1. При каком условии проекция вектора на ось будет положительной, а при каком — отрицательной?
Проекция положительна, если вектор направлен в ту же сторону, что и положительное направление оси. Проекция отрицательна, если вектор направлен в противоположную сторону. Проекция равна нулю, если вектор перпендикулярен оси.
2. Запишите уравнение, с помощью которого можно определить координату тела, зная координату его начального положения и проекцию вектора перемещения.
x = x0 + sx. Здесь x0 начальная координата, sx проекция перемещения на ось X.
УПРАЖНЕНИЕ 3
1. Мотоциклист, переехав через мост, движется по прямолинейному участку дороги. У светофора, находящегося на расстоянии 10 км от моста, мотоциклист встречает велосипедиста. За 0,1 ч с момента встречи мотоциклист перемещается на 6 км, а велосипедист — на 2 км от светофора (при этом оба они продолжают двигаться прямолинейно в противоположных направлениях). Определите координаты мотоциклиста и велосипедиста и расстояние между ними спустя 0,1 ч после их встречи.
Принимаем ось X от моста в сторону движения мотоциклиста, мост это x = 0, светофор это xс = 10 км. В момент встречи оба в точке x = 10 км. За 0,1 ч мотоциклист сместился на +6 км, велосипедист на −2 км. Считаем координаты. xм = 10 + 6 = 16 км. xв = 10 − 2 = 8 км. Расстояние между ними 16 − 8 = 8 км.
Указание: начертите ось X, направив её в сторону движения мотоциклиста и приняв за тело отсчёта мост. Обозначьте координату светофора (xс), координаты велосипедиста (xв) и мотоциклиста (xм), которые они имели через 0,1 ч после встречи. Над осью начертите и обозначьте векторы перемещений велосипедиста (s → в) и мотоциклиста (s → м), а на оси — проекции этих векторов (sвx и sмx).
2. Мальчик держит в руках мяч на высоте 1 м от поверхности Земли. Затем он подбрасывает мяч вертикально вверх. За некоторый промежуток времени t мяч успевает подняться на 2,4 м от своего первоначального положения, достигнув при этом точки наибольшего подъёма, и опуститься от этой точки на 1,25 м.
Пользуясь рисунком 5, определите: а) координату x0 начального положения мяча; б) проекцию sx вектора перемещения → s , совершённого мячом за время t; в) координату x2, которую имел мяч через промежуток времени t после броска.
Начальная высота 1 м, берём ось X вверх от поверхности Земли. а) x0 = 1 м. Балл поднялся на 2,4 м, значит высшая точка xmax = 1 + 2,4 = 3,4 м. Затем опустился на 1,25 м, значит конечная координата через время t б) sx = x2 − x0. в) x2 = 3,4 − 1,25 = 2,15 м. Тогда sx = 2,15 − 1 = 1,15 м.
3. Тело, начав движение из точки A с координатами xA = 2 м, yA = 3 м, переместилось в точку B с координатами xB = 2 м, yB = –2 м, затем в точку C с координатами xC = –1 м, yC = –2 м и закончило движение в точке D с координатами xD = –1 м, yD = 3 м. Сделайте чертёж, выбрав масштаб: в двух клетках 1 м. Найдите проекции перемещения на оси координат и модули перемещения на участках AB, BC, CD, а также модуль результирующего перемещения тела.
A 2;3, B 2;−2, C −1;−2, D −1;3. Масштаб на чертеже не влияет на расчёты. Считаем проекции и модули на каждом участке. AB. Δx = 2 − 2 = 0 м, Δy = −2 − 3 = −5 м, |AB| = √(0^2 + (−5)^2) = 5 м. BC. Δx = −1 − 2 = −3 м, Δy = −2 − (−2) = 0 м, |BC| = √((−3)^2 + 0^2) = 3 м. CD. Δx = −1 − (−1) = 0 м, Δy = 3 − (−2) = 5 м, |CD| = √(0^2 + 5^2) = 5 м. Результирующее перемещение из A в D. Δx = −1 − 2 = −3 м, Δy = 3 − 3 = 0 м, модуль = √((−3)^2 + 0^2) = 3 м.