1. Определите модуль силы натяжения лёгкого троса, на котором висит светофор массой m = 20 кг (см. рис. 120), если угол между вертикалью и каждой частью троса равен α/2=45° .
Приняв g = 10, считаем силу тяжести: mg = 20 × 10 = 200 Н.
Светофор висит, поэтому две части троса уравновешивают его вес. Составим уравнение для вертикальной компоненты натяжения: 2T × cos 45° = mg.
Поскольку cos 45° = 0,707, то:
2T × 0,707 = 200
Упростим:
T × 1,414 = 200
T = 200 / 1,414 ≈ 141,4 Н.
Ответ: T ≈ 141,4 Н.
2. Проведите анализ ответа, полученного в задаче 1. Исследуйте зависимость силы натяжения троса от угла между его частями и вертикалью. В каком случае модуль силы натяжения минимален? Определите максимальный угол, при котором трос ещё не оборвётся, если модуль максимально допустимой силы натяжения равен 300 Н, а масса светофора равна 30 кг.
Сила натяжения троса зависит от угла между тросом и вертикалью. Для равновесия выполняется условие, что вертикальная составляющая силы натяжения уравновешивает вес светофора. Если угол между каждой частью троса и вертикалью обозначить как α, то натяжение можно записать как T = mg / (2 × cos α).
Чем больше угол α, тем меньше значение cos α, и, соответственно, тем больше натяжение T. При α, равном 0° (когда тросы вертикальны), натяжение минимально и равно половине веса светофора, то есть mg/2. По мере увеличения угла α натяжение возрастает и становится максимальным, когда угол приближается к 90°.
Чтобы найти максимальный угол, при котором трос не оборвётся, если максимальная допустимая сила натяжения равна 300 Н, а масса светофора — 30 кг, подставим значения. Вес светофора mg равен 300 Н. Приравниваем натяжение к максимально допустимому значению:
300 = 300 / (2 × cos α)
Отсюда находим, что cos α = 1/2, а значит, угол α равен 60°.
Таким образом, натяжение минимально при угле 0°, а максимальный угол, при котором трос выдержит, составляет 60°.
3. К гладкой стене прислонена лестница массой т и длиной L (см. рис. 121). Центр тяжести лестницы расположен в её середине. Коэффициент трения лестницы о пол равен μ. Определите, какой угол α с горизонтом может составлять лестница, если она находится в равновесии.
Рассмотрим силы, действующие на лестницу, и применим условие равновесия. Поскольку лестница в равновесии, сумма всех сил и моментов относительно любой точки равна нулю.
На лестницу действуют такие силы:
Сила тяжести mg, направленная вертикально вниз и приложенная в центре лестницы (то есть посередине её длины, в точке L/2). Сила реакции пола N, направленная вертикально вверх в точке, где лестница касается пола. Сила трения F, направленная горизонтально и препятствующая скольжению лестницы по полу, равная F = μ × N, где μ — коэффициент трения. Сила реакции стены R, направленная горизонтально и приложенная в верхней точке лестницы. Запишем уравнение моментов относительно точки касания лестницы с полом. Выбираем эту точку, потому что силы N и F, приложенные здесь, не создают моментов.
Рассмотрим моменты силы тяжести и силы реакции стены R:
mg × (L/2) × cos α = R × L × sin α.
Отсюда R = (mg × cos α) / (2 × sin α).
Теперь составим уравнение для горизонтальных и вертикальных сил.
Горизонтально: R = F, значит R = μ × N.
Вертикально: N = mg.
Подставляем значение N = mg и уравнение для R, полученное из моментов:
(mg × cos α) / (2 × sin α) = μ × mg.
Упрощаем и выражаем тангенс угла:
cos α / (2 × sin α) = μ, то есть tan α = 1 / (2μ).
Ответ: угол α, под которым лестница остаётся в равновесии, определяется как tan α = 1 / (2μ).
4. Как изменится ответ в задаче 3, если центр тяжести лестницы L/3 расположен на расстоянии — от ее нижнего конца?
Если центр тяжести лестницы находится на расстоянии L/3 от нижнего конца, то момент силы тяжести изменится, потому что сила теперь действует не в центре, а ближе к основанию.
Момент силы тяжести относительно точки касания лестницы с полом будет равен: mg × (L/3) × cos(α).
Сила реакции стены и её момент относительно основания лестницы не изменятся, так как она действует в той же точке и с тем же плечом. Момент реакции стены останется таким же: R × L × sin(α).
Запишем уравнение моментов с новым значением для силы тяжести: mg × (L/3) × cos(α) = R × L × sin(α). Отсюда R = (mg × cos(α)) / (3 × sin(α)).
Запишем уравнение для горизонтальных и вертикальных сил: Горизонтально: R = F, то есть R = μ × N. Вертикально: N = mg.
Подставим значение N = mg и новое выражение для R: (mg × cos(α)) / (3 × sin(α)) = μ × mg.
Упростим и выразим тангенс угла: cos(α) / (3 × sin(α)) = μ, то есть tan(α) = 1 / (3μ).
Ответ: угол α, при котором лестница остаётся в равновесии, будет равен tan(α) = 1 / (3μ).