1. Что называют перемещением точечного тела?
Перемещением точечного тела называют вектор, который соединяет начальное положение тела с его конечным положением.
2. Как, зная изменения координат точечного тела, вычислить модуль его перемещения?
Чтобы вычислить модуль перемещения, нужно взять разность координат по каждой оси, возвести их в квадрат, сложить и извлечь квадратный корень. Если тело движется в плоскости, то модуль равен √((x2 – x1)² + (y2 – y1)²).
3. Как связано перемещение точечного тела с перемещениями его проекций вдоль координатных осей?
Перемещение точечного тела по модулю связано с его проекциями тем, что сам вектор перемещения раскладывается на проекции вдоль осей, а модуль перемещения вычисляется через эти проекции по теореме Пифагора.
4. Что называют проекцией вектора перемещения на координатную ось?
Проекцией вектора перемещения на координатную ось называют числовое значение, которое показывает, насколько вектор перемещения изменил координату вдоль этой оси.
5. В каком случае проекция вектора перемещения на координатную ось: а) положительна; б) отрицательна; в) равна нулю?
Проекция вектора перемещения на ось бывает положительной, если перемещение идёт в сторону положительного направления оси. Она отрицательная, если движение направлено в сторону отрицательного направления оси. Она равна нулю, если перемещение перпендикулярно этой оси или движения вдоль этой оси не было.
1. Определите проекции на координатные оси векторов перемещений, изображенных на рис. 13.
Чтобы найти проекции векторов перемещений на оси, нужно вычислить изменение координаты x (Δx) и изменение координаты y (Δy) для каждого вектора.
Для вектора Δr1: начальная точка (1, 7), конечная точка (4, 2). Следовательно Δx1 = 4 − 1 = 3, Δy1 = 2 − 7 = −5.
Для вектора Δr2: начальная точка (8, 6), конечная точка (12, 4). Следовательно Δx2 = 12 − 8 = 4, Δy2 = 4 − 6 = −2.
Для вектора Δr3: начальная точка (16, 6), конечная точка (16, 2). Следовательно Δx3 = 16 − 16 = 0, Δy3 = 2 − 6 = −4.
Ответ: для Δr1: Δx1 = 3, Δy1 = −5; для Δr2: Δx2 = 4, Δy2 = −2; для Δr3: Δx3 = 0, Δy3 = −4.
2. Определите модули перемещений, изображенных на рис. 13.
|Δr1| = sqrt(3^2 + (−5)^2) = sqrt(9 + 25) = sqrt(34) ≈ 5.83;
|Δr2| = sqrt(4^2 + (−2)^2) = sqrt(16 + 4) = sqrt(20) ≈ 4.47;
|Δr3| = sqrt(0^2 + (−4)^2) = sqrt(16) = 4.
3. Пользуясь рис. 14, проверьте, равна ли в данном случае проекция суммы перемещений на координатную ось сумме проекций слагаемых перемещений на ту же ось (для осей X и Y).
Для перемещения 0→1: Δx01 = 3 − 2 = 1 м, Δy01 = 5 − 1 = 4 м.
Для перемещения 1→2: Δx12 = 7 − 3 = 4 м, Δy12 = 7 − 5 = 2 м.
Для перемещения 0→2: Δx02 = 7 − 2 = 5 м, Δy02 = 7 − 1 = 6 м.
Для оси X: Δx02 = Δx01 + Δx12 ⇒ 5 = 1 + 4, верно.
Для оси Y: Δy02 = Δy01 + Δy12 ⇒ 6 = 4 + 2, верно.
Следовательно проекция суммы равна сумме проекций.
4. Законы движения проекций тел на оси X и Y в СИ имеют вид:
а) x(t) = 7 + 2t, y(t) = 5 - 2t;
б) x(t) = 3 - 4t, y(t) = 5 + 4t;
в) x(t) = -2 + 5t, y(t) = 6 + 7t.
Определите проекции перемещений тел на оси X и Y за 2 с.
Вариант а) x(t) = 7 + 2t, y(t) = 5 − 2t. При t = 0: x(0) = 7, y(0) = 5. При t = 2: x(2) = 7 + 2·2 = 11, y(2) = 5 − 2·2 = 1. Перемещения: Δx = 11 − 7 = 4, Δy = 1 − 5 = −4.
Вариант б) x(t) = 3 − 4t, y(t) = 5 + 4t. При t = 0: x(0) = 3, y(0) = 5. При t = 2: x(2) = 3 − 8 = −5, y(2) = 5 + 8 = 13. Перемещения: Δx = −5 − 3 = −8, Δy = 13 − 5 = 8.
Вариант в) x(t) = −2 + 5t, y(t) = 6 + 7t. При t = 0: x(0) = −2, y(0) = 6. При t = 2: x(2) = −2 + 10 = 8, y(2) = 6 + 14 = 20. Перемещения: Δx = 8 − (−2) = 10, Δy = 20 − 6 = 14.
Окончательные ответы: а) Δx = 4, Δy = −4 б) Δx = −8, Δy = 8 в) Δx = 10, Δy = 14