Тепловые и молекулярные явления
2.1. Оцените количество теплоты, выделяющееся при экстренном торможении современного грузового железнодорожного состава.
2.2. Однажды Кролик решил попить чаю. Он налил в чайник ковшик воды и поставил его на плиту. Через 3 минуты после этого в дверь постучали, и появился Пятачок. Кролик тут же долил в чайник еще один такой же ковшик воды. Однако еще через 3 минуты появился Винни-Пух, и Кролику пришлось налить в чайник еще один ковшик. Сколько времени придется Винни-Пуху ждать закипания воды, если один ковшик закипает за 9 минут, а теплоемкостью чайника и потерями тепла можно пренебречь. Начальная температура доливаемой воды равна 10ºС. Чайник большой и вмещает больше трех ковшиков воды.
2.3. В теплоизолированный сосуд, содержащий воду массы M при температуре T°C, бросили кусок льда массы m при температуре –t°C. Какие качественно различные состояния системы возможны после установления теплового равновесия? Изобразите на плоскости (T, t) области, соответствующие каждому из этих состояний. Каким точкам на этой плоскости соответствует нулевая конечная температура?
2.4. Небольшой алюминиевый шарик с привязанной к нему легкой ниткой вморожен в ледышку массой М0=100 г. Свободный конец нити прикреплен ко дну теплоизолированного цилиндрического сосуда, в который налита вода (см. рис. 2.1) массой 0,5 кг, имеющая температуру 20°С. Температура льда и шарика 0°С, начальная сила натяжения нити 0,08 Н. Каковабудет температура воды в тот момент, когда сила натяжения нити станет равной нулю? Удельная теплоемкость воды 4200 Дж/(кг⋅°С). Плотность воды 1000 кг/м3, льда 900 кг/м3, алюминия 2700кг/м3, удельная теплота плавления льда 330 кДж/кг. Считайте, что тепловое равновесие в воде устанавливается мгновенно.
2.5. Ведро, содержащее смесь воды со льдом, внесли в комнату и сразу же начали измерять температуру смеси. Оказалось, что сначала температура смеси была 0°С, а через 50 минут она начала повышаться и за следующие 10 минут повысилась до 2 °С. Какую долю (в процентах) первоначально составляла масса льда от общей массы смеси, находящейся в ведре? Удельная теплоемкость воды 4,2 кДж/(кг⋅К), удельная теплота плавления льда 0,33 МДж/кг, теплоемкостью ведра пренебречь.
2.6. Экспериментатор набрал на улице мокрого снега, имеющего температуру 0°С, поместил его в морозильную камеру и начал через равные промежутки времени измерять его температуру, занося данные в журнал (первая запись была сделана сразу после начала эксперимента). Однако впоследствии журнал был испорчен, так что удалось прочитать только значения температуры, соответствующие десятой и одиннадцатой записям: –0,5°С и –4,0°С соответственно. Определите по этим данным массовую долю воды в мокром снеге. Удельная теплоемкость льда 2,1·103 Дж/(кг·°С), удельная теплота плавления льда 3,35·105 Дж/кг.
2.7. При испытании новой модели электрического чайника оказалось, что вода нагревается почти до 100°С, но все же не закипает. Чайник рассчитан на мощность нагревателя P и напряжение 110 В. За какое время чайник выкипит наполовину, если его подключить к сети напряжением 220 В? Масса воды в чайнике M, удельная теплота парообразования воды L. Чайник изготовлен из металла, крышка чайника плотно закрывается.
2.8. В сосуд с водой температуры 20°С поместили электронагреватель и включили его в сеть. За первую минуту вода нагрелась на 3°С, но через очень длительное время вода нагрелась только до температуры 80°С. Когда нагреватель выключили, вода за первую минуту остыла на 4°С. Определите температуру окружающей среды, если известно, что тепловая мощность, отдаваемая в окружающую среду, пропорциональна разности температур тела и среды.
2.9. Экспериментатор запустил секундомер в момент закипания воды вчайнике и определил, что вся вода выкипела через 1781 секунду. Затем экспериментатор заполнил чайник льдом той же массы при нулевой температуре, зажег газ и одновременно запустил секундомер. В журнале экспериментатора записано, что на этот раз вся вода выкипела через 2θ75 секунд. Цифра θ изображена неразборчиво, это может быть 0, 3 или 6. Определите, какая цифра стоит в журнале? Удельная теплоемкость воды 4,2. 103 Дж/(кг К), удельная теплота плавления льда 3,34. 105 Дж/кг, удельная теплота парообразования воды 2,26. 106 Дж/кг.
2.10*. На рис. 2.2 приведен график зависимости температуры воды в стакане от времени при ее нагревании кипятильником постоянной мощности. Определите, за какое время вода нагреется до 50ºС, если ее нагревать в таком же стакане кипятильником в два раза меньшей мощности. Начальная температура воды – комнатная, отсчет времени начинается в момент начала нагрева. Масштаб по оси времени указан в минутах, по оси температуры – в градусах Цельсия.
2.11. На краю крыши висят две геометрически подобные сосульки конической формы разной длины. После резкого потепления от 0°С до 10°С меньшая сосулька длины 10 см растаяла за 2 часа. За какое время растает большая сосулька длины 30 см, если внешние условия не изменятся?
2.12. Горячий суп, налитый доверху в большую тонкостенную тарелку, охлаждается до температуры, при которой его можно есть без риска обжечься, за 20 мин. Через какое время можно будет есть суп с той же начальной температурой, если разлить его по маленьким тарелкам, которые также заполнены доверху и геометрически подобны большой? Известно, что суп из большой тарелки помещается в 8 маленьких, а количество тепла, отдаваемое в единицу времени с единицы поверхности каждой тарелки, пропорционально разности температур супа и окружающей среды.
2.13*. Однажды вечером участники олимпиады решили приготовить чай, для чего опустили кипятильник мощностью 300 Вт в трехлитровую банку с водой и закрыли ее крышкой. Через достаточно длительное время они с удивлением заметили, что вода не закипает, а ее температура равна 80°C и не изменяется. Смогут ли они этим же кипятильником вскипятить воду в двухлитровой банке? В литровой? Если нет, то укажите, до какой максимальной температуры нагреется вода, если да, то оцените, за какое время она закипит. Считайте, что все банки геометрически подобны и заполняются водой полностью, начальная температура воды равна 20°С и совпадает с температурой воздуха в комнате. Удельная теплоемкость воды c=4200 Дж/(кг·К), теплоемкостью пустой банки можно пренебречь.
2.14. В некотором доме стенки, крыша и пол изготовлены из полностью теплоизолирующих материалов; теплопроводящими являются только двери. В комнате установлена печь (рис. 2.3), выделяющая постоянную мощность. Если дверь между комнатой и прихожей открыта, а на улицу закрыта, то по всему дому устанавливается температура 8°С. Какая температура установится в комнате и прихожей, если закрыть обе двери? Температура воздуха на улице –10°С.
2.15. Когда в лес пришла настоящая зима и температура воздуха понизилась до –30°С, температура внутри ледяной избушки Лисы даже при постоянно топящейся печи упала до –10°С. Приглашенный Лисой Волк модернизировал печь, вследствие чего выделяемая ей тепловая мощность увеличилась вдвое. Определите толщину стенок избушки после такой модернизации, если до нее она составляла 30 см. Считайте, что толщина стенок избушки намного меньше расстояния между ними, а температура воздуха одинакова в любой точке избушки. Указание: количество тепла, проходящее через единицу площади стены в единицу времени, прямо пропорционально разности температур внутри и снаружи стены и обратно пропорционально ее толщине.
2.16. При проведении эксперимента записывались зависимости напряжения на нити вакуумной лампы накаливания и температуры нити от времени,однако запись температуры была прекращена к моменту подачи второго импульса напряжения (рис. 2.4). Восстановите недостающую часть графика и определите максимальную температуру нити на этом участке.
2.17. Оказалось, что температура воздуха в некоторой местности в безветренный пасмурный день может быть описана зависимостьюT(°C)=20+10⋅cos(2πt/24+ϕ), где t – время в часах, ϕ – безразмерная постоянная.Определите, когда достигается максимальная температура воды, равная 25°С, в не большом пруду, расположенном в той же местности. Температура воздуха максимальна в 15 часов.
2.18. Резиновый шарик массой 2 г надувается гелием при температуре17°С. По достижении в шарике давления, равного 1,1⋅105 Па, он лопается. Какова была масса гелия в шарике перед тем, как он лопнул, если он имел сферическую форму? Известно, что резиновая пленка рвется при толщине 2⋅10–3 см. Плотность резины 1,1 г/см3, молярная масса гелия 4 г/моль.
2.19. При «зарядке» сифонов углекислотой некоторая ее часть растворяется в воде. Определите эту часть при зарядке сифона одним баллончиком, содержащим 1 г углекислоты. Объем не занятой водой части сифона 0,2 л, температура воды 24ºС, давление в сифоне после зарядки и растворения углекислоты 3атм. Объемом баллончика и изменением температуры при зарядке пренебречь. Молярная масса углекислоты 44 г/моль.
2.20. В цилиндрическом вертикальном сосуде под подвижным поршнем находится воздух. После того, как на поршень положили еще три таких же поршня, расстояние между ним и дном сосуда уменьшилось в три раза. Сколько нужно добавить поршней, чтобы это расстояние уменьшилось еще в три раза? Температура воздуха остается постоянной.
2.21. На столе стоит цилиндрический сосуд высоты h, изготовленный из металла и открытый сверху. Сначала в него опускают один поршень, через большой промежуток времени – второй и так далее – всего 10 поршней. Найдите расстояние между первым и вторым поршнем. Масса m каждого поршня и атмосферное давление p0 связаны соотношением mg=p0S, где S – площадь сечения цилиндра. Толщина поршней мала по сравнению с высотой сосуда, трением пренебречь.
2.22. Два одинаковых цилиндрических сосуда высоты H с вертикальными стенками соединены трубками (рис. 2.5). В левом сосуде имеется тонкий массивный поршень, способный без трения двигаться вдоль стенок, над поршнем и под поршнем находится идеальный газ. Кран на верхней трубке закрыт, а на нижней открыт; поршень пребывает в равновесии точно в середине цилиндра, при этом давление под поршнем в два раза больше, чем над ним. Рис. 2.5 Нижний кран закрывают, одновременно с этим открывая верхний. На какой высоте установится поршень? Система поддерживается при постоянной температуре.
2.23. Внутри сосуда тороидальной формы закреплены симметричным образом три поршня a, b, c. В образованных поршнями отсеках сосуда находятся газы трех сортов: А, В и С (рис. 2.6). Каждый поршень проницаем для газа, обозначенного той же буквой, и непроницаем для двух других газов. Крепления поршней убирают. Найдите относительное расположение поршней после их остановки. Полное количество газа А –1 моль, газа В – 2 моля, газа С – 3 моля. Опыт проводится при постоянной температуре.
2.24. В поставленном вертикально цилиндрическом сосуде на высоте h удерживают массивный поршень так, что давление идеального газа в сосуде равно атмосферному давлению р. Внутри помещен еще один сосуд вдвое меньшего радиуса, заполненный тем же газом под вторым поршнем, который находится в равновесии на высоте h/2, при этом давление внутри малого сосуда составляет (5/4)р. Как расположатся поршни в равновесии, если поршень в большом сосуде отпустить? Массы обоих поршней одинаковы, оба сосуда изготовлены из материала, хорошо проводящего тепло, температура окружающей среды постоянна.
2.25. Имеется сосуд тороидальной формы, в котором находятся два поршня массы m каждый (рис. 2.8). Один из поршней начинают двигать со скоростью v, а затем через достаточно большой промежуток времени останавливают. Найдите изменение давления газа в сосуде. Первоначальное давление газа p0, суммарная масса газа M. Сосуд тепло изолирован, трение отсутствует.
2.26. Цилиндрический сосуд разделен перегородкой на две части, в каждой из которых содержится по 1 молю идеального одноатомного газа, занимающего объём V0 при давлении р0 (рис.
2.9а). С газом, находящимся слева от перегородки, проводят процесс, рV-диаграмма которого изображена на рис. 2.9б, а с газом, находящимся справа – на рис. 2.9в. После этого сосуд изолируют от окружающей среды, а перегородку убирают. Найдите установившееся давление газа в сосуде.
2.27. Внутри сосуда объема V помещена резиновая оболочка объема V/4. И сосуд, и оболочка заполнены идеальным газом. В начальном состоянии температура газа T0 и оболочка не растянута. Когда газ внутри оболочки нагрели до температуры T1, сохраняя температуру остального газа неизменной, оболочка раздулась, и ее объем увеличился вдвое. До какой температуры нужно охладить газ в сосуде, поддерживая температуру T0 внутри оболочки, чтобы она раздулась до тех же размеров? Считайте, что упругие свойства оболочки не завися тот температуры.
2.28. Имеется сосуд, содержащий два одинаковых отсека с клапаном на перегородке. Конструкция клапана такова, что он открывается, если разность давлений превышает определенную величину р, остается открытым в течение времени, достаточного для установления теплового равновесия во всем сосуде, апортом закрывается. Первоначально в обоих отсеках находится одинаковое количество идеального одноатомного газа при давлении р и температуре Т. Газ в левом отсеке начинают нагревать до тех пор, пока не откроется клапан. Затем нагрев прекращают и возобновляют его после того, как клапан закроется. Какова будет температура газа, когда клапан закроется в четвертый раз?
2.29. В верхней и нижней частях высокой пустотелой колонны отделены перегородками два отсека, высотой 120 см каждый. Отсеки соединены с основной частью маленькими отверстиями (рис.2.10). Стенки колонны поддерживаются при некоторой постоянной температуре. Внутри колонны находится одна молекула массы1,4.10–22г. При компьютерном моделировании ее движения оказалось, что в нижнем отсеке она проводит 1/1900, а в верхнем 1/2000часть времени. Найдите температуру стенок.
2.30. При проведении процесса, изображенного на диаграмме (см. рис. 2.11), газ водород совершил работу 5 М Джпри постоянных давлении и температуре. Определите изменение массы газа в этом процессе, если температура – нулевая по Цельсию. Газ можно считать идеальным.
2.31. Идеальному одноатомному газу сообщают количество теплоты Q таким образом, что его внутренняя энергия изменяется пропорционально квадрату объема. Найдите работу, совершенную газом.
2.32. В вертикально расположенном цилиндрическом сосуде с площадью основания S под поршнем массы M находится 1 моль идеального одноатомного газа. В начальном состоянии поршень находится на высоте 2h от дна сосуда. Газ медленно охлаждают до тех пор, пока поршень не опустится до высоты h, а затем медленно нагревают до достижения поршнем исходной высоты. Определите среднюю теплоемкость газа в процессе нагревания, если между поршнем и стенками сосуда действует сила сухого трения скольжения F. Атмосферное давление p0.
2.33. С одним молем идеального газа совершают цикл, который на pV-диаграмме изображается окружностью (рис.2.12). Найдите максимальную температуру газа. Получает или отдает газ тепло при прохождении точек, в которых являются минимальными: а) давление, б) температура, в) объем?
2.34. С некоторым объемом идеального газа осуществляется цикл, показанный на рис. 2.13, причем минимальная температура газа в нем равна Tmin. Какой объем занимает газ, когда его температура равна 2Tmin?
2.35. Тепловой двигатель работает по циклу, состоящему из двух изохор и двух адиабат (см. рис. 2.14). Температура рабочего тела (одноатомного идеального газа) в точках 1,2 и 4 равна соответственно Т1=524 К, Т2=786 К и Т4=300 К. Найдите температуру в точке 3 Т3 и коэффициент полезного действия двигателя.
2.36. С идеальным газом совершают цикл 1–2–3–4–5–1–2–6–5–1 (см. рис. 2.15). Найдите работу газа за цикл. Масштаб приведенной диаграммы считайте известным.
2.37. Имеется теплоизолированный сосуд сложной формы (рис. 2.16), заполненный неоном при давлении P и температуре T. Трубка объемом V соединена небольшим отверстием с так называемым балластным объемом. Через трубку пропускают кратковременный импульс тока длительностью τ. Сила тока I, напряжение U. Для газа в разрядной трубке найдите: а) максимальную температуру, б) температуру в момент, когда давление в трубке и в балластном объеме сравняются. Величина балластного объема намного превышает объем трубки. Известно, что при адиабатическом процессе величина T5/p2 остается постоянной.
2.38. Предлагается тепловая машина, работающая на использовании суточного перепада температур. Проектная мощность машины 10 л.с.(1 л.с.=736 Вт). Оцените массу воды, которую понадобится использовать в качестве теплового резервуара. Исходя из результата, объясните, почему такие машины не нашли широкого применения.
2.39. Домашний аквариум в виде полусферы диаметром 30 см был налит водой почти до краев и поставлен в комнате. Через двое суток уровень воды в нём понизился на 1 см. Считая, что температура и влажность воздуха в комнате постоянны, найдите время, за которое вода из аквариума полностью испарится.100°С. Атмосферное давление 105 Па.
2.41. Под подвижным поршнем в вертикально расположенном цилиндре находится 22,4 л воздуха при давлении 3 атм. (1 атм.≈105 Па.) Кроме того, на дне цилиндра разлито немного воды, объемом которой можно пренебречь. Медленно поднимая поршень, объем цилиндра увеличили вдвое, оставив температуру стенок неизменной, при этом вода на дне почти исчезла, а давление в цилиндре упало до 2 атм. Каким станет давление в цилиндре, если его объем еще раз удвоить, сохраняя температуру стенок прежней? Определите, какая часть воды находилась в жидком состоянии в начале опыта, а также массы воздуха и воды в цилиндре. Молярные массы воздуха29 г/моль, воды 18 г/моль. 36
Электромагнитные явления
3.1. Проточный нагреватель воды Винтика и Шпунтика состоит из трубы длиной L=1 м, поперечное сечение которой представляет собой прямоугольник размерами a×d. Стенки размера L×a сделаны из металла, а размера L×d – из диэлектрика (см. рис. 3.1). Нагрев прокачиваемой по трубе воды осуществляется электрическим током, для чего к металлическим стенкам прикладывается постоянное напряжение. Определите, каким должно быть это напряжение, чтобы устройство обеспечивало нагрев 600 литров воды в час от 10°С до 60°C, если a=20 см, d=1 см. Используемая в нагревателе вода имеет следующие характеристики: плотность 103 кг/м3, удельная теплоёмкость 4,2·103 Дж/(кг⋅°С), удельное сопротивление10 Ом⋅м. Теплоемкостью трубы и потерями тепла пренебречь.
3.2. Электронагреватель плоской формы рассчитан на напряжение 220 В. После того, как слева от нагревателя на небольшом расстоянии поставили плоское идеально отражающее зеркало, оказалось возможным уменьшить питающее напряжение; при этом показание термометра, установленного вблизи нагревателя справа от него, не изменилось. Найдите новое значение питающего напряжения.
3.3. Во время лабораторной работы ученик соединил последовательно три одинаковых резистора и подключил их к источнику постоянного напряжения(см. рис. 3.2), а затем измерил напряжение на различных участках этой цепи при помощи вольтметра. Подключенный параллельно всем трём резисторам вольтметр показал 4 В, а подключенный параллельно одному резистору (см. рис.
3.2) – 1 В. Каковы будут показания вольтметра, если его подключить параллельно двум резисторам? Источник идеальный.
3.4. Вольтметр, подключенный к идеальному источнику постоянного напряжения через некоторое неизвестное сопротивление (рис. 3.3), показывает 10 В. Если параллельно к этому вольтметру присоединить второй такой же вольтметр, то показания каждого из приборов составят 8 В. Каково напряжение источника?
3.5. Из куска проволоки с сопротивлением 5 Ом изготовлено кольцо. В каком отношении должны делить окружность точки подключения проводов, чтобы сопротивление между ними оказалось равным 1 Ом?3.6. Определите сопротивление изготовленного из однородной проволоки контура (рис. 3.4), подключенного за клеммы А и В. Сопротивление одной стороны «внутреннего» треугольника R.
3.7. Определите токи I1, I2 и I3, текущие через амперметрыА1, А2 и А3 соответственно (рис. 3.5). Напряжение U=10 B, сопротивление R=100 Ом, сопротивлением амперметров пренебречь.
3.8. Найдите ЭДС и внутреннее сопротивление сложного источника с бесконечным числом звеньев (см. рис. 3.6). ЭДС и внутреннее сопротивление каждого отдельного элемента равны соответственно , и R.
3.9. На вход показанной на рис. 3.7 бесконечной цепочки из одинаковых сопротивлений R=1 Ом подано напряжение U=1 В. Найдите ток через сопротивление, показанное штриховкой.
3.10. Имеется проволочная рамка (рис. 3.8), составленная из одинаковых ячеек в форме квадрата. Сопротивление рамки, измеренное между точками B иD, оказалось равным 25 Ом, а между точками А и С – 3,66 Ом. Определите число звеньев в рамке. Точки B и D расположены точно посередине соответствующих сторон, проволока однородная.
3.11. Исследуя зависимость тока, протекающего через некоторый электрический элемент, от приложенного к нему напряжения, ученик получил изображенный на рис. 3.9 график. Какая тепловая мощность будет выделяться на этом элементе, если его подключить к источнику постоянного напряжения 5 В? Как изменится эта мощность, если к тому же источнику подключить последовательно два таких элемента? Считайте, что напряжение на выводах источника не зависит от текущего в цепи тока.
3.12. Имеется цепь, состоящая из источника постоянного тока напряжением U, сопротивления R, конденсатора C и неоновой лампы N (см. рис. 3.10). Неоновая лампа обладает следующими свойствами: она загорается, когда напряжение на ней больше, чем некоторое значение U1 (U1<U), и гаснет, когда напряжение на ней меньше некоторого значения U2 (U2<U1).Сопротивление горящей лампы равно R0 (R0áR), сопротивление потухшей лампы бесконечно велико. Рассчитайте среднеквадратичное значение тока, протекающего через лампу за время её горения, если между двумя последовательными моментами ее зажигания и погасания проходит время τ.
3.13. Постройте вольт-амперную характеристику (зависимость силы тока Iот напряжения U, которое может быть как положительным, так и отрицательным) схемы, показанной на рис. 3.11. Диоды и источники идеальные (сопротивление идеального диода бесконечно мало при включении в прямом направлении и бесконечно велико при включении в обратном направлении).Рис. 3.11.
3.14. На стеклянный стержень, покрытый непроводящей смазкой, надета заряженная бусинка с зарядом q. В пространстве создано постоянное во времени электрическое поле, у которого параллельная стержню составляющая напряженности зависит от координаты вдоль стержня по закону E=E0sin(kx), гдеE0 и k – постоянные. Частице толчком сообщают некоторую скорость вдоль стержня. Вследствие потерь на вязкое трение когда-нибудь частица остановится. В каких точках можно обнаружить остановившуюся частицу?3.15. На абсолютно гладкой непроводящей поверхности удерживают два металлических кубика (рис. 3.12). На один кубик помещен положительный заряд +q, на другой – отрицательный –q. Кубики отпускают. Через какое время они столкнутся? Расстояние hмежду ближайшими друг к другу гранями кубиков много меньше стороны кубика a. Плотность материала кубиков ρ.
3.16. Из вершин правильного шестиугольника со стороной 1 м одновременно пускают по направлению к центру шесть одинаковых заряженных частиц. Начальная скорость частиц 1 м/с. Когда расстояние между частицами уменьшилось в два раза, скорость каждой также уменьшилась вдвое. До какого минимального расстояния сблизятся частицы?3.17. В вершинах А и В квадрата АВСD закреплены два одинаковых положительных заряда Q, а в вершинах С и D – два одинаковых отрицательных заряда –q. Электрон, отпущенный из бесконечности, движется точно по оси, проходящей через центр квадрата параллельно сторонам ВС и АD. При каком отношении Q/q электрон может пролететь систему насквозь? Считайте, что электрон все время остается на оси системы.
3.18. Две бесконечные плоскости, по каждой из которых равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью σ, пересекаются под прямым углом (рис.
3.13). Посередине линии АВ расположена точечная частица с зарядом q того же знака, что и плоскости, и массы m, которой сообщают скорость v, направленную параллельно одной из плоскостей. На каком расстоянии от начальной точки частица вновь пересечет линию АВ? Столкновения частицы с плоскостью не происходит.
3.19. Предложена следующая модель молекулы водорода: два протона находятся на некотором расстоянии друг от друга, а два электрона движутся симметрично по круговой орбите радиуса 64⋅10-12м в плоскости, перпендикулярной к соединяющей протоны оси. Найдите расстояние между протонами, проктором они пребывают в равновесии. Заряды электрона и протона равны по величине и противоположны по знаку.
3.20. Тонкий диэлектрический стержень, на концах которого укреплены два разноименно заряженных шарика, помещен в однородное электрическое поле напряженности E и ориентирован параллельно его силовым линиям. Какую минимальную работу надо затратить, чтобы повернуть его на 180°? Длина стрежня l, заряд каждого шарика q.
3.21. Оцените отношение электрического поля на расстояниях x=0,01.r и x=100.r от центра O равномерно заряженного диска с поверхностной плотностью σ. Радиус диска r. Ось Оx перпендикулярна плоскости диска и проходит через его центр(рис. 3.14).
3.22. По поверхности полусферы (рис. 3.15) равномерно распределён электрический заряд. В таблице приведена рассчитанная на компьютере зависимость потенциала электростатического поля от расстояния вдоль оси Оx при x>0. Найдите потенциал в точке А (ОА=1,5R). Начало координат совпадает с центром полусферы.x/R 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0ϕ, В 100 76,4 58,6 46,5 38,2 32,3 27,63.23. В таблице приведены рассчитанные на компьютере значения напряженности электрического поля E, создаваемого квадратной решеткой (рис. 3.16) из N*N одинаковых точечных зарядов, в зависимости от координаты x. Определите величины точечных зарядов, шаг решетки a, число N. Ось x перпендикулярна решетке и проходит через ее центр.x 0,1 см 0,25 см 0,5 см 1 см 1,5 см 2 см 3 мE, В/м 100,8635 18,0659 7,6039 6,0110 5,8020 5,6405 0,01356573.24. По дуге в одну четверть окружности равномерно распределен некоторый заряд q (рис. 3.17а). При этом в точке А вектор электрического поля имеет составляющие Ex=4,41 В/м, Ey=12,28 В/м, а в точке В Ex= 0,91 В/м,Ey=–3,25 В/м. Найдите составляющие вектора электрического поля в точке С в случае, когда тот же самый заряд q распределен по дуге в три четверти окружности (рис. 3.17б).
3.25. Исследуется сила взаимодействия металлического шара и точечной положительно заряженной частицы, находящейся на фиксированном расстоянии от шара. Когда на шар поместили некоторый положительный заряд, то оказалось, что шар и частица притягиваются с силой f1, а когда заряд удвоили – с силой f2. Какова будет сила взаимодействия, если заряд шара утроить?3.26. Точечный заряд q помещен в центр сферы, по поверхности которой равномерно распределен заряд Q. В сфере вырезают маленькое отверстие радиуса r. Найдите силу, действующую на точечный заряд. Радиус сферы R.
3.27. Вокруг звезды "Икс" вращаются две планеты массой 6.1024кг каждая, состоящие из несжимаемой жидкости плотностью 1000кг/м3. Одна из планет электрически нейтральна, а по объему второй равномерно распределен электрический заряд 104 Кл. Найдите отношение давлений в центре планет.
3.28. В невесомости в состоянии покоя находится гантелька, которая состоит из двух маленьких одинаковых массивных шаров, несущих заряды +q и–q и скрепленных нерастяжимым изолирующим легким стержнем длины l. В пространстве внезапно возникает однородное электрическое поле. Какова должна быть его напряженность, чтобы гантелька разорвалась? Известно, что стержень рвется, если сила его натяжения превышает F.
3.29. В невесомости покоится заряженное кольцо. Из бесконечности через него пускают другое кольцо меньшего радиуса с той же массой и несущее такой же заряд. Оказалось, что малое кольцо пролетает через большое, если начальная скорость малого кольца превышает величину v0. Какими будут скорости колец в момент пролета малого через большое, если начальная скорость малого кольца равна 2v0? Плоскости колец все время остаются перпендикулярны оси движения.
3.30. Воздушный конденсатор, заряженный до напряжения 120 В, подключается параллельно к незаряженному конденсатору таких же геометрических размеров, но заполненному непроводящей жидкостью, относительная диэлектрическая проницаемость которой прямо пропорциональна напряжению на конденсаторе. При каком коэффициенте пропорциональности этой зависимости напряжение на соединенных конденсаторах станет равным 40 В?
3.31. Горизонтально расположенный плоский конденсатор подключен к источнику напряжения. Около верхней пластины удерживают с помощью магнита маленький железный шарик(рис. 3.18), затем магнит быстро убирают. Из- Рис. 3.18 42вестно, что шарик начинает прыгать внутри конденсатора, попеременно касаясь обеих пластин, если значение приложенного напряжения превышает некоторое значение U0. Найдите период колебаний шарика, если приложенное напряжение равно 3 U0. Известно, что в отсутствие напряжения высота каждого последующего подпрыгивания шарика в 2 раза меньше высоты предыдущего. Пластины изготовлены из немагнитного проводящего материала, расстояние между ними h. Удар шарика о верхнюю пластину абсолютно упругий.
3.32. В плоский конденсатор помещен легкий стержень длины l, на концах которого находятся два точечных заряда +q и –q (рис. 3.19). Стержень может без трения вращаться вокруг оси, проходящей через его середину. В моменты, когда стержень находится в положении 1, на пластины конденсатора подают напряжение U0, которое выключают, когда стержень оказывается в положении2. Определите интервал времени между 9-мвыключением и 10-м включением напряжения. В начальный момент времени стержень находится в положении 1 и не вращается. Расстояние между пластинами d, масса каждого шарика m.
3.33. Три тонких листа, несущих положительные заряды с поверхностными плотностями σ, 2σ, 3σ соответственно, удерживают параллельно друг другу так, что расстояние между ними много меньше их размеров (рис. 3.20). С какими ускорениями начнут разлетаться листы, если их отпустить? Масса единицы площади каждого листа ρ.
3.34. Моль воздуха находится в диэлектрическом цилиндре сечения S между двумя свободно скользящими металлическими поршнями, к которым приложено постоянное напряжение U. Как зависит установившееся расстояние между поршнями от температуры, если атмосферное давление постоянно и равно p0? Оцените возможность экспериментального наблюдения этой зависимости и ее использования для измерения температуры. Электрическая постоянная 0,885.10-11 Ф/м; атмосферное давление 1,013.105 Па; универсальная газовая постоянная 8,314 Дж/(Моль К), диэлектрическую проницаемость воздуха считать равной единице.
3.35. На две близко расположенные металлические сетки подано переменное напряжение с амплитудой U и частотой ω. Через сетки со скоростью v0 летит пучок электронов. Оказалось, что за сетками электроны собираются в компактные сгустки (рис.
3.21). Оцените, на каком расстоянии от сеток они образуются. Считайте, что изменение энергии электронов при прохождении промежутка мало по сравнению с их кинетической энергией (eUámv0/2), а кулоновским расталкиванием электронов можно пренебречь.
3.36. Два подобных друг другу гальванических элемента изготовлены из идентичных материалов, а все размеры одного из них в 2 раза больше, чем другого. Как соотносятся их электрические характеристики: ЭДС, внутреннее сопротивление, эффективное время работы на постоянную нагрузку?
3.37. В однородное магнитное поле с индукцией B помещена фигура в виде тонкой металлической пластинки толщины d, имеющей форму равностороннего треугольника со стороной làd.К вершинам А и В треугольника (рис. 3.22) с помощью длинных и мягких проводов подключен источник постоянного напряжения с внутренним сопротивлением R0. Найдите ускорение пластинки. Массой и сопротивлением подводящих проводов, а также сопротивлением пластинки пренебречь. Плоскость фигуры перпендикулярна магнитному полю, плотность материала пластинки ρ, ЭДС источника ,.
3.38. Из точки А с высоты H (см. рис. 3.23)отпускают без начальной скорости частицу с массой М и зарядом Q. Движение происходит в однородном поле силы тяжести (ускорение свободного падения g направлено вертикально вниз) и в однородном магнитном поле (вектор магнитной индукции В направлен перпендикулярно плоскости рисунка). В момент прохождения низшей точки траектории (т. В) эта частица сталкивается со второй, незаряженной частицей, отпущенной также безначальной скорости с той же высоты (из т.С) в подходящий момент времени.После соударения заряженная частица полетела по горизонтальной траектори и в плоскости рисунка, а вторая приземлилась в точке Е, отклонившись от вертикали на DE = l. Найдите массу второй частицы. Длина отрезка BC равна h. Считайте, что удар абсолютно упругий и заряд при ударе не передается.
3.39. Прибор для измерения ускорения содержиттри металлические пластины – две неподвижные иодну подвижную, прикрепленную к пружине. Пластины соединены легкими гибкими проводами с двумя катушками индуктивности, как показано на рис.
3.24. При движении прибора с некоторым ускорением были измерены собственные частоты электрических контуров 1 и 2, и их отношение оказалось равным 1,05. Найдите величину ускорения. Жесткостьпружины 100 Н/м, масса подвижной пластины 1 г. Впокое подвижная пластина расположена на расстоянии 0,5 мм от каждой из подвижных пластин.
3.40. Электромобиль снабжен электромотором, для которого угловая скорость вращения ведущих колес прямо пропорциональна ЭДС индукции с известным коэффициентом пропорциональности k. Найдите установившуюсяскорость движения автомобиля. Сила сопротивления воздуха прямо пропорциональна скорости автомобиля с известным коэффициентом пропорциональности α. Колеса автомобиля не проскальзывают, их радиус r. Электромоторвключен в сеть с ЭДС Е, сопротивление цепи R.
Геометрическая оптика
4.1. Болельщик на стадионе делает снимок финиша забега на 100 метров,находясь сбоку от дорожки на расстоянии 10 м от фотографируемого спортсмена. Оцените выдержку, с которой он должен фотографировать, чтобы при печати с негатива фотоснимка размером 10×15 см он получился резким. Размерыкадра фотопленки 24×36 мм, расстояние от объектива до фотопленки 30 мм,разрешающая способность используемой фотопленки 120 лин/мм. Известно, что глаз способен различить два объекта, угол между направлениями на которые составляет одну угловую минуту, а снимок рассматривается с расстояния наилучшего зрения 25 см.
4.2. Трюмо в комнате Знайки состоит из трех одинаковых зеркал, два из которых закреплены под углом 45° к третьему (см. рис. 4.1). От времени центральное зеркало испортилось и перестало отражать свет. Сколько своих изображений сможет увидеть Знайка, если он находится на оси симметрии трюмо на расстоянии a от центрального зеркала? Постройте все изображения Знайки в зеркалах трюмо. Длина каждого зеркала l, высота больше роста Знайки.
4.3. К одному концу цилиндрической трубы радиуса R и длины 4F, внутренние стенки которой являются идеальными зеркалами, приставлена идеальная собирающая линза с фокусным расстоянием F, главная оптическая ось которой совпадает с осью трубы, а другой конец трубы закрыт непрозрачной заслонкой (см. рис. 4.2). На расстоянии 4F справа от трубы размещен перпендикулярно ее оси экран, а слева от трубы на ее оси находится точечный источник света. В точке пересечения оси трубы с заслонкой в последней проделано маленькое отверстие так, что если источник света находится в фокусе линзы, то в центре экрана видно точечное световое пятно. Каковы будут форма и размер светлых пятен на экране, если источник удален от линзы на расстояние L>F?4.
4. В меньшее основание усеченного конуса с углом наклона образующей 30° и зеркальной внутренней поверхностью встроена собирающая тонкая линза. Конус освещается широким параллельным пучком света, падающим параллельно его оси (см. рис. 4.3). Изобразите картину, наблюдаемую в фокальной плоскости линзы.
4.5. Три среды с показателями преломления n1, n2 и n3(n1>n2>n3>1) располагаются так, как показано на рис. 4.
4.Два луча идут параллельно друг другу, при этом луч 1 проходит только через среды I и III, а луч 2 – через среды II иIII. Определите угол между этими лучами в среде III.
4.6. Объясните, почему часто близорукие люди наклоняют очки, а дальнозоркие – сдвигают очки на нос?4.7. Перед идеальной собирающей линзой с фокусным расстоянием F расположен квадрат со стороной F так, что его центр находится на главной оптической оси на расстоянии 2F от линзы, а две стороны параллельны главной оптической оси. Постройте изображение квадрата в линзе и определите, во сколько раз его площадь больше площади самого квадрата.
4.8. Идеальная собирающая тонкая линза с фокусным расстоянием F имеет форму диска диаметра d и заключена в оправу с внешним диаметром D. За линзой на расстоянии F от ее оптического центра перпендикулярно главной оптической оси расположен плоский экран достаточно большой площади. Перед линзой на ее главной оптической оси размещен точечный источник света. Получите формулу зависимости площади тени, отбрасываемой оправой на экран, от расстояния l между источником и оптическим центром линзы, если F<l<∞.Постройте график этой зависимости.
4.9. В пустом аквариуме установлены изготовленная из стекла двояковыпуклая линза и предмет, находящийся в ее фокусе. Аквариум заполняют водой так, что линза и предмет оказываются полностью погруженными в воду. Постройте (качественно) изображение предмета в линзе.
4.10. В центре собирающей линзы с фокусным расстоянием F1 вырезано круговое отверстие и в него вставлена собирающая линза с меньшим фокусным расстоянием F2 (см. рис. 4.5). Постройте изображение предмета, показанного на рисунке, в этой “двойной линзе.
4.11. Аккуратно распилив симметричную двояковыпуклую линзу, получили две одинаковые плоско-выпуклые линзы. Их сложили плоскими сторонами осветили параллельным пучком света, получив при этом точечное изображение источника на расстоянии F за ними. Затем одну из них оставили на месте, а другую сдвинули в то место, где было изображение при сложенных линзах (см.пунктир на рис. 4.6). Постройте ход лучей в получившейся системе и определи1 2те, где (на каком расстоянии от первой линзы) теперь будет изображение. Все линзы считайте тонкими.
4.12. Две одинаковые собирающие линзы с фокусным расстоянием F и точечный источник света расположены так, как показано на рис. 4.7, при этом расстояние от источника до первой линзы и расстояние между линзами равны F. Определите, как (в каком направлении и на какое расстояние) сместится изображение источника в этой системе, если повернуть на небольшой уголα а) вторую линзу (см. пунктир на рис. 4.7); б) первую линзу?4.13. Тонкую собирающую линзу диаметром D с фокусным расстоянием F аккуратно распилили пополам по плоскости, содержащей главную оптическую ось, и каждую из полученных половинок повернули на угол α относительно «старого» положения (см. рис. 4.8). Полученный «угол» вставили в отверстие в непрозрачном экране и освещают широким параллельным пучком света, идущим параллельно оси симметрии «угла». На расстоянии F от его вершины перпендикулярно его линии симметрии и направлению падающего пучка расположили линейку. Определите размер освещенной области на ней. Считайте, что линза столь тонкая, что влиянием «щели», образовавшейся в ней в результате наклона половинок, можно пренебречь. Колебания и волны5.1. К концу пружины подвешены два одинаковых груза массы m каждый, соединенные нитью (рис. 5.1). В некоторый момент нить пережигают. Найдите амплитуду колебаний верхнего груза. Коэффициент жесткости пружины k, массами пружин и нити можно пренебречь.
5.2. Маятник отклонили на угол π/2 от вертикали и отпустили, при этом он вернулся в исходное положение через время t1. Когда жена пути маятника поставили стенку (рис.
5.2), время возвращения в исходное положение составило t2.Найдите угол α, если известно, что он мал. Удар о стенку мгновенный и абсолютно упругий, длина нити l, трением пренебречь.
5.3. К наклонной стенке, составляющей малый угол α с вертикалью, подвешен на невесомой нерастяжимой нити тяжелый шарик. Его отвели влево на малый угол β, больший α (см. рис. 5.3), и отпустили. Удары шарика о стенку таковы, что отношение кинетической энергии шарика сразу после удара к кинетической энергии шарика сразу перед ударом равно K (0<K<1). Определите последовательность максимальных углов отклонения шарика влево.
5.4. Грузик массы m прикреплен к пружине жесткости k и может двигаться по горизонтальной плоскости без трения (рис. 5.4). Грузику ударом сообщают скорость v0. Нарисуйте график зависимости его периода колебаний от начальной скорости v0. Расстояние от грузика до стенки l, удары о стенку абсолютно упругие.
5.5. Шарик массы 100 г может колебаться на пружине с частотой 2 Гц. Вначале система находится в покое, затем на шарик начинает действовать сила, график зависимости которой от времени приведен на рис. 5.
5. Найдите амплитуду колебаний шарика.
5.6*. Шарнирная конструкция в виде квадрата лежит на гладком горизонтальном столе и жестко скреплена с ним в вершине А (см. рис. 5.6). Шарниры В и С соединены пружиной жёсткости k. Найдите период малых колебаний системы, если массами пружин, стержней, шарниров В и С по сравнению с массой m шарнира Н можно пренебречь, а трение всюду отсутствует.
5.7. В сосуде с газом находятся два поршня массы M каждый, скрепленные пружиной жесткости k. В состоянии покоя пружина не деформирована, а объемы всех трех частей сосуда одинаковы. Считая, что температура системы остается постоянной, определите частоту колебаний поршней. Трение между поршнями и стенками сосуда отсутствует. Полная длина сосуда L, площадь поперечного сечения S.
5.8. В каждой части горизонтально расположенного цилиндрического сосуда длины 2l, разделенного пополам поршнем массы m, находится по 1 малонасыщенного водяного пара. Сосуд поддерживается при постоянной температуре T0.а) Определите период малых колебаний поршня. б) Как он изменится, если немного нагреть сосуд? Немного охладить? В) Каким будет период колебаний, если при температуре T0 в каждой части сосуда находится по 1 молю воды и насыщенного водяного пара? Насыщенного водяного пара и воздуха? Молярная масса воды Mводы, воздуха Mвозд, трением пренебречь.
5.9. На боковой поверхности трубы (рис. 5.8) равномерно распределен положительный заряд с поверхностной плотностью σ. По оси трубы может двигаться шарик массы m, несущий отрицательный заряд–q. Найдите период малых колебаний шарика возле середины трубы. Длина трубы l намного больше ее диаметра d.
5.10. Математический маятник в виде невесомого стержня с грузом массы m находится вблизи верхнего (неустойчивого) положения равновесия(рис. 5.9а). Маятник может совершать движения только в плоскости, перпендикулярной рисунку. Его прикрепляют к двум пружинам жесткости k так, как показано на рис. 5.9б. Пружины не деформированы, когда маятник находится точно в верхнем положении равновесия. Маятник смещают на очень малое расстояние перпендикулярно плоскости рисунка и отпускают (рис. 5.9в). Найдите размах колебаний маятника. Считайте, что смещение маятника мало по сравнению с его длиной L и длинами недеформированных пружин l. Указание. При малых x и α справедливы соотношения (1+x)5.11. Центр тяжести шарика радиуса r находится на расстоянии h от его геометрического центра. Шарик установлен на внутреннюю поверхность неподвижно закрепленной сферы радиуса R так, что его центр тяжести находится точно над геометрическим центром (см. рис. 5.10) . На плоскости безразмерных параметров (h/r, R/r) изобразите область устойчивости такого положения равновесия.
5.12*. Модель игрушки “Ванька-встанька” представляет собой легкую твердую сферу радиуса r, внутри которой на расстоянии h от центра закреплен не большой тяжелый груз. Определите период малых колебаний такой модели, установленной на вершину полусферы радиуса R (см. рис. 5.11). Полусфера неподвижна относительно земли, модель не проскальзывает по полусфере.
5.12 показаны две последовательные фотографии бегущих звуковых волн в трубе, заполненной воздухом при близких к нормальным условиях, полученные с помощью «теневого» метода. Интервал времени между фотографиями равен 0,001 секунды. Определите скорость звука. Масштаб показан на рисунке.