1. Какие колебания называют вынужденными?
Вынужденными называют колебания, происходящие под действием внешней периодической силы. В отличие от свободных колебаний, которые затухают со временем, вынужденные поддерживаются за счёт поступающей извне энергии.
2. Как записывается уравнение движения для вынужденных колебаний?
Уравнение движения для вынужденных колебаний записывается как: mx'' + bx' + kx = F₀cos(ωt), где m — масса, b — коэффициент сопротивления, k — жёсткость системы, F₀ — амплитуда внешней силы, ω — её частота.
3. В чём состоит явление резонанса?
Явление резонанса заключается в резком увеличении амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты внешней силы с собственной частотой системы.
4. Почему при резонансе создаются оптимальные условия для перекачки энергии от внешних тел к системе?
При резонансе энергия от внешнего источника передаётся системе с максимальной эффективностью, так как система колеблется в такт с внешним воздействием и практически не теряет энергию на переходные процессы.
5. Какое влияние оказывает сопротивление в системе на резонанс?
Сопротивление в системе снижает амплитуду резонансных колебаний и делает их менее выраженными. При большом сопротивлении резонанс практически не проявляется.
6. Какие колебания называют автоколебаниями? Чем они отличаются от свободных колебаний?
Автоколебания — это колебания, поддерживаемые за счёт внутреннего источника энергии, который компенсирует потери. Они отличаются от свободных колебаний тем, что их амплитуда остаётся постоянной за счёт саморегулирующегося механизма подачи энергии. Примеры — работа маятника часов и вибрации струнных инструментов.
1. Если длину математического маятника уменьшать, когда он проходит положение равновесия, и увеличивать в те моменты, когда его отклонение максимально, то амплитуда колебаний маятника начинает возрастать. Как это можно объяснить?
Когда длину маятника уменьшают в положении равновесия и увеличивают в крайних точках, происходит целенаправленная подкачка энергии. В положении равновесия скорость максимальна, и уменьшение длины увеличивает кинетическую энергию маятника. В крайних точках длина увеличивается, что позволяет сохранить энергию системы и не снижать амплитуду. Этот процесс похож на раскачивание качелей с точным подбором моментов приложения силы.
2. Почему при некоторой скорости движения оконные стёкла в пассажирском автобусе начинают дребезжать?
Оконные стёкла в автобусе начинают дребезжать при определённой скорости из-за явления резонанса. Дорожные неровности или вибрации от двигателя создают колебания, которые могут совпадать с собственной частотой стекла, вызывая увеличение их амплитуды и слышимое дребезжание.
3. Для того чтобы отвести качели с сидящим на них человеком на больший угол, необходимо приложить значительную силу. Почему же раскачать качели до такого же угла отклонения можно с помощью значительно меньшего усилия?
Качели можно раскачать небольшими усилиями, если прикладывать силу в такт с их движением. Если толчки совпадают по фазе с естественными колебаниями качелей, система получает энергию постепенно, без резкого увеличения нагрузки. Это напоминает ситуацию с резонансом, когда энергия передаётся максимально эффективно.
1. Груз массой 200 г на пружине с жёсткостью 100 Н/м совершает колебания, график которых представлен на рисунке 5.20. Почему при этом уменьшается амплитуда колебаний? Чему равна механичская энергия колебательной системы в начальный момент времени? Через какое время эта энергия уменьшится в 4 раза?
Амплитуда колебаний груза на пружине уменьшается из-за действия сил сопротивления среды, например, силы вязкого трения или силы сопротивления воздуха. Эти силы рассеивают энергию системы, превращая её в тепловую, что приводит к затуханию колебаний.
Механическая энергия колебательной системы в начальный момент времени определяется как сумма кинетической и потенциальной энергий. Так как в начальный момент груз находится в положении максимального отклонения, его скорость равна нулю, а вся энергия сосредоточена в потенциальной форме: E = (k * A²) / 2, где k = 100 Н/м — жёсткость пружины, A — начальная амплитуда колебаний (по графику 2 см = 0,02 м). Подставляя значения, получаем: E = (100 * (0,02)²) / 2 = 0,02 Дж.
Энергия затухающих колебаний уменьшается по экспоненциальному закону. Если энергия уменьшается в 4 раза, то это соответствует времени, равному удвоенному логарифму 2 по основанию e делённому на коэффициент затухания. Если дан коэффициент затухания, можно найти точное значение.
2. На рисунке 5.21 приведена резонансная кривая для балки, на которой укреплён электродвигатель. При какой частоте вращения ротора будут наблюдаться сильные колебания балки?
На рисунке 5.21 представлена резонансная кривая балки. Сильные колебания балки будут наблюдаться при частоте, соответствующей максимуму резонансной кривой. По графику видно, что максимальная амплитуда приходится на частоту 4 Гц. Значит, если ротор электродвигателя вращается с этой частотой, балка будет испытывать наиболее сильные колебания.
3. При какой скорости поезда возникает резонанс, если длина железнодорожного рельса между стыками равна 25 м, а период собственных колебаний вагона составляет 1,25 с?
Для возникновения резонанса период колебаний вагона должен совпасть с периодом колебаний рельса. Период колебаний рельса можно рассчитать, используя скорость поезда и длину рельса, так как период — это время, за которое поезд проходит одну длину рельса.
Период колебаний рельса можно вычислить как отношение длины рельса к скорости поезда:
T_рельса = L / v,
где T_рельса — период колебаний рельса, L — длина рельса (25 м), v — скорость поезда.
Резонанс возникает, когда период колебаний вагона (T_вагона) совпадает с периодом колебаний рельса (T_рельса). Следовательно, для резонанса:
T_вагона = T_рельса.
Подставляем известные значения:
1,25 с = 25 м / v.
Отсюда можно выразить скорость поезда v:
v = 25 м / 1,25 с = 20 м/с.
Переводим скорость в км/ч:
v = 20 м/с × 3,6 = 72 км/ч.