1. На горизонтальной поверхности стола удерживают три маленьких гладких бруска (рис. 63, а). Масса каждого бруска равна m = 1 кг. Бруски связаны друг с другом лёгкими нерастяжимыми нитями, которые натянуты. В некоторый момент времени бруски отпускают. Одновременно на первый брусок начинает действовать сила F так, как показано на рисунке. В результате бруски начинают поступательно двигаться в направлении действия этой силы. Определите все силы, с которыми нити действуют на каждый из брусков, если модуль силы F равен 9 Н.
Масса каждого бруска: m = 1 кг Сила F = 9 Н Ускорение системы: a = F / (3 * m) = 9 / 3 = 3 м/с²
Сила, с которой натянута нить на первый брусок, T1: F - T1 = m * a 9 - T1 = 1 * 3 T1 = 9 - 3 = 6 Н
Сила, с которой натянута нить на второй брусок, T2: T1 - T2 = m * a 6 - T2 = 1 * 3 T2 = 6 - 3 = 3 Н
Сила, с которой натянута нить на третий брусок, T3: T2 = m * a T2 = 1 * 3 T2 = 3 Н
Ответ: Сила на первый брусок: 6 Н Сила на второй и третий бруски: 3 Н
2. Определите модуль силы натяжения в середине нити из задачи 2, рассмотренной в параграфе.
Для решения задачи о нахождении модуля силы натяжения в середине нити используем второй закон Ньютона. Дано:
Масса груза M = 4 кг Масса нити m = 1 кг Приложенная сила F = 60 Н
Рассмотрим всю систему, состоящую из груза и нити, чтобы найти ускорение. Сумма сил, действующих на систему: F - (M + m) * g = (M + m) * a
где g приблизительно равно 9.8 м/с^2 — ускорение свободного падения.
Найдем ускорение a: 60 - (4 + 1) * 9.8 = (4 + 1) * a
60 - 49 = 5 * a
11 = 5 * a
a = 11 / 5 = 2.2 м/с^2
Теперь определим силу натяжения в середине нити. Разделим нить на две части: верхнюю и нижнюю. Для верхней части нити (масса 0.5 кг) обозначим силу натяжения как T1:
F - T1 = 0.5 * a
Подставляем значения:
60 - T1 = 0.5 * 2.2
60 - T1 = 1.1
T1 = 60 - 1.1 = 58.9 Н
Для нижней части нити (с грузом массой 4 кг), сила натяжения T2:
T2 - M * g = M * a
T2 - 4 * 9.8 = 4 * 2.2
T2 - 39.2 = 8.8
T2 = 39.2 + 8.8 = 48 Н
Средняя сила натяжения в середине нити:
Tсред = (T1 + T2) / 2 = (58.9 + 48) / 2 = 53.45 Н
Ответ: сила натяжения в середине нити примерно равна 53.45 Н.
3. Два тела с одинаковыми массами m = 2 кг соединены невесомой нитью и поднимаются вертикально вверх под действием силы F, приложенной к одному из них. Нить между грузами обрывается, если модуль силы натяжения становится больше Т = 30 Н. При какой минимальной по модулю силе F это произойдёт?
Дано:
Масса каждого груза m = 2 кг Максимальная сила натяжения нити T = 30 Н Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с² Сила тяжести для каждого груза равна mg = 2 * 9,8 = 19,6 Н
При равномерном движении вверх сила натяжения T уравновешивает вес одного груза, то есть T = mg.
Поскольку сила F, поднимающая оба груза, должна быть в два раза больше T (так как она тянет оба груза), минимальная сила F = 2 * T.
Подставляем значения: F = 2 * 30 = 60 Н
Ответ: при силе F = 60 Н нить оборвется.
4. Два тела с массами соответственно m1= 1 кг и m2 = 2 кг соединены невесомой пружиной жёсткостью k = 1500 Н/м. Их поднимают вертикально вверх, приложив к первому (верхнему) телу силу, модуль которой F=30 Н. Определите удлинение пружины, если тела движутся поступательно равноускоренно.
Сила тяжести на тела: F1 = m1 * g = 1 кг * 9,8 м/с² = 9,8 Н, F2 = m2 * g = 2 кг * 9,8 м/с² = 19,6 Н.
Сила упругости пружины по закону Гука: Fупр = -k * Δl, где k = 1500 Н/м — жёсткость пружины, Δl — удлинение пружины, которое нужно найти.
Применяем второй закон Ньютона для первого тела: Fприл + Fупр = m1 * a.
Сила ускорения a, учитывая, что системы движутся равноускоренно:
a = F / (m1 + m2).
Однако можно упростить уравнение, так как тела движутся как единое целое. Подставляем значения в уравнение для ускорения, потом решаем его для удлинения пружины:
Теперь имеем уравнение:
-1500 * Δl = -30,
где 30 — это сумма сил, действующих на систему.
Решаем относительно удлинения пружины:
Δl = 30 / 1500 = 0,02 м.
Переводим в сантиметры:
Δl = 0,02 м = 2 см.
Ответ: удлинение пружины составляет 2 см.
5. На наклонной плоскости (рис. 63, 6) под углом а = 30° к горизонту покоится тело массой m1. К телу прикреплена невесомая гладкая нить, перекинутая через блок. Чтобы сдвинуть тело m1 вверх вдоль наклонной плоскости, к другому концу нити прикрепляют груз массой m2 = 1,7 кг. Коэффициент трения тела m1 о плоскость равен μ = 0,4. Найдите максимальное значение массы m1 первого тела, при котором оно будет подниматься. Считайте, что все тела движутся поступательно.
Угол наклона плоскости α = 30° Масса груза m2 = 1,7 кг Коэффициент трения μ = 0,4 Ищем: максимальную массу m1, при которой тело будет подниматься. Анализ сил: Для тела m1 на наклонной плоскости силы включают:
Сила тяжести, которая имеет компоненты: mgsin(α) вдоль плоскости и mgcos(α) перпендикулярно плоскости. Сила трения: Fтр = μ * N, где N = mg*cos(α). Для груза m2 на вертикали действует сила тяжести m2*g.
Условия равновесия: Чтобы тело m1 поднималось, сила натяжения нити должна быть больше или равна сумме силы трения и компоненты силы тяжести m1 вдоль плоскости:
T = m2 * g ≥ m1 * g * sin(α) + μ * m1 * g * cos(α)
Решение уравнения: Разделив обе стороны на g и подставив данные:
m2 ≥ m1 * (sin(α) + μ * cos(α))
Подставив значения α = 30°, μ = 0,4, m2 = 1,7 кг:
1,7 ≥ m1 * (0,5 + 0,4 * 0,866)
1,7 ≥ m1 * (0,5 + 0,346)
1,7 ≥ m1 * 0,846
m1 ≤ 1,7 / 0,846 ≈ 2,01 кг
Ответ: Максимальная масса m1, при которой тело будет подниматься, равна примерно 2,01 кг.