203 Построй такую последовательность длины 5, чтобы все следующие утверждения были истинными:
В этой последовательности следующая бусина после каждой квадратной — красная.
В этой последовательности следующая бусина после каждой красной — круглая.
Каждая бусина множества Р встречается в этой последовательности ровно один раз.
Зеленый квадрат Красный квадрат Красный круг Зеленый круг Желтый треугольник
204 Подумай, как можно вычислить площадь многоугольника П, не разрезая его на части. Нарисуй такой же многоугольник в тетради по клеткам и найди его площадь.
Найдем площадь всего квадрата 5*5=25 ед.кв
Теперь вычтем не закрашенные элементы 4 элемента
25-24=21 ед.кв
205 Построй последовательность чисел по инструкции:
1. Запиши первый член последовательности: однозначное число, большее 2.
2. Запиши второй член последовательности: однозначное число, большее 2, не равное первому члену последовательности.
3. Каждый следующий член находи по правилу:
# если предыдущий член — число, которое делится на 3, то искомое число равно сумме второго числа перед искомым и 5;
# если предыдущий член — число, которое не делится на 3, то искомое число равно произведению предыдущего числа и 6.
4. Строй последовательность до тех пор, пока длина последовательности не станет больше 8.
Запишем первый член последовательности: 3. Запишем второй член последовательности: 4. Теперь будем находить следующие члены по заданным правилам:
Третий член: Предыдущий член — 4 (не делится на 3), поэтому: 4 * 6 = 24.
Четвёртый член: Предыдущий член — 24 (делится на 3), поэтому: 4 + 5 = 9.
Пятый член: Предыдущий член — 9 (делится на 3), поэтому: 24 + 5 = 29.
Шестой член: Предыдущий член — 29 (не делится на 3), поэтому: 29 * 6 = 174.
Седьмой член: Предыдущий член — 174 (делится на 3), поэтому: 29 + 5 = 34.
Восьмой член: Предыдущий член — 34 (не делится на 3), поэтому: 34 * 6 = 204.
Теперь у нас есть последовательность из 8 членов:
3, 4, 24, 9, 29, 174, 34, 204.
206 а) У Водолея сосуды вместимостью 6, 12 и 15 мер. Может ли он отмерить: 1 меру? 2 меры? 3 меры? Если да, то напиши соответствующие программы. Если нет, то объясни почему.
б) У Водолея сосуды вместимостью 6, 10 и 15 мер. Сможет ли он отмерить: 1 меру? 7 мер? Если да, то напиши соответствующие программы. Если нет, то объясни почему.
а) Сосуды вместимостью 6, 12 и 15 мер Для определения возможности отмерить 1, 2 и 3 меры с помощью сосудов вместимостью 6, 12 и 15 мер, можно воспользоваться методом взвешивания или вычисления.
1 мера: Невозможно. Сосуды могут вместить только 6, 12 и 15, но 1 мера не может быть получена из этих значений, так как наименьшее из них — 6.
2 меры: Невозможно. Аналогично, 2 также не может быть достигнуто, поскольку 2 меньше любого из доступных сосудов.
3 меры: Невозможно. 3 также не может быть получено с помощью сосудов, так как все они больше 3.
Таким образом, Водолей не сможет отмерить 1, 2 и 3 меры с использованием сосудов вместимостью 6, 12 и 15 мер.
б) Сосуды вместимостью 6, 10 и 15 мер Теперь рассмотрим возможность отмерить 1 и 7 мер с помощью сосудов вместимостью 6, 10 и 15 мер.
1 мера: Невозможно. Сосуды по-прежнему имеют вместимость больше 1, и 1 мера не может быть достигнута.
7 мер: Можно. Чтобы отмерить 7 мер, можно воспользоваться следующим способом:
Наполни сосуд на 10 мер. Затем вылей из него в сосуд на 6 мер, чтобы оставить 4 меры в сосуде на 10 мер. Перелей 4 меры из сосуда на 10 мер в сосуд на 15 мер, который уже пуст. После этого снова наполни сосуд на 10 мер. Вылей 6 мер из сосуда на 10 мер в сосуд на 6 мер (он уже заполнен, и в нем 4 меры, поэтому в него вмещается ещё 2 меры). В результате у тебя останется 7 мер в сосуде на 10 мер. Таким образом, Водолей не сможет отмерить 1 меру, но сможет отмерить 7 мер с использованием сосудов вместимостью 6, 10 и 15 мер.
207 Найди площадь многоугольника Д.
Найдем площадь полного прямоугольника в который умещается многоугольник Д
5*3=15 ед.кв
Вычтем не закрашенные элементы 15-3,5=11,5 ед.кв
208 Толя составил алгоритм, переводящий Робота из клетки А в клетку Б с закрашиванием каких-то клеток. Что должен сделать Толя с этим алгоритмом, чтобы получить алгоритм, переводящий Робота из Б в А и закрашивающий те же клетки?
Чтобы получить алгоритм, переводящий Робота из клетки Б в клетку А с закрашиванием тех же клеток, Толя должен выполнить следующие шаги:
Обратный порядок шагов: Все действия в исходном алгоритме нужно выполнить в обратном порядке. Например, если в оригинальном алгоритме Робот сначала перемещается на одну клетку вправо, затем вверх, то в обратном алгоритме он должен сначала переместиться вниз, а затем влево.
Обратные действия: Если в алгоритме есть действия, которые закрашивают клетки, их нужно оставить без изменений, так как они должны закрашивать те же клетки. Если есть действия, которые перемещают Робота, их нужно заменить на противоположные.
209 Вася составил алгоритм, при выполнении которого Робот закрашивает 5 клеток. Гоша переставил в алгоритме какие-то две команды (необязательно соседние). Может ли новый алгоритм закрашивать: а) 0 клеток; б) 1 клетку; в) 5 клеток; г) 7 клеток; д) 100 клеток? Объясни свой ответ.
а) 0 клеток. Такой результат невозможен, так как изначально робот должен закрашивать 5 клеток. Перестановка двух команд не может полностью убрать все действия по закрашиванию, если в алгоритме уже есть команды на закрашивание клеток. Поэтому результат 0 клеток исключается.
б) 1 клетку. Это тоже маловероятно, потому что закрашивание нескольких клеток обычно требует нескольких действий по движению и закрашиванию, а перестановка двух команд не может привести к тому, что вместо пяти закрашенных клеток останется только одна. Алгоритм останется с большим количеством закрашенных клеток.
в) 5 клеток. Такой результат возможен, если перестановка команд не затронула критически важные моменты алгоритма, то есть даже после изменения порядка команд робот продолжит закрашивать 5 клеток. Это исходное состояние алгоритма, и при перестановке некоторых команд результат может остаться прежним.
г) 7 клеток. Теоретически это возможно, если после перестановки команд робот будет закрашивать одну и ту же клетку дважды, что может привести к избыточному закрашиванию. Однако более 5 клеток, скорее всего, не может быть закрашено, поскольку изначально предусмотрено закрашивание 5 клеток. Поэтому 7 клеток маловероятно, но не совсем исключено.
д) 100 клеток. Это невозможно, поскольку алгоритм рассчитан на закрашивание 5 клеток, и никакая перестановка двух команд не приведет к такому резкому увеличению количества закрашенных клеток.
210 Построй последовательность бусин длины 10, для которой все следующие утверждения истинны:
В этой последовательности вторая бусина перед каждой жёлтой — квадратная.
В этой последовательности следующая бусина после каждой жёлтой — зелёная.
Каждая бусина из множества Р встречается в этой последовательности ровно один раз.
Синий квадрат Красный квадрат Красный круг Желтый круг Зеленый квадрат Красный треугольник Желтый треугольник Зеленый круг Зеленый треугольник Синий круг
211 Нарисуй в тетради по клеткам четыре разных треугольника на сетке так, чтобы площадь каждого из них была равна 12 ед. кв.
Рисуем треугольники с площадью 12 ед.кв.
212 Построй все возможные подмножества множества W.
Множество W состоит из трёх элементов: красный квадрат, зелёный квадрат и жёлтый круг. Для любого множества количество возможных подмножеств можно вычислить по формуле 2^n, где n — количество элементов в исходном множестве. В данном случае, n = 3, значит, количество подмножеств множества W будет 2^3 = 8.
Теперь можно перечислить все возможные подмножества:
Пустое множество {} {красный квадрат} {зелёный квадрат} {жёлтый круг} {красный квадрат, зелёный квадрат} {красный квадрат, жёлтый круг} {зелёный квадрат, жёлтый круг} {красный квадрат, зелёный квадрат, жёлтый круг}
213 Аня составила алгоритм, при выполнении которого на поле без стен Робот вернулся в исходное положение. Соня переставила две команды местами. Докажи, что при выполнении Сониного алгоритма Робот также вернётся в исходное положение.
Если Аня составила алгоритм, при выполнении которого Робот вернулся в исходное положение, это означает, что все движения, выполненные Роботом, в итоге привели его обратно в стартовую позицию. Рассмотрим, как это происходит:
Движения Робота: Каждый шаг алгоритма представляет собой перемещение Робота в определённом направлении (вверх, вниз, влево, вправо). Если в конечном итоге Робот вернулся в исходное положение, значит, все перемещения были уравновешены.
Перестановка команд: Когда Соня переставляет две команды местами, она меняет порядок выполнения только двух из всех шагов алгоритма. Однако важно отметить, что каждая команда всё равно будет выполнена, и Робот совершит все движения, которые предусмотрены алгоритмом.
Возврат в исходное положение: Поскольку перестановка двух команд не меняет общее количество выполненных шагов и не добавляет новых движений, итоговое перемещение Робота будет оставаться уравновешенным. Как результат, он всё равно вернётся в исходное положение.
Таким образом, можно утверждать, что при выполнении Сониного алгоритма Робот также вернётся в исходное положение. Перестановка двух команд не нарушает уравновешенности движений, что и обеспечивает возвращение Робота на стартовую позицию.
214 Валя составила алгоритм для Робота, который на поле без стен и закрашенных клеток закрашивает 5 клеток. Толя переставил в алгоритме две соседние команды. Может ли новый алгоритм закрашивать: а) 3 клетки; б) 4 клетки; в) 5 клеток; г) 6 клеток; д) 7 клеток?
а) Может ли новый алгоритм закрашивать 3 клетки? Да, это возможно. Если в исходном алгоритме Робот закрашивает 5 клеток, и при перестановке соседних команд некоторые клетки перекрываются или закрашиваются не все, то Робот может закрасить 3 клетки.
б) Может ли новый алгоритм закрашивать 4 клетки? Да, это также возможно. При перестановке соседних команд, если Робот будет закрашивать некоторые клетки, но не все, это может привести к тому, что в результате закрасится 4 клетки.
в) Может ли новый алгоритм закрашивать 5 клеток? Да, новый алгоритм может продолжать закрашивать 5 клеток. Если перестановка соседних команд не влияет на общую логику закрашивания, Робот может продолжать закрашивать те же 5 клеток.
г) Может ли новый алгоритм закрашивать 6 клеток? Нет, это невозможно. Если изначально Робот закрашивал 5 клеток, то при любой перестановке соседних команд количество закрашенных клеток не может увеличиться, поскольку он не сможет закрасить больше клеток, чем предусмотрено алгоритмом.
д) Может ли новый алгоритм закрашивать 7 клеток? Нет, это также невозможно. Аналогично предыдущему пункту, при перестановке соседних команд Робот не сможет закрасить больше 5 клеток.
Таким образом, в результате перестановки двух соседних команд новый алгоритм может закрашивать 3, 4 или 5 клеток, но не может закрашивать 6 или 7 клеток.
215 Реши задачу.
В некоторой семье каждый ребёнок любит хотя бы один из трёх овощей: капусту, морковь или горох. Сколько детей в этой семье, если из них капусту любят семеро, морковь — шестеро, горох — пятеро, капусту и морковь — четверо, капусту и горох — трое, морковь и горох — двое, и только один ребёнок любит и капусту, и горох, и морковь? Для решения задачи нарисуй схему с множествами.
Для решения задачи можно воспользоваться методом диаграмм Венна. У нас есть три множества, каждое из которых соответствует детям, любящим один из трёх овощей: капусту, морковь и горох.
Давайте обозначим:
A — множество детей, любящих капусту. B — множество детей, любящих морковь. C — множество детей, любящих горох. На основе данных, у нас есть следующие значения:
|A| = 7 (любят капусту) |B| = 6 (любят морковь) |C| = 5 (любят горох) |A ∩ B| = 4 (любят капусту и морковь) |A ∩ C| = 3 (любят капусту и горох) |B ∩ C| = 2 (любят морковь и горох) |A ∩ B ∩ C| = 1 (любят капусту, морковь и горох) Теперь можем использовать эти данные для нахождения количества детей в семье, применяя формулу включения-исключения:
N = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Подставим известные значения в формулу:
N = 7 + 6 + 5 - 4 - 3 - 2 + 1
Теперь посчитаем:
N = 7 + 6 + 5 = 18
N = 18 - 4 - 3 - 2 = 9
N = 9 + 1 = 10
Таким образом, в этой семье 10 детей.
216 Сможет ли исполнитель Кузнечик с такой системой команд: вперед 7 назад 5 добраться до точки 1? до точки 0? до точки –1? Если сможет, напиши такие программы для этого исполнителя, если не сможет, объясни почему. Сможет ли Кузнечик с такой системой команд добраться до любой точки на числовой прямой?
Чтобы понять, сможет ли исполнитель Кузнечик добраться до указанных точек с помощью команд "вперед 7" и "назад 5", рассмотрим, какие позиции он может занимать после выполнения определённого количества команд.
Анализ команд Каждая команда "вперед 7" увеличивает текущее положение на 7. Каждая команда "назад 5" уменьшает текущее положение на 5. Перемещения Допустим, Кузнечик начинает с точки 0. После n команд "вперед 7" и m команд "назад 5" его положение будет вычисляться по формуле:
Положение = 7n - 5m
Целочисленные решения Теперь необходимо выяснить, сможет ли Кузнечик добраться до точек 1, 0 и -1, то есть решить уравнения:
7n - 5m = 1 7n - 5m = 0 7n - 5m = -1 Решение для каждой точки Точка 1: 7n - 5m = 1
Это уравнение имеет целочисленное решение. Например: Если n = 1 (вперед 7), то: 7(1) - 5m = 1 → 7 - 5m = 1 → 5m = 6 → m = 1.2 (нецелое). Если n = 2, то: 7(2) - 5m = 1 → 14 - 5m = 1 → 5m = 13 → m = 2.6 (нецелое). Если n = 3, то: 7(3) - 5m = 1 → 21 - 5m = 1 → 5m = 20 → m = 4 (целое). Можно выполнить: вперед 7 (3 раза), назад 5 (4 раза) → 21 - 20 = 1. Точка 0: 7n - 5m = 0
Это уравнение имеет целочисленное решение. Например: Если n = 5 и m = 7: 7(5) - 5(7) = 35 - 35 = 0. Можно выполнить: вперед 7 (5 раз), назад 5 (7 раз) → 35 - 35 = 0. Точка -1: 7n - 5m = -1
Это уравнение имеет целочисленное решение. Например: Если n = 1, то: 7(1) - 5m = -1 → 7 - 5m = -1 → 5m = 8 → m = 1.6 (нецелое). Если n = 2, то: 7(2) - 5m = -1 → 14 - 5m = -1 → 5m = 15 → m = 3 (целое). Можно выполнить: вперед 7 (2 раза), назад 5 (3 раза) → 14 - 15 = -1. Вывод Кузнечик сможет добраться до всех трёх указанных точек (1, 0 и -1) с помощью системы команд "вперед 7" и "назад 5".
Сможет ли Кузнечик добраться до любой точки на числовой прямой? Кузнечик сможет добраться до любой точки на числовой прямой, если цель находится на расстоянии, кратном наименьшему общему кратному (НОК) шагов команд.
Поскольку 7 и 5 являются взаимно простыми числами (их НОД = 1), это означает, что Кузнечик сможет добраться до любого целого числа на числовой прямой, выполняя нужное количество команд "вперед 7" и "назад 5".
217 Сможет ли исполнитель Кузнечик с такой системой команд: вперед 6 назад 3 добраться до точки 1? Если сможет, напиши такую программу для этого исполнителя, если не сможет, объясни почему. Сможет ли исполнитель с такой системой команд добраться до любой точки на числовой прямой?
Чтобы определить, сможет ли исполнитель Кузнечик с командами "вперед 6" и "назад 3" добраться до точки 1, нужно понять, каковы его возможные позиции после выполнения различных команд.
Перемещения Если Кузнечик начинает с точки 0, его положение после выполнения n команд "вперед 6" и m команд "назад 3" можно описать следующим образом:
Положение = 6n - 3m
Решение уравнения Теперь выясним, возможно ли решить уравнение:
6n - 3m = 1
Это можно упростить, разделив все члены уравнения на 3:
2n - m = 1
Поиск целочисленных решений Теперь мы можем выразить m через n:
m = 2n - 1
Чтобы найти целые решения, нужно, чтобы m было неотрицательным:
2n - 1 ≥ 0 → n ≥ 0.5
Так как n должно быть целым числом, минимальное целое значение n — это 1.
Подстановка n = 1: m = 2(1) - 1 = 1 Программа для достижения точки 1 Кузнечик может выполнить следующие команды:
Вперед 6 (n = 1) Назад 3 (m = 1) Таким образом, последовательность команд будет:
Вперед 6 Назад 3 Положение после выполнения:
Начальная позиция: 0 После "вперед 6": 0 + 6 = 6 После "назад 3": 6 - 3 = 3 Проверка Так как мы не достигли точки 1, попробуем n = 2:
Подстановка n = 2: m = 2(2) - 1 = 3 Команды: Вперед 6 (n = 2) Назад 3 (m = 3) Положение после выполнения:
Начальная позиция: 0 После "вперед 6": 0 + 6 + 6 = 12 После "назад 3": 12 - 3 - 3 - 3 = 3 Общий анализ Для общего случая, чтобы Кузнечик мог добраться до точки 1, должно выполняться уравнение:
Таким образом, Кузнечик не сможет добраться до точки 1.
Возможность достижения любой точки на числовой прямой Для того чтобы исполнитель Кузнечик мог добраться до любой точки на числовой прямой, необходимо, чтобы коэффициенты (6 и 3) были взаимно простыми. В данном случае, НОД(6, 3) = 3.
Это значит, что Кузнечик сможет добраться только до тех точек, которые кратны 3, а до других точек (например, 1) он добраться не сможет.
Таким образом, Кузнечик не сможет добраться до точки 1 и не сможет добраться до любой точки на числовой прямой, а только до точек, кратных 3.
218 Найди два таких множества, которые станут одинаковыми, если правильно раскрасить белые фигурки. Напиши в тетради имена этих множеств и инструкцию, как нужно раскрасить белые фигурки в выбранных тобой множествах, чтобы эти множества стали одинаковыми.
Множество Е и З.
В Е раскрасить зеленым яблоко
В З раскрасить синим лук