1. Какую физическую величину называют: а) смещением; б) амплитудой колебаний; в) фазой колебаний; г) начальной фазой колебаний; д) циклической частотой?
а) Смещение — векторная величина, характеризующая положение колеблющейся точки в данный момент времени относительно положения равновесия. Модуль смещения называется отклонением.
б) Амплитуда колебаний — максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия.
в) Фаза колебаний — аргумент косинуса или синуса в уравнении колебаний, определяющий состояние колебательной системы в данный момент времени.
г) Начальная фаза колебаний — фаза колебаний в начальный момент времени (t=0). Она определяет смещение тела в начальный момент.
д) Циклическая частота (ω) — число полных колебаний за 2π секунд. Связана с периодом колебаний (T) соотношением ω = 2π/T.
2. Какие колебания являются гармоническими? При каких условиях они возникают в колебательной системе?
Гармонические колебания — это колебания, при которых смещение колеблющейся точки изменяется со временем по гармоническому закону (синусу или косинусу). Они возникают в колебательной системе, если действует квазиупругая сила, пропорциональная смещению и направленная к положению равновесия (F = -kx, где k — коэффициент жесткости, x — смещение). Сила трения должна быть мала.
3. Запишите закон гармонических колебаний.
x(t) = Acos(ωt + φ₀)
где:
x(t) — смещение в момент времени t A — амплитуда ω — циклическая частота φ₀ — начальная фаза
4. Используя рисунок 5.6, запишите зависимость: а) координаты; б) проекции скорости; в) проекции ускорения гармонически колеблющейся точки от времени.
а) Координата: x(t) = Acos(ωt + φ₀)
б) Проекция скорости: vx(t) = dx/dt = -Aωsin(ωt + φ₀)
в) Проекция ускорения: ax(t) = dvx/dt = -Aω²cos(ωt + φ₀) = -ω²x(t)
1. По какой траектории будет двигаться шарик математического маятника, если его нить пережечь в момент, когда он достигнет максимального отклонения от положения равновесия?
Если нить пережечь в момент максимального отклонения, шарик будет двигаться по параболической траектории под действием силы тяжести. Это будет движение с начальной скоростью, равной нулю.
2. В каких точках траектории шарик, совершающий гармонические колебания по закону синуса, будет обладать максимальной скоростью, а в каких — максимальным ускорением?
Максимальная скорость: Скорость максимальна в точках равновесия (x = 0), где смещение равно нулю. Максимальное ускорение: Ускорение максимально в точках максимального отклонения (x = ±A), где смещение максимально.
1. Амплитуда колебаний гармонически колеблющейся точки струны равна 1 мм, частота колебаний — 1 кГц. Какой путь пройдёт точка за 0,2 с?
Частота колебаний (f) = 1 кГц = 1000 Гц. Это значит, что за 1 секунду точка совершает 1000 полных колебаний.
Период колебаний (T) = 1/f = 1/1000 с = 0.001 с.
За один период точка проходит путь, равный 4 амплитудам (2A вверх и 2A вниз).
За время t = 0,2 с точка совершит n = t/T = 0.2 с / 0.001 с = 200 колебаний.
Общий путь, пройденный точкой за 0,2 с: S = 4A * n = 4 * 1 мм * 200 = 800 мм = 0.8 м
Ответ: Точка пройдёт путь 0.8 метра за 0.2 секунды.
2. Чему равна амплитуда, частота и период колебаний, если координата колеблющегося тела изменяется по закону: а)x(t)=5cos(2π/3)t(м); б)х(t)=0,1sinπt(м); в) х(t)=cos628t(м)?
Закон гармонических колебаний имеет общий вид: x(t) = Acos(ωt + φ₀), где A - амплитуда, ω - циклическая частота, φ₀ - начальная фаза. В случае синуса, мы можем представить sin(ωt) как cos(ωt - π/2).
а) x(t) = 5cos((2π/3)t) (м)
Амплитуда (A): 5 м Циклическая частота (ω): 2π/3 рад/с Частота (f): ω/(2π) = 1/3 Гц Период (T): 1/f = 3 с б) x(t) = 0.1sin(πt) (м) = 0.1cos(πt - π/2) (м)
Амплитуда (A): 0.1 м Циклическая частота (ω): π рад/с Частота (f): ω/(2π) = 1/2 Гц Период (T): 1/f = 2 с в) x(t) = cos(628t) (м)
Амплитуда (A): 1 м Циклическая частота (ω): 628 рад/с Частота (f): ω/(2π) = 628/(2π) ≈ 100 Гц Период (T): 1/f = 1/100 с = 0.01 с
3. Напишите закон гармонических колебаний груза, если амплитуда его колебаний равна 0,1 м, а частота колебаний 0,2 Гц.
Закон гармонических колебаний имеет вид: x(t) = Acos(ωt + φ₀)
x(t) - смещение в момент времени t A - амплитуда колебаний ω - циклическая частота φ₀ - начальная фаза (зависит от начальных условий; если в начальный момент груз находится в точке максимального отклонения, φ₀ = 0; если груз находится в положении равновесия и движется в положительном направлении, φ₀ = -π/2) Нам даны:
A = 0.1 м f = 0.2 Гц Циклическая частота ω = 2πf = 2π * 0.2 Гц = 0.4π рад/с
Если предположить, что в начальный момент времени (t=0) груз находится в точке максимального отклонения, то начальная фаза φ₀ = 0. Тогда закон гармонических колебаний будет:
x(t) = 0.1cos(0.4πt) (м)
Если же в начальный момент груз находится в положении равновесия и движется в положительном направлении, то начальная фаза φ₀ = -π/2, и закон колебаний будет:
x(t) = 0.1cos(0.4πt - π/2) = 0.1sin(0.4πt) (м)
4. Напишите закон гармонических колебаний, если за 1 мин совершается 60 колебаний. Амплитуда колебаний равна 8 см.
Количество колебаний за 1 минуту (60 с) = 60 Амплитуда (A) = 8 см = 0.08 м Частота (f): f = 60 колебаний / 60 с = 1 Гц
Циклическая частота (ω): ω = 2πf = 2π * 1 Гц = 2π рад/с
Закон гармонических колебаний имеет вид x(t) = Acos(ωt + φ₀), где φ₀ — начальная фаза. Так как начальные условия не заданы, мы можем выбрать начальную фазу равной нулю (что соответствует максимальному смещению в начальный момент времени).
Следовательно, закон гармонических колебаний:
x(t) = 0.08cos(2πt) (м)
5. По графикам, приведённым на рисунке 5.7, найдите амплитуду, период и частоту колебаний. Запишите для каждого графика уравнение зависимости координаты от времени х(t), проекции скорости от времени vх(t) и проекции ускорения от времени ах(t).
Максимальное значение смещения (амплитуда A): Найдите максимальное значение y на графике x(t). Период (T): Найдите время, за которое колебание совершается один полный цикл (от максимума до максимума или от минимума до минимума). Тип колебаний (синус или косинус): Определите, начинается ли колебание с максимального значения (косинус) или проходит через ноль (синус).