1. Сформулируйте: а) первый постулат СТО; б) второй постулат СТО. В чём заключается их физический смысл?
а) Первый постулат специальной теории относительности (СТО) утверждает, что все законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Это означает, что никакими экспериментами внутри инерциальной системы нельзя определить, находится ли она в покое или движется равномерно и прямолинейно.
б) Второй постулат СТО утверждает, что скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчёта и не зависит от движения источника или наблюдателя.
Физический смысл постулатов заключается в том, что они противоречат классической механике Ньютона, где скорости просто складываются. Они показывают, что пространство и время являются относительными, а скорость света — фундаментальной постоянной.
2. Зависит ли скорость света от скорости источника или от скорости приёмника светового сигнала?
Скорость света в вакууме не зависит ни от скорости источника, ни от скорости приёмника светового сигнала. Это одно из ключевых отличий релятивистской физики от классической механики.
3. С чем связана относительность одновременности событий в СТО?
Относительность одновременности событий связана с тем, что при переходе между инерциальными системами отсчёта порядок и одновременность событий могут меняться. В СТО одновременные в одной системе события могут оказаться не одновременно происходящими в другой системе отсчёта. Это следует из преобразований Лоренца и связано с конечностью скорости света.
4. В чём проявляется релятивистский эффект замедления времени? Как его можно экспериментально обнаружить?
Релятивистский эффект замедления времени заключается в том, что для движущихся относительно наблюдателя систем отсчёта время течёт медленнее. Это проявляется, например, в увеличении времени жизни быстрых мюонов, которые возникают в верхних слоях атмосферы и достигают поверхности Земли, хотя по классическим законам физики они должны были бы распасться раньше.
5. Сравните длину стержня в системе отсчёта, относительно которой он движется, с его собственной длиной.
Длина движущегося стержня в системе отсчёта, относительно которой он движется, оказывается короче его собственной длины (той, которая измеряется в системе, где стержень покоится). Этот эффект называется релятивистским сокращением длины и выражается формулой L = L₀√(1 - v²/c²), где L₀ — собственная длина, v — скорость стержня, c — скорость света.
С космического корабля на Землю посылается световой сигнал. Будет ли промежуток времени (по земным часам), за который сигнал дойдёт до Земли, одинаков в следующих трёх случаях: а) корабль с большой скоростью удаляется от Земли; б) корабль с большой скоростью приближается к Земле; в) корабль неподвижен относительно Земли?
а) Если корабль удаляется от Земли, то из-за эффекта Доплера частота сигнала уменьшается, а его длина волны увеличивается. Однако скорость света в вакууме остаётся неизменной, поэтому время, за которое сигнал достигнет Земли, будет больше, чем в случае неподвижного корабля. Это связано с тем, что расстояние между Землёй и кораблём увеличивается, пока свет движется к Земле.
б) Если корабль приближается к Земле, то по тем же причинам эффект Доплера приводит к увеличению частоты сигнала и уменьшению его длины волны. Однако скорость света остаётся постоянной, и путь, который сигнал должен преодолеть, сокращается. Поэтому время, за которое сигнал достигнет Земли, будет меньше, чем в случае неподвижного корабля.
в) Если корабль неподвижен относительно Земли, то сигнал движется с постоянной скоростью света напрямую к Земле без изменения расстояния во время его распространения. В этом случае промежуток времени будет минимальным из всех трёх случаев и будет определяться только расстоянием между кораблём и Землёй, делённым на скорость света.
1. Чему равна длина метровой линейки, движущейся относительно наблюдателя со скоростью 0,6с, направленной вдоль линейки? Во сколько раз изменятся продольные размеры линейки?
Длина линейки сокращается по формуле релятивистского сокращения длины:
L = L₀√(1 - v²/c²).
Подставляем значения:
L = 1 * √(1 - (0,6c)² / c²) = 1 * √(1 - 0,36) = 1 * √0,64 = 0,8 м.
Продольные размеры уменьшились в 1/0,8 = 1,25 раза.
2. С какой скоростью должен двигаться предмет, чтобы его длина была втрое меньше собственной длины?
Необходимо найти скорость v, при которой L = L₀/3. Используем формулу:
L = L₀√(1 - v²/c²),
Подставляем L₀/3 вместо L:
1/3 = √(1 - v²/c²).
Возводим в квадрат:
1/9 = 1 - v²/c².
v²/c² = 8/9.
v = c√(8/9) ≈ 0,94c.
3. С какой скоростью должен лететь звездолёт, чтобы пройденный путь, измеренный астронавтом, оказался вдвое короче пути, измеренного с Земли?
Длина пути сокращается так же, как длина предмета. При L = L₀/2:
1/2 = √(1 - v²/c²).
1/4 = 1 - v²/c².
v²/c² = 3/4.
v = c√(3/4) ≈ 0,87c.
4. С какой скоростью должен двигаться космический корабль относительно Земли, чтобы часы на нём шли в 2 раза медленнее, чем на Земле?
Время в движущейся системе отсчёта проходит медленнее:
T = T₀ / √(1 - v²/c²).
По условию, T = 2T₀:
2 = 1 / √(1 - v²/c²).
4 = 1 / (1 - v²/c²).
1 - v²/c² = 1/4.
5. Какое время пройдёт на Земле, если в ракете, движущейся относительно Земли со скоростью 0,99с, пройдёт 10 лет?
На Земле время проходит быстрее:
Подставляем v = 0,99c и T₀ = 10 лет:
T = 10 / √(1 - 0,99²).
√(1 - 0,9801) = √0,0199 ≈ 0,141.
T ≈ 10 / 0,141 ≈ 71 год.