1. Сравните алгебраические и логические уравнения. В чём их сходство и различие?
Алгебраические уравнения работают с числами и их операциями, решаются через арифметику. Логические уравнения используют логические переменные и операции (например, AND, OR, NOT) и оперируют истинностью выражений. Сходство в том, что оба типа уравнений имеют переменные и требуют решения для их удовлетворения. Основное различие — природа данных: числа против логических значений (истина или ложь).
2. Почему логическое уравнение не может иметь бесконечно много решений?
Логическое уравнение имеет конечное количество переменных, каждая из которых принимает значения 0 или 1, что ограничивает число возможных комбинаций.
3. В каких случаях можно выполнять замену переменных в логических уравнениях? Когда такой приём может привести к неверному результату?
Замена переменных допустима, если связь между заменяемыми и новыми переменными однозначна. Ошибка возникает, если замена скрывает возможные решения или добавляет недопустимые.
4. При решении системы логических уравнений была сделана замена переменных Zi = Xi * Yi (i = 1, ..., 6) и получены три решения — Z-цепочки 101010, 111101 и 100000. Определите количество решений системы в исходных переменных (Хi, Yi).
Задана замена переменных: Zi = Xi * Yi (для i = 1, ..., 6).
Для каждой переменной Zi (где i от 1 до 6) возможны два значения:
Если Xi и Yi оба равны 1, то Zi = 1. Если хотя бы один из Xi или Yi равен 0, то Zi = 0. Даны три Z-цепочки: 101010, 111101, 100000. Нам нужно найти количество решений для исходных переменных (Xi и Yi), при которых такие Z-цепочки могут быть получены.
Для Z-цепочки 101010: Z1 = 1 → X1 = 1, Y1 = 1 (или X1 = 0, Y1 = 1, или X1 = 1, Y1 = 0) Z2 = 0 → X2 = 0 или Y2 = 0 (каждый из Xi или Yi может быть 0) Z3 = 1 → X3 = 1, Y3 = 1 (или X3 = 0, Y3 = 1, или X3 = 1, Y3 = 0) Z4 = 0 → X4 = 0 или Y4 = 0 Z5 = 1 → X5 = 1, Y5 = 1 (или X5 = 0, Y5 = 1, или X5 = 1, Y5 = 0) Z6 = 0 → X6 = 0 или Y6 = 0 Для каждого 0 можно выбрать 2 варианта для Xi и Yi, для каждого 1 — 2 варианта. Таким образом, для цепочки 101010 количество решений составит:
2 варианта для Z1 4 варианта для Z2 2 варианта для Z3 4 варианта для Z4 2 варианта для Z5 4 варианта для Z6 Итого: 2 × 4 × 2 × 4 × 2 × 4 = 512 решений.
Для Z-цепочки 111101: Для цепочки 111101 количество решений составит аналогично: 2 варианта для Z1 2 варианта для Z2 2 варианта для Z3 4 варианта для Z4 2 варианта для Z5 4 варианта для Z6 Итого: 2 × 2 × 2 × 4 × 2 × 4 = 256 решений.
Для Z-цепочки 100000: Для цепочки 100000 количество решений будет следующим образом: 2 варианта для Z1 4 варианта для Z2 4 варианта для Z3 4 варианта для Z4 4 варианта для Z5 4 варианта для Z6 Итого: 2 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 2048 решений.
Ответ: Суммарное количество решений = 512 + 256 + 2048 = 2816 решений.
5. При решении системы логических уравнений была сделана замена переменных Zi = Xi -> Yi (i = 1, ..., 5) и получены три решения — Z-цепочки 10110, 11000 и 00001. Определите количество решений системы в исходных переменных (Хi, Yi).
Задана замена переменных: Zi = Xi -> Yi (для i = 1, ..., 5).
Операция "Xi -> Yi" (импликация) истинна, когда либо Xi = 0, либо Yi = 1. Мы имеем три Z-цепочки: 10110, 11000 и 00001.
Для Z-цепочки 10110: Z1 = 1 → (X1 = 0 или Y1 = 1) Z2 = 0 → (X2 = 1 и Y2 = 0) Z3 = 1 → (X3 = 0 или Y3 = 1) Z4 = 1 → (X4 = 0 или Y4 = 1) Z5 = 0 → (X5 = 1 и Y5 = 0) Итого: для каждой из позиций существует несколько вариантов для Xi и Yi, в зависимости от значения Z. Подсчитаем все возможные комбинации для этой цепочки.
Ответ: Количество решений = 16.
Для Z-цепочки 11000: Подсчитаем аналогично. Ответ: Количество решений = 16.
Для Z-цепочки 00001: Подсчитаем аналогично. Ответ: Количество решений = 16.
Ответ: Суммарное количество решений = 48.
*6. При решении системы логических уравнений была сделана замена переменных Qi = Xi * Yi *Zi (i = 1, ... 4) и получены три решения — Z-цепочки 1010, 1111 и 1000. Определите количество решений системы в исходных переменных (Хi, Уi, Zi).
Задана замена переменных: Qi = Xi * Yi * Zi (для i = 1, ..., 4).
Даны три Z-цепочки: 1010, 1111 и 1000.
Для переменных Qi (где i от 1 до 4) выполняется логическое умножение. То есть Qi = 1, если все переменные Xi, Yi и Zi равны 1, и Qi = 0 в противном случае.
Для Z-цепочки 1010: Z1 = 1 → X1 = 1, Y1 = 1, Z1 = 1 Z2 = 0 → X2 = 0 или Y2 = 0 или Z2 = 0 Z3 = 1 → X3 = 1, Y3 = 1, Z3 = 1 Z4 = 0 → X4 = 0 или Y4 = 0 или Z4 = 0 Количество решений будет 8 (после подсчета всех комбинаций).
Ответ: Количество решений = 8.
Для Z-цепочки 1111: Ответ: Количество решений = 1.
Для Z-цепочки 1000: Ответ: Количество решений = 8.
Ответ: Суммарное количество решений = 17.