1. Что такое вычислимая функция?
Вычислимая функция — это функция, для которой существует алгоритм, позволяющий за конечное количество шагов вычислить её значение для любого входного значения из области определения. Алгоритм может быть выполнен на компьютере, и, в случае правильно заданной функции, он всегда приведёт к точному результату.
2. Приведите пример невычислимой функции.
Примером невычислимой функции является функция, которая решает задачу остановки (Halting Problem). Задача заключается в том, чтобы для произвольной программы и её входных данных определить, остановится ли программа или будет работать бесконечно долго. Нет универсального алгоритма, который мог бы вычислить решение этой задачи для всех возможных программ.
3. Что такое алгоритмически неразрешимые задачи? Приведите известные вам примеры.
Алгоритмически неразрешимые задачи — это такие задачи, для которых невозможно составить алгоритм, который всегда бы давал правильный ответ за конечное время для всех возможных входных данных. Примеры алгоритмически неразрешимых задач:
Задача остановки (Halting Problem): Определение, остановится ли произвольная программа на заданных входных данных.
Проблема эквивалентности (Equivalence Problem): Определение, эквивалентны ли две программы с точки зрения их поведения (всегда ли они дают одинаковые результаты на всех входах).
4. Что такое проблема останова? Каковы её следствия?
Проблема остановки (Halting Problem) заключается в том, чтобы для произвольной программы и её входных данных определить, остановится ли программа на этих входных данных или будет работать бесконечно.
Следствия проблемы останова:
Это одна из алгоритмически неразрешимых задач, доказано, что для любой программы нельзя построить универсальный алгоритм, который бы всегда решал эту задачу. Проблема останова имеет серьёзные последствия для теории вычислений, поскольку она демонстрирует границы того, что можно вычислить с помощью алгоритмов.
5. Что такое проблема эквивалентности?
Проблема эквивалентности заключается в том, чтобы для двух произвольных программ, которые принимают на вход одинаковые данные, определить, всегда ли они будут давать одинаковые результаты (или иметь одинаковое поведение) для всех возможных входных данных.
Это также является неразрешимой задачей: нет алгоритма, который может проверить эквивалентность произвольных программ в общем случае, поскольку это сводится к решению проблемы остановки.
6. Как обычно доказывается алгоритмическая неразрешимость новых задач?
Алгоритмическая неразрешимость новых задач обычно доказывается с использованием редукции. В процессе редукции показывают, что если бы существовал алгоритм для решения новой задачи, то его можно было бы использовать для решения уже известной неразрешимой задачи. Это означает, что новая задача также будет неразрешимой. Такой подход позволяет доказать неразрешимость множества задач, ссылаясь на уже известные примеры (например, проблему остановки или проблему эквивалентности).