1. Как изменяются с течением времени кинетическая и потенциальная энергии пружинного маятника при гармонических колебаниях?
В пружинном маятнике при гармонических колебаниях кинетическая и потенциальная энергия изменяются в противофазе, то есть их значения колеблются со временем: когда кинетическая энергия максимальна, потенциальная энергия минимальна, и наоборот. В точке равновесия кинетическая энергия достигает максимума, а потенциальная — минимума. Когда маятник находится в крайних положениях, вся энергия находится в потенциальной форме.
2. Изменяется ли механическая энергия колебательной системы при гармонических колебаниях?
Механическая энергия идеальной колебательной системы (без потерь на трение и сопротивление) остается постоянной, так как происходит только взаимное преобразование кинетической и потенциальной энергий. При отсутствии внешних сил и потерь энергии общее количество механической энергии в системе не меняется.
3. Как влияют силы трения, действующие в колебательной системе, на ее механическую энергию и амплитуду колебаний?
Силы трения уменьшают механическую энергию системы, поскольку часть энергии теряется на преодоление сопротивления. Из-за трения амплитуда колебаний постепенно уменьшается, и система в конечном итоге останавливается. В этом случае механическая энергия постепенно преобразуется в тепловую и рассеивается в окружающую среду.
4. Что является причиной затухания свободных колебаний в колебательной системе?
Затухание свободных колебаний происходит из-за потерь энергии в системе, вызванных силами трения и сопротивления среды. Эти силы «забирают» часть энергии на каждом колебании, из-за чего амплитуда колебаний уменьшается, и колебания постепенно прекращаются.
1. Изобразите и проанализируйте графики зависимости от времени кинетической энергии, потенциальной энергии и механической энергии математического маятника, совершающего гармонические колебания.
Смотри вложение вверху.
На графике показано, как кинетическая и потенциальная энергии математического маятника изменяются со временем при гармонических колебаниях. Кинетическая энергия увеличивается, когда маятник приближается к положению равновесия (максимальная скорость), и достигает нуля в крайних точках отклонения. Потенциальная энергия, наоборот, максимальна в крайних положениях маятника и минимальна в положении равновесия. Механическая энергия остается постоянной, что отражает закон сохранения энергии для системы без трения.
2. Шарик, закреплённый на упругой пружине жёсткостью r, совершает свободные колебания с амплитудой, равной xm. Чему равна кинетическая энергия шарика в момент прохождения им положения равновесия?
Когда шарик на пружине проходит через положение равновесия, вся энергия системы представлена в виде его кинетической энергии, так как пружина в этот момент не растянута и не сжата, и её потенциальная энергия равна нулю.
Энергия всей системы изначально, когда шарик находится на максимальном удалении от положения равновесия (на амплитуде xm), полностью представлена в виде потенциальной энергии пружины и равна:
E = (1/2) * k * xm^2,
где k — жёсткость пружины, а xm — амплитуда колебаний.
Так как в положении равновесия вся эта энергия переходит в кинетическую, кинетическая энергия шарика в этот момент будет также равна (1/2) * k * xm^2.
3. Шарик колеблется на пружине, подвешенной вертикально к потолку. При этом максимальное расстояние от потолка до центра шарика равно H, минимальное расстояние — h. Какая энергия будет максимальной в точке, удалённой от потолка на расстояние H?
Когда шарик достигает максимального расстояния H от потолка, он находится в самой нижней точке колебания. В этой точке его потенциальная энергия в поле тяжести будет максимальной, а скорость равна нулю. Поскольку скорость нулевая, кинетическая энергия также равна нулю, и вся механическая энергия шарика представлена в виде потенциальной энергии.
Максимальная энергия системы в этой нижней точке H определяется как сумма потенциальной энергии деформации пружины и потенциальной энергии шарика в поле тяжести.
1. На рисунке 5.14 представлен график зависимости потенциальной энергии математического маятника (относительно его положения равновесия) от времени. Чему будет равна кинетическая энергия маятника в момент времени t=2 с?
Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Полная механическая энергия маятника остаётся постоянной и равна сумме его потенциальной и кинетической энергии в любой момент времени.
Из графика видно, что максимальная потенциальная энергия достигает 20 Дж. Это максимальное значение потенциальной энергии, при котором кинетическая энергия равна нулю (в крайних точках маятника). Следовательно, полная механическая энергия маятника составляет 20 Дж.
В момент времени t = 2 с график показывает, что потенциальная энергия равна 5 Дж. Тогда кинетическая энергия в этот момент будет равна разности между полной энергией и потенциальной энергией:
Кинетическая энергия = Полная энергия - Потенциальная энергия = 20 Дж - 5 Дж = 15 Дж.
2. Груз массой 400 г совершает колебания на пружине с жёсткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний 15 см. Найдите полную механическую энергию и частоту колебаний груза.
Найдём полную механическую энергию системы. Поскольку в колебательной системе полная механическая энергия E остаётся постоянной и равна потенциальной энергии пружины в крайних точках, она вычисляется по формуле: E = (1/2) * k * A^2
где:
k = 250 Н/м — жёсткость пружины, A = 0,15 м — амплитуда колебаний. Подставляя значения:
E = (1/2) * 250 * (0,15)^2 = 2,8125 Дж
Теперь найдём частоту колебаний f. Частота колебаний для системы «груз на пружине» рассчитывается как: f = (1 / 2π) * √(k / m)
m = 0,4 кг — масса груза. Подставляем значения:
f = (1 / 2π) * √(250 / 0,4) ≈ 3,98 Гц
3. С какой скоростью колеблющееся тело, подвешенное на пружине, проходит положение равновесия, если масса тела равна 1 кг, жёсткость пружины — 100 Н/м, а амплитуда колебаний — 0,5 м?
Потенциальная энергия пружины в максимальном отклонении (в амплитуде) рассчитывается по формуле:
U = (1/2) * k * A^2,
где k — жёсткость пружины (100 Н/м), A — амплитуда (0,5 м).
Подставим значения:
U = (1/2) * 100 * (0.5)^2 = (1/2) * 100 * 0.25 = 12.5 Дж.
Кинетическая энергия в положении равновесия рассчитывается по формуле:
K = (1/2) * m * v^2,
где m — масса тела (1 кг), v — скорость.
В положении равновесия потенциальная энергия равна нулю, и вся энергия системы превращается в кинетическую:
K = U.
Подставим значение потенциальной энергии:
(1/2) * m * v^2 = 12.5.
Подставляем массу:
(1/2) * 1 * v^2 = 12.5.
Решаем уравнение для скорости:
0.5 * v^2 = 12.5, отсюда v^2 = 25, значит v = 5 м/с.
4. Тело массой 5 кг совершает гармонические колебания с амплитудой 10 см. Максимальная кинетическая энергия тела равна 2,5 Дж. Найдите период колебаний.
Чтобы найти период колебаний, можно использовать информацию о максимальной кинетической энергии и формулу для неё:
Максимальная кинетическая энергия (Kmax) выражается как:
Kmax = (1/2) * m * vmax^2,
где m — масса тела, vmax — максимальная скорость.
Также максимальная скорость в гармонических колебаниях может быть связана с амплитдутой и периодом по формуле:
vmax = A * ω,
где A — амплитуда, ω — угловая частота.
Угловая частота связана с периодом (T) по формуле:
ω = 2π / T.
Теперь можно выразить максимальную кинетическую энергию через амплитуду и период:
Подставляем vmax в формулу для Kmax: Kmax = (1/2) * m * (A * ω)^2.
Подставляем ω: Kmax = (1/2) * m * (A * (2π / T))^2.
Подставляем известные значения: Kmax = 2.5 Дж, m = 5 кг, A = 0.1 м (10 см).
Подставляем все в уравнение:
2.5 = (1/2) * 5 * (0.1 * (2π / T))^2.
Упрощаем уравнение: 2.5 = (2.5) * (0.01 * (4π^2 / T^2)),
что можно записать как:
1 = 0.01 * (4π^2 / T^2).
Умножаем обе стороны на T^2 и делим на 0.01: T^2 = 4π^2.
Находим T: T = 2π.
Подставляя π ≈ 3.14, получаем:
T ≈ 6.28 секунд.
5. Чему равна масса груза, колеблющегося на пружине с жёсткостью 0.5 кН/м, если при амплитуде колебаний 6 см он имеет максимальную скорость, равную 53 м/с?
Формула для максимальной кинетической энергии (Kmax) выглядит так:
Kmax = (1/2) * m * vmax^2.
Мы знаем, что максимальная скорость (vmax) равна 53 м/с, и можем выразить массу (m):
m = (2 * Kmax) / vmax^2.
Для определения максимальной кинетической энергии можно использовать жёсткость пружины и амплитуду:
Kmax = (1/2) * k * A^2,
где k — жёсткость пружины (0.5 кН/м или 500 Н/м), A — амплитуда (6 см или 0.06 м).
Подставляем значения для Kmax:
Kmax = (1/2) * 500 * (0.06)^2.
Вычисляем Kmax:
Kmax = (1/2) * 500 * 0.0036 = 0.9 Дж.
Теперь подставляем Kmax в формулу для массы:
m = (2 * 0.9) / (53)^2.
Вычисляем массу:
m = 1.8 / 2809 = 0.0006405 кг.