1 . Изменяется ли полная механическая энергия колебательной системы при свободных гармонических колебаниях?
При свободных гармонических колебаниях полная механическая энергия колебательной системы остаётся постоянной. Энергия сохраняется, так как в идеализированной системе отсутствуют потери на трение и другие внешние воздействия.
2. Как изменяются с течением времени потенциальная и кинетическая энергии пружинного маятника при свободных гармонических колебаниях?
В пружинном маятнике при свободных гармонических колебаниях потенциальная и кинетическая энергии изменяются с течением времени, но сумма этих энергий остаётся постоянной. Когда грузик находится в положении равновесия, вся энергия сосредоточена в кинетической энергии. Когда грузик отклоняется от равновесия, вся энергия преобразуется в потенциальную. Эти энергии постоянно переходят одна в другую, поддерживая полную механическую энергию.
3. Как связаны между собой амплитуда и модуль максимальной скорости грузика пружинного маятника при свободных гармонических колебаниях?
Амплитуда и модуль максимальной скорости грузика пружинного маятника при свободных гармонических колебаниях связаны между собой. Модуль максимальной скорости определяется амплитудой колебаний и частотой колебаний: V_max = Aω, где A — амплитуда колебаний, а ω — угловая частота. Чем больше амплитуда, тем больше максимальная скорость.
4. Как преобразуются потенциальная и кинетическая энергии математического маятника при свободных гармонических колебаниях?
В математическом маятнике при свободных гармонических колебаниях потенциальная и кинетическая энергии также преобразуются друг в друга. Когда маятник находится в крайнем положении (максимальное отклонение от равновесия), вся энергия сосредоточена в потенциальной энергии. Когда маятник проходит через точку равновесия, вся энергия преобразуется в кинетическую. Сумма этих энергий остаётся постоянной, если не учитывать потери на трение.
1. Определите полную механическую энергию пружинного маятника при свободных гармонических колебаниях с амплитудой xmax=2 см, если коэффициент жёсткости его пружины k = 200 Н/м.
E = (1/2) * k * (x_max)^2,
где k — коэффициент жёсткости пружины, x_max — амплитуда колебаний.
Подставляем известные данные:
k = 200 Н/м, x_max = 2 см = 0,02 м.
E = (1/2) * 200 Н/м * (0,02 м)^2 E = (1/2) * 200 * 0,0004 E = 0,04 Дж.
Полная механическая энергия пружинного маятника составляет 0,04 Дж.
2. Определите полную механическую энергию пружинного маятника при свободных гармонических колебаниях, если масса его грузика m = 0,2 кг, а модуль его скорости при прохождении положения равновесия v = 0,1 м/с.
E = (1/2) * m * v^2,
где m — масса груза, v — скорость в положении равновесия.
m = 0,2 кг, v = 0,1 м/с.
E = (1/2) * 0,2 * (0,1)^2 E = (1/2) * 0,2 * 0,01 E = 0,001 Дж.
Полная механическая энергия пружинного маятника составляет 0,001 Дж.
3. Рассчитайте период свободных гармонических колебаний пру-жинного маятника, если масса его грузика т = 0,3 кг, а жёсткость его пружины k = 30 Н/м.
Для пружинного маятника период колебаний можно вычислить по формуле:
T = 2 * π * √(m / k),
где T — период колебаний, m — масса грузика, k — коэффициент жёсткости пружины.
Подставляем данные:
m = 0,3 кг, k = 30 Н/м.
T = 2 * π * √(0,3 / 30) T = 2 * π * √(0,01) T = 2 * π * 0,1 T ≈ 0,628 с.
Период колебаний пружинного маятника составляет примерно 0,628 секунд.
4. Определите модуль максимальной скорости грузика массой m = 1 кг пружинного маятника при свободных гармонических колебаниях. Жёсткость лёгкой пружины k = 400 Н/м. Амплитуда колебаний грузика хmax = 5 см.
Максимальная скорость грузика при гармонических колебаниях достигается в момент прохождения положения равновесия и может быть найдена по формуле:
v_max = ω * x_max,
где ω — угловая частота колебаний, x_max — амплитуда колебаний.
Угловую частоту можно вычислить по формуле:
ω = √(k / m),
где k — жёсткость пружины, m — масса грузика.
k = 400 Н/м, m = 1 кг, x_max = 5 см = 0,05 м.
ω = √(400 / 1) = √400 = 20 рад/с.
Теперь находим максимальную скорость:
v_max = 20 * 0,05 = 1 м/с.
Модуль максимальной скорости грузика составляет 1 м/с.
5. В начальный момент времени грузик пружинного маятника сместили из положения равновесия на х0 = 3 см и придали ему скорость, модуль которой v0 = 2 см/с. Масса грузика m = 0,4 кг, а жёсткость пружины k = 0,1 Н/м. Определите амплитуду колебаний грузика.
Для амплитуды колебаний в этом случае используем закон сохранения механической энергии. В начальный момент времени вся энергия системы состоит из кинетической и потенциальной энергий, а в крайнем положении (на амплитуде) — только из потенциальной.
Полная механическая энергия системы сохраняется и равна сумме кинетической и потенциальной энергий в начальный момент времени:
E = (1/2) * m * v_0² + (1/2) * k * x_0².
В конечный момент, когда грузик достигнет максимальной амплитуды, вся энергия будет представлена только потенциальной энергией пружины:
E = (1/2) * k * x_max².
Приравниваем эти две энергии:
(1/2) * m * v_0² + (1/2) * k * x_0² = (1/2) * k * x_max².
m = 0,4 кг, v_0 = 2 см/с = 0,02 м/с, x_0 = 3 см = 0,03 м, k = 0,1 Н/м.
(1/2) * 0,4 * (0,02)² + (1/2) * 0,1 * (0,03)² = (1/2) * 0,1 * x_max².
Вычисляем левую часть:
(1/2) * 0,4 * 0,0004 + (1/2) * 0,1 * 0,0009 = (1/2) * 0,1 * x_max², 0,00008 + 0,000045 = 0,05 * x_max², 0,000125 = 0,05 * x_max².
Теперь решим относительно x_max:
x_max² = 0,000125 / 0,05, x_max² = 0,0025, x_max = √0,0025 = 0,05 м.
Амплитуда колебаний грузика составляет 0,05 м, или 5 см.