1. Какую электрическую цепь называют колебательным контуром?
Колебательным контуром называют замкнутую электрическую цепь, состоящую из конденсатора и катушки индуктивности. В нем могут возникать электромагнитные колебания.
2. Почему сохраняется полная энергия электромагнитного поля в колебательном контуре?
Полная энергия электромагнитного поля в колебательном контуре сохраняется, потому что энергия периодически переходит из электрической (в конденсаторе) в магнитную (в катушке) и обратно, если нет потерь на сопротивление.
3. Объясните, почему а контуре возни кают гармонические незатухающие колебания заряда и силы тока.
Гармонические незатухающие колебания заряда и силы тока в контуре возникают из-за того, что система обладает свойством инерции: заряженный конденсатор начинает разряжаться через катушку, создавая ток, который затем вновь заряжает конденсатор с противоположным знаком.
4. По какому закону изменяются со временем заряд на конденсаторе и сила тока а катушке индуктивности?
Заряд на конденсаторе и сила тока в катушке изменяются по гармоническому закону:
Заряд: q(t) = q₀ cos(ωt + φ) Ток: I(t) = I₀ sin(ωt + φ) где ω – циклическая частота.
5. Как зависит период собственных колебаний а колебательном контуре от ёмкости конденсатора и индуктивности катушки?
Период собственных колебаний в колебательном контуре определяется формулой Томсона: T = 2π√(L * C), где L – индуктивность катушки, C – ёмкость конденсатора. Чем больше ёмкость или индуктивность, тем больше период.
1. Конденсатор ёмкостью 1 мкФ, заряженный до напряжения 225 В, подключили к катушке индуктивностью 10 мГн. Найдите максимальную силу тока в контуре.
Формула: I = U * √(C / L)
Подставляем данные: C = 1 мкФ = 10⁻⁶ Ф U = 225 В L = 10 мГн = 10⁻² Г
I = 225 * √(10⁻⁶ / 10⁻²) = 225 * 10⁻² = 2,25 А
2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 4 мГн и плоского воздушного конденсатора Площадь пластин конденсатора S = 10 см2, расстояние между ними d = 1 мм. Найдите период собственных колебаний в контуре.
Формула: T = 2π * √(L * C)
Ёмкость конденсатора: C = ε₀ * S / d
Подставляем: ε₀ = 8,85 * 10⁻¹² Ф/м S = 10 см² = 10⁻³ м² d = 1 мм = 10⁻³ м
C = (8,85 * 10⁻¹² * 10⁻³) / 10⁻³ = 8,85 * 10⁻¹² Ф L = 4 мГн = 4 * 10⁻³ Г
T = 2π * √(4 * 10⁻³ * 8,85 * 10⁻¹²)
После вычислений: Т ≈ 1,18 мкс
3. Найдите диапазон частот v1— v2 колебаний в контуре с катушкой, индуктивность которой L = 1 мГн, и конденсатором, емкость которого может изменяться в пределах от С1 = 40 пФ до С2 = 90 пФ.
Найдем диапазон частот колебаний в контуре с катушкой индуктивности L = 1 мГн и изменяющейся емкостью конденсатора от C1 = 40 пФ до C2 = 90 пФ.
Частота колебаний в LC-контуре рассчитывается по формуле:
f = 1 / (2π√(LC))
Для минимальной емкости C1 = 40 пФ: f1 = 1 / (2π√(L * C1)) = 1 / (2π√(1 * 10⁻³ * 40 * 10⁻¹²)) ≈ 1 / (2π√(40 * 10⁻¹⁵)) ≈ 1 / (2π * 6.324 * 10⁻⁸) ≈ 0.795 МГц
Для максимальной емкости C2 = 90 пФ: f2 = 1 / (2π√(L * C2)) = 1 / (2π√(1 * 10⁻³ * 90 * 10⁻¹²)) ≈ 1 / (2π√(90 * 10⁻¹⁵)) ≈ 1 / (2π * 9.486 * 10⁻⁸) ≈ 0.531 МГц
Итак, диапазон частот колебаний: от 0.531 МГц до 0.795 МГц.
4. Колебательный контур состоит из двух одинаковых конденсаторов, включенных последовательно, и катушки индуктивности. Период собственных колебаний контура Т = 50 мкс. Чему равен период колебаний контура, если конденсаторы включить параллельно?
Дано: Изначально два одинаковых конденсатора с ёмкостью C включены последовательно. Период колебаний при последовательном включении T1 = 50 мкс. Нужно найти период колебаний T2, если конденсаторы включены параллельно. Решение: Общая ёмкость при последовательном включении: Cпосл = C / 2
T1 = 2π√(L * C / 2)
Общая ёмкость при параллельном включении: Cпар = 2C
T2 = 2π√(L * 2C)
Сравнение периодов: T2 / T1 = √(2C / (C / 2)) = √4 = 2
T2 = 2 * T1 = 2 * 50 мкс = 100 мкс
Ответ: Период колебаний при параллельном включении конденсаторов равен 100 мкс.
5. Напряжение на конденсаторе емкостью С = 0,1 мкФ, включенном в колебательный контур, изменяется по закону uс = 200cos (103t) Найдите индуктивность контура и максимальную силу тока в нем.
Из формулы для частоты LC-контура, где ω = 1 / √(LC), получаем выражение для индуктивности:
ω = 1 / √(LC)
Из этого выражения индуктивность L можно выразить как:
L = 1 / (ω² * C)
Подставим значения ω = 10³ рад/с и C = 0,1 мкФ:
L = 1 / (10³)² * (0,1 × 10⁻⁶) L = 1 / (10⁶ * 0,1 × 10⁻⁶) L = 1 / 0,1 L = 10 Генри.
Итак, индуктивность контура L = 10 Генри.
Для LC-контура максимальная сила тока Imax связана с максимальным напряжением на конденсаторе Umax и индуктивностью L через формулу:
Imax = Umax / √(L * C)
Подставим известные значения: Umax = 200 В, L = 10 Генри, C = 0,1 мкФ:
Imax = 200 / √(10 * 0,1 × 10⁻⁶) Imax = 200 / √(10 × 10⁻⁷) Imax = 200 / √(10⁻⁶) Imax = 200 / 10⁻³ Imax = 2 × 10⁵ А.
Итак, максимальная сила тока в контуре Imax = 2 × 10⁵ А.