1. Приведите известные вам математические записи второго закона Ньютона. Докажите их эквивалентность.
Вторая формулировка закона Ньютона:
F = ma — вектор силы равен произведению массы на ускорение. F = Δp / Δt — сила равна скорости изменения импульса.
Доказательство эквивалентности: Импульс p = mv. Тогда изменение импульса за малое время: Δp = mΔv → F = Δp / Δt = mΔv / Δt = ma Значит, F = ma и F = Δp / Δt — эквивалентны, если масса постоянна.
2. Чем различаются выражения для релятивистского импульса и импульса в классической механике?
Классический импульс: p = mv
Релятивистский импульс (с учётом теории относительности): p = mv / √(1 − v²/c²)
Отличие: при больших скоростях (v ~ c) импульс становится больше, чем по формуле mv, из-за множителя 1 / √(1 − v²/c²). Это отражает рост инертности тела при приближении к скорости света.
3. Справедлив ли закон сохранения импульса для движения тел со скоростями, близкими к скорости света?
Да, справедлив. Но нужно использовать релятивистский импульс, то есть учитывать увеличение импульса при высоких скоростях. В этом случае закон сохранения импульса сохраняется, но его расчёт ведётся по формуле с корнем.
1. Покажите, что при v < c выражение для релятивистского импульса переходит в выражение для классического импульса.
Релятивистская формула: p = mv / √(1 − v²/c²)
Если v << c, то v²/c² ≈ 0. Тогда: √(1 − v²/c²) ≈ 1
Следовательно: p ≈ mv — это классическая формула.
2. Чему равен импульс протона, движущегося со скоростью 0,7с?
Дано: m (масса протона) ≈ 1,67 × 10⁻²⁷ кг v = 0,7c = 0,7 × 3,0 × 10⁸ м/с = 2,1 × 10⁸ м/с Релятивистский импульс: p = mv / √(1 − v²/c²)
Посчитаем:
v²/c² = (0,7)² = 0,49 √(1 − 0,49) = √0,51 ≈ 0,714
p = (1,67 × 10⁻²⁷) × (2,1 × 10⁸) / 0,714 ≈ (3,507 × 10⁻¹⁹) / 0,714 ≈ 4,91 × 10⁻¹⁹ кг·м/с
Ответ: p ≈ 4,91 × 10⁻¹⁹ кг·м/с