1. Является ли равномерное движение по окружности ускоренным движением?
Равномерное движение по окружности не является ускоренным движением, так как ускорение - это изменение скорости, а в равномерном движении по окружности скорость по модулю постоянна и не меняется.
2. Является ли равномерное движение по окружности равноускоренным движением?
Равномерное движение по окружности не является равноускоренным движением, так как равноускоренное движение подразумевает постоянное увеличение (или уменьшение) скорости со временем, в то время как при равномерном движении по окружности скорость остается постоянной.
3. Докажите, что при равномерном движении по окружности вектор ускорения направлен к центру окружности.
Для доказательства того, что при равномерном движении по окружности вектор ускорения направлен к центру окружности, можно использовать следующее рассуждение:
Пусть объект движется по окружности радиусом R с постоянной скоростью V. Ускорение (a) - это изменение скорости со временем (dv/dt). Так как скорость постоянна, dv/dt = 0.
С другой стороны, ускорение - это также изменение вектора скорости со временем (dV/dt). В данном случае, вектор скорости постоян по модулю, но меняет направление при движении по окружности. Таким образом, dV/dt ≠ 0, и вектор ускорения направлен к центру окружности.
Это объясняет почему при равномерном движении по окружности объект движется по криволинейной траектории, и его ускорение направлено к центру окружности.
Задача 5.1. Луна движется почти равномерно по окружности радиусом 384 000 км, совершая один оборот вокруг Земли за 27,3 сут. Вычислите скорость и центростремительное ускорение Луны.
Найдем скорость движения Луны. Скорость равномерного движения по окружности определяется как:
v = L / T,
где v — скорость, L — длина окружности, T — период обращения.
Длина окружности L рассчитывается по формуле:
L = 2 * π * r,
где r = 384 000 км (радиус орбиты Луны). Период обращения T = 27,3 суток (время одного оборота вокруг Земли). Переводим время в секунды:
T = 27,3 * 24 * 60 * 60 = 2 358 720 секунд.
Теперь подставляем всё в формулу для длины окружности:
L = 2 * 3,14 * 384 000 = 2 413 000 км.
Скорость тогда будет:
v = 2 413 000 км / 2 358 720 сек ≈ 1,02 км/с.
Найдем центростремительное ускорение. Центростремительное ускорение a можно найти по формуле:
a = v^2 / r,
где v = 1,02 км/с и r = 384 000 км. Подставляем значения:
a = (1,02)^2 / 384 000 ≈ 1,04 / 384 000 ≈ 0,0000027 км/с².
Чтобы получить значение в м/с², умножим результат на 1000:
a ≈ 0,0027 м/с².
Таким образом, скорость Луны равна примерно 1,02 км/с, а её центростремительное ускорение составляет около 0,0027 м/с².
Задача 5.2. Земля движется почти равномерно по окружности радиусом 150 000 000 км, совершая один оборот вокруг Солнца за 365,25 сут. Вычислите скорость движения Земли и её центростремительное ускорение при годовом движении вокруг Солнца.
Найдем скорость движения Земли. Скорость равномерного движения по окружности рассчитывается по формуле:
Длина окружности L находится по формуле:
где r = 150 000 000 км (радиус орбиты Земли). Период обращения T = 365,25 суток (время одного оборота вокруг Солнца). Переводим время в секунды:
T = 365,25 * 24 * 60 * 60 = 31 557 600 секунд.
Теперь находим длину окружности:
L = 2 * 3,14 * 150 000 000 = 942 000 000 км.
Теперь подставляем значения в формулу для скорости:
v = 942 000 000 км / 31 557 600 сек ≈ 29,87 км/с.
Найдем центростремительное ускорение. Центростремительное ускорение a рассчитывается по формуле:
где v = 29,87 км/с и r = 150 000 000 км. Подставляем значения:
a = (29,87)^2 / 150 000 000 ≈ 892,3 / 150 000 000 ≈ 0,00000595 км/с².
Чтобы получить значение в м/с², умножим на 1000:
a ≈ 0,00595 м/с².
Таким образом, скорость движения Земли вокруг Солнца составляет примерно 29,87 км/с, а её центростремительное ускорение — около 0,00595 м/с².
Задача 5.3. При какой скорости равномерного движения автомобиля по поверхности Земли вдоль экватора радиусом 6400 км центростремительное ускорение его движения будет равно ускорению свободного падения тел на Землю?
Для решения задачи используем формулу центростремительного ускорения:
a = v² / r,
где:
a — центростремительное ускорение (в данном случае оно равно ускорению свободного падения на Земле, то есть 9,8 м/с²), v — скорость автомобиля, которую нужно найти, r — радиус Земли, равный 6400 км (или 6 400 000 м). Подставим данные в формулу и решим уравнение для скорости v:
9,8 = v² / 6 400 000.
Чтобы найти v², умножим обе стороны на 6 400 000:
v² = 9,8 * 6 400 000 = 62 720 000.
Теперь извлекаем квадратный корень из 62 720 000:
v ≈ 7919 м/с.
Таким образом, скорость автомобиля должна быть примерно 7919 м/с, или около 7,9 км/с, чтобы его центростремительное ускорение было равно ускорению свободного падения.
Задача 5.4. Космический корабль вращается на высоте 250 км над поверхностью Земли и имеет период обращения 1,49 ч. Определите скорость космического корабля и его центростремительное ускорение.
Высота космического корабля над поверхностью Земли: 250 км.
Радиус Земли: 6 371 км.
Период обращения: 1,49 часа.
Сначала находим полный радиус орбиты:
Радиус орбиты = радиус Земли + высота над поверхностью
Р = 6 371 км + 250 км = 6 621 км
Далее находим длину орбиты (L) по формуле длины окружности: L = 2 * 3,14 * радиус орбиты
L = 2 * 3,14 * 6 621 км ≈ 41 596 км
Скорость корабля (v) можно найти, разделив длину орбиты на период обращения (T). Период 1,49 часа переводим в секунды: T = 1,49 * 60 * 60 = 5 364 секунды
Скорость v = длина орбиты / время обращения
v = 41 596 км / 5 364 секунды ≈ 7,75 км/с
Центростремительное ускорение (a) находим по формуле: a = скорость^2 / радиус орбиты
a = (7,75)^2 / 6 621 ≈ 60,06 / 6 621 ≈ 0,00907 км/с²
Для перевода в м/с² умножаем на 1000:
a ≈ 9,07 м/с²
Таким образом, скорость корабля равна примерно 7,75 км/с, а его центростремительное ускорение составляет около 9,07 м/с².
Задача 5.5. Траектория движения мотоциклиста по мосту через реку имеет вид дуги окружности. При скорости движения 20 м/с центростремительное ускорение было равным ускорению свободного падения 10 м/с2. Чему равен радиус дуги окружности траектории?
В этой задаче известно, что скорость мотоциклиста 20 м/с, а центростремительное ускорение равно 10 м/с². Нужно найти радиус дуги окружности.
Формула для расчета центростремительного ускорения: a = v² / r,
a — центростремительное ускорение, v — скорость мотоциклиста, r — радиус дуги окружности. Подставляем значения: 10 = 20² / r.
20² = 400, тогда: 10 = 400 / r.
Теперь выразим радиус: r = 400 / 10 = 40 м.
Таким образом, радиус дуги окружности равен 40 метров.
Задача 5.6. На рисунке 5.8 показаны траектория движения материальной точки, направления векторов скорости v1 и v2 в точках 1 и 2, направления вектора ускорения в этих точках и составляющие векторов ускорения, направленные вдоль векторов скорости и перпендикулярно им. Определите: увеличивается или уменьшается модуль вектора скорости в точке? Увеличивается или уменьшается модуль вектора скорости в точке 2?
Задача 5.7. Найдите зависимость центростремительного ускорения точек земной поверхности в результате суточного вращения Земли от широты местности. Рассчитайте эти величины для экватора и Москвы. При расчётах примите, что Земля имеет форму шара радиусом 6400 км. Широта Москвы 56°.