1. Сформулируйте условие равновесия материальной точки.
Условие равновесия материальной точки: материальная точка находится в равновесии, если сумма всех сил, действующих на неё, равна нулю. Векторная сумма сил должна быть равна нулю, чтобы точка оставалась в покое или двигалась равномерно и прямолинейно.
2. В каких случаях реальное тело можно рассматривать как абсолютно твёрдое?
Абсолютно твёрдое тело – это тело, в котором расстояния между любыми двумя его точками остаются неизменными при любых воздействиях. Реальное тело можно считать абсолютно твёрдым, если его деформации пренебрежимо малы и не оказывают значительного влияния на рассматриваемые процессы.
3. Сформулируйте условие равновесия невращающегося твёрдого тела.
Условие равновесия невращающегося твёрдого тела: твёрдое тело находится в равновесии, если сумма всех внешних сил, действующих на него, равна нулю, и сумма моментов всех этих сил относительно любой точки также равна нулю. Это обеспечивает покой или прямолинейное равномерное движение тела без вращения.
4. Что называют плечом силы; моментом силы?
Плечо силы – это расстояние от точки вращения до линии действия силы. Момент силы – это величина, равная произведению силы на её плечо относительно данной точки или оси. Момент силы характеризует её способность вращать тело вокруг этой точки или оси.
5. Cформулируйте условие равновесия твёрдого тела с закреплённой осью вращения.
Условие равновесия твёрдого тела с закреплённой осью вращения: тело с закреплённой осью вращения находится в равновесии, если сумма моментов всех сил, действующих на него относительно этой оси, равна нулю.
6. Что называют центром тяжести?
Центр тяжести – это точка тела, в которой можно считать сосредоточенной всю его массу для целей расчёта силы тяжести. В центре тяжести равномерно распределено влияние силы тяжести на тело.
7. Как экспериментально определить положение центра тяжести тела?
Экспериментальное определение центра тяжести: подвесив тело за произвольную точку и дав ему возможность свободно вращаться, центр тяжести будет располагаться на линии, проходящей через точку подвеса и вертикально вниз. Повторив подвешивание в нескольких точках и наметив линии, можно найти точку их пересечения, которая и будет центром тяжести.
8. Может ли измениться положение центра тяжести тела относительно тела?
Положение центра тяжести относительно тела может изменяться, если в теле происходит перераспределение массы, например, из-за перемещения, деформации или изменения формы тела.
1. Выполняется ли в случае равновесия твёрдого тела с закреплённой осью вращения условие равенства нулю суммы действующих на тело внешних сил?
В случае равновесия твёрдого тела с закреплённой осью вращения, условие равенства нулю суммы действующих на тело внешних сил выполняется не всегда. Важно, чтобы для равновесия также была равна нулю сумма моментов сил относительно оси вращения. Это означает, что даже при ненулевой сумме сил тело может находиться в равновесии, если их моменты уравновешиваются.
2. Докажите, что сила тяжести и сила упругости, действующие на картонную фигуру (см. рис. 69, в), направлены вдоль одной прямой.
Чтобы доказать, что сила тяжести и сила упругости, действующие на картонную фигуру, направлены вдоль одной прямой, достаточно отметить, что в состоянии равновесия эти силы должны быть сонаправлены и действовать вдоль линии, проходящей через центр тяжести. На рисунке в пункте (в) видно, что в равновесии точка приложения силы упругости (подвес) и центр тяжести C лежат на одной вертикальной линии, которая соответствует направлению силы тяжести.
3. Подумайте, при каких условиях картина будет висеть ровно на одном гвозде.
Картина будет висеть ровно на одном гвозде, если её центр тяжести будет находиться непосредственно под точкой подвеса. В этом случае сила тяжести будет действовать строго вниз от центра тяжести, и картина не будет испытывать момента сил, который мог бы привести её в движение.
1. Однородный стержень, на одном конце которого подвешен груз весом 120 Н, находится в равновесии в горизонтальном положении, если его подпереть на расстоянии 15 длины стержня от груза. Чему равен вес стержня?
Для решения задачи используем условие равновесия моментов сил. В равновесии сумма моментов сил относительно точки опоры должна быть равна нулю.
Обозначим:
длину стержня как L, вес стержня как W. Груз весом 120 Н находится на одном конце стержня, а точка опоры расположена на расстоянии L/5 от груза.
Момент силы груза относительно точки опоры: Момент = 120 * (L / 5) = 24L.
Момент силы веса стержня относительно точки опоры: Сила веса стержня действует в центре стержня, на расстоянии L / 2 от конца. Поскольку опора расположена на расстоянии L / 5 от груза, расстояние от центра стержня до опоры будет: L / 2 - L / 5 = 3L / 10.
Тогда момент силы веса стержня относительно опоры равен: Момент = W * (3L / 10) = 3WL / 10.
Запишем условие равновесия: Момент груза = Момент стержня. Подставим значения: 24L = (3W * L) / 10.
Упрощаем, сокращая на L: 24 = 3W / 10.
Умножим обе стороны на 10 и решим относительно W: W = (24 * 10) / 3 = 80 Н.
Ответ: вес стержня равен 80 Н.
2. Две девочки массами m1 = 30 кг и m2 = 35 кг сидят на концах доски длиной L = 6 м и массой M = 25 кг. Доска находится в равновесии. Определите положение её точки опоры. Чему равна сила реакции опоры, действующая на доску?
Для нахождения положения точки опоры и силы реакции опоры используем условие равновесия моментов.
m1 = 30 кг — масса первой девочки, m2 = 35 кг — масса второй девочки, M = 25 кг — масса доски, L = 6 м — длина доски, g = 10 м/с² — ускорение свободного падения, x — расстояние от первой девочки до точки опоры. Шаг 1: Определим силы тяжести Силы тяжести девочек и доски:
Сила тяжести первой девочки: F1 = m1 * g = 30 * 10 = 300 Н, Сила тяжести второй девочки: F2 = m2 * g = 35 * 10 = 350 Н, Сила тяжести доски: Fд = M * g = 25 * 10 = 250 Н. Шаг 2: Определим положение центра тяжести доски Центр тяжести доски находится посередине, на расстоянии L / 2 = 6 / 2 = 3 м от одного из концов.
Шаг 3: Составим уравнение моментов Согласно условию равновесия, сумма моментов всех сил относительно точки опоры равна нулю. Момент силы — это произведение силы на расстояние от точки опоры.
Момент силы F1 (первой девочки) относительно точки опоры: Момент1 = F1 * x = 300 * x.
Момент силы тяжести доски (Fд) относительно точки опоры, приложенный в центре доски: Моментд = Fд * (3 - x) = 250 * (3 - x).
Момент силы F2 (второй девочки) относительно точки опоры: Момент2 = F2 * (6 - x) = 350 * (6 - x).
Для равновесия: Момент1 = Моментд + Момент2.
Подставим значения: 300 * x = 250 * (3 - x) + 350 * (6 - x).
Раскроем скобки: 300 * x = 750 - 250 * x + 2100 - 350 * x.
Соберем все x в одной части уравнения: 300 * x + 250 * x + 350 * x = 2850.
900 * x = 2850.
Найдем x: x = 2850 / 900 = 3,17 м.
Шаг 4: Найдем силу реакции опоры Сила реакции опоры равна сумме всех сил, действующих на доску: R = F1 + F2 + Fд R = 300 + 350 + 250 = 900 Н.
Точка опоры находится на расстоянии 3,17 м от первой девочки. Сила реакции опоры составляет 900 Н.
3. На столе перпендикулярно его краю лежит однородная линейка длиной 75 см. Часть линейки свешивается со стола. К этому концу линейки подвешен груз, масса которого в 2 раза больше массы линейки. Найдите длину свешивающейся части, если вся система находится в равновесии.
Для решения задачи используем условие равновесия моментов сил относительно края стола. Линейка однородная, значит, её центр тяжести находится посередине каждой части. Пусть масса линейки — m, а масса груза — 2m.
L = 75 см — длина линейки, x — длина свешивающейся части линейки. Шаг 1: Определяем силы Сила тяжести линейки — m * g, действует на центр каждой её части. Масса груза равна 2m, а его сила тяжести — 2m * g. Поскольку линейка свешивается на длину x, её центр тяжести для этой части находится на расстоянии x / 2 от края стола.
Шаг 2: Условие равновесия моментов относительно края стола Для равновесия сумма моментов сил, действующих относительно края стола, должна быть равна нулю.
Момент свешивающейся части линейки: Момент = m * g * (x / 2)
Момент груза: Момент = 2m * g * x
Момент оставшейся части линейки на столе: Длина этой части равна L - x, её центр тяжести находится на расстоянии (L - x) / 2 от края стола. Момент = m * g * ((L - x) / 2)
Шаг 3: Уравнение моментов Для равновесия сумма моментов свешивающейся части и груза должна быть равна моменту оставшейся части на столе:
m * g * (x / 2) + 2m * g * x = m * g * ((L - x) / 2)
Сокращаем на m * g:
(x / 2) + 2x = (L - x) / 2
Подставляем L = 75:
(x / 2) + 2x = (75 - x) / 2
Умножаем уравнение на 2:
x + 4x = 75 - x
Переносим x в одну сторону:
5x + x = 75
6x = 75
x = 75 / 6 = 12,5 см
Ответ: длина свешивающейся части линейки составляет 12,5 см.
4. Тонкий однородный стержень AB шарнирно закреплён в точке A. В точке B на стержень действует горизонтальная сила F, в результате чего стержень находится в равновесии (рис. 73). Определите эту силу, если масса стержня m = 1 кг, угол его наклона к горизонту α = 45°.
Для решения задачи используем условие равновесия моментов сил относительно точки A. Поскольку стержень находится в равновесии, сумма моментов сил относительно точки A должна быть равна нулю.
m = 1 кг — масса стержня, g = 10 м/с² — ускорение свободного падения, α = 45° — угол наклона стержня к горизонту, F — сила, приложенная к концу стержня B. Шаг 1: Определим силу тяжести Сила тяжести стержня равна P = mg. Так как стержень однородный, его центр тяжести находится посередине, то есть на расстоянии L / 2 от точки A.
Сила тяжести: P = mg = 1 * 10 = 10 Н.
Шаг 2: Запишем условие равновесия моментов Момент силы тяжести относительно точки A: Момент = P * (L / 2) * sin(α) = 10 * (L / 2) * sin(45°).
Момент силы F относительно точки A: Момент = F * L * cos(α).
Шаг 3: Условие равновесия В равновесии моменты уравновешены: P * (L / 2) * sin(α) = F * L * cos(α).
Сократим на L: (10 / 2) * sin(45°) = F * cos(45°).
Подставим значения sin(45°) = cos(45°) = √2 / 2: (10 / 2) * (√2 / 2) = F * (√2 / 2).
Сократим на √2 / 2: 5 = F.
Ответ: сила F, необходимая для равновесия стержня, равна 5 Н.
5. Найдите построением положение центра тяжести однородной пластинки, имеющей форму, показанную на рисунке 74. Толщина пластинки везде одна и та же.
Для нахождения центра тяжести данной пластинки, представляющей собой однородную фигуру, можно использовать метод разбиения на простые фигуры и построения пересечений линий центров тяжести этих частей.
Разобьем пластинку на два квадрат. Левый будет больше, а правый – меньше.
Найдем центр тяжести каждого из этих квадратов. Центр тяжести квадрата находится в его геометрическом центре, который можно найти путем пересечения диагоналей. Построим диагонали для каждого квадрата, и точки их пересечения будут центрами тяжести.
Соединим центры тяжести двух квадратов прямой линией. Центр тяжести всей фигуры будет находиться на этой линии.
Разделим левый квадрат также на два равных прямоугольника. Найдем их центры тяжести аналогично предыдущему пункту и соединим их линией.
Пересечение двух построенных линий даст центр тяжести всей фигуры.
6. Две металлические пластинки — алюминиевая и медная — скреп лены так, как показано на рисунке 75. Размеры пластинок одинаковые. Определите положение центра тяжести конструкции.
Для определения положения центра тяжести конструкции из двух скрепленных металлических пластинок (алюминиевой и медной) следует выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Определите размеры и массы пластинок Обозначим:
S — площадь одной пластинки, m_Al — масса алюминиевой пластинки, m_Cu — масса медной пластинки. Шаг 2: Рассчитайте массы пластинок Поскольку размеры пластинок одинаковые, массы можно рассчитать так:
m_Al = ρ_Al * S * t, где ρ_Al — плотность алюминия, t — толщина, m_Cu = ρ_Cu * S * t, где ρ_Cu — плотность меди. Шаг 3: Определите координаты центров тяжести Если пластинки одинаковой формы, их центры тяжести будут находиться в одинаковых координатах:
Для алюминиевой пластинки: (x_Al, y_Al) = (L/2, H/2), Для медной пластинки: (x_Cu, y_Cu) = (L/2, H/2). Шаг 4: Найдите общее положение центра тяжести конструкции С учетом масс пластинок координаты центра тяжести конструкции рассчитываются по формуле:
x_c = (m_Al * x_Al + m_Cu * x_Cu) / (m_Al + m_Cu)
y_c = (m_Al * y_Al + m_Cu * y_Cu) / (m_Al + m_Cu)
Шаг 5: Подставьте значения Так как координаты центров тяжести одинаковые, упростим:
x_c = ((m_Al + m_Cu) * (L/2)) / (m_Al + m_Cu) = L/2
y_c = ((m_Al + m_Cu) * (H/2)) / (m_Al + m_Cu) = H/2
Ответ Положение центра тяжести конструкции из алюминиевой и медной пластинок будет находиться в точке (L/2, H/2), то есть в центре конструкции.