Упражнение 1 1. Тело движется равномерно вдоль оси X противоположно ее положительному направлению. Модуль скорости равен 36 км/ч. Начальная координата равна 20 м. Найдите положение тела через 4 с. Чему равен путь, пройденный телом? 2. Тело движется равномерно в положительном направлении оси X. Модуль скорости равен 28,8 км/ч. Найдите положение тела через 5 с после начала движения, если начальная координата тела xQ — -40 м. Чему равен путь, пройденный телом? 3. При движении вдоль прямой координата точки изменилась за 5 с от значения xQ — 10 м до значения х — -10 м. Найдите модуль скорости и направление движения точки. Упражнение 2 1. Координаты точки при равномерном прямолинейном движении на плоскости X O Y за время t = 2 с изменились от начальных значений х0 = -3 м и у 0 = -2 м до значений х = 5 ы и у = 6м . Найдите модуль и направление скорости точки. Постройте траекторию и укажите направление скорости на рисунке. 2. Точка М совершает движение на плоскости X O Y . Координаты точки в зависимости от времени изменяются так: Запишите уравнение траектории у = у(х ) точки М. Найдите начальные координаты движущейся точки и ее координаты через 1 с после начала движения. 3. На рисунке 1.41 изображен график зависимости координаты от времени, когда точка движется вдоль оси X . Опишите характерные особенности движения точки: в каких направлениях двигалась точка относительно оси X в различные интервалы времени; в какой момент времени точка была в начале координат; чему равнялись проекции и модули скоростей за отдельные интервалы времени? Постройте графики проекции и модуля скорости, а также пути в зависимости от времени. х = -4 м /с • t , y = 6 м + 2 м /с • t. 75 Рис. 1.42 Рис. 1.43 4. Может ли график зависимости пути от времени иметь вид, представленный на рисунке 1.42? 5. На рисунке 1.43 представлен график зависимости от времени проекции скорости точки, движущейся вдоль оси X . Начертите графики координаты и пути в зависимости от времени. Начальная координата точки х 0 = -8 м. 6. Один локомотив прошел первую половину пути I со скоростью Uj = 80 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью v 2 — 40 км/ч. Другой локомотив шел половину времени t со скоростью v 1 = 80 км/ч, а половину времени — со скоростью и2 = 40 км/ч. Найдите средние модули скоростей обоих локомотивов. 7. По шоссе со скоростью = 16 м /с движется автобус. Человек находится на расстоянии а = 60 м от шоссе и на расстоянии b = 400 м от автобуса. В каком направлении должен бежать человек, чтобы оказаться в какой-либо точке шоссе одновременно с автобусом или раньше него? Человек может бежать со скоростью и2 = 4 м /с. 76 8. Лодку тянут за веревку с крутого берега с постоянной по модулю скоростью д. Найдите зависимость модуля скорости и лодки от угла а между веревкой и горизонтальным направлением (рис. 1.44). Упражнение 3 1. Небольшому кубику на гладкой наклонной плоскости сообщили начальную скорость и0 = 8 м /с, направленную вверх. Кубик движется прямолинейно с постоянным ускорением, модуль которого а = 2 м /с2. Найдите положение кубика относительно той точки плоскости, где кубику сообщена скорость v0, в моменты времени 2, 4, 6 с от начала движения, а также скорость кубика в те же моменты времени. Чему равен путь, пройденный кубиком за 5 с? 2. Два велосипедиста едут навстречу друг другу. Один из них с начальной скоростью 18 км/ч поднимается в гору равнозамедленно с постоянным ускорением, модуль которого 20 см /с2. Другой велосипедист с начальной скоростью 5,4 км/ч спускается с горы с таким же по модулю ускорением. Через какое время они встретятся? На каком расстоянии от подножия горы произойдет встреча и какой путь пройдет каждый из них к этому моменту? Расстояние между велосипедистами в начальный момент времени было 195 м. 3. На рисунке 1.69 изображены графики I, II и III проекций скорости трех тел, движущихся прямолинейно. Охарактеризуйте особенности движения тел. Чему соответствует точка А пересечения графиков? Найдите модули ускорений тел. Запишите формулы для вычисления проекций скорости каждого тела. 4. Расстояние 20 км между двумя станциями поезд проходит со скоростью, средний модуль которой равен 72 км/ч, причем на разгон он тратит 2 мин, а затем идет с постоянной скоростью. На торможение до полной остановки поезд тратит 3 мин. Определите модуль максимальной скорости поезда. 5. Санки, скатывающиеся с горы, в первые 3 с проходят 2 м, а в последующие 3 с — 4 м. Считая движение равноускоренным, найдите модуль ускорения и модуль начальной скорости санок. 6. Тело, движущееся равноускоренно с начальной скоростью 1 м /с, приобретает, пройдя некоторое расстояние, скорость 7 м /с. Какова была скорость тела на середине этого расстояния? 100 7. По прямой начинает двигаться точка с постоянным ускорением. Спустя время t x после начала ее движения направление ускорения точки изменяется на противоположное, оставаясь неизменным по модулю. Определите, через какое время t2 после начала движения точка вернется в исходное положение. 8. Вагонетка должна перевезти груз в кратчайший срок с одного места на другое, удаленное от первого на расстояние L . Она может увеличивать или уменьшать свою скорость только с одинаковым по модулю ускорением, равным а. Кроме того, она может двигаться с постоянной скоростью. Какой наибольшей по модулю скорости должна достигнуть вагонетка, чтобы было выполнено указанное выше условие? 9. На рисунке 1.70 приведен график зависимости проекции скорости точки, движущейся прямолинейно, от времени. Постройте график зависимости координаты от времени, если х0 = 4,5 м. Постройте график зависимости пути от времени. Упражнение 4 1. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с. Через какой промежуток времени оно будет на высоте 25 м? 2. К стене на нити подвешена линейка длиной 25 см. Под линейкой в стене имеется маленькое отверстие. На какой высоте h над отверстием должен находиться нижний край линейки, если после пережигания нити линейка, свободно падая, закрывала собой отверстие в течение 0,1 с? Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с2. 3. С какой высоты упало тело, если в последнюю секунду падения оно прошло путь, равный 75 м? 4. Воздушный шар поднимается вверх без начальной скорости с постоянным ускорением и за 20 с достигает высоты 200 м. Спустя 114 10 с после начала движения от шара без толчка отделился балласт. Через какое время балласт достигнет земли? 5. Брошенное вертикально вверх тело на высоте 25 м побывало дважды с интервалом времени 4 с. Определите модуль начальной скорости тела, а также модули и направления скоростей тела на высоте 25 м. 6. Два тела брошены вертикально вверх из одной точки одно вслед за другим с интервалом времени, равным т, с одинаковыми скоростями й0. Через какое время после бросания первого тела они встретятся? 7. Камень брошен горизонтально. Через 3 с его скорость оказалась направленной под углом 45° к горизонту. Найдите модули начальной скорости и скорости тела спустя 3 с. 8. Тело брошено с поверхности Земли под углом 30° к горизонту. Найдите модуль начальной скорости, если на высоте 10 м тело побывало дважды с интервалом времени 1 с. 9. Тело брошено под углом 60° к горизонту с начальной скоростью 21 м/с. На какой высоте вектор скорости будет составлять с горизонтом угол 30°? 10. С высоты Н на наклонную плоскость, образующую угол а с горизонтом, свободно падает мяч и упруго отражается1 с той же по модулю скоростью. Найдите расстояние от места первого соударения до второго; затем от второго до третьего и т. д. Определите расстояние между первым и вторым соударениями для случая, когда а = 45° и Н = 0,5 м. 11. Из шланга, лежащего на земле, бьет под углом 30° к горизонту вода с начальной скоростью 10 м/с. Площадь сечения отверстия шланга равна 2 см2. Определите массу струи, находящейся в воздухе. Плотность воды 1000 кг/м3. 12. Два тела брошены одновременно из одной точки: одно вертикально вверх, другое — под углом 60° к горизонту. Начальная скорость каждого тела v0 = 25 м/с. Найдите расстояние между телами спустя время t = 1,7 с. 13. С поверхности Земли одновременно бросают два тела: одно вертикально вверх, второе — под углом к горизонту. Найдите угол, под которым бросили второе тело, если оба тела упали одновременно, причем высота подъема тела, брошенного вертикально вверх, равна расстоянию, на котором второе тело упало от точки бросания. Упражнение 5 1. Поезд движется по закруглению радиусом 200 м со скоростью 36 км/ч. Найдите модуль нормального ускорения. 2. Тело брошено с поверхности Земли под углом 60° к горизонту. Модуль начальной скорости равен 20 м/с. Чему равен радиус кривизны траектории в точке максимального подъема? 3. Определите радиус кривизны траектории снаряда в момент вылета из орудия, если модуль скорости снаряда равен 1 км/с, а скорость составляет угол 60° с горизонтом. 4. Снаряд вылетает из орудия под углом 45° к горизонту. Чему равна дальность полета снаряда, если радиус кривизны траектории в точке максимального подъема равен 15 км? 5. Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус R. При какой наименьшей скорости камень, брошенный с поверхности Земли, может перелететь через резервуар, коснувшись его вершины? Под каким углом к горизонту должен быть при этом брошен камень? 6. Въезд на один из самых высоких в Японии мостов имеет форму винтовой линии, обвивающей цилиндр радиусом г. Полотно дороги -- составляет угол а с горизонтальной плоскостью. Найдите модуль ускорения автомобиля, движущегося по въезду с постоянной по модулю скоростью V. 7. Точка начинает двигаться равноускоренно по окружности радиусом 1 м и за 10 с проходит путь 50 м. Чему равно нормальное ускорение точки через 5 с после начала движения? 8. Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной скоростью 54 км/ч и проходит путь 600 м за 30 с. Радиус закругления равен 1 км. Определите модуль скорости и полное ускорение поезда в конце этого пути, считая тангенциальное ускорение постоянным по модулю. 9. Груз Р начинает опускаться с постоянным ускорением а = 2 м/с2 и приводит в движение ступенчатый шкив радиусами г = 0,25 м и R = 0,50 м (рис. 1.89). Какое ускорение aj будет иметь точка М через t = 0,50 с после начала движения? 10. Маховик приобрел начальную угловую скорость (й — 2п рад/с. Сделав 10 оборотов, он вследствие трения в подшипниках остановился. Найдите угловое ускорение маховика, считая его постоянным. 11. Маховое колесо радиусом R = 1 м начинает движение из состояния покоя равноуско- Рис. 1.89 127 ренно. Через fj = 10 с точка, лежащая на его ободе, приобретает скорость i>j = 100 м/с. Найдите скорость, а также нормальное, касательное и полное ускорения этой точки в момент времени t2 = 15 с. 12. Шкив радиусом Л = 20 см начинает вращаться с угловым ускорением р = 3 рад/с2. Через какое время точка, лежащая на его ободе, будет иметь ускорение а = 75 см/с2? 13. Точка начинает обращаться по окружности с постоянным ускорением р = 0,04 рад/с2. Через какое время вектор ее ускорения будет составлять с вектором скорости угол а = 45°?
Упражнение 6 1. Два автобуса движутся в одном направлении. Модули их скоростей соответственно равны 90 и 60 км/ч. Чему равна скорость первого автобуса относительно второго и второго относительно первого? 2. По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу движутся два поезда со скоростями 72 и 108 км/ч. Длина первого поезда 800 м, а второго 200 м. В течение какого времени один поезд проходит мимо другого? 3. Скорость течения реки = 1,5 м /с. Каков модуль скорости v катера относительно воды, если катер движется перпендикулярно к берегу со скоростью v 2 = 2 м /с относительно него? 4. Какую скорость относительно воды должен сообщить мотор катеру, чтобы при скорости течения реки, равной 2 м /с, катер двигался перпендикулярно берегу со скоростью 3,5 м /с относительно берега? 5. Капли дождя падают относительно Земли отвесно со скоростью 30 м /с. С какой наименьшей скоростью относительно Земли должен ехать автомобиль, чтобы на заднем смотровом стекле, наклоненном под углом 60° к горизонту, не оставалось следов капель? Завихрения воздуха не учитывать. 6. Эскалатор метро спускает идущего по нему человека за 1 мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, то он спустится за 45 с. Сколько времени будет спускаться человек, стоящий на эскалаторе? 7. Гусеничный трактор движется со скоростью 72 км/ч относительно Земли. Чему равны относительно Земли модули скоростей: а) верхней части гусеницы; б) нижней части гусеницы; в) части гусеницы, которая в данный момент движется вертикально по отношению к трактору? 8. Человек спускается по эскалатору. В первый раз он насчитал 50 ступенек. Во второй раз, двигаясь со скоростью вдвое большей, он насчитал 75 ступенек. В какую сторону движется эскалатор? 146 Сколько ступенек насчитает человек, спускаясь по неподвижному эскалатору? 9. Теплоход от Нижнего Новгорода до Астрахани плывет 5 сут, а обратно 7 сут. Сколько времени от Нижнего Новгорода до Астрахани плывет плот? 10. Скорость течения реки возрастает пропорционально расстоянию от берега, достигая своего максимального значения v0 = 5 м /с на середине реки. У берегов скорость течения равна нулю. Лодка движется по реке так, что ее скорость относительно воды постоянна, равна по модулю и = 10 м /с и направлена перпендикулярно течению. Найдите расстояние, на которое будет снесена лодка при переправе, если ширина реки d = 100 м. Определите траекторию лодки. 11. Скорость течения реки возрастает с расстоянием от берега, достигая своего максимального значения о0 = 5 м /с на середине реки. У берегов скорость течения равна нулю. От берега начинает плыть спортсмен со скоростью v = 4 м /с относительно воды, направленной перпендикулярно течению. Стоявшая на середине реки на якоре лодка начинает двигаться параллельно берегу с постоянной от- носительно воды скоростью и = 10 м /с одновременно с пловцом. На каком расстоянии от места встречи с пловцом находилась первоначально лодка, если ширина реки h = 100 м? 12. Платформа движется со скоростью = 40 м /с. В момент, когда она пересекала прямую линию ОМ, перпендикулярную направлению движения (рис. 1.104), с платформы был произведен выстрел по неподвижной цели М . Зная, что скорость пули относительно платформы i>2 = 800 м /с, найдите направление, в котором был произведен выстрел. 13. Круглая горизонтальная платформа вращается вокруг своей оси с угловой скоростью 2 рад/с (рис. 1.105). Кубик М движется со скоростью 9 м /с в направлении МО. В некоторый момент времени рас- Рис. 1.104 Рис. 1.105 147 стояние МО = 6 м. Найдите скорость кубика относительно наблюдателя, стоящего в центре платформы в этот момент времени. 14.Шоссейные дороги пересекаются под прямым углом. По дорогам движутся автомобили со скоростями v1 и v2 в направлении к перекрестку (Uj > о2). В некоторый момент времени расстояние обоих автомобилей до перекрестка было одинаковым и равным I. На каком наименьшем расстоянии d автомобили прошли относительно друг друга? 15.Человек на лодке должен попасть из точки А в точку В, находящуюся на противоположном берегу реки (рис. 1.106). Расстояние ВС = а. Ширина реки АС — Ъ. С какой наименьшей скоростью и относительно воды должна плыть лодка, чтобы попасть в точку В? Скорость течения реки постоянна и равна и. 16.Лифт движется с ускорением а, направленным вверх. Человек, находящийся в лифте, роняет книгу. Чему равно ускорение книги относительно лифта? Решите задачу также для случая, когда ускорение лифта направлено вниз. Упражнение 7 1. На шар действует приложенная к его центру сила, совпадающая по направлению со скоростью шара. Модуль силы изменяется с течением времени так, как показано на рисунке 2.37. Какое движение совершает шар и в какой момент времени его скорость максимальна? 2. Проекция Fx силы, действующей на тело, изменяется со временем так, как показано на рисунке 2.38. Сила направлена вдоль оси X. Начальная скорость и координата тела равны нулю. Начертите графики зависимости проекции скорости vx(t) и координаты x(t) от времени. 3. При движении тела массой m = 0,1 кг его координата меняется в зависимости от времени следующим образом: х = 15 м/с2 • t2 + + 2 м/с • t. Найдите силу, действующую на тело. Рис. 2.38 205 4. Груз, подвешенный на нити длиной L, равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости (конический маятник). Нить описывает коническую поверхность, составляя с вертикалью угол а. Найдите период Т обращения груза. Чему должна быть равна максимальная сила натяжения нити F, чтобы радиус окружнос- 2 L 0 ти, по которой движется груз, мог достигнуть значения -= ? J 5 5. Во время автомобильной катастрофы машина, двигавшаяся со скоростью v = 54 км/ч, налетела на бетонную стену. При этом передняя часть машины смялась так, что ее длина уменьшилась на 1Х = 0,5 м. Какая постоянная сила должна действовать на пассажира со стороны ремня безопасности, чтобы он не разбил головой ветровое стекло? Расстояние от головы пассажира до ветрового стекла 12 = 0,5 м. Масса пассажира m = 60 кг. 6. К концу невесомого стержня длиной 1 м прикреплен небольшой шарик массой 0,1 кг; другой конец стержня закреплен на горизонтальной оси. Стержень равномерно вращается в вертикальной плоскости. С какой по модулю силой и в каком направлении шарик действует на стержень при прохождении наивысшей точки траектории, если скорость шарика 6 м /с (3,2 м /с; 1 м/с)? 7. Невесомый стержень изогнут под углом а = 30° (рис. 2.39). На конце участка стержня А В длиной 80 см закреплен маленький шарик массой 1 кг. Система вращается вокруг вертикального участка стержня так, что скорость шарика равна 2 м/с. С какой по модулю силой и в каком направлении стержень действует на шарик? 8. Найдите модули ускорения грузов и сил натяжения нитей для системы грузов, изображенной на рисунке 2.40, Массой нитей и блока, а также трением в оси блока пренебречь. Массы грузов соответственно равны 1, 2 и 3 кг. 9. На рисунке 2.41 изображена система движущихся тел, имеющих массы т 1 = т, т 2 = 4т , т 3 = т . Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол а = 30°. Трение отсутствует. Определите силы натяжения нитей. Ю.На рисунке 2.42 показаны графики 1, 2 зависимости модуля силы, удерживающей тело на окружности, от ее радиуса. В одном случае — это гипербола, а в другом — прямая. Как объяснить это кажущееся противоречие? 11. Конус с углом раствора 2а вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со (рис. 2.43). В конусе находится шарик массой т, прикрепленный к внутренней поверхности конуса при помощи нити. Радиус окружности, по которой обращается шарик, равен R. Найдите силу натяжения нити Т и силу давления шарика Р на поверхность конуса. Трение не учитывать. 12. Как определить направление вращения ротора двигателя кофемолки, если ее корпус непрозрачен? 13. На оси центробежной машины закреплена нить длиной I = 12,5 см, на конце которой находится маленький шарик (рис. 2.44). Найдите угол а между нитью и вертикалью, если машина вращается с частотой у1= 1 Г ц (у2 = 2 Гц). Упражнение 8 1. Среднее расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке прямой, соединяющей их центры, следует поместить тело, чтобы оно притягивалось к Земле и Луне с одинаковыми силами? 2. На какой глубине h от поверхности Земли ускорение свободного падения gh = 9,7 м/с2? Радиус Земли R3 = 6400 км. Ускорение свободного падения на географических полюсах Земли gQ = 9,8 м/с2. Считать Землю однородным шаром. 3. Радиус Луны Щ приблизительно в 3,7 раза меньше, чем радиус Земли R, а масса Луны т1 в 81 раз меньше массы Земли тп. Каково ускорение свободного падения тел на поверхности Луны? 4. Каково ускорение свободного падения на высоте, равной радиусу Земли? 5. Спутник движется вокруг Земли на расстоянии Н от ее поверхности. Радиус Земли R0 » Н. Определите период обращения спутника. Орбиту считать круговой. 6 . Два тела одинаковой массы соединены невесомой пружиной, жесткость которой k = 200 Н/м. Тела находятся на абсолютно гладкой горизонтальной поверхности. К одному из тел приложена горизонтальная сила F (F = 20 Н). Определите удлинение АI пружины. 7. Имеются две пружины, жесткости которых равны соответственно кг и k2. Какова жесткость двух пружин, соединенных: а) параллельно; б) последовательно? 8 . При помощи пружинного динамометра груз массой m = 10 кг движется с ускорением а = 5 м/с2 по горизонтальной поверхности стола. Коэффициент трения груза о стол равен р = 0,1. Найдите удлинение АI пружины, если ее жесткость k = 2000 Н/м. 9. На горизонтальной вращающейся платформе на расстоянии Л = 50 см от оси вращения лежит груз. Коэффициент трения груза о платформу р = 0,05. При какой частоте вращения груз начнет скользить? 10.3а какое время первоначально покоившееся тело соскользнет с наклонной плоскости высотой h = 3,0 м, наклоненной под углом а = 30° к горизонту, если при угле наклона плоскости к горизонту (3 = 1 0 ° оно движется равномерно? 11.Тело массой тп = 20 кг тянут с силой F = 120 Н по горизонтальной поверхности. Если эта сила приложена под углом = 60° к горизонту, тело движется равномерно. С каким ускорением будет двигаться тело, если ту же силу приложить под углом а2 = 30° к горизонту? 267 12. Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол а = 30°. На плоскость положили тело и толкнули вверх. В течение времени ty = 0,7 с тело прошло расстояние I = 1,4 м, после чего начало соскальзывать вниз. Сколько времени длится соскальзывание до начального положения тела? Каков коэффициент трения тела о наклонную плоскость? 13. Цилиндрическая труба радиусом R = 1 м катится по горизонтальной поверхности так, что ее ось перемещается с ускорением а = 4,9 м/с2. Внутри трубы находится маленький кубик, коэффициент трения скольжения которого о внутреннюю поверхность трубы р. = 0,5. На какой высоте от горизонтальной поверхности, по которой катится труба, находится кубик? Толщиной стенок трубы пренебречь. 14. На гладком горизонтальном столе лежит брусок массой т1 = 2 кг, на который положен второй брусок массой т2 = 1 кг. Оба бруска соединены невесомой нитью, перекинутой через неподвижный блок (рис. 3.52). Какую силу F надо приложить к нижнему бруску в горизонтальном направлении, чтобы он начал двигаться с постоянным g ускорением а = ^ ? Коэффициент трения между брусками ц = 0,5. 15. Как будет изменяться сила трения между доской и находящимся на ней бруском, если доску приподнимать за один из ее концов так, чтобы угол наклона с горизонтом изменялся от 0 до 90°? Начертите график зависимости модуля силы трения от угла наклона доски. Коэффициент трения ц известен. 16. Два шара одинакового размера, но разных масс т{ и т2 (niy > т2) связаны нитью, длина которой много больше их радиусов. При помещении в жидкость эта система шаров тонет. Какая сила натяжения будет действовать на соединяющую шары нить при их установившемся падении в жидкости? Упражнение 9 1. Через блок перекинута нить, к концам которой подвешены грузы массами т1 = 1,5 кг и т2 = 0,5 кг (рис. 4.12). Ось блока движется с ускорением а = 4 м/с2, направленным вниз. Найдите ускорения грузов относительно Земли. 2. В вагоне поезда, идущего со скоростью v = 72 км/ч по закруглению радиусом R = 400 м, производится взвешивание тела на пружинных весах. Определите показания весов, если масса тела т = 100 кг. 3. На экваторе планеты тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Определите период Т вращения планеты вокруг своей оси, рассматривая ее как однородный шар со средней плотностью вещества р = 3000 кг/м3. 4. Металлическая цепочка длиной I = 0,5 м, концы которой соединены, насажена на деревянный диск (рис. 4.13). Диск вращается с частотой п = 60 об/с. Масса цепочки тп = 40 г. Определите силу натяжения Т цепочки. 5. Наклонная плоскость (рис. 4.14) с углом наклона а движется влево с ускорением а. При каком значении ускорения тело, лежащее на наклонной плоскости, начнет подниматься вдоль плоскости? Коэффициент трения между телом и плоскостью равен (1 . 6 . Гладкая наклонная плоскость, образующая с горизонтом угол а (рис. 4.15), движется вправо с ускорением а. На плоскости лежит брусок массой тп, удерживаемый нитью АВ. Найдите силу натяжения Т нити и силу давления Р бруска на плоскость. Упражнение 10 1. Свинцовый шар массой 200 г движется перпендикулярно стене со скоростью 10 м/с и сталкивается с ней. Найдите силу, действующую на стену при ударе, считая ее постоянной. Время столкновения равно 0,01 с. Шар не отскакивает от стены. 2. Стальной шар массой 100 г движется по горизонтальной поверхности без трения в направлении, перпендикулярном стене. Скорость шара до удара равна 10 м/с. После соударения шар отскакивает от стены с такой же по модулю скоростью, но в противоположном направлении. Найдите силу, действующую на стену при ударе, считая ее постоянной. Время соударения 0,01 с. 3. По рельсам в горизонтальном направлении катится тележка с песком. Через отверстие в дне песок ссыпается между рельсами. Изменяется ли скорость тележки? Трение не учитывать. 4. На платформу массой 600 кг, движущуюся горизонтально со скоростью 1 м/с, насыпали сверху 200 кг щебня. Чему стала равна скорость платформы? 5. Ракета, масса которой вместе с зарядом равна 250 г, взлетает вертикально вверх и достигает высоты 150 м. Определите скорость истечения газов из ракеты, считая, что сгорание заряда происходит мгновенно. Масса заряда равна 50 г. 6. Призма массой М с углом наклона а находится на гладком льду. На призме у ее основания стоит собака массой т. С какой скоростью будет двигаться призма, если собака побежит вверх по призме со скоростью v относительно нее? 7. Граната, брошенная от поверхности Земли, разрывается на два одинаковых осколка в наивысшей точке траектории на расстоянии а от места бросания, считая по горизонтали. Один из осколков летит в обратном направлении с той же по модулю скоростью, которую имела граната до разрыва. На каком расстоянии I от места бросания упадет второй осколок? 8. Две ракеты массой М каждая летят в одном направлении: одна со скоростью V, а другая со скоростью vl = 1,1п. Когда одна ракета догнала другую, на короткое время был включен двигатель первой ракеты. Какую массу отработанного топлива она должна выбросить со скоростью v2 = Зи относительно ракеты, чтобы скорости ракет для совершения безопасной стыковки стали равными? 9. Две лодки идут параллельными курсами навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями. При встрече лодки обмениваются грузами, имеющими одинаковую массу. Обмен может происходить двумя способами: 1) сначала с одной лодки на другую перебрасывают груз, а затем со второй лодки перебрасывают груз обратно на первую; 2) грузы перебрасывают из лодки в лодку одновременно. При каком способе скорость лодок после перебрасывания грузов будет больше? 3 0 7 10. Три лодки с одинаковыми массами М движутся по инерции друг за другом с одинаковыми скоростями V. Из средней лодки в крайние одновременно перебрасывают грузы массой т со скоростью и относительно лодок. Какие скорости будут иметь лодки после перебрасывания грузов? Сопротивление воды и присоединенную массу не учитывать. 11. Снаряд разрывается в верхней точке траектории на две равные части. Одна половина снаряда получает скорость, направленную вертикально вниз, и падает под местом разрыва, а вторая половина снаряда оказывается на расстоянии I по горизонтали от этого места. Определите модуль скорости снаряда перед разрывом и модуль скорости второго осколка, если известно, что взрыв произошел на высоте Н и первый осколок достиг поверхности Земли через промежуток времени, равный t. 12.Человек, находящийся в лодке, переходит с ее носовой части на корму. На какое расстояние относительно воды переместится лодка длиной I, если масса человека т1, а масса лодки т21 Сопротивление воды и присоединенную массу не учитывать. 13. Клин с углом а при основании может без трения перемещаться по гладкой горизонтальной поверхности (рис. 5.17). При каком соотношении масс т1 и т2 грузов, связанных нитью, перекинутой через блок, клин будет неподвижен и при каком соотношении масс клин начнет перемещаться вправо или влево? Коэффициент трения между грузом массой т2 и клином равен |1 . 14. Снаряд, запущенный вертикально вверх, разрывается в самой верхней точке подъема на два одинаковых осколка, один из которых летит вверх, а другой — вниз. С какой скоростью упадет на землю второй осколок, если первый падает на нее со скоростью у? 15.Элементарная частица распадается на две части массами т1 и т2, имеющие скорости v1 и v2, угол между которыми равен а. Чему равен импульс частицы до распада? 16. Водометный катер движется по озеру. Сила сопротивления воды движению катера по модулю равна F = kv. Скорость выбрасываемой воды относительно катера равна и. Определите установившуюся скорость катера, если площадь сечения потока воды, выбрасываемой двигателем, равна S, а плотность воды равна р. 17. С какой силой давит на землю кобра, когда она, готовясь к броску, поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью у? Масса кобры т, а ее длина I Упражнение 11 1. Почему при абсолютно упругом соударении шарика со стенкой импульс шарика меняется, а кинетическая энергия не меняется? 2. Какая работа будет совершена, если под действием силы, равной 13 Н, груз массой 1 кг поднимется на высоту 5 м? 3. Автомобиль массой 2 т трогается с места и едет в гору, которая поднимается на 2 м на каждые 100 м пути. Пройдя 100 м, он достигает скорости 32,4 км/ч. Коэффициент трения равен 0,05. Определите мощность, развиваемую двигателем. 4. Мощность гидростанции N = 7,35 • 107 Вт. Чему равен объемный расход воды Q v, если коэффициент полезного действия станции Г| = 75% и плотина поднимает уровень воды на высоту Н = 10 м? 5. Тело брошено вертикально вверх со скоростью vQ = 49 м /с. На какой высоте Н его кинетическая энергия Е к равна его потенциальной энергии Е р? 12-Мякишев, 10 кл. 353 6 . На нити в вертикальной плоскости вращается груз массой т. Найдите разность сил натяжения нити при прохождении грузом нижней и верхней точек траектории. 7. Жесткий невесомый стержень О В может вращаться без трения в вертикальной плоскости вокруг оси, проходящей через точку О. В середине стержня и на его конце закреплены два шарика, массы которых тА = 4т и тв = т. Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают (рис. 6.28). Определите натяжение стержня на участках О А и А В в момент прохождения положения равновесия. 8 . Из шахты глубиной 200 м поднимают с постоянной скоростью груз массой 500 кг на канате, каждый метр которого имеет массу 1,5 кг. Определите работу, совершаемую при поднятии груза. 9. Санки съезжают с горы высотой Н и углом наклона а и движутся далее по горизонтальному участку (рис. 6.29). Коэффициент трения на всем пути санок одинаков и равен ц. Определите расстояние s, которое пройдут санки, двигаясь по горизонтальному участку до полной остановки. 10. Шарик массой т = 100 г подвешен на нити длиной 1 = 1м. Шарик раскручивают так, что он движется по окружности в горизонтальной плоскости, отстоящей от точки подвеса на половину длины нити (конический маятник). Какую работу надо совершить для раскручивания шарика? 1 1 .Закрытый пробкой сосуд, вес которого равен выталкивающей силе, покоится на дне стакана с водой. Почти не совершая работы, его можно поднять к поверхности воды. Если теперь вынуть пробку, то сосуд наполнится водой и утонет. При этом он может совершить работу. Если же вынуть пробку, когда сосуд лежит на дне, он также наполнится водой, но работы не совершит. Как согласовать полученный в первом случае выигрыш в работе с законом сохранения энергии? 12.Свинцовый шар массой тп1 = 500 г, движущийся со скоростью i)j = 1 0 м /с, сталкивается с неподвижным шаром из воска массой тп2 = 200 г, после чего шары движутся вместе. Определите кинетическую энергию шаров после удара. 354 13. С какой скоростью и должна двигаться нога футболиста, чтобы после столкновения с ней мяч остановился? Скорость мяча до столкновения равна v. Массу мяча считать много меньшей массы ноги. 14. Шар массой М , имеющий скорость v, налетает на покоящийся шар массой т. Происходит центральный абсолютно упругий удар. В момент наибольшей деформации шары имеют одинаковую скорость. Чему равна потенциальная энергия деформации шаров в этот момент времени? 15. На покоящийся шар налетает второй шар, имеющий перед ударом скорость и. Происходит упругий нецентральный удар. Докажите, что угол между скоростями шаров после удара равен 90°, если шары имеют одинаковые массы. 16. Мяч брошен вертикально вверх. Учитывая сопротивление воздуха, сравните время подъема и время падения мяча. 17.0днородная цепочка длиной I лежит на абсолютно гладкой доске. Небольшая часть цепочки пропущена в отверстие, сделанное в доске (рис. 6.30). В начальный момент времени лежащий на доске конец цепочки придерживают, а затем отпускают, и цепочка начинает соскальзывать с доски под действием силы тяжести свешивающегося конца. Определите скорость движения цепочки в момент, когда длина свешивающейся части равна I. 18.С горки высотой h соскальзывает брусок массой т и останавливается на горизонтальной поверхности из-за действия силы трения. Какую работу надо совершить, чтобы поднять брусок на вершину этой горки, не увеличивая его кинетическую энергию? Брусок перемещают так, что он не отрывается от поверхности, и сила, под действием которой поднимается груз, направлена по касательной к поверхности во всех точках. 19-Между двумя шариками массами ти М н а х од и тся сжатая пружина. Если один шарик (массой М ) удерживать на месте, а другой освободить, то он отлетает со скоростью и. С какой скоростью будет двигаться шарик массой т , если оба шарика освободить одновременно? Деформация пружины одинакова в обоих случаях. 20.0т поезда массой М = 600 т, идущего с постоянной скоростью по прямолинейному горизонтальному пути, отрывается последний вагон массой т = 60 т. Какое расстояние до остановки пройдет этот вагон, если в момент его остановки поезд движется с постоянной скоростью 40 км/ч? Мощность тепловоза, ведущего состав вагонов, постоянна и равна N = 1 МВт. 12* 355 2 1 . Сваю массой 1 0 0 0 кг забивают в грунт копром, масса которого 4000 кг. Копер свободно падает с высоты 5 м, и при каждом ударе свая опускается на глубину 5 см. Определите силу сопротивления грунта, считая ее постоянной. 22. Колодец, площадь дна которого S и глубина Н , наполовину заполнен водой. Насос выкачивает воду и подает ее на поверхность Земли через цилиндрическую трубу радиусом R. Какую работу А совершит насос, если выкачает всю воду из колодца за время т? 23. Рассматривая падение камня на Землю, мы утверждаем, что изменение импульса Земли равно изменению импульса камня, а изменение кинетической энергии Земли при этом не нужно учитывать. Как это объяснить? 24. Кубик соскальзывает без трения с наклонной плоскости высотой Л. Согласно закону сохранения энергии его кинетическая энергия у ос- 2 нования плоскости равна — = mgh. Рассмотрим теперь движение кубика с точки зрения инерциальной системы отсчета, движущейся вдоль горизонтальной плоскости со скоростью v = J 2 g h . В этой системе отсчета начальная скорость кубика равна v = J 2 g h , а конечная скорость равна нулю. Следовательно, начальная энергия 2 Еj = —j - + m gh — 2m gh, а конечная Е2= 0. Куда же исчезла энергия? 25. С высоты 2R соскальзывает небольшое тело по желобу, который образует «мертвую петлю» радиусом R (рис. 6.31). На какой высоте h относительно уровня А В тело оторвется от желоба? На какой высоте Н оно пройдет над точкой А? 26. Лента транспортера длиной I движется со скоростью v0 (рис. 6.32). С какой скоростью v нужно толкнуть кубик массой т против движения ленты, чтобы уменьшение механической энергии за счет работы силы трения между кубиком и лентой транспортера было максимальным? Чему равно это уменьшение механической энергии АЕ, если коэффициент трения равен и и выполняется условие < 2 \Jdg2 Упражнение 12 1. Линейная скорость точек окружности вращающегося диска равна Uj = 3 м/с, а точек, находящихся ближе к оси вращения на расстояние I = 10 см, v2 = 2 м/с. Сколько оборотов в минуту делает диск? 2. Найдите модули линейной скорости и нормального ускорения точек поверхности земного шара: а) на экваторе; б) на широте 60°. Средний радиус земного шара считать равным 6400 км. 3. Диск радиусом R зажат между двумя параллельными рейками (рис. 7.11). Нижняя рейка неподвижна, а верхняя движется со скоростью и = 4 м/с. Определите скорость точки В диска относительно неподвижного наблюдателя, если проскальзывание отсутствует. 4. Бревно нижним концом упирается в угол между стеной и землей и касается борта грузовика на высоте h от земли (рис. 7.12). Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла а, если грузовик отъезжает со скоростью v. При движении грузовик не увлекает бревно за собой. 5. Трамвай движется со скоростью и. Радиус трамвайного колеса равен г, а радиус реборды — R (рис. 7.13). С какой скоростью и в каком направлении движется в данный момент времени нижняя точка реборды (точка В)? 6. Кривошип О А, вращаясь с угловой скоростью о) = 2,5 рад /с, приводит в движение колесо радиусом AS = г = 5 см, катящееся по неподвижному колесу радиусом R = 15 см (рис. 7.14). Найдите скорость точки В. Сообщающиеся сосуды одинакового размера укреплены неподвижно на тележке, которая может перемещаться по горизонтальной поверхности без трения (рис. 7.24). При закрытом кране в левый сосуд налита вода. Какое движение начнет совершать тележка в первый момент после открытия крана? Где окажется тележка, когда ее движение прекратится? Массой сосудов и тележки по сравнению с массой воды можно пренебречь. 2. Два одинаковых груза соединены пружиной. В начальный момент пружина сжата так, что первый груз вплотную прижат к стене (рис. 7.25), а второй груз удерживается упором. Опишите качественно движение системы грузов, которое они будут совершать, если убрать упор. Трение не учитывать. 1 аштштг- 2 Рис. 7.25 377 3. На закрепленный в вертикальном положении болт навинчена однородная пластинка (рис. 7.26). Пластинку раскрутили так, что она свинчивается с болта. Трение считать пренебрежимо малым. Как будет двигаться пластинка, когда она, покинув болт, начнет свободно падать? 4. На прямоугольный клин А В С массой М , лежащий на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости, положен подобный же, но меньший по размерам клин B E D массой тп (рис. 7.27). Определите, на какое расстояние х сместится влево большой клин, когда малый клин соскользнет вниз и точка D совместится с точкой С. Длины катетов А С и B E равны соответственно а и Ъ. 5. На абсолютно гладкой горизонтальной плоскости лежит обруч. На обруче находится жук. Какие траектории будут описывать жук и центр обруча, если жук начнет двигаться вдоль обруча? Масса обруча М и радиус R , масса жука т. 6 . Для создания искусственной силы тяжести на пассивном участке полета две части космического корабля (отношение масс 1 : 2 ) развели на расстояние L между центрами масс частей и раскрутили вокруг общего центра масс. Определите период вращения, если искусственная сила тяжести, действующая на все тела в более массивной части корабля, в два раза меньше силы тяжести на Земле. 7. Космонавт массой т приближается к космическому кораблю массой М с помощью троса, длина которого L . На какие расстояния 1т и 1М переместятся космонавт и корабль до сближения? 8 . На нити, перекинутой через блок с неподвижной осью, подвешены два груза массами т 1 и т 2 (т 2 > тщ). Найдите ускорение центра масс этой системы. 9. На концах и в середине невесомого стержня длиной I укреплены одинаковые шарики. Стержень ставят вертикально и отпускают. Считая, что трение между полом и нижним шариком отсутствует, найдите скорость верхнего шарика в момент удара о горизонтальную плоскость. 10. На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых кубика массой т каждый. Кубики соединены пружиной жесткостью к. Длина пружины в нерастянутом состоянии 10. На правый кубик начинает действовать постоянная горизонтальная сила F (рис. 7.28). Найдите минимальное и максимальное расстояния между кубиками при движении системы. 11. Внутри сферы массой М и радиусом R находится небольшой шарик массой т . При отсутствии внешних сил шарик движется по экватору внутренней оболочки сферы. Период его обращения равен Т. Найдите силу давления шарика на поверхность сферы. 12. Две взаимодействующих между собой частицы образуют замкнутую систему, центр масс которой покоится. На рисунке 7.29 показаны положения обеих частиц в некоторый момент времени и траектория частицы массой m i . Постройте траекторию частицы мас- 1 сои т 2, если т 2 = g mi- Упражнение 14 1. Докажите, что кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна: т 2 f = Jco ь к ~2~ • где J — момент инерции, а со — угловая скорость. 2. Сплошной цилиндр радиусом R и массой т скатывается с наклонной плоскости с углом а. Определите ускорение центра масс цилиндра и силу трения. 3. Горизонтальная платформа массой т и радиусом R вращается с угловой скоростью со. На краю платформы стоит человек массой т1. С какой скоростью (Bj будет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Человека можно рассматривать как материальную точку. 4. На барабан с горизонтальной осью вращения радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой т = 10 кг. Найдите момент инерции барабана, если известно, что угловое ускорение р = 2 рад/с2. Трением пренебречь. 5. Через блок массой т = 10 г перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массами т1 = 10 г и т2 = 15 г. С каким ускорением движутся грузы? Блок считать сплошным диском. Упражнение 15 1. Через три отверстия в доске пропущены нити, связанные на одном конце общим узлом (рис. 8.31). К другим концам нитей подвешены одинаковые грузы. Найдите углы между нитями при расхождении их от узла, если система находится в равновесии. Трением пренебречь. 2. Шарик радиусом г и массой т удерживается на неподвижном шаре радиусом R невесомой нитью, закрепленной в верхней точке шара. Нить расположена горизонтально, трение отсутствует (рис. 8.32). Найдите силу 14* 4 1 9 натяжения нити и силу N, с которой большой шар действует на маленький шарик. 3. На три пружины одинаковой длины положили балку так, что две пружины одинаковой жесткости подпирают концы балки, а в середине балку поддерживает пружина, жесткость которой в два раза больше. Найдите силы, действующие на балку со стороны пружин, если масса балки т. 4. При взвешивании на неравноплечих весах масса тела на одной чашке получилась равной 2 кг, а на другой 4,5 кг. Определите истинную массу тела. 5. Однородная палка массой т опирается о гладкую стену и гладкий пол. Чтббы палка не упала, ее удерживают горизонтально расположенной нитью. Один конец нити привязан к нижнему концу палки, а другой закреплен в углу между стеной и полом. Палка образует с полом угол а. Найдите силы реакции стены Nv пола Nz, а также натяжение нити Т. 6. Каким должен быть коэффициент трения однородного стержня о пол, чтобы он был в равновесии в положении, показанном на рисунке 8.33? Стержень удерживается нитью, длина которой равна длине стержня. Угол между нитью и стержнем прямой. Точки Л и С расположены на одной вертикали. 7. Тяжелый однородный стержень согнули в середине под углом 90° и подвесили на нити за один из концов. Какой угол с вертикалью образует прикрепленная к нити сторона стержня? 8. Рычаг изогнут так, что его стороны АВ, ВС и CD равны между собой и образуют друг с другом прямые углы (рис. 8.34). Ось рычага проходит через точку В. Перпендикулярно плечу рычага АВ в точке А приложена сила F. Определите минимальное значение силы, которую нужно приложить к точке D, чтобы рычаг находился в равновесии. Весом рычага пренебречь. 9. Кирпич находится в равновесии на наклонной плоскости (рис. 8.35). Какая половина кирпича, правая или левая, оказывает большее давление на плоскость? 420 Рис. 8.35 Рис. 8.36 Рис. 8.37 10. Какой должна быть наименьшая скорость мотоциклиста, чтобы он мог ехать по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом 6 м в горизонтальной плоскости, если известно, что коэффициент трения скольжения между шинами и поверхностью цилиндра равен 0,4? Определите угол наклона корпуса мотоциклиста к вертикали. 11. Склейте цилиндр из плотной бумаги. Прикрепите на его внутренней стороне кусок пластилина. Теперь цилиндр можно заставить катиться вверх по наклонной плоскости. Проделайте опыт и объясните его (рис. 8.36). 12. Доска длиной L = 3 м и массой = 20 кг опирается на уступ таким образом, что она составляет с горизонтом угол а = 30°. Расстояние от свободного конца доски до уступа 1 = 1м (рис. 8.37). Плоский диск толкнули вверх по доске со скоростью й0. При каком минимальном значении скорости v0 нижний конец доски оторвется от пола? Масса диска т2 = 10 кг. Трение между доской и диском не учитывать. 13. К гвоздю, вбитому в стену, привязана нить, намотанная на катушку. Катушка висит, касаясь стены (рис. 8.38), причем нить составляет со стеной угол а = 30°. Радиус цилиндрической части катушки г = 1 см, радиус ее щечек R = 10 см. Найдите минимальное значение коэффициента трения между стеной и катушкой. 14. На однородный цилиндр навита веревка, конец которой закреплен в верхней точке наклонной плоскости. Цилиндр расположен на наклонной плоскости так, что веревка горизонтальна (рис. 8.39). Масса цилиндра т = 10 кг. Найдите модуль силы нормального давления цилиндра на плоскость. R Рис. 8.38 Ш ш ш ш т ш т , Рис. 8.39 Рис. 8.40 421 15. Кубик массой т с длиной ребра I движется равномерно по горизонтальной плоскости. Сила F приложена к ребру кубика в точке А. Коэффициент трения между кубиком и плоскостью равен ц. Под каким углом а к горизонту (рис. 8.40) должна действовать сила F, чтобы ее модуль был минимальным? Найдите минимальное значение модуля силы F. 16. Три одинаковых невесомых стержня шарнирно закреплены в точках А и В, лежащих на одной горизонтали. Расстояние АВ в два раза превышает длину одного стержня. К шарниру С подвешен груз массой т (рис. 8.41). Какую наименьшую по модулю силу Pmirl и в каком направлении нужно приложить к шарниру D, чтобы стержень CD был горизонтален? 17. На каком расстоянии х от дна находится центр тяжести тонкостенного цилиндрического стакана высотой h = 12 см и диаметром d = 8 см, если толщина дна в два раза больше толщины стенок? 18.0пределите положение центра тяжести однородного диска ради- усом R, из которого вырезано отверстие радиусом г < ^ (рис. 8.42). Центр выреза находится на расстоянии R от центра диска. 19. Однородный металлический стержень лежит в тележке длиной I и высотой h так, что его конец выступает наружу (рис. 8.43). С каким ускорением а должна двигаться тележка, чтобы стержень не давил на край ее передней стенки? Упражнение 16 1. Под действием какой силы, направленной вдоль оси стержня, в нем возникнет напряжение 1,5 • 108 Па, если диаметр стержня 0,4 см2? 2. Чему равно напряжение у основания кирпичной стены высотой 20 м? Плотность кирпича равна 1800 кг/м3. 3. Под действием силы 100 Н проволока длиной 5 м и сечением 2,5 мм2 удлинилась на 1 мм. Определите напряжение, испытываемое проволокой, и модуль Юнга. 4. Стальная проволока сечением 2 мм2 и длиной 4 м под действием силы F удлинилась на 2 мм. Найдите модуль этой силы. Модуль Юнга равен 2 • 1011 Па. 5. Какую работу надо совершить, чтобы недеформированный резиновый шнур удлинить на 10 см? Площадь поперечного сечения шнура 1 см2, первоначальная длина его 1 м, а модуль Юнга резины равен 107 Па. 6. Какую наименьшую длину должна иметь железная проволока, чтобы при вертикальном положении она разорвалась под действием собственного веса? Предел прочности 3,2 • 108 Па, плотность равна 7800 кг/м3. 7. Груз какой массы может быть подвешен на стальном тросе диаметром 3 см при десятикратном запасе прочности, если предел прочности стали равен 7 • 108 Па? 8. Балка АВ, один конец которой укреплен шарнирно на стене, удерживается в горизонтальном положении тросом ВС (рис. 9.57), АС = Зм. Длина балки равна 4 м, а ее масса 1000 кг. Определите необходимую площадь сечения троса, если допустимое напряжение в нем не должно превышать 108 Па. 9. Однородный стержень длиной I и плотностью р движется с постоянным ускорением а по гладкой горизонтальной поверхности. Как распределяется напряжение в материале стержня вдоль его длины? Сила приложена к одному из концов стержня. В т Рис. 9.57 Рис. 9.58 476 Ю.Груз массой т = 10 кг удерживается тремя тросами (рис. 9.58) одинакового сечения и материала. Тросы расположены в одной плоскости: средний вертикально, а два других составляют с ним угол а = 60°. Чему равны силы тшшМММШШШтШМ, упругости, возникающие в тросах? 11. Три сосуда с приставным дном погружены в воду на одинаковую глубину. Дно каждого из сосудов (рис. 9.59) отпадает, если налить в них по 1 кг воды. Отпадет ли дно, если: а) налить в сосуды по 1 кг масла; б) налить в сосуды по 1 кг ртути; в) положить в каждый сосуд по гире массой 1 кг? 12. Какова должна быть минимальная мощность садового насоса, поднимающего воду из колодца глубиной 20 м? Площадь сечения трубы, по которой подается вода, равна 10 см2. Насос перекачивает ежесекундно 100 л воды. 13. Кубик льда плавает в воде. Поверх воды наливают керосин вровень с верхней гранью кубика. Какая часть объема кубика будет находиться в воде? Плотность воды 103 кг/м3, плотность льда 900 кг/м3, плотность керосина 800 кг/м3. 14. Тонкий однородный стержень шарнирно закреплен за верхний конец. Снизу под стержень ставят сосуд с водой. Плотность материала стержня меньше плотности воды. Так как вертикальное положение стержня, погруженного нижней частью в жидкость, неустойчиво, то стержень оказывается в равновесии в отклоненном от вертикали положении. Определите плотность материала стержня, если он погружен в воду наполовину. Плотность воды 1000 кг/м3. 15. Полое тело, отлитое из алюминия, плавает в воде, погрузившись в воду ровно наполовину. Объем тела, включая полость, равен F0 = 400 см3. Определите объем V полости. Плотность алюминия ра = 2700 кг/м3, плотность воды рв = 1000 кг/м3. 16. В цилиндрическом сосуде с водой плавает кусок льда, внутри которого замерзла цинковая пластинка. Когда лед растаял, уровень воды в сосуде понизился на АЛ = 3 см. Какова масса цинковой пластинки? Внутренний диаметр сосуда d = 30 см; плотность цинка рц = 7000 кг/м3, плотность воды рв = 1000 кг/м3. 17. В сообщающиеся сосуды с разными диаметрами была налита ртуть. После того как в узкий сосуд налили слой масла высотой Н = 0,6 м, уровень ртути в широком сосуде повысился относительно первоначального уровня на h = 7 мм. Найдите отношение диаметров сообщающихся сосудов —. Плотность ртути Pj = 136 000 кг/м3, плотность масла р2 = 800 кг/м3. Рис. 9.59 477 18. Сплав свинца и олова имеет в воде вес Рг = 500 Н, а в масле Р2 = 510 Н. Определите массу свинца тс в слитке. Плотность свинца рс = 11 300 кг/м3, олова р0 = 7400 кг/м3, воды рв = 1000 кг/м3, масла рм = 800 кг/м3. 19. Малый поршень гидравлического пресса за один ход опускается на расстояние Л = 0,2 м, а большой поршень поднимается на высоту Н = 0,01 м. С какой силой F действует пресс на сжимаемое в нем тело, если на малый поршень действует сила f = 500 Н? 20. Судно получило большую пробоину в боковой подводной части. В какую сторону оно начнет перемещаться вследствие этого? 21. В дне бака высотой 50 см, полностью заполненного водой, имеется отверстие площадью 1 см2, значительно меньшей площади сечения бака. Если открыть отверстие, то из него начинает вытекать струя воды и падать вниз. Чему равна площадь сечения струи на высоте 20 см ниже дна? 22. Труба расположена горизонтально. В широкой части трубы диаметром D расположен поршень и на него действует постоянная сила F. Узкая часть трубы имеет диаметр d, и из нее вытекает струя воды. Найдите скорость перемещения поршня. Трение не учитывать. 23. Колба движется в горизонтальном направлении с постоянным ускорением. В колбе стоит зажженная свеча. В каком направлении отклонится пламя свечи? 24. В широкой части горизонтальной трубы вода течет со скоростью 8 см/с при давлении 1,5 • 105 Па. В узкой части трубы давление равно 1,4 • 105 Па. Найдите скорость течения воды в узкой части трубы. Трение не учитывать. 25. Какова высота Л столбика ртути в ртутном барометре, помещенном в лифте, движущемся с ускорением, направленным вниз и равным по модулю а = lg, если атмосферное давление равно р0 = 760 мм рт. ст.? 26. На гладкой горизонтальной поверхности стоит сосуд с водой. В боковой стенке сосуда у дна имеется отверстие площадью S. Какую силу надо приложить к сосуду, чтобы удержать его в равновесии, если высота уровня воды в сосуде равна Л? 27. Как приближенно оценить скорость катера v, если вода поднимается вдоль носовой вертикальной части катера на высоту Л = 1 м?