1. Почему во многих задачах не учитывают сопротивление среды? В каких случаях это можно делать?
Сопротивление среды во многих задачах не учитывают для упрощения расчетов, особенно если оно существенно меньше других сил, таких как сила тяжести. Это допустимо, когда скорость движения тела невелика или среда обладает малой вязкостью, что делает сопротивление незначительным по сравнению с основными воздействиями. Например, в школьных задачах для упрощения анализа часто игнорируют сопротивление воздуха.
2. Что такое дискретизация? Почему она необходима?
Дискретизация – это процесс разделения непрерывной модели или функции на конечное число интервалов (элементов) для численного анализа. Она необходима, поскольку компьютерные программы работают с конечным количеством данных, и дискретизация позволяет преобразовать непрерывные процессы в форму, удобную для вычислений.
3. Какие допущения использовались при дискретизации модели в задаче из параграфа?
Постоянство ускорения на каждом шаге. На интервале [tᵢ, tᵢ₊₁] предполагается, что ускорение мяча изменяется незначительно, поэтому его принимают постоянным. Это упрощает расчёты, позволяя использовать формулы для равноускоренного движения.
Малость интервала дискретизации δ. Шаг δ выбирается достаточно малым, чтобы ошибка, связанная с предположением о постоянстве ускорения, была минимальной. Однако он не может быть слишком малым, чтобы избежать чрезмерного увеличения объёма вычислений.
Начальные значения заданы точно. В момент времени t = 0 начальная скорость мяча v₀ и его начальная координата (высота) принимаются известными.
Воздействие силы сопротивления рассчитывается с учётом текущей скорости. Сила сопротивления F зависит от квадратной зависимости скорости и постоянного коэффициента сопротивления среды.
Невлияние изменения шага на структуру модели. При уменьшении δ предполагается, что структура дискретной модели остаётся неизменной, а результаты моделирования стремятся к непрерывному решению.
4. Как выбрать шаг дискретизации?
Шаг дискретизации выбирается исходя из необходимой точности и допустимого времени вычислений. Чем меньше шаг, тем точнее результат, но тем больше ресурсов потребуется. Обычно шаг выбирается достаточно маленьким, чтобы изменения величин между соседними точками были минимальными.
5. Какие средства можно использовать для компьютерного моделирования в рассмотренной задаче? В чём их достоинства и недостатки?
MATLAB или Python (с библиотеками NumPy, SciPy) для численных расчетов. Специализированные программы, такие как COMSOL или ANSYS, для сложных физических моделей. Их достоинства включают широкий функционал, точность, визуализацию результатов. Недостатки – высокая сложность освоения и большие затраты времени на сложные расчеты.
6. Измените программу так, чтобы в ней использовался цикл с постусловием. Сравните это решение с вариантом, который приведён в тексте параграфа.
// Инициализация начальных данных t := 0; v := v0; y := 0; h := 0; // Максимальная высота
repeat // Расчёт силы сопротивления F := ro * abs(v) * v * C * S / 2;
// Расчёт ускорения a := -g + F / m;
// Обновление координаты (высоты) y := y + v * delta + a * delta * delta / 2;
// Проверка максимальной высоты if y > h then h := y;
// Обновление скорости v := v + a * delta;
// Обновление времени t := t + delta;
until y < 0; // Условие завершения цикла
7. Объясните, как в программе определить максимальную высоту подъёма мяча.
Для определения максимальной высоты подъёма мяча в программе нужно отслеживать текущую высоту мяча на каждом шаге моделирования и сравнивать её с переменной, которая хранит максимальную высоту. Если текущая высота больше значения в этой переменной, её значение обновляется.