Прямолинейное равноускоренное движение 1. Киномеханик по ошибке вставил киноленту так, что нее события на экране потекли в обратном направлении, при этом автомобили поехали назад. Как изменяются скорость и ускорение автомобиля в результате такой ошибки?
2. Длина шкалы спидометра 15 см: он измеряет скорость автомобиля в пределах от нуля до 150 км/ч. Найдите скорость указателя спидометра, если автомобиль движется с ускорением 2 м/с2.
3. График зависимости скорости тела от времени имеет вид полуокружности. Максимальная скорость тела V0, время движения t0. Определите путь, пройденный телом.
4. Тело в течение времени t0 движется с постоянной скоростью V0. Затем скорость его линейно нарастает со временем так, что в момент времени 2t0 она равна 2V0. Определите путь, пройденный телом за время t > t0.
5. Нарисуйте график зависимости координаты от времени для прямолинейного движения, удовлетворяющего одновременно двум условиям: а) средняя скорость в промежутке времени от 2 до 6 с равна 5 м/с; б) максимальная скорость в том же промежутке равна 15 м/с.
6. Координата движущейся по прямой точки меняется по закону: х = 2 + 10t + 3t2 (х в метрах, t в секундах). Какова её скорость при t = 2?
7. Показать, что средняя скорость за промежуток времени от t1 до t2 при равноускоренном движении равна скорости в момент времени (t1 + t2)/2.
8. Две частицы в момент времени t = 0 вышли из одной точки и двигались вдоль одной прямой. По графикам зависимости скорости от времени определите координату и время новой встречи частиц.
9. От движущегося поезда отцепляют последний вагон. Поезд продолжает двигаться с той же скоростью V0. Как будут относиться пути, пройденные поездом и вагоном к моменту остановки вагона? Считать, что вагон двигался равнозамедленно. Решить задачу также графически.
10. В момент, когда тронулся поезд, провожающий начал равномерно бежать по ходу поезда со скоростью V0 = 5 м/с. Принимая движение поезда равноускоренным, определить скорость поезда V в тот момент, когда провожаемый поравняется с провожающим.
11. Пассажир первого вагона поезда длины L прогуливался по перрону. Когда он был рядом с последним вагоном, поезд начал двигаться с ускорением а. Пассажир сразу же побежал со скоростью V. Через какое время он догонит свой вагон?
12. Точка движется с ускорением а. Определить разность путей, проходимых точкой в два последовательных одинаковых промежутка времени .
13. Машинист пассажирского поезда, двигавшегося со скоростью V1 = 108 км/ч, заметил на расстоянии S0 = 180 м впереди движущийся в ту же сторону со скоростью V2 = 32,4 км/ч товарный поезд. Машинист сразу включил тормоз, благодаря чему пассажирский поезд начал двигаться с ускорением а = -1,2 м/с2. Достаточно ли этого ускорения для того, чтобы поезда не столкнулись?
14. Точка начинает движение из точки А и движется сначала равноускорено в течение времени . затем ускорение меняет знак и в дальнейшем остаётся постоянным. Через какое время от начала движения точка вернётся в точку А?
15. Материальная точка движется вдоль прямой. Вначале она двигалась в течение отрезка времени с ускорением а (без начальной скорости). После этого ускорение изменило знак на противоположный и стало равно по модулю 2а. Через какое время после этого точка снова окажется в начальном положении?
16. Тело, двигаясь без начальной скорости, прошло за первую секунду 1 м, за вторую 2 м, за третью
3 м, за четвёртую 4 м и т. д. Может ли такое движение быть равноускоренным?
17. Тело, двигающееся равноускорено, прошло за первую секунду 1 м, за вторую 2 м, за третью 3 м и так далее. Какова его начальная скорость?
18. За последнюю секунду свободно падающее тело прошло 3/4 всего пути. С какой высоты оно упало?
19. С каким ускорением движется тело, если за восьмую секунду после начала движения оно прошло путь 30 м.
20. За какую секунду от начала движения путь, пройденный телом в три раза больше пути, пройденного в предыдущую секунду, если движение происходит без начальной скорости?
21. Показать, что для тела, брошенного вертикально вверх: 1) начальная скорость V0 равна конечной скорости его при соприкосновении с землёй; 2) время подъёма равно времени падения.
22. Тело падало с некоторой высоты и последние 200 м прошло за время 4 с. Сколько времени и с какой высоты падало тело.
23. С каким промежутком времени оторвались от карниза крыши две капли, если спустя две секунды после начала падения второй капли расстояние между ними было 25 м.
24. Из одной и той же точки вертикально вверх с интервалом времени выброшены два шарика со скоростью V. Через какое время после вылета второго шарика они столкнутся?
25. Тело бросили вертикально вверх со скоростью V. Когда оно достигло высшей точки, из того же места с той же скоростью бросили второе тело. На какой высоте тела встретятся?
26. Два камня брошены из одной точки с одинаковыми скоростями: один вертикально вверх, другой вертикально вниз. Они упали на землю с интервалом времени . С какой скоростью были брошены камни?
27. Из одной точки на высоте h от поверхности земли брошены с одинаковыми скоростями камень А вертикально вверх и камень В вертикально вниз. Известно, что камень А достиг верхней точки своей траектории одновременно с падением камня В на земно. Какой максимальной высоты (считая от поверхности земли) достиг камень А?
28. Два мяча брошены одновременно навстречу друг другу с одинаковыми скоростями: один вертикально вверх с поверхности земли, другой вертикально вниз с высоты Н. Найти эти скорости, если известно, что к моменту встречи один из мячей пролетел путь Н/3.
29. С некоторой высоты мяч был брошен вертикально вниз со скоростью V. После неупругого удара о поверхность земли он подскочил на высоту, вдвое меньшую первоначальной. Определить указанную высоту, если время подъёма после удара оказалось вдвое больше времени падения.
30. Тело свободно падает с высоты 270 м. Разделить чту высоту на три части h1, h2, h3 так, чтобы на прохождение каждой из них потребовалось одно и то же время.
31. Два тела начинают падать одновременно с разных высот h и Н и достигают Земли одновременно. Какую начальную скорость сообщили верхнему телу, если нижнее тело падало без начальной скорости.
32. Тело бросают вертикально вверх. Наблюдатель замечает промежуток времени между двумя моментами, когда тело находится на высоте h. Найти начальную скорость тела и время движения.
33. Автомобиль тормозит с постоянным ускорением до полной остановки. Торможение заняло 4 с, а тормозной путь составил 20 м. Какова была скорость автомобиля на середине тормозного пути?
34. Трамвай тормозит с постоянным ускорением до полной остановки. Найдите тормозной путь трамвая, если торможение заняло 5 с, а скорость трамвая на середине тормозного пути была 4 м/с.
35. Тело двигалось по оси X с постоянным ускорением. В точке х2 = 2 м оно имело скорость V2 = 2 м/с, а в точке х3 = 3 м имело скорость V3 = 3 м/с. Было ли это тело в точке х1 = 1 м?
36. Автомобиль трогается с места и первый километр проходит с ускорением а1 а второй с ускорением а2. При этом на первом километре его скорость возросла на 10 м/с, а на втором на 5 м/с. Что больше а1 или а2?
37. Тело, имея начальную скорость V0 = 1 м/с, двигалось равноускорено и, пройдя некоторое расстояние, приобрело скорость V = 7 м/с. Какова была скорость тела на половине этого расстояния?
38. Два тела движутся по прямой навстречу друг другу с начальными скоростями V1 и V2 и постоянными ускорениями а1 и а2, направленными противоположно соответствующим скоростям в начальный момент времени. При каком максимальном расстоянии L между телами, они встретятся в процессе движения?
39. Точка начинает двигаться со скоростью V0 = 10 м/с и движется с ускорением а = -2 м/с2. Определить, какой путь пройдёт точка за время t1 = 6 c и t2 = 8 с.
40. Автобус движется в течение 20 с по прямой до остановки, проходя при этом расстояние 310 м. Его начальная скорость 15 м/с. Докажите, что ускорение автобуса меняется по направлению.
41. В момент, когда трамвай имеет скорость 10 м/с включают тормоза, и трамвай начинает двигаться равнозамедленно. При каком ускорении он пройдет за 2 с путь 8 м?
42. Локомотив находился на расстоянии L = 400 м от светофора и имел скорость V = 54 км/ч, когда началось торможение. Определите расстояние от локомотива до светофора через 1 минуту после начала торможения, если он двигался с ускорением а = 0,3 м/с2.
43. Какой минимальный путь за время может пройти тело, движущееся с постоянным ускорением а?
44. С высоты Н на упругую горизонтальную подставку свободно падает шарик. Построить график изменения координаты, скорости и ускорения шарика в зависимости от времени, считая, что временем соударения можно пренебречь. Удар абсолютно упругий.
45. От неподвижного мяча удаляется массивная плита с постоянной скоростью U = 2 м/с, направленной вертикально вниз и перпендикулярно поверхности плиты. В момент, когда плита находилась на расстоянии l = 0.3 м от мяча, мяч отпускают. На какое максимальное расстояние от плиты удалится мяч после упругого удара о плиту? Масса мяча намного меньше массы плиты.
46. Два автомобиля выехали навстречу друг другу из городов А и в с одинаковыми по величине скоростями и одинаковыми по величине ускорениями, равными а. Ускорение автомобиля, выехавшего из А было всё время направлено в А, а выехавшего из В направлено в В. На сколько позже выехал один из этих автомобилей, если третий автомобиль, двигавшийся всё время со скоростью V, присутствовал при обеих встречах первых двух автомобилей?
47. Пункты А и В расположены на расстоянии l = 4 км друг от друга. Из пункта А в пункт В выехал автомобиль, который двигался все время равномерно. Одновременно навстречу первому из пункта В с начальной скоростью V0 = 32 м/с выехал автомобиль, движущийся с постоянным ускорением а = 0,2 м/с2, направленным всё время так же, как скорость первого автомобиля. Известно, что в пути автомобили два раза обгоняли друг друга. В каких пределах лежит скорость первого автомобиля?
48. Частица, покинув источник, пролетает с постоянной скоростью расстояние l, а затем тормозится с ускорением а. При какой начальной скорости частицы время движения от её вылета до остановки будет наименьшим?
49. Тело немного сместили из положения неустойчивого равновесия, и оно поехало. При этом скорость удаления от начальной точки возрастает по закону V = Ах1/2, где х расстояние до начальной точки, А постоянный коэффициент. Через какое время тело окажется на расстоянии L?
50. Муравей бежит от муравейника по прямой так, что его скорость обратно пропорциональна расстоянию до центра муравейника. В тот момент, когда муравей находится в точке А на расстоянии 1 м от центра муравейника, его скорость равна 2 м/с. За какое время муравей добежит от точки А до точки, которая находится на расстоянии 2 м от центра муравейника?
51. Два шарика начали одновременно и с одинаковой скоростью двигаться по поверхностям, имеющим форму, изображённую на рисунке. Как будут отличаться скорости и времена движения шариков к моменту их прибытия в точку В? Трением пренебречь.
52. Из верхней точки окружности по гладкому жёлобу под углом α к вертикали начинает скользить шарик. За какое время он достигнет другой точки окружности, если её диаметр D?
53. Из точки А по спицам с разным наклоном одновременно начинают скользить без трения маленькие бусинки. На какой кривой будут находиться бусинки в момент времени t?
54. Под каким углом α к вертикали должен быть направлен из точки А гладкий жёлоб, чтобы шарик соскользнул но нему на наклонную плоскость за наименьшее время?
Криволинейное равноускоренное движение 1. Мяч брошен с поверхности земли под углом a к горизонту с начальной скоростью V в направлении вертикальной стенки, расстояние до которой l. На какой высоте h мяч ударится о стенку? Сопротивлением воздуха пренебречь? 2. Человек бросает камень через забор высотой Н. На какое максимальное расстояние S он может отойти от забора, если бросок производится с высоты h от поверхности земли со скоростью V0 под углом a к горизонту? Ускорение свободного падения принять g? 3. Шарик, брошенный из точки А под углом a к горизонту, в точке В, лежащей на одной горизонтали с точкой А, ударяется о гладкую площадку, наклоненную к горизонту. После упругого удара шарик возвращается в исходную точку А, затратив на полет в n раз меньшее время. Найти угол a, под которым тело было брошено из точки А? 4. Под каким углом a к горизонту нужно бросить камень, чтобы отношение максимальной высоты подъема камня к дальности его полета составило n? 5. Снаряд, вылетевший из пушки под углом a1 к горизонту, падает на расстоянии S1. Какой будет дальность полета снаряда S2 при угле вылета a2? Сопротивлением воздуха пренебречь? 6. Маленький шарик падает с высоты H без начальной скорости. На высоте h над землей шарик испытывает абсолютно упругий удар о закрепленную площадку, наклоненную под углом а=45 град. к горизонту. Найти дальность полета шарика L? 7. Пушка делает два выстрела с интервалом T. Каким будет расстояние L между снарядами спустя время T после второго выстрела? Скорость снаряда при выстреле V0, ствол пушки направлен под углом a к горизонту. Ускорение свободного падения принять g, силу сопротивления воздуха при движении снарядов не учитывать. 8. Брусок соскальзывает без трения с наклонной плоскости высотой h и с углом при основании a, а затем свободно падает на пол с высоты H. Найти угол b между направлением скорости и вертикалью в момент удара бруска о пол. Сопротивлением воздуха пренебречь. 9. Шарик брошен с башни высотой h под углом a к горизонту со скоростью V0. При падении у земли шарик упруго ударяется о наклонную плоскость и возвращается в точку бросания по той же траектории. Какой угол b составляет наклонная плоскость с горизонтом? Ускорение свободного падения принять g. 10. С вершины холма бросили камень под углом к горизонту со скоростью V0. В момент падения камня на склон холма величина угла между направлением скорости камня и горизонтом составила b, а разность высот точек бросания и падения h. Найти угол a между направлением начальной скорости камня V0 и горизонтом. Ускорение свободного падения принять g. 11. Маленький шарик падает с высоты h на наклонную плоскость, составляющую угол a с горизонтом. Найти расстояние S между точками первого и второго соударений шарика c наклонной плоскостью. Соударения считать абсолютно упругими, сопротивлением воздуха пренебречь.
Криволинейное движение (включая случаи переменного ускорения) 1. Небольшое тело движется но окружности радиуса r со скоростью, которая линейно увеличивается во времени по чакону v = kt. Найти зависимость ускорения тела от времени. 2. В какой момент времени у тела, брошенного горизонтально с начальной скоростью 20 м/с, касательное ускорение равно нормальному? 3. Мяч брошен горизонтально со скоростью 10 м/с. Через сколько времени и в каком месте нормальное ускорение мяча будет в два раза больше касательного? 4. Камень бросили с башни высотой h горизонтально так, что дальность полёта (по горизонтали) оказалась в два раза больше высоты башни. Найдите радиус кривизны траектории перед самым падением. 5. С обрыва в горизонтальном направлении бросают камень со скоростью 20 м/с. Определить точку траектории, радиус кривизны которой в восемь раз больше радиуса кривизны в верхней точке. 6. Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус R. При какой наименьшей скорости брошенный с земли камень может перелететь через резервуар, лишь коснувшись его вершины? 7. Можно ли сделать оборот по окружности, двигаясь с постоянным (по величине и направлению) ускорением? 8. Можно ли с постоянным ускорением проехать по четверти окружности? 9. Точка движется по окружности радиуса R с постоянным но модулю ускорением а. Какой путь пройдёт точка к моменту достижения максимальной скорости, если начальная скорость равна нулю? 10. Пилот космического корабля, движущегося со скоростью v = 1 км/с, заметил прямо по курсу астероид диаметром d = 7 км, когда до его поверхности оставалось расстояние l = 8,5 км. Космонавт сразу же включил аварийные двигатели, которые за пренебрежимо малое время сообщают кораблю дополнительную скорость V = 300 м/с, направление которой задаётся космонавтом. Может ли корабль избежать столкновения? 11. В момент времени, когда скорость частицы равна 106 м/с, её ускорение составляет 104 м/с2 и направлено под углом 30° к скорости. На сколько увеличится скорость за 10-2 с? На какой угол изменится направление скорости? Какова в этот момент угловая скорость вращения вектора скорости? 12. За лисой, бегущей прямолинейно и равномерно со скоростью V, гонится собака, скорость которой U постоянна по абсолютной величине и направлена всё время на лису. В момент, когда скорости V и U оказались взаимно перпендикулярными, расстояние между лисой и собакой было равно l. Какое было ускорение собаки в этот момент? 13. Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной l. Они начинают двигаться одновременно с постоянной по модулю скоростью v. Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой стрелке. Где встретятся черепахи и через какое время? Какой путь пройдут они до встречи? Найдите ускорение черепахи и радиус кривизны её траектории. 14. Лиса гонит зайца, держа курс точно на него. Заяц, как известно, косой он думает, что удирает от лисы точно вдоль соединяющей их прямой, а на самом деле его скорость составляет всё время угол 60° с этой прямой. Начальное расстояние между лисой и зайцем составляет l, скорости их одинаковы и равны v. Через какое время лиса догонит зайца? На каком расстоянии от начального положения лисы это произойдёт? Как изменится ответ, если заяц окосеет до 90°? А если поправит зрение до 45°? 15. От прямолинейного участка берега отошли одновременно два корабля А и В, находившиеся первоначально на расстоянии L друг от друга. Корабль А двигался по прямой, перпендикулярной к берегу. Корабль В держал непрерывно курс на корабль А, имея в каждый момент одинаковую с ним скорость. Очевидно, что через достаточно большое время второй корабль будет следовать за первым, находясь от него на некотором расстоянии. Найти это расстояние. 16. Заяц бежит по прямой с постоянной скоростью 10 м/с. Скорость лисы составляет 20 м/с, лиса в каждый момент времени бежит точно в ту точку, где находится заяц. В начальный момент расстояние между лисой и зайцем составляет 300 метров, направление движения зайца перпендикулярно отрезку, который в этот момент соединяет его с лисой. Через какое время лиса его догонит? 17. Кусочек сахара брошен со скоростью v0 под углом α к горизонту. Вслед за сахаром точно по той же траектории летит пчела с постоянной по модулю скоростью V0. Найдите ускорение пчелы в верхней точке траектории. 18. Кусочек сахара брошен под углом к горизонту. В точке А скорость кусочка была равна V0 и направлена под углом α к горизонту. Вслед за сахаром точно по той же траектории летит пчела с постоянной по модулю скоростью V0. Найдите ускорение пчелы в точке А. 19. Кусочек сахара брошен под углом к горизонту. В точке А скорость кусочка была равна V и направлена под углом α к горизонту. Вслед за сахаром точно по той же траектории летит пчела так, что её высота увеличивается с постоянной скоростью V. Найдите ускорение пчелы в точке А.