1. Является ли равномерное движение по окружности ускоренным движением?
Равномерное движение по окружности не является ускоренным движением, так как ускорение - это изменение скорости, а в равномерном движении по окружности скорость по модулю постоянна и не меняется.
2. Является ли равномерное движение по окружности равноускоренным движением?
Равномерное движение по окружности не является равноускоренным движением, так как равноускоренное движение подразумевает постоянное увеличение (или уменьшение) скорости со временем, в то время как при равномерном движении по окружности скорость остается постоянной.
3. Докажите, что при равномерном движении по окружности вектор ускорения направлен к центру окружности.
Для доказательства того, что при равномерном движении по окружности вектор ускорения направлен к центру окружности, можно использовать следующее рассуждение:
Пусть объект движется по окружности радиусом R с постоянной скоростью V. Ускорение (a) - это изменение скорости со временем (dv/dt). Так как скорость постоянна, dv/dt = 0.
С другой стороны, ускорение - это также изменение вектора скорости со временем (dV/dt). В данном случае, вектор скорости постоян по модулю, но меняет направление при движении по окружности. Таким образом, dV/dt ≠ 0, и вектор ускорения направлен к центру окружности.
Это объясняет почему при равномерном движении по окружности объект движется по криволинейной траектории, и его ускорение направлено к центру окружности.
Задача 5.1. Луна движется почти равномерно по окружности радиусом 384 000 км, совершая один оборот вокруг Земли за 27,3 сут. Вычислите скорость и центростремительное ускорение Луны.
Для вычисления скорости Луны можно воспользоваться формулой для окружностного движения: \[v = \frac{2πR}{T},\] где: - \(v\) - скорость, - \(R\) - радиус орбиты, - \(T\) - период оборота.
Для Луны: \(R = 384,000\) км, \(T = 27.3\) сут (в секундах).
Теперь мы можем рассчитать скорость Луны: \[v = \frac{2π \cdot 384,000 \, \text{км}}{27.3 \, \text{сут}}.\]
Сначала переведем сутки в секунды: \[1 \, \text{сут} = 24 \cdot 60 \cdot 60 \, \text{с} = 86,400 \, \text{с}.\]
Теперь подставим значения и рассчитаем скорость: \[v = \frac{2π \cdot 384,000 \, \text{км}}{27.3 \cdot 86,400 \, \text{с}} \approx 1.03 \, \text{км/с}.\]
Теперь для вычисления центростремительного ускорения используем формулу: \[a = \frac{v^2}{R},\] где: - \(a\) - центростремительное ускорение, - \(v\) - скорость, - \(R\) - радиус орбиты.
Подставляем значения: \[a = \frac{(1.03 \, \text{км/с})^2}{384,000 \, \text{км}} \approx 0.0027 \, \text{км/с}^2.\]
Задача 5.2. Земля движется почти равномерно по окружности радиусом 150 000 000 км, совершая один оборот вокруг Солнца за 365,25 сут. Вычислите скорость движения Земли и её центростремительное ускорение при годовом движении вокруг Солнца.
Для вычисления скорости Земли при её годовом движении вокруг Солнца можно использовать аналогичную формулу: \[v = \frac{2πR}{T},\] где: - \(v\) - скорость, - \(R\) - радиус орбиты, - \(T\) - период оборота.
Для Земли: \(R = 150,000,000\) км, \(T = 365.25\) сут (учитываем високосные годы).
Сначала переведем сутки в секунды, как ранее: \[1 \, \text{сут} = 86,400 \, \text{с}.\]
Теперь подставим значения и рассчитаем скорость: \[v = \frac{2π \cdot 150,000,000 \, \text{км}}{365.25 \cdot 86,400 \, \text{с}}.\]
Вычислим скорость Земли: \[v = \frac{2π \cdot 150,000,000 \, \text{км}}{31,556,736 \, \text{с}} \approx 29.79 \, \text{км/с}.\]
Подставляем значения: \[a = \frac{(29.79 \, \text{км/с})^2}{150,000,000 \, \text{км}} \approx 0.0059 \, \text{км/с}^2.\]
Задача 5.3. При какой скорости равномерного движения автомобиля по поверхности Земли вдоль экватора радиусом 6400 км центростремительное ускорение его движения будет равно ускорению свободного падения тел на Землю?
Для определения скорости автомобиля при заданном центростремительном ускорении, равном ускорению свободного падения \(g\), можно воспользоваться формулой центростремительного ускорения: \[a = \frac{v^2}{R},\] где: - \(a\) - центростремительное ускорение, - \(v\) - скорость, - \(R\) - радиус орбиты.
Если центростремительное ускорение движения автомобиля должно быть равно ускорению свободного падения \(g\), то \(a = g\).
Подставляя это значение в формулу, получим: \[g = \frac{v^2}{R}.\]
Теперь можно выразить скорость \(v\): \[v = \sqrt{gR}.\]
Для случая движения вдоль экватора \(R = 6400\) км (радиус Земли), и ускорение свободного падения \(g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2\).
Подставляем значения: \[v = \sqrt{9.81 \, \text{м/с}^2 \cdot 6400 \, \text{км}}.\]
Сначала переведем радиус Земли из километров в метры (1 км = 1000 м): \[6400 \, \text{км} = 6400 \times 1000 \, \text{м} = 6,400,000 \, \text{м}.\]
Теперь рассчитаем скорость: \[v = \sqrt{9.81 \, \text{м/с}^2 \cdot 6,400,000 \, \text{м}} \approx 7,905.94 \, \text{м/с}.\]
Таким образом, скорость автомобиля должна быть примерно \(7,905.94 \, \text{м/с}\), чтобы центростремительное ускорение его движения было равно ускорению свободного падения на поверхности Земли.
Задача 5.4. Космический корабль вращается на высоте 250 км над поверхностью Земли и имеет период обращения 1,49 ч. Определите скорость космического корабля и его центростремительное ускорение.
Для вычисления скорости космического корабля можно воспользоваться формулой для окружностного движения: \[v = \frac{2πR}{T},\] где: - \(v\) - скорость, - \(R\) - радиус орбиты, - \(T\) - период оборота.
Для космического корабля: \(R = 250\) км (учитываем, что высота над поверхностью Земли), \(T = 1.49\) часа (в секундах).
Сначала переведем часы в секунды: \[1 \, \text{час} = 60 \cdot 60 \, \text{с} = 3,600 \, \text{с}.\]
Теперь подставим значения и рассчитаем скорость: \[v = \frac{2π \cdot 250,000 \, \text{м}}{1.49 \cdot 3,600 \, \text{с}}.\]
Вычислим скорость космического корабля: \[v = \frac{2π \cdot 250,000 \, \text{м}}{5,364 \, \text{с}} \approx 294.41 \, \text{м/с}.\]
Подставляем значения: \[a = \frac{(294.41 \, \text{м/с})^2}{250,000 \, \text{м}} \approx 347.26 \, \text{м/с}^2.\]
Задача 5.5. Траектория движения мотоциклиста по мосту через реку имеет вид дуги окружности. При скорости движения 20 м/с центростремительное ускорение было равным ускорению свободного падения 10 м/с2. Чему равен радиус дуги окружности траектории?
Для определения радиуса дуги окружности траектории можно воспользоваться формулой для центростремительного ускорения: \[a = \frac{v^2}{R},\] где: - \(a\) - центростремительное ускорение, - \(v\) - скорость, - \(R\) - радиус орбиты (дуги).
Известно, что центростремительное ускорение равно ускорению свободного падения \(g\), и скорость движения мотоциклиста \(v = 20 \, \text{м/с}\), а ускорение свободного падения \(g = 10 \, \text{м/с}^2\).
Подставим эти значения в формулу и рассчитаем радиус дуги окружности: \[10 \, \text{м/с}^2 = \frac{(20 \, \text{м/с})^2}{R}.\]
Теперь найдем радиус \(R\): \[R = \frac{(20 \, \text{м/с})^2}{10 \, \text{м/с}^2} = 40 \, \text{м}.\]
Таким образом, радиус дуги окружности траектории мотоциклиста составляет \(40 \, \text{м}.\)
Задача 5.6. На рисунке 5.8 показаны траектория движения материальной точки, направления векторов скорости v1 и v2 в точках 1 и 2, направления вектора ускорения в этих точках и составляющие векторов ускорения, направленные вдоль векторов скорости и перпендикулярно им. Определите: увеличивается или уменьшается модуль вектора скорости в точке? Увеличивается или уменьшается модуль вектора скорости в точке 2?
Задача 5.7. Найдите зависимость центростремительного ускорения точек земной поверхности в результате суточного вращения Земли от широты местности. Рассчитайте эти величины для экватора и Москвы. При расчётах примите, что Земля имеет форму шара радиусом 6400 км. Широта Москвы 56°.