.) 420. На полу лежит груз массой 100 кг. Человек старается поднять его с силой 200 Н, на- правленной вертикально вверх. С какой силой груз давит на пол? (Ответ: 800 Н.) 421. К середине невесомого троса длиной 20 м подвешена лампа массой 1,7 кг, вследствие чего трос провисает на 10 см. Точки, в которых закреплен трос, находятся на одной вы- соте. Определите силу натяжения троса. (Ответ: 850 Н.) 422. Фонарь массой 20 кг подвешен над улицей на двух одинаковых невесомых тросах, угол между которыми равен 120°. Точки, в которых закреплены тросы, находятся на одной высоте. Найдите натяжение троса. (Ответ: 200 Н.) 40 423. Груз массой 24 кг, подвешенный на проволоке, отклоняется на угол 60° от вертикально- го положения силой, действующей в горизонтальном направлении и приложенной к те- лу. Определите силу натяжения проволоки. Груз неподвижен. (Ответ: 480 Н.) 424. На реактивный самолет действует в вертикальном направлении сила тяжести 550 кН и подъемная сила 555 кН, а в горизонтальном направлении сила тяги 162 кН и сила сопро- тивления воздуха 150 кН. Найти величину равнодействующей всех сил. (Ответ: 13 кН.) 425. На парашютиста вначале прыжка действует сила тяжести, а также сила сопротивления воздуха, вертикальная составляющая которой 400 Н, а горизонтальная – 300 Н. Чему равна величина равнодействующая всех сил, если масса парашютиста 80 кг.(Ответ:500Н) 426. К гладкой вертикальной стене на веревке подвешен шар массой 0,4 кг. Какова сила на- тяжения веревки, если веревка составляет угол 60° с вертикалью? (Ответ: 8 Н.) 427. К гладкой вертикальной стене на веревке подвешен шар массой 0,4 кг. Какова сила дав- ления шара на стену, если веревка составляет угол 45° с вертикалью? (Ответ: 4 Н.) 428. Шар массой 5 кг опирается на две гладкие плоскости, образующие между собой некото- рый угол, причем левая плоскость образует с горизонтом угол 60°, а правая – угол 30°. Определить силу, с которой шар давит на левую плоскость. (Ответ: 25 Н.) 429. Каков должен быть коэффициент трения µ для того, чтобы клин, заколоченный в брев- но, не выскакивал из него? Угол при вершине клина равен 30°. (Ответ: µ≥tg15°=0,268.) 430. Две стороны проволочной рамки, имеющей форму равностороннего треугольника со стороной 1 м, сделаны из алюминиевой проволоки, а третья из медной такого же диа- метра. На каком расстоянии, отсчитываемом от середины медной проволоки в направле- нии перпендикуляра к ней, находится центр тяжести системы? Плотность меди в три раза больше плотности алюминия. (Ответ: 17 см.) 431. Определить центр тяжести четырех шаров массами 1 кг, 2 кг, 3 кг и 4 кг, закрепленных на навесном стержне. Расстояние между центрами шаров 10 см. (Ответ: 20 см.) 432. Лодка неподвижно стоит на озере. На корме и на носу лодки на расстоянии 5 м друг от друга сидят рыболовы. Масса лодки 150 кг, масса рыболовов 90 и 60 кг. Рыболовы ме- няются местами. На сколько сантиметров при этом переместится лодка? Сопротивление воды не учитывать. (Ответ: 50 см.) 433. Десять шариков, массы которых соответственно равны 1, 2, 3,..., 10г, укреплены на не- весомом стержне длиной 90 см так, что между центрами двух соседних шариков равно 10 см. Найти центр масс системы. (Ответ: на 7 шарике.) 434. Железный прут массой M изогнут пополам так, что его части образуют прямой угол. Прут подвешен за один из концов на шарнире. Найти угол α, который образует с верти- калью верхний стержень в положении равновесия. (Ответ: tgα = 1 3.) 435. Два человека несут цилиндрическую металлическую трубу, положив ее себе на плечи. Первый человек поддерживает трубу на расстоянии 1 м от ее конца, второй держит про- 41 тивоположный конец трубы. Во сколько раз нагрузка, приходящаяся на первого челове- ка, больше, чем на второго, если длина трубы 2,5 м? (Ответ: в 5 раз.) 436. На каком расстоянии от дна находится центр тяжести тонкостенного стакана высотой 12 см и диаметром 8 см, если толщина дна в два раза больше толщины стенок? (Ответ: 4,5 см.) 437. В цилиндрический стакан наливают воду. При каком уровне воды центр тяжести стака- на с водой занимает самое нижнее положение? (Ответ: ц. т. и уровень воды совпадают.) 438. На одной чашке равноплечих весов находится груз весом 1,2 Н, на другой - весом 1,1 Н. На каком расстоянии от центра коромысла весов надо подвесить гирьку весом 0,4 Н, чтобы весы были в равновесии? Длина коромысла 0,2 м. (Ответ: 25 мм.) 439. К концам горизонтального стержня длиной 90 см и массой 2 кг подвешены два груза: слева – массой 1 кг, справа – массой 3 кг. На каком расстоянии от большей массы следу- ет подпереть стержень, чтобы он остался в равновесии? (Ответ: 30 см.) 440. При взвешивании на неравноплечих рычажных весах вес тела на одной чашке получил- ся равным 36Н, а на другой – 25 Н. Определите истинный вес тела. (Ответ: 30 Н.) 441. Однородное бревно длиной l и массой 100 кг лежит на двух опорах. Расстояние от пра- вого конца до ближайшей опоры l/4, от левого – l/3. С какой силой давит бревно на ле- вую опору? (Ответ: 600 Н.) 442. Однородная балка лежит на платформе так, что один ее конец на 1/4 длины балки све- шивается с платформы. Когда на свешивающийся конец балки действует сила 300 Н, то противоположный конец балки начинает приподниматься. Определите массу балки. (Ответ: 30 кг.) 443. К стержню длиной 120 см приложены три параллельные силы одинакового направле- ния: у левого конца – 30 Н, в середине – 80 Н и у правого конца – 90 Н. Чему равна рав- нодействующая этих сил? Где лежит точка ее приложения? (Ответ: 200 Н, 42 см от пра- вого конца.) 444. Два однородных шара с одинаковыми радиусами 6 см скреплены в точке касания. Масса одного шара в два раза больше массы другого. На каком расстоянии от точки касания находится центр тяжести системы? (Ответ: 2 см.) 445. Два однородных цилиндра соединены между собой так, что их оси лежат на одной ли- нии. Масса одного цилиндра 3 кг, его длина 1 м. Масса второго – 1 кг, а его длина 0,6 м. На каком расстоянии от центра большого цилиндра находится центр тяжести системы? (Ответ: 20 см.) 446. Стержень длиной 80 см и шар радиусом 20 см соединены вместе, причем ось стержня и центр шара лежат на одной прямой. На каком расстоянии от середины стержня находит- ся центр тяжести системы, если стержень и шар имеют одинаковые массы? (Ответ: 30 см.) 447. Два шара диаметром 0,6 м скреплены в точке касания их поверхностей. На каком рас- стоянии от точки касания находится центр тяжести системы, если масса одного шара в 3 раза больше массы другого? (Ответ: 15 см.) 42 448. На прямоугольной горизонтальной платформе лежит однородная балка массой 200 кг, расположенная перпендикулярно краю платформы. Один конец длиной, равной 1/4 всей ее длины, свешивается с платформы. К этому концу прилагают силу, направленную вер- тикально вниз. При какой наименьшей величине этой силы противоположный конец этой балки начнет подниматься? (Ответ: 2 кН.) 449. На горизонтальном столе лежит лист бумаги, прижатый однородным стержнем массой 3 кг, верхний конец которого шарнирно закреплен. Какую минимальную горизонтальную силу необходимо приложить к листу, чтобы вытащить его? Угол между стержнем и лис- том 45°, коэффициент трения между ними 0,5. Трением между столом и бумагой пре- небречь. (Ответ: 5 Н.) 450. Однородный стержень массой 50 кг одним концом опирается на горизонтальную плос- кость, другой его конец удерживают веревкой так, что веревка и стержень образуют прямой угол, а стержень и горизонтальная плоскость - угол 60°. Найти силу натяжения веревки.(Ответ: 125 Н.) 451. К стене прислонена лестница массой 1,5 кг. Центр тяжести лестницы находится на рас- стоянии 1/3 длины от ее верхнего конца. Какую силу, направленную горизонтально, нужно приложить к середине лестницы, чтобы верхний конец ее не оказывал давления на стену? Угол между лестницей и стеной 45°. (Ответ: 20 Н.) 452. У стены стоит лестница. Коэффициент трения лестницы о стену µ1=0,4. Коэффициент трения лестницы о землю µ2=0,5. Центр тяжести лестницы находится на середине ее длины. Определить наименьший тангенс угла, который лестница может образовать с го- ризонтом, не соскальзывая. (Ответ: tgα = (), 1 2 08 − µ12 2 µ µ = .) 453. На земле лежат вплотную два одинаковых бревна цилиндрической формы. Сверху кла- дут такое же бревно. При каком коэффициенте трения между ними они не раскатятся (по земле бревна не скользят)? (Ответ: µ ≥ 0 27 , .) 454. Колесо радиусом R и массой m стоит перед ступенькой высотой h. Какую наименьшую горизонтальную силу F надо приложить к оси колеса, чтобы оно могло подняться на ступеньку? Трением пренебречь. (Ответ: F mg h R h R h = −− ( )( ) 2 .) 455. Какой минимальной силой Fmin можно опрокинуть через ребро куб, находящийся на го- ризонтальной плоскости? Каков должен быть при этом минимальный коэффициент тре- ния куба о плоскость? Масса куба M. (Ответ: F Mg min = 2 4; µ = 1 3.) 13. Жидкости и газы. Законы Паскаля и Архимеда 456. В цилиндрический сосуд налита ртуть и поверх нее – масло. Масса масла в два раза меньше массы ртути. Сосуд заполнен до высоты 30 см. Определить давление ртути и масла на дно сосуда, если плотность ртути 13,6 г/см3 , а плотность масла 700 кг/м3 . (От- вет: 5712 Па.) 43 457. Аквариум, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, доверху заполнен водой. С какой силой вода давит на стенку аквариума, если его длина 80 см, а высота 50 см? Атмосферное давление 100 кПа. (Ответ: 41 кН.) 458. Высота столба ртути в ртутном барометре 75 см. Какой высоты столб воды создает та- кое же давление? Плотность воды 1000 кг/м3 , плотность ртути 13600 кг/м3 . (Ответ:10,2м) 459. В сообщающиеся сосуды налита ртуть. В один из сосудов добавили керосин, высота столба которого 27,2 см. На сколько миллиметров уровень ртути в этом сосуде будет ниже, чем в другом? Плотность ртути 13,6 г/см3 , керосина 800 кг/м3 . (Ответ: 16 мм.) 460. В сообщающиеся сосуды налита ртуть. В один сосуд добавили воду, высота столба ко- торой 4 см. Какой высоты должен быть столб некоторой жидкости в другом сосуде, что- бы уровень ртути в обоих сосудах был одинаков, если плотности жидкости в 1,25 раза меньше плотности воды? (Ответ: 5 см.)