1. Что представляет собой колебательный контур? Какой колебательный контур является идеальным?
Колебательный контур — это электрическая цепь, состоящая из конденсатора и катушки индуктивности, соединённых таким образом, что они могут обмениваться энергией в виде электрических и магнитных полей. Идеальный колебательный контур предполагает отсутствие сопротивления, поэтому его колебания не затухают и происходят с постоянной амплитудой.
2. Докажите, что колебательный контур — колебательная система.
Колебательный контур — это колебательная система, так как в нём наблюдаются периодические изменения энергии между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки. Закон сохранения энергии позволяет энергиям переходить из одной формы в другую, что характерно для колебательных систем.
3. Опишите процессы, происходящие в колебательном контуре.
В колебательном контуре происходит циклический процесс зарядки и разрядки конденсатора через катушку индуктивности. Когда конденсатор заряжен, энергия хранится в электрическом поле между его пластинами. В процессе разрядки ток проходит через катушку, создавая магнитное поле, где энергия также сохраняется. Затем катушка начинает заряжать конденсатор в обратном направлении, и процесс повторяется.
4. Какие превращения энергии происходят в колебательном контуре?
В колебательном контуре происходит чередование электрической и магнитной энергии. Во время разрядки конденсатора электрическая энергия преобразуется в магнитную энергию в катушке. При зарядке магнитное поле катушки снова переходит в электрическую энергию конденсатора. Этот обмен энергии возможен благодаря взаимодействию электрического и магнитного полей.
5. Установите аналогию между механическими и электромагнитными колебаниями.
Механические колебания и электромагнитные колебания аналогичны по своей периодичности и форме обмена энергией. Например, в механическом колебательном движении, как в системе «груз на пружине», происходит чередование потенциальной и кинетической энергии. Аналогично, в колебательном контуре происходит чередование электрической и магнитной энергии.
Упражнение 17
1. Зависимость заряда на пластинах конденсатора колебательного контура от времени выражена уравнением q = 10^-7cos10^4πt(Кл). Запишите уравнение зависимости силы тока в катушке от времени. Чему равны амплитуды колебаний заряда и силы тока в контуре, период, фаза, частота и циклическая частота колебаний? Чему равна индуктивность катушки колебательного контура, если ёмкость конденсатора 0,4 мкФ?
Сила тока Сила тока I(t) в контуре равна производной заряда q(t) по времени: I(t) = -10^(-7) * 10^4 * π * sin(10^4 * π * t) I(t) = -10^(-3) * π * sin(10^4 * π * t) А. Таким образом, уравнение зависимости силы тока от времени: I(t) = -10^(-3) * π * sin(10^4 * π * t).
Амплитуды колебаний Амплитуда колебаний заряда: q0 = 10^(-7) Кл. Амплитуда колебаний силы тока: I0 = 10^(-3) * π ≈ 3.14 * 10^(-3) А.
Период, частота и циклическая частота Заданное уравнение для заряда имеет вид: q(t) = q0 * cos(ω * t), где циклическая частота: ω = 10^4 * π рад/с. Частота: f = ω / (2 * π) = (10^4 * π) / (2 * π) = 5000 Гц.
Период: T = 1 / f = 1 / 5000 = 2 * 10^(-4) с.
Фаза колебаний Фаза ϕ = 0 (поскольку функция cos в уравнении заряда не имеет фазового сдвига).
Индуктивность катушки Для колебательного контура: ω = 1 / √(L * C), откуда L = 1 / (ω² * C).
Подставляя значения: ω = 10^4 * π и C = 0.4 мкФ = 0.4 * 10^(-6) Ф: L = 1 / ((10^4 * π)² * (0.4 * 10^(-6))) = 1 / (10^8 * π² * 0.4 * 10^(-6)) = 1 / (0.4 * 10^2 * π²) ≈ 2.53 * 10^(-3) Гн.
Ответы:
Уравнение для силы тока: I(t) = -10^(-3) * π * sin(10^4 * π * t) Амплитуды: q0 = 10^(-7) Кл, I0 ≈ 3.14 * 10^(-3) А Период T = 2 * 10^(-4) с Частота f = 5000 Гц Циклическая частота ω = 10^4 * π рад/с Фаза ϕ = 0 Индуктивность L ≈ 2.53 * 10^(-3) Гн.
2. Колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью 0,2 мкФ и катушки индуктивностью 8 мГн. Чему равна амплитуда колебаний напряжения, если амплитуда колебаний силы тока 0,1 А?
Заряд (Q) в колебательном контуре: Q = Q0 * cos(ωt + φ)
Сила тока (I): I = dQ/dt = -Q0 * ω * sin(ωt + φ) = -I0 * sin(ωt + φ) Где I0 = Q0 * ω
Напряжение (U) на конденсаторе: U = L * dI/dt = -L * Q0 * ω² * cos(ωt + φ) = -I0 * L * ω * cos(ωt + φ) U = -U0 * cos(ωt + φ) Где U0 = L * I0 * ω = L * Q0 * ω²
Угловая частота (ω): ω = 1 / √(L * C)
Вычисление амплитуды напряжения (U0): U0 = L * I0 * ω U0 = L * I0 / √(L * C)
Подставляем значения:
I0 = 0.1 A L = 8 мГн = 8 * 10^(-3) Гн C = 0.2 мкФ = 0.2 * 10^(-6) Ф U0 = 0.1 * √((8 * 10^(-3)) / (0.2 * 10^(-6))) U0 ≈ 20 В
3. Определите диапазон изменения периода колебаний в колебательном контуре, если при индуктивности катушки 5 мкГн ёмкость конденсатора можно менять в пределах от 0,05 до 5 мкФ.
Для определения диапазона изменения периода колебаний в колебательном контуре используем формулу:
T = 2π * √(L * C),
где:
L = 5 мкГн (индуктивность катушки), C — ёмкость конденсатора, изменяющаяся от 0,05 до 5 мкФ. Рассчитаем минимальный период T, подставляя минимальную ёмкость C = 0,05 мкФ: T_min = 2 * 3,14 * √(5 * 10^-6 * 0,05 * 10^-6) ≈ 3,14 * 10^-6 с.
Рассчитаем максимальный период T, подставляя максимальную ёмкость C = 5 мкФ: T_max = 2 * 3,14 * √(5 * 10^-6 * 5 * 10^-6) ≈ 3,14 * 10^-5 с.
4*. Получите формулу периода электромагнитных колебаний, используя закон сохранения энергии.
Для вывода формулы периода электромагнитных колебаний в контуре с индуктивностью L и емкостью C, применим закон сохранения энергии. В этом контуре происходит обмен энергией между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки.
Энергия, накопленная в конденсаторе, равна q^2 / (2C), где q — заряд на конденсаторе, а C — его емкость.
Энергия в катушке индуктивности равна L * i^2 / 2, где i — ток в контуре, а L — индуктивность катушки.
Согласно закону сохранения энергии, полная энергия в контуре сохраняется и равна сумме энергии в конденсаторе и катушке:
q^2 / (2C) + L * i^2 / 2 = const.
Поскольку ток i в контуре равен dq / dt (производная заряда по времени), запишем энергию как:
q^2 / (2C) + L * (dq / dt)^2 / 2 = const.
Теперь, чтобы найти зависимость заряда от времени, продифференцируем выражение по времени:
d/dt (q^2 / (2C) + L * (dq / dt)^2 / 2) = 0.
Это уравнение можно упростить, и оно приведет к дифференциальному уравнению:
d^2q / dt^2 + q / (LC) = 0.
Это уравнение описывает гармонические колебания, где частота ω связана с параметрами L и C следующим образом:
ω = 1 / √(LC).
Период колебаний T связан с частотой ω как T = 2π / ω. Подставив значение ω, получаем:
T = 2π * √(LC).
Таким образом, период колебаний в контуре равен 2π * √(LC).