1. Сравните приближённые и аналитические методы решения уравнений. В чём достоинства и недостатки каждого подхода?
Приближённые методы дают оценку решения с некоторой точностью, часто используются для сложных уравнений, которые нельзя решить аналитически. Они быстрые, но не всегда точные. Аналитические методы дают точное выражение для решения, но применимы не ко всем уравнениям и могут быть сложными в вычислениях.
2. Приведите примеры методов решения задач, которые нельзя назвать итерационными.
Методы, которые нельзя назвать итерационными: формульные методы (например, формула корней квадратного уравнения), графический метод, метод разложения в ряд, метод подстановки.
3. Сравните метод перебора и метод деления отрезка пополам. В чём достоинства и недостатки каждого из них?
Метод перебора проходит все возможные значения с заданным шагом, он прост, но может быть медленным. Метод деления отрезка пополам (дихотомия) быстрее сходимости, так как уменьшает отрезок вдвое на каждом шаге, но требует, чтобы функция была монотонной и знакопеременной на участке.
4. Как с помощью математических операций определяют, есть ли решение уравнения на заданном отрезке? В каких случаях такой подход не сработает?
Проверяют знаки функции на концах отрезка: если они разные, по теореме о промежуточных значениях есть хотя бы один корень. Метод не сработает, если на отрезке несколько корней или если функция касается оси (например, x^2=0)
5. Предложите, как избежать зацикливания в методе перебора.
Избежать зацикливания в методе перебора можно уменьшением шага, добавлением ограничения на число итераций или проверкой изменения знака функции.
6. Объясните, почему при ширине полосы 5 = 2е методом перебора можно найти решение с точностью е. В каком случае погрешность будет наибольшей?
Если ширина полосы 5 = 2ε, а шаг перебора меньше ε, решение обязательно попадёт в один из шагов. Погрешность будет наибольшей, если корень лежит между узлами сетки.
7. Чем различается отделение корней и уточнение корней?
Отделение корней – нахождение отрезков, где есть корни. Уточнение корней – процесс поиска точного значения внутри найденного отрезка (например, методом половинного деления).
8. Объясните изменения, сделанные в первоначальной программе для решения уравнения методом перебора, которые позволили в одном цикле найти все решения на заданном отрезке.
В изменённой программе, возможно, добавлен цикл, который проходит весь отрезок и ищет изменения знака функции, а затем сразу уточняет корни, исключая необходимость перезапуска алгоритма.