Кинематика 1
Кинематика 1. Механическое движение. Характеристики механического движения: путь, перемещение. Скорость. Равномерное движение. Неравномерное движение. Средняя и мгновенная скорости. Ускорение. Прямолинейное движение с постоянным ускорением. Задачи 1.1. Велосипедист движется равномерно по окружности радиусом 100 м. Сделайте чертеж. Определите путь и перемещение велосипедиста: а) за четверть оборота; б) за пол оборота. 1.2. Мальчик вышел из дому и прошел сначала 2 квартала к востоку, а затем 2 квартала к северу (длина квартала 150 м). Сделайте чертеж. Определите путь и перемещение. 1.3. Турист вышел из поселка А в поселок В. Сначала он прошел 3 км на север, затем повернул на запад и прошел еще 5 км, а последних 2 км он двигался по проселочной дороге, идущей на север. Сделайте чертеж. Определите путь и перемещение. 1.4. Поезд длиной 240 м, двигаясь равномерно, прошел мост за 2 мин. Определите скорость поезда, если длина моста 360 м. 1.5. На горизонтальном участке пути автомобиль ехал со скоростью 72 км/ч в течение 10 мин, а затем проехал подъем со скоростью 36 км/ч за 20 мин. Чему равна средняя скорость на всем пути? 1.6. Велосипедист первую половину времени при переезде из одного пункта в другой ехал со скоростью 12 км/ч, а вторую половину времени (из-за прокола шины) шел пешком со скоростью 4 км/ч. Определите среднюю скорость движения велосипедиста. 1.7. Школьник проехал 1/3 всего времени на автобусе со скоростью 60 км/ч, еще 1/3 всего времени на велосипеде со скоростью 20 км/ч, остальное время прошел со скоростью 7 км/ч. Определите среднюю скорость движения школьника. 1.8. Велосипедист ехал из одного города в другой. Половину пути он проехал со скоростью 12 км/ч, а вторую половину (из-за прокола шины) шел пешком со скоростью 4 км/ч. Определите среднюю скорость его движения. 1.9. Школьник проехал 1/3 пути на автобусе со скоростью 40 км/ч, еще 1/3 пути на велосипеде со скоростью 20 км/ч, последнюю треть пути прошел со скоростью 10 км/ч. Определите среднюю скорость движения школьника. 1.10. Пешеход часть пути прошел со скоростью 3 км/ч, затратив на это 2/3 времени своего движения. Оставшееся время он прошел со скоростью 6 км/ч. Определите среднюю скорость. 1.11. Скорость поезда на подъеме 30 км/ч, а на спуске — 90 км/ч. Определите среднюю скорость на вcем участке пути, если спуск в два раза длиннее подъема. 1.12. Половину времени при переезде из одного пункта в другой автомобиль двигался с постоянной скоростью 60 км/ч. С какой постоянной скоростью он должен двигаться оставшееся время, если средняя скорость движения равна 65 км/ч? 1.13. Шарик скатывается по желобу длиной 1,25 м с ускорением 1,6 м/с2. Какова скорость шарика в конце жалоба? 1.14. Хоккейная шайба пересекла ледяное поле длиной 60 м за 3,0 с и остановилась. Какая скорость была сообщена шайбе клюшкой хоккеиста? 1.15. За какое время автомобиль, двигаясь из состояния покоя с ускорением 0,6 м/с2, пройдет 30 м? 1.16. Самолет при отрыве от земли имеет скорость 252 км/ч и пробегает по бетонированной дорожке расстояние 700 м. Сколько времени продолжает разбег самолет? Движение считайте равноускоренным. 1.17. При прямолинейном равноускоренном движении на пути в 135 м модуль скорости тела увеличился в четыре раза. Найдите модуль его конечной скорости, если модуль ускорения тела равен 0,50 м/с2. 1.18. Ножной тормоз грузового автомобиля считается исправным если при торможении автомобиля, движущегося со скоростью 30 км/ч по сухой и ровной дороге, тормозной путь не превышает 9,0 м. Найдите соответствующее этой норме тормозное ускорение. 1.19. При какой начальной скорости поезд пройдет путь 1260 м в течении 60 с, замедляя ход с ускорением 1,5 м/с2? 1.20. Электропоезд тормозит с ускорением 0,40 м/с2. Определите, за какое время он остановится, если тормозной путь равен 50 м. 1.21. Лифт Останкинской телевизионной башни заканчивает свое движение после прохождения 49 м за 14 с. Найдите ускорение и начальную скорость лифта. 1.22. Поезд, двигаясь с горы с ускорением 0,2 м/с2, прошел путь 340 м и развил скорость 19 м/с. Сколько времени двигался поезд и какой была его скорость в начале отсчета? 1.23. Поезд, движущийся после начала торможения с ускорением 0,40 м/с2, через 25 с остановился. Найдите скорость в момент начала торможения и тормозной путь. 2. Уравнения движения. Графическое представление равномерного и равноускоренного движения. Задачи 2.1. Движение тела вдоль оси 0Х описывается уравнением x = А + B⋅t, где А = 6 м, В = 2 м/с. Определите проекцию ускорения тела на эту ось. 2.2. Автомобиль движется со скоростью 20 м/с. Находясь от светофора на расстоянии 150 м, он начал торможение. Ускорение автомобиля постоянно и по модулю равно 2 м/с2. Определите положение автомобиля относительно светофора через 5 с после начала торможения. 2.3. Байдарка с гребцом прошла расстояние 1000 м от старта до финиша со скоростью 5 м/с. После прохождения линии финиша гребец начал тормозить. Ускорение байдарки постоянно и по модулю равно 0,5 м/с2. На каком расстоянии от линии старта окажется байдарка через 10 с после прохождения финишной черты? Кинематика 3
2.4. Движения двух автомобилей по шоссе заданы уравнениями x1 = 2t + 0,2t2 и x2 = 80 – 4t. Найдите: а) время и место встречи автомобилей; б) расстояние между ними через 5 с от начала отсчета времени; в) координату первого автомобиля в тот момент времени, когда второй находился в начале отсчета. 2.5. По прямому пути в одном направлении движутся два мотоциклиста. Начальное расстояние между ними 20 м. Скорость первого мотоциклиста 5,0 м/с. Второму мотоциклисту для его обгона потребовалось 4,0 с. Какова скорость второго мотоциклиста? 2.6. В момент начала наблюдения расстояние между двумя телами было равно 6,9 м. Первое тело движется из состояния покоя с ускорением 0,2 м/с 2. Второе движется вслед за ним, имея начальную скорость 2 м/с и ускорение 0,4 м/с2. Найдите время и место встречи тел. 2.7. Мотоциклист движется по прямой дороге со скоростью 8 м/с. Когда он проезжает мимо неподвижной машины, она начинает двигаться за ним равноускоренно. Определите скорость машины в тот момент, когда она догонит мотоциклиста. 2.8. По дороге навстречу друг другу движутся два автомобиля: один со скоростью 72 км/ч, другой — 90 км/ч. У заправочной станции автомобили встретились и продолжили свой путь, причем второй автомобиль начал притормаживать с ускорением 0,5 м/с2. Определите положение каждого автомобиля относительно заправочной станции через 60 с после встречи. Найдите расстояние между ними в эти моменты времени.
3. Относительность движения. Сложение скоростей. 3.2. Скорость пловца относительно воды 1,2 м/с. Скорость течения 0,8 м/с. Определите скорость пловца относительно берега, если пловец плывет по течению реки. 3.3. Определите скорость ветра, если двигатель самолета сообщает ему в безветренную погоду скорость равную 900 км/ч, а при встречном ветре 850 км/ч. 3.4. Эскалатор метро движется со скоростью 0,75 м/с. Найдите время, за которое пассажир переместится на 20 м относительно земли, если он сам идет в направлении движения эскалатора со скоростью 0,25 м/с в системе отсчета, связанной с эскалатором. 3.5. Два автомобиля движутся навстречу друг другу с равными скоростями по 80 км/ч каждая. За какое время расстояние между ними уменьшится на 10 км? 3.6. По двум параллельным железнодорожным линиям равномерно движутся два поезда: грузовой длиной 630 м со скоростью 48 км/ч и пассажирский длиной 120 м со скоростью 102 км/ч. В течение какого времени пассажирский поезд проходит мимо машиниста грузового, если поезда движутся: а) в одном направлении; б) навстречу друг другу? 3.7. Пассажир, сидящий у окна поезда, идущего со скоростью 72 км/ч, видит в течение 10 с встречный поезд. Длина встречного поезда 290 м. Определите его скорость. 3.8. Скорость течения 3 м/с, а рыбак может грести со скоростью 5 м/с при неподвижной воде. Определите время, необходимое рыбаку, чтобы спуститься на 40 м вниз по течению и на столько же подняться вверх. 3.9. Скорость движения теплохода относительно берега вниз по реке 20 км/ч, а вверх — 18 км/ч. Определите скорость течения относительно берега и скорость теплохода относительно воды. 3.10. Автоколонна длиной 1,2 км движется со скоростью 36 км/ч. Мотоциклист выезжает из головы колонны, доезжает до ее хвоста и возвращается обратно. Определите время, за которое мотоциклист преодолеет данное расстояние, если его скорость равна 72 км/ч. 3.11. Пловец, двигаясь относительно воды перпендикулярно течению со скоростью 5,0 км/ч, переплывает реку шириной 120 м. Скорость течения 3,24 км/ч. Определите: а) скорость пловца относительно берега; б) время, которое требуется пловцу, чтобы переплыть реку; в) перемещение пловца относительно берега; г) под каким углом к берегу плывет пловец? 3.12. На катере необходимо переплыть реку перпендикулярно берега. Какую скорость должен сообщить мотор катеру, чтобы при скорости течения реки, равной 1,2 м/с, катер двигался относительно берега со скоростью 3,2 м/с? 3.13. Пловец желает переплыть реку перпендикулярно берега. Под каким углом к течению он должен плыть, если скорость пловца относительно воды 1,0 м/с, скорость течения 0,80 м/с? 3.14. Скорость течения реки 4,0 км/ч, ширина ее 240 м. С какой скоростью относительно берега должен плыть пловец, чтобы переплыть реку за 15 мин, если его скорость относительно воды перпендикулярна берегу? 3.15. В безветренную погоду вертолет двигался со скоростью 90 км/ч точно на север. Найдите скорость вертолета, если подул северо-западный ветер под углом 45°. Скорость ветра 10 м/с. 3.16. Наблюдатель на берегу определил значение скорости пловца, переплывающего реку, 2,0 м/с. Скорость была направлена под углом 60° к линии берега. Какова скорость пловца относительно воды, если скорость течения реки 1,0 м/с? 3.17. По двум пересекающимся под углом 60° дорогам движутся два автомобиля с одинаковыми скоростями, равными 72 км/ч. Через какое время после встречи у перекрестка расстояние между ними станет равным 3 км? 4. Движение материальной точки по окружности с постоянной по модулю линейной скоростью. Угловая скорость. Период и частота равномерного вращения. Центростремительное ускорение. Задачи 4.1. Первая в мире орбитальная космическая станция, образованная в результате стыковки космических кораблей «Союз-4» и «Союз-5» 16 января 1969 г., имела период вращения 88,85 мин и среднюю высоту над поверхностью Земли 230 км (считайте орбиту круговой). Найдите среднюю скорость движения станции. Радиус Земли принять равным 6400 км. 4.2. Искусственный спутник Земли (ИСЗ) движется по круговой орбите со скоростью 8,0 км/с с периодом вращения 96 мин. Определите высоту полета спутника над поверхностью Земли. Радиус Земли принять равным 6400 км. 4.3. Какова линейная скорость точек Земной поверхности на широте Санкт-Петербурга (60°) при суточном вращении Земли? Радиус Земли принять равным 6400 км. 4.4. Допустимо ли насадить точильный круг на вал двигателя, делающего 2850 оборотов в минуту, если на круге имеется штамп завода «35 м/с, Ø 250 мм»? 4.5. Скорость поезда 72 км/ч. Сколько оборотов в минуту делают колеса локомотива, радиус которых 1,2 м? 4.6. Какова угловая скорость вращения колеса ветродвигателя, если за 2 мин колесо сделало 50 оборотов? 4.7. За какое время колесо, имеющее угловую скорость 4 рад/с, сделает 100 оборотов? Кинематика 9
4.8. Диск диаметром 50 см равномерно перекатывают на расстояние 2 м за 4 с. Какова угловая скорость вращения диска? 4.9. Тело движется по дуге окружности радиусом 50 м. Определите линейную скорость движения тела и пройденный им путь, если известно, что его угловое перемещение за 10 с равно 1,57 рад. 4.10. Большой шкив ременной передачи имеет радиус 32 см и вращается с частотой 120 об/мин. Малый шкив имеет радиус 24 см (рис. 4.3). Найдите частоту вращения малого шкива, если ремень движется без проскальзывания. 4.11. Диск равномерно вращается относительно оси, проходящей через его центр и ему перпендикулярной. Линейная скорость точек края диска равна 3,0 м/с. У точек, расположенных на 10 см ближе к оси, скорость 2,0 м/с. Определите частоту вращения диска. 4.12. Как изменится линейная скорость вращения материальной точки по окружности, если угловую скорость точки увеличить в 2 раза, а расстояние от точки до оси вращения уменьшить в 4 раза? 4.13. Рабочее колесо турбины Красноярской ГЭС им. 50-летия СССР имеет диаметр 7,5 м и вращается с частотой 93,8 об/мин. Каково центростремительное ускорение концов лопаток турбины? 4.14. Ветряное колесо радиусом 2,0 м делает 40 оборотов в минуту. Найдите центростремительное ускорение концевых точек лопастей колеса. 4.15. Период вращения первого пилотируемого корабля-спутника «Восток» вокруг Земли был равен 90 мин. С каким ускорением двигался корабль, если его средняя высота над Землей 320 км? Радиус Земли принять равным 6400 км. 4.16. Угловая скорость вращения лопастей колеса ветродвигателя 6 рад/с. Найдите центростремительное ускорение концов лопастей, если линейная скорость концов лопастей 20 м/с. 4.17. Две материальные точки движутся по окружностям радиусами R1 = 10 см и R2 = 30 см с одинаковыми скоростями 0,20 м/с. Во сколько раз отличаются их центростремительные ускорения? 4.18. Две материальные точки движутся по окружностям радиусами R1 = 0,2 м и R2 = 0,4 м с одинаковыми периодами. Найдите отношение их центростремительных ускорений. 4.19. Стержень длиной 0,50 м вращается с частотой 2,0 Гц вокруг оси, проходящей через стержень перпендикулярно ему. Центростремительной ускорение одного из концов стержня 16,1 м/с2. Определите линейную скорость другого конца стержня.
4.20. Танк, движущийся со скоростью 36,0 км/ч, притормаживает одну из гусениц так, что ось ее ведущего колеса начинает двигаться вперед со скоростью 32,4 км/ч. Под каким углом к первоначальному направлению движения будет двигаться танк через 2,0 с? 4.21. Две точки равномерно движутся по окружности. Первая точка, двигаясь по часовой стрелке, делает один оборот за 5,0 с, вторая точка, двигаясь против часовой стрелки, делает один оборот за 2,0 с. Найдите время между двумя последовательными встречами точек. 4.22. Однородный диск катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания со скоростью 2,0 м/с. Найдите скорость точек A, B, C и D относительно плоскости (рис. 4.4). Угол α = 60°. 5. Свободное падение тел. Ускорение свободно падающего тела. Движение тела, брошенного горизонтально. Задачи 5.1. Тело упало на землю с высоты 100 м. Найдите время падения и скорость тела в момент удара о землю. 5.2. Сокол, пикируя отвесно на свою добычу, достигает скорости 100 м/с. Какое расстояние проходит при этом хищник? 5.3. Стрела выпущена из лука вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с. Определите: а) когда стрела достигнет максимальной высоты; б) на какую высоту она поднимется; в) когда стрела упадет на землю; г) какой путь пройдет стрела за это время. 5.4. Стрела, выпущенная из лука вертикально вверх, упала на землю через 8,0 с. Определите: а) начальную скорость стрелы; б) максимальную высоту подъема. 5.5. Тело бросили вертикально вверх со скоростью 10 м/с. При падении на землю его скорость 20 м/с. Определите время полета тела. 5.6. Мяч брошен с высоты 28 м вертикально вверх с начальной скоростью 8 м/с. Найдите скорость падения мяча на землю. 5.7. Тело бросили со скоростью 6 м/с вертикально вверх. На сколько удалится тело от точки бросания через 5 с? Определите скорость тела в этот момент времени. 5.8. Тело падает с высоты 45 м. Найдите среднюю скорость падения на второй половине пути. 5.9. Тело свободно падает без начальной скорости с высоты 270 м. Разделить эту высоту на 3 части, такие, чтобы на прохождение каждой из них потребовалось бы одно и то же время. Сопротивление воздуха не учитывать. 5.10. Свободно падающее тело в последнюю секунду падения прошло 2/3 своего пути. Найдите путь, пройденный телом. 5.11. Аэростат поднимается с Земли вертикально вверх с постоянной скоростью 4,0 м/с. Через 5,0 с из него выпал предмет. Сколько времени этот предмет будет падать на Землю? Кинематика 11
5.12. Расстояние между двумя свободно падающими каплями через 2 с после начала падения второй капли было 25 м. На сколько позднее начала падать вторая капля? Сопротивлением воздуха пренебречь. 5.13. С какой высоты был брошен в горизонтальном направлении мяч со скоростью 10 м/с, если он упал на расстоянии 4,9 м от основания дома, из окна которого был брошен? 5.14. Камень брошен с обрыва в горизонтальном направлении. Через 3,0 с вектор скорости относительно горизонта составил угол 45°. Какова начальная скорость камня? 5.15. Мальчик ныряет в воду с крутого берега высотой 5 м, имея после разбега горизонтально направленную скорость, равную по модулю 6 м/с. Каковы модуль и направление скорости мальчика при достижении им воды? 5.16. Мяч, брошенный горизонтально с высоты 2,0 м над землей, пролетел до падения по горизонтали 7,0 м. Найдите значение скорости мяча в момент падения.