154 Даны правила игры Шары и ящики. Правила игры Шары и ящики Начальная позиция. Два открытых ящика, в каждом лежат шары. Сколько шаров в каждом ящике, определяется дополнительными правилами. Возможные ходы. На каждом ходу игрок забирает из одного ящика сколько угодно шаров. Как определить победителя. Игра заканчивается, если очередной ход сделать невозможно — шары закончились. Выигрывает тот, кто сделал последний ход. Исследуй игру Шары и ящики для различных начальных позиций. Кто из игроков обладает выигрышной стратегией? Опиши эту стратегию. Нужно рассмотреть два варианта начальных позиций: 1) если шаров в ящиках поровну; 2) если шаров в ящиках не поровну. 155 В игре Ползунок на поле 4 × 3 существует равновесная выигрышная стратегия для Первого, подобная той, которая описана на с. 99. Построй последовательность позиций какой-либо партии этой игры, в которой Первый следует равновесной выигрышной стратегии. 156 Сформулируй равновесную выигрышную стратегию для Первого в игре Ладья с начальной позицией a3. Приведи пример партии этой игры, в которой Первый следует твоей стратегии, — нарисуй путь ладьи в такой партии. 157 Классифицируй числа множества Р по ос таткам от деления на 4: в одну группу помести все числа множества Р, которые делятся на 4 без остатка, в другую — те числа, при делении которых на 4 получается остаток 1, и т. д. 158 Даны правила игры Минусы. Правила игры Минусы Начальная позиция. В строке написано несколько мину сов. Сколько именно, определяется дополнительными правилами. Возможные ходы. На каждом ходу игрок переправляет один минус на плюс или два соседних минуса на два плюса. Как определить победителя. Игра заканчивается, если очередной ход сделать невозможно — минусы закончились. Выигрывает тот, кто сделал последний ход. Найди выигрышную стратегию в игре Минусы с начальной позицией 18 минусов и в той же игре с начальной позицией 21 минус. Определи, кто обладает выигрышной стратегией, и опиши эту стратегию для каждой из данных начальных позиций. Теперь попробуй обобщить свои выводы — опиши выигрышную стратегию для любой игры Минусы: а) если начальная позиция — нечётное число минусов; б) если начальная позиция — чётное число минусов. 159 В игре Ползунок на поле 4 × 4 равновесную выигрышную стратегию для Первого, которая описана на с. 99, построить не удастся. Но в этой игре существует другая равновесная выигрышная стратегия для Первого. Она получается, если считать равновесными такие позиции, в которых при перегибании поля по синей линии его правая и левая части совпадают. Эта стратегия заключается в зеркальном повторении ходов Второго (представь себе, что зеркало стоит на синей прямой). Построй последовательность позиций какой-либо партии, в которой Первый следует такой стратегии и первым ходом соединяет две средние точки нижнего ряда. 160 Построй два таких множества бусин А и В, для которых все следующие утверждения истинны: Множество П равно пересечению множеств А и В. Множество О равно объединению множеств А и В. В множестве А жёлтых бусин больше, чем квадратных. В множестве В треугольных бусин больше, чем красных. 161 Робот находится на прямоугольном поле, внутри которого стен нет. Составь алгоритм, при выполнении которого Робот закрашивает все клетки поля, прилегающие к стенам. 162 Сколько разных чисел можно получить, переставляя цифры числа 5434? Построй дерево перебора вариантов 163 Исследуй игру Оттесни шашку. У кого из игроков есть равновесная выигрышная стратегия? Сформулируй эту стратегию. Правила игры Оттесни шашку Начальная позиция. Полоска 1 × 20 клеток. В крайних клетках полоски стоят белая и чёрная шашки. Возможные ходы. Каждый игрок на своём ходу передвигает свою шашку на одну или две клетки по направлению к середине полосы, если это возможно. Перепрыгивать через шашку противника нельзя. Первый двигает белую шашку, Второй — чёрную. Как определить победителя. Игра заканчивается, если очередной ход сделать невозможно. Выигрывает тот, кто сделал последний ход. 164 Найди выигрышную стратегию в игре Камешки (начальная позиция 308, разрешается брать 1, 2 или 3 камешка). Для решения необязательно раскрашивать числовую линейку от 0 до 308 целиком, а можно: 1) раскрасить позиции от 0 до 16; 2) найти закономерность расположения проигрышных позиций на числовой прямой; 3) определить, какой будет начальная позиция, а значит, выяснить, кто из игроков обладает выигрышной стратегией; 4) сформулировать выигрышную стратегию, не перечисляя проигрышные позиции, а описывая их. 165 Построй последовательность однозначных чисел длины 5, для которой все следующие утверждения истинны: В этой последовательности следующее число после каждого нечётного — чётное. Первый член этой последовательности больше третьего на 2. Каждый член этой последовательности есть в множестве К. 166 Даны правила игры Две кучи камешков 2. Правила игры Две кучи камешков 2 Начальная позиция. Две кучи камешков (сколько камешков в каждой куче, устанавливается дополнительными правилами). Возможные ходы. На каждом ходу игрок может взять либо сколько угодно камешков из одной кучи, либо поровну камешков из обеих куч одновременно. Как определить победителя. Игра заканчивается, если все камешки закончились. Выигрывает игрок, который забрал последний камешек. Напиши последовательность позиций партии игры Две кучи камешков 2: а) с начальной позицией (9; 6), в которой выиграл Первый; б) с начальной позицией (7; 4), в которой выиграл Второй. 167 Найди выигрышную стратегию в игре Две кучи камешков 2 с начальной позицией (6; 10) и в той же игре с начальной позицией (9; 8): 1) раскрась таблицу 11 × 11, начиная с заключительной позиции — клетки (0; 0); 2) определи, какой будет каждая из данных начальных позиций — выигрышной или проигрышной, а значит, у кого из игроков есть в этой позиции выигрышная стратегия; 3) сформулируй выигрышную стратегию для каждой из данных начальных позиций. Теперь для каждой из данных начальных позиций запиши последовательность позиций какой-нибудь партии, в которой один из игроков использует выигрышную стратегию, а другой на каждом ходу берёт по одному камешку из каждой кучи. 168 Робот находится в тупике (в закрытом конце) прямого коридора шириной в 1 клетку, идущего в неизвестном направлении. В конце коридора есть выход. Составь алгоритм, выводящий Робота из этого коридора. 169 Английский математик Джон Хортон Конвей (род. 1937) придумал много интересных математических игр. Вот правила одной из таких игр: Правила игры Ободок Начальная позиция. Несколько точек на плоскости. Возможные ходы. На каждом ходу игрок может провести одну замкнутую кривую (ободок) либо через одну из то чек, либо через две. При этом два ободка пересекаться не должны. Вот примеры разрешённых ходов: Как определить победителя. Игра заканчивается, если очередной ход сделать невозможно — все точки лежат на ободках. Выигрывает тот, кто сделал последний ход. Известно, что в игре Ободок с любой начальной позицией у Первого есть равновесная выигрышная стратегия. Найди равновесную выигрышную стратегию для этой игры с начальной позицией 7 точек и для той же игры с начальной позицией 8 точек. Как в каждой из этих двух начальных позиций Первый должен провести ободок, чтобы сделать позицию равновесной? (Своим первым ходом Первый должен разделить все точки на две части так, чтобы каждый ход, сделанный в одной части, можно было повторить в другой.) Сформулируй выигрышную стратегию для каждой из данных начальных позиций. Попробуй обобщить своё решение — построй выигрышную стратегию для игры Ободок: а) если в начальной позиции нечётное число точек; б) если в начальной позиции чётное число точек. 170 Двое играют в следующую игру: каждый игрок по очереди вычёркивает одно число из ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 до тех пор, пока не останется два числа. Если сумма этих чисел делится на 5, то выигрывает первый игрок, если не делится — второй. У кого из игроков в этой игре есть выигрышная стратегия? Опиши эту стратегию.