61. (Для работы в парах.) Докажите, что всякое простое число, начиная с 5, увеличенное или уменьшенное на 1, делится на 6. 1) Проверьте утверждение на примерах. Одному учащемуся рекомендуем взять простые числа из третьего десятка, другому — из седьмого десятка. 2) Обсудите друг с другом, из чего следует справедливость указанного свойства. 3) Проведите доказательство.
Ответ:
Рассмотрим простое число a, которое больше или равно 5. Чтобы доказать, что a, увеличенное или уменьшенное на 1, делится на 6, необходимо показать, что оно делится и на 2, и на 3.
Делимость на 2: Все простые числа, начиная с 5, являются нечетными (за исключением 2, которое не рассматривается в данной задаче). Если a — нечетное число, то:
a - 1 — четное число (делится на 2). a + 1 — также четное число (делится на 2). Это означает, что любое простое число, начиная с 5, увеличенное или уменьшенное на 1, будет делиться на 2. Делимость на 3: Рассмотрим три последовательных числа: a - 1, a и a + 1. Из этих трех чисел одно обязательно делится на 3, так как любые три последовательных числа всегда содержат одно число, кратное 3.
Поскольку a является простым и не может делиться на 3, то одно из двух других чисел — либо a - 1, либо a + 1 — должно делиться на 3. Это означает, что либо (a - 1), либо (a + 1) делится на 3. Итог: Таким образом, любое простое число, начиная с 5, увеличенное или уменьшенное на 1, будет делиться на 2 и либо на 3. Поскольку число делится на 2 и на 3, оно также делится на 6 (по критерию делимости на 6).
Примеры: Для простого числа 29: 29 + 1 = 30 (делится на 6). 29 - 1 = 28 (не делится на 6). Для простого числа 41: 41 + 1 = 42 (делится на 6). 41 - 1 = 40 (не делится на 6). Таким образом, было показано, что всякое простое число, начиная с 5, увеличенное или уменьшенное на 1, делится на 6.