1. Какие системы тел называют колебательными? При каких условиях в них могут возникнуть колебания?
Колебательной системой называют систему тел (механическую, электрическую и т. п.), способную при отклонении от положения равновесия совершать возвратно-поступательные движения вокруг этого положения.
Для возникновения свободных (собственных) колебаний нужны два основных условия: наличие восстанавливающей силы (она стремится вернуть систему в положение равновесия) и инертности (система «перелетает» через положение равновесия). Частный пример — масса на пружине: пружина даёт восстанавливающую силу, масса — инерцию.
2. Что представляет собой колебательная система пружинный маятник; математический маятник?
Пружинный маятник — масса m, жестко соединённая с пружиной жёсткости k. При малых колебаниях сила восстановления F = −k x (x — смещение от равновесия). Собственная циклическая частота ω = √(k/m), период T = 2π√(m/k).
Математический (простая) маятник — масса m на невесомой несжимаемой нити длины l, колебания малых углов. Для малых углов восстановливающая «тангенциальная» сила даёт приближённый закон: ω = √(g/l), T = 2π√(l/g), где g — ускорение свободного падения.
3. Назовите величины» характеризующие механические колебания. Дайте определение каждой характеристике колебаний.
Амплитуда A — максимальное отклонение от положения равновесия (м или см).
Период T — время одного полного колебания (с).
Частота ν (ню) — число колебаний в единицу времени: ν = 1/T (Гц).
Угловая частота ω — ω = 2πν = 2π/T (рад/с).
Фаза φ — начальная фаза; полное выражение движения: x(t) = A cos(ωt + φ) (или A sin...).
Смещение x(t) — положение тела относительно равновесия в момент t.
Скорость v(t) и ускорение a(t) — первая и вторая производные x(t): v(t) = −A ω sin(ωt + φ), a(t) = −A ω² cos(ωt + φ) = −ω² x(t).
Максимальная скорость vmax = A ω, максимальное ускорение amax = A ω².
1. Чему равен путь, пройденный грузом пружинного маятника за 5 полных колебанийт если амплитуда колебаний 2 см?
За одно полное колебание груз проходит путь 4A (от −A до +A и обратно). A = 2 см = 0.02 м. Путь S = 5 · 4A = 20A = 20·0.02 = 0.40 м = 40 см.
2. Чему равна частота колебаний тела» если оно проходит положение равновесия через каждые 0,4 с?
Время между последовательными прохождениями положения равновесия = T/2 (потому что в одном периоде тело пересекает равновесие два раза). T/2 = 0.4 с ⇒ T = 0.8 с. Частота ν = 1/T = 1 / 0.8 = 1.25 Гц.
3. Чему равен модуль ускорения маятника в его крайнем положении, если длина маятника 30 см, а амплитуда колебаний 4 см?
Дано: l = 30 см = 0.30 м, A = 4 см = 0.04 м, g = 9.8 м/с². Для маятника ω² = g / l, максимальное ускорение в крайних точках amax = A · ω² = A · (g / l). amax = 0.04 · (9.8 / 0.30) = 0.04 · 32.666... ≈ 1.31 м/с². Ответ: ≈ 1.31 м/с².
4. Чему равен модуль ускорения груза пружинного маятника в точке, координата которой 1 см, если жёсткость пружины 60 Н/м, а масса груза 200 г?
Дано: k = 60 Н/м, m = 200 г = 0.2 кг, x = 1 см = 0.01 м. Сила по закону Гука: F = −k x. Ускорение a = F / m = −(k x) / m. Модуль: |a| = k x / m. |a| = 60 · 0.01 / 0.2 = 0.6 / 0.2 = 3.0 м/с². Ответ: 3.0 м/с².